6.3.3 平面向量加 、减运算的坐标表示-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册练习（Word含答案解析）

平面向量加、减运算的坐标表示练习
一、单选题
已知向量a=(2,4)，a+b=(3,2)，则b=? (??? )
A. (1,?2) B. (1,2) C. (5,6) D. (2,0)
向量PA=(k,12)，PB=(4,5)，PC=(10,k)，若A，B，C三点共线，则k的值为(??? )
A. ?2 B. 11 C. ?2或11 D. 2或11
在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(3,5)，AD=(?1,2)，则AC+BD=? (??? )
A. (?2,4) B. (4,6) C. (?6,?2) D. (?1,9)
若向量a=(?1,x)与b=(?x,2)共线且方向相同，则x的值为(????)
A. 2 B. ?2 C. 2 D. ?2
已知M(2,3)，N(3,1)，则NM的坐标是(? ? ? ?)
A. (2,?1) B. (?1,2) C. (?2,1) D. (1,?2)
已知向量a=(1,y)，b=(?1,1)，c=(2,2)，若c=a?b，则y=? (??? )
A. 3 B. 1 C. ?1 D. ?3
如果用e1，e2分别表示与x轴和y轴方向相同的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，那么AB可以表示为? (??? )
A. 2e1+3e2 B. 4e1+2e2 C. 2e1?e2 D. ?2e1+e2
给出下面几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应于唯一的一个向量；
④平面上任意一个点与以原点为起点、该点为终点的向量一一对应．
其中正确说法的个数是? (??? )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
若AB=(2,5)，AC=(?1,1)，则CB=? (??? )
A. (3,4) B. (?4,?3) C. (?4,3) D. (4,?3)
已知i，j分别为与x轴、y轴方向相同的单位向量，O为坐标原点，若OA=3i?j，点B的坐标为(1,3)，OC是AB的相等向量，则点C的坐标为? (??? )
A. (?2,4) B. (2,?4) C. (4,2) D. (2,0)
设向量a=(4,?12)，b=(?8,18)，若表示向量a，b，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于? (??? )
A. (1,?1) B. (?1,1) C. (?4,6) D. (4,?6)
已知A(1,2)，B(5,4)，C(x,3)，D(?3,y)，且AB=CD，则x，y的值分别为(? ? )
A. ?7，?5 B. 7，?5 C. ?7，5 D. 7，5
二、单空题
已知A(6,2)，B(?2,?4)，且AC=CB，则点C的坐标是______．
已知O是坐标原点，点A在第二象限，|OA|=6，从x轴正方向到向量OA所成的角为150°，向量OA的坐标为_________．
设OA=(?2,4)，OB=(?a,2)，OC=(b,0)，a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则1a+1b的最小值为______．
在△ABC中，点P在边BC上，且BP=PC，点Q是AC的中点，若PA=(4,3)，PQ=(1,5)，则BC=_______．
三、解答题
已知a=(1,0)，b=(2,1)．
(1)求a+3b的坐标；
(2)当k为何实数时，ka?b与a+3b平行，平行时它们是同向还是反向？
如图，在平面直角坐标系xOy中，OA=4，AB=3，∠AOx=45°，∠OAB=105°，OA=a，AB=b，四边形OABC为平行四边形．
(1)求向量a，b的坐标；
(2)求点B的坐标．
已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，AB=2e1+e2，BE=?e1+λe2，EC=?2e1+e2，且A，E，C三点共线．
(1)求实数λ的值；
(2)若e1=(2,1)，e2=(2,?2)，求BC的坐标；
(3)已知D(3,5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
已知A(?1,0)，B(3,?1)，C(1,2)，并且AE=13AC，BF=13BC，求证：EF//AB．
答案和解析
1.【答案】A
【解答】
解：因为向量a=(2,4)，a+b=(3,2)，
则b=a+b?a=(3,2)?(2,4)=(1,?2)．
2.【答案】C
【解答】
解：由题意可得AB=PB?PA=4?k,?7，
BC=PC?PB=6,k?5，
由于AB和BC共线，
∴4?kk?5+42=0，解得k=11或k=?2．
3.【答案】A
【解答】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，由A(1,2)，B(3,5)，AB=(2,3)，AD=(?1,2)，
∴AC+BD=AB+AD+AD?AB=2AD=(?2,4)．
4.【答案】A
【解析】解：因为向量a=(?1,x)与b=(?x,2)共线，
所以(?1)×2?x(?x)=0，解得x=±2，
因为向量a=(?1,x)与b=(?x,2)方向相同，
所以x=2，
5.【答案】B
【解答】解：NM=(2,3)?(3,1)=(?1,2)．
6.【答案】A
【解答】
解：∵向量a=(1,y)，b=(?1,1)，c=(2,2)，c=a?b，
∴y?1=2，
解得y=3．
7.【答案】C
【解答】
解：记O为坐标原点，则OA=2e1+3e2，OB=4e1+2e2，
所以AB=OB?OA=2e1?e2．
故选C．
8.【答案】C
【解答】
解：由向量的坐标定义不难看出一个坐标可以对应无数个相等的向量，所以③错误，其余都正确．
所以正确的个数有3个．
9.【答案】A
【解答】
解：因为AB=(2,5)，AC=(?1,1)，
所以CB=AB?AC=(2,5)?(?1,1)=(3,4)．
10.【答案】A
【解答】
解：因为OA=3i?j，
所以A点的坐标为3,?1，
因为点B的坐标为(1,3)，
所以OC=AB=OB?OA=(1,3)?(3,?1)=(?2,4)，
故点C的坐标为(?2,4)．
11.【答案】D
【解答】
解：设c=(x,y)，
因为表示a，b，c的有向线段首尾相接能构成三角形，
所以a+b+c=0，
即(4?8+x,?12+18+y)=(0,0)，解得x=4，y=?6，
所以c=(4,?6)．
12.【答案】C
【解答】
解：AB=(4,2)，CD=(?3?x,y?3)．
∵AB=CD，
∴?3?x=4,y?3=2,
解得x=?7,y=5.
故选C．
13.【答案】(2,?1)
【解析】解：设C的坐标为(x,y)，则
AC=(x?6,y?2)，CB=(?2?x,?4?y)，
∵AC=CB，
∴x?6=?2?xy?2=?4?y，∴x=2y=?1，
∴C的坐标为：(2,?1)．
14.【答案】(?33,3)
【解答】
解：设点A(?x,y)，
则?x=|OA|cos?150°=6cos?150°=?33，
y=|OA|sin?150°=6sin?150°=3，
即A(?33,3)，
所以OA=(?33,3)．
故答案为(?33,3)．
15.【答案】3+222
【解答】
解：由题意，得AB=(?a+2,?2)，AC=(b+2,?4)．
因为AB//AC，所以?4(?a+2)=?2(b+2)，
整理得2a+b=2，
所以1a+1b=12(2a+b)(1a+1b)=12(3+2ab+ba)≥12(3+22ab·ba)=3+222，
当且仅当b=2a时等号成立．
故答案为3+222．
16.【答案】(?4,14)
【解答】
解：AQ=PQ?PA=(1,5)?(4,3)=(?3,2)．
因为点Q是AC的中点，所以AQ=QC，
所以PC=PQ+QC=(1,5)+(?3,2)=(?2,7)．
因为BP=PC，
所以BC=BP+PC=PC+PC=(?2,7)+(?2,7)=(?4,14)．
故答案为(?4,14)．
17.【答案】解：(1)因为a=(1,0)，b=(2,1)，
所以a+3b=(1,0)+(6,3)=(7,3)．
(2)ka?b=(k?2,?1)，a+3b=(7,3)，
因为ka?b与a+3b平行，
所以3(k?2)+7=0，解得k=?13，
所以ka?b=?73,?1，a+3b=(7,3)，
即k=?13时，ka?b与a+3b平行，方向相反．
18.【答案】解：(1)作AM⊥x轴于点M，?
则OM=OA?cos45?=4×22=22，AM=OA?sin45?=4×22=22，
∴A(22,22)，故a=(22,22)，
∵∠AOC=180°?105°=75°，∠AOy=45°，∴∠COy=30°，
又OC=AB=3，∴C?32,332，
∴AB=OC=?32,332，即b=(?32,332).
(2)OB=OA+AB=(22,22)+(?32,332)=(22?32,22+332)，
∴点B的坐标为22?32,22+332．
19.【答案】【解析】
解：(1)AE=AB+BE=(2e1+e2)+(?e1+λe2)=e1+(1+λ)e2．
∵A，E，C三点共线，∴存在实数k，使得AE=kEC，即e1+(1+λ)e2=k(?2e1+e2)，得(1+2k)e1=(k?1?λ)e2．
∵e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，
∴1+2k=0λ=k?1，解得k=?12，λ=?32．
(2)BC=BE+EC=?3e1?12e2=(?6,?3)+(?1,1)=(?7,?2)．
(3)∵A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，
∴AD=BC．
设A(x,y)，则AD=(3?x,5?y)，∵BC=(?7,?2)，
∴3?x=?75?y=?2，解得x=10y=7，即点A的坐标为(10,7)．
20.【答案】证明：设E(x1,y1)，F(x2,y2)，依题意有AC=(2,2)，BC=(?2,3)，
AB=(4,?1).因为AE=13AC，所以AE=23,23，
所以(x1+1,y1)=23,23，故E?13,23．
因为BF=13BC，所以BF=?23,1，
所以(x2?3,y2+1)=?23,1，故F73,0．
所以EF=83,?23．
又因为4×?23?83×(?1)=0，? 所以EF?//?AB．