6.3.5 平面向量数量积的坐标表示-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册练习（Word含答案解析）

平面向量数量积的坐标表示练习
一、单选题
已知向量a=(1,2)，b=(?2,3)，c=(4,5)，若(a+λb)⊥c，则λ=(????)
A. ?12 B. 12 C. ?2 D. 2
已知平面向量a=(2,4)，b=(?1,2)，若c=a?(a?b)b，则|c|等于(????)
A. 42 B. 25 C. 8 D. 82
设向量a与b的夹角为θ，a=(2,1)，a+3b=(5,4)，则sin?θ等于(????)
A. 1010 B. 13 C. 31010 D. 45
已知向量a=(x2,x+2),b=(?3,?1),c=(1,3)，若a//b，则a与c夹角为(? ? )
A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π6
已知向量a=(1,2)，b=(1,1)，且a与a+λb的夹角为锐角，则λ满足(????)
A. λ?53
C. λ>?53且λ≠0 D. λ已知A(1,?1)，B(2,2)，C(3,0)，若点D满足CD⊥AB，且CB?//?AD，则点D的坐标是(????)
A. (1,0) B. (?1,0) C. (0,?1) D. (0,1)
设向量a=(1,2)，b=(x,1)，当向量a+2b与2a?b平行时，a?b=? (??? )
A. 52 B. 2 C. 1 D. 72
在如图所示的平面图形中，e1，e2为互相垂直的单位向量，则向量a+b?c可表示为? (??? )
A. e1?2e2
B. ?e1+2e2
C. 3e1?2e2
D. 3e1+2e2
在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2，AB=1，D为BC的中点，E在斜边AC上，若AE=2EC，则DE?AC=? (??? )
A. 12 B. 13 C. 14 D. 1
已知向量a，b满足：|a|=2， =60?，且c=?12a+tb(t∈R)，则|c|+|c?a|的最小值为(????)
A. 13 B. 4 C. 23 D. 934
已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足MF1·MF2=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(????)
A. (0,1) B. 0,12 C. 0,22 D. 22,1
平行四边形ABCD中，AB=4，AD=22，∠BAD=3π4，E是线段CD的中点，则AE?AC=(? )
A. 0 B. 2 C. 4 D. 42
二、单空题
已知向量b与向量a=(1,?2)的夹角是180°，且|b|=35，则b=_________．
已知向量a=(?1,x)，b=(x+2,x)，若|a+b|=|a?b|，则x=________．
如图，在2×4的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，则向量a+b，a?b的夹角余弦值是______．
已知a=(?1,1)，b=(1,2)，则a?(a+2b)=_________．
已知向量a=(?1,2)，b=(m,1)，若向量a+b与a垂直，则m=??????????．
三、解答题
已知a与b同向，b=(1,2)，a?b=10．
(1)求a的坐标;
(2)若c=(2,?1)，求a(b?c)及(a?b)c．
已知平面向量a=(3,4)，b=(9,x)，c=(4,y)，且a//b，a⊥c．
(1)求b和c;
(2)若m=2a?b，n=a+c，求向量m与向量n的夹角的大小．
已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(?1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD的两对角线所成的锐角的余弦值．
已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(1,3)，b，c为单位向量．
(1)若a//c，求向量c的坐标；
(2)若a+2b与2a?b垂直，求向量a与b所成角的正弦值．
答案和解析
1.【答案】C
【解答】
解：a+λb=(1?2λ,3λ+2)；
又(a+λb)⊥c；
∴(a+λb)?c=4(1?2λ)+5(3λ+2)=0；
解得λ=?2．
2.【答案】D
【解答】解：∵向量a=(2,4)，b=(?1,2)
∴a?b=(2,4)?(?1,2)=?2+8=6
∴c=a?(a?b)??b=(2,4)?6(?1,2)=(2,4)?(?6,12)=(8,?8)
∴|c|?=82+(?8)2=82
3.【答案】A
【解答】
解：∵a=2,1，a+3b=5,4，
∴b=1,1?．
∴cosθ=a·b|a|·|b|=2×1+1×15×2=31010，
而θ∈0,π，∴sinθ=1?cos2θ=1010．
4.【答案】A
【解答】
解：∵向量a→=(x2,x+2)，b→=(?3,?1)，c→=(1,3)，若a→//b→，则a→与b→反向，
∴a→与c→的夹角即为?b→与c→的夹角，设为θ，
∴cosθ=?b·c|b|·|c|=??3?32×2=32，
，
∴θ=π6，即a→与c→的夹角为π6．
故选A．
5.【答案】C
【解答】
解：由题意，∵a与a+λb的夹角为锐角，
∴a·a+λb>0且a与a+λb不同向，
即a·a+λb>0λ≠0,
故a2+λa·b=5+3λ>0λ≠0,
解得λ>?53且λ≠0．
6.【答案】D
【解答】
解：设D(x,y)，则BC=(1,?2)，AB=(1,3)，AD=(x?1,y+1)，CD=(x?3,y)．
由题意可得2x+y?1=0,x?3+3y=0,解得x=0,y=1,
所以点D的坐标为(0,1)．
7.【答案】A
【解答】
解：∵a+2b=(1+2x,4)，2a?b=(2?x,3)，
a+2b与2a?b平行，
∴(1+2x)?3=4(2?x)，∴x=12．
∴a?b=(1,2)?(12,1)=1×12+2×1=52．．
8.【答案】A
【解析】解：以e1，e2互相垂直的单位向量所在的直线分别为x轴和y轴，建立直角坐标系，
则e1=(1,0)，e2=(0,1)，
则向量a=(1,2)，b=(1,?2)，c=(1,2)，
则向量a+b?c=(1,2)+(1,?2)?(1,2)=(1,?2)，
即可表示为e1?2e2，
9.【答案】B
【解答】
解：以B为坐标原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则B(0,0)，A(1,0)，C(0,2)，所以AC=(?1,2)，
∵D为BC中点，所以D(0,1)，因为AE=2EC，
所以E13,43，所以DE=13,13，
所以DE?AC=(13,13)·(?1,2)=?13+23=13．
故选B．
10.【答案】A
【解答】
解：因为|a|=2，=60°，设b=r，
设a=2,0，b=12r,32r，
c=12tr?1,32tr，c?a=12tr?3,32tr，
|c|+|c?a|
=12tr?12+32tr2+12tr?32+32tr2，
表示点12tr,32tr到(1,0)的距离与12tr,32tr到(3,0)和，
又12tr,32tr在直线y=3x上，(1,0)关于y=3x的对称点为?12,32，
所以|c|+|c?a|的最小值为?12,32与(3,0)两点间的距离3+122+322=13，
11.【答案】C
【解答】
解：不妨设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，焦距为2c，椭圆上任一点P(x,y)，
由MF1·MF2=0的点M总在椭圆内，
得PF1·PF2>0，得x2+y2>c2恒成立，
可得y2又?b?y?b，
所以b2得a2>2c2，可得e=ca<22，
又0∴012.【答案】C
【解答】
解：解法一，如下图，
因为四边形ABCD为平行四边形，∠BAD=3π4，
所以，
又AB=4，BC=AD=22，
所以由余弦定理得AC2=16+8?2×4×22×22=8，
所以AC=22，且AC⊥BC，
又E是线段CD的中点，所以AE⊥CD，
则AE=12CD=12AB=2，
所以由投影知AE?AC=AE2=4．
解法二，由已知AE=AD+DE=AD+12AB，AC=AD+AB，
所以AE?AC=(AD+12AB)?(AD+AB)
=AD2+12AB2+32AD?AB
．
解法三，由解法一知AE⊥DC，AE=2，建立如下图所示的直角坐标系，
则E(0,2)，C(2,2)，A(0,0)，
AE?AC=(0,2)·(2,2)=4．
故选C．
13.【答案】(?3,6)
【解答】解：由题意知，a与b共线且方向相反，
∴b=λaλ<0．
设b=x,y，
则x,y=λ1,?2，即x=λ,y=?2λ.
∵|b|=35，
∴x2+y2=45，即λ2+4λ2=45．
∵λ<0，
∴λ=?3．
∴b=?3,6．
14.【答案】?1或2
【解答】
解：由题意，可知
a+b=(x+1,2x)，则|a+b|=x+12+(2x)2=5x2+2x+1，
同理，a?b=?3?x,0，则|a?b|=(?3?x)2=x2+6x+9，
∵|a+b|=|a?b|，
∴5x2+2x+1=x2+6x+9，
即5x2+2x+1=x2+6x+9，
解得x=?1或2?．
故答案为：?1或2?．
15.【答案】?46565
【解析】解：设每个小正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，
则a=(2,?1)，b=(3,2)．
∴a+b=(5,1)，a?b=(?1,?3)．
∴(a+b)?(a?b)=?5?3=?8.|a?b|=10，|a+b|=26．
∴向量a+b，a?b的夹角余弦值为?81026=?46565．
16.【答案】4
【解答】
解：因为a→=(?1,1)，b=(1,2)，
所以a+2b=1,5，
则a?(a+2b)=?1×1+5×1=4．
故答案为4．
17.【答案】7
【解答】解：∵向量a=?1,2，b=m,1，
∴a+b=(?1+m,3)，
∵向量a+b与a垂直，
∴(a+b)·a=(?1+m)×(?1)+3×2=0，
解得m=7．
故答案为7．
18.【答案】解：(1)设a=λb=(λ,2λ)(λ>0)，
则a?b=λ+4λ=10，
∴λ=2，∴a=(2,4)．
(2)∵b?c=1×2?2×1=0，a?b=10，
∴a(b?c)=0?a=0，
(a?b)c=10(2,?1)=(20,?10)．
19.【答案】解：(1)∵a//b，∴3x?36=0．∴x=12．
∵a⊥c，∴3×4+4y=0．
∴y=?3．∴b=(9,12)，c=(4,?3)．
(2)m=2a?b=(6,8)?(9,12)=(?3,?4)，
n=a+c=(3,4)+(4,?3)=(7,1)．
设m，n的夹角为θ，
则cosθ=m?n|m||n|=?3×7+(?4)×1(?3)2+(?4)2×72+12=?25252=?22．
∵θ∈[0,π]，∴θ=3π4，即m，n的夹角为3π4．
20.【答案】(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(?1,4)，
∴AB=(1,1)，AD=(?3,3)，
∴AB?AD=1×(?3)+1×3=0，即AB⊥AD，
∴AB⊥AD．
(2)解：∵AB⊥AD，四边形ABCD为矩形，
∴AB=DC．
设点C的坐标为(x,y)，
则DC=(x+1,y?4)．
又∵AB=(1,1)，
∴x+1=1,y?4=1,
解得x=0,y=5.
∴点C的坐标为(0,5)．
∴AC=(?2,4)，BD=(?4,2)，
∴|AC|=25，|BD|=25，AC?BD=8+8=16．
设AC与BD的夹角为θ，
则cosθ=AC?BDACBD=1625×25=45．
故矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45．
21.【答案】解：(1)设c=(x,y)，
由题意得x2+y2=1,y=3x,?
解得x=12,y=32或x=?12,y=?32,
∴c=(12,32)或c=(?12,?32).
(2)设a与b的夹角为θ，由题意得(a+2b)?(2a?b)=0，?
即2|a|2+3a?b?2|b|2=0，??|a|=2，|b|=1，∴a?b=?2，
∴cosθ=a?b|a||b|=?22×1=?1，
∵0≤θ≤π，
∴θ=π，
∴sin?θ=sin?π=0．