6.4.1平面几何中的向量方法-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册练习（Word含答案解析）

平面几何中的向量方法练习
一、单选题
在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足OP=OA+12(AB+AC)，则|AP|等于(? ? ?)
A. 2 B. 1 C. 12 D. 4
已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AO=OC，DO=OB，则四边形ABCD一定为??? (????)
A. 正方形 B. 梯形 C. 平行四边形 D. 菱形
如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC=150?，点P在弧BC上运动，AP=λAB+μAC，则3λ?μ的最小值是(? ?)
A. 0 B. 3 C. 2 D. ?1
如下图，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD=3DC，若AD=λAB+μAC，则λμ=(??? )
A. 12
B. 13
C. 2
D. 23
在△ABC中，向量AB与AC满足(AB|AB|+AC|AC|)·BC=0，且BA|BA|·BCBC=22，则△ABC为(??? )
A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形 D. 等腰直角三角形
如图所示，半圆的直径AB=4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则PA+PB?PC的最小值是(????)
A. 2 B. 0 C. ?1 D. ?2
如图在梯形ABCD中，BC=2AD，DE=EC，设BA=a,BC=b，则BE=??? (??? )
A. 12a+14b
B. 13a+56b
C. 23a+23b
D. 12a+34b
如图，在△ABC中，AD?=?2DB，AE?=?3EC，CD与BE交于F，AF=xAB+yAC，则(x,y)为(??? )
A. (13,12) B. ? (?13,12) C. (?12,13) D. (12,13)
在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则EM·EC的取值范围是(? ?)
A. [12,2] B. [0,12] C. [12,32] D. [0,1]
当两人提起重量为G的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|=|G|，则θ的值为(????)
A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
已知ΔABC中，AB=4,AC=3，∠A=π3，BC的中点为M，则AM?AB等于(?? )
A. 152 B. 10 C. 11 D. 15
设O在△ABC的内部，且有OA+2OB+3OC=?0，则△ABC的面积和△AOC的面积之比为(? ? ? ? ?)
A. 3 B. 53 C. 2 D. 32
已知△ABC的外接圆的圆心为O，若AB+AC=2AO，且|OA|=|AC|=2，则向量BA在向量BC上的投影向量为(???????? ?)
A. 34BC B. 32BC C. 3BC D. 32BC
二、单空题
在四边形ABCD中，已知AB=(4,?2)，AC=(7,4)，AD=(3,6)，则四边形ABCD的面积是________．
如图，在△ABC中，已知AB=10，AC=5，，点M是边AB的中点，点N在直线AC上，且AC=3AN，直线CM与BN相交于点P，则线段AP的长为??????????．
若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB?OC|=|OB+OC?2OA|，则△ABC的形状为________．
点M在△ABC内部，满足2MA+3MB+4MC=0，则S△MAC︰S△MAB=________．
在等腰梯形ABCD中，已知AB?//?DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且BE=23BC，DF=16DC，则AE·AF的值为________
在菱形ABCD中，∠DAB=60°，|AB|=1，则|BC+DC|=______．
三、解答题
如图平行四边形ABCD，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN=13BD.求证：M，N，C三点共线．?????
如图，在平行四边形ABCD中，，垂足为P．
(1)若，求AP的长；
(2)设，，，，求的值．
在△ABC中，三边a，b，c的对角分别为A，B，C，已知a=3，．
(1)若c=23，求sinA；
(2)若AB边上的中线长为372，求△ABC的面积．
答案和解析
1.【答案】B
【解答】
解：由OP=OA+12(AB+AC)
可得OP?OA=12(AB+AC)，
即AP=12(AB+AC)，
可得点P是直角三角形斜边BC的中点，因为BC=2，
所以|AP|=1，
2.【答案】C
【解答】解：∵AB=AO+OB，DC=DO+OC，且AO=OC，DO=OB，
∴AB=DC，
∴AB//CD且AB=CD，
∴四边形ABCD一定为平行四边形．
3.【答案】D
【解答】
解：以AB为x轴，以A为原点，建立坐标系，如图，
设P(cosθ,sinθ)，0°≤θ≤150°，
则A(0,0)，B(1,0)，C(?32,12)，
∵AP=λAB+μAC，
∴(cosθ,sinθ)=λ(1,0)+μ(?32,12)
=(λ?32μ,μ2)，
∴cosθ=λ?32μ，sinθ=μ2，
∴λ=cosθ+3sinθ，μ=2sinθ，
∴3λ?μ=3cosθ+3sinθ?2sinθ=3cosθ+sinθ=2sin(θ+60°)，
∵0°≤θ≤150°，
∴60°≤θ+60°≤210°，
∴当θ=150°时，2sin(θ+60°)=?1，即3λ?μ的最小值为?1．
4.【答案】B
【解答】
解：?因为BD=3DC，
则AD=AB+BD=AB+34BC
=AB+34(AC?AB)
=14AB+34AC，
所以λ=14,μ=34，
则λμ=13．
5.【答案】D
【解答】
解：因为(ABAB+ACAC)·BC=0，
所以∠BAC的平分线与BC垂直，
所以三角形ABC是等腰三角形，且AB=AC．
又因为BABA·BCBC=22，
所以∠ABC=45°，
所以三角形ABC是等腰直角三角形．
6.【答案】D
【解答】
解：由平行四边形法则得PA+PB=2PO，
故(PA+PB)·PC=2PO·PC，又|PC|=2?|PO|
且PO·PC反向，设|PO|=t(0≤t≤2)，
则(PA+PB)·PC=2PO·PC=?2t(2?t)
=2(t2?2t)=2[(t?1)2?1]．
∵0≤t≤2，
∴当t=1时，(PA+PB)·PC的最小值为?2．
7.【答案】D
【解答】
解：取BC中点F，连接FA，
因为在梯形ABCD中，BC=2AD，所以四边形ADCF是平行四边形，
所以FA//CD，FA=CD，
则BE=BC+CE=BC+12CD=BC+12FA?
=BC+12(BA?BF)=BC+12(BA?12BC)?
=12BA+34BC=12a+34b．
8.【答案】A
【解答】
解：∵AD=2DB，AE=3EC，
设BF=λBE，CF=μCD，
∴AF=AB+BF=AB+λBE
=AB+λ(34AC?AB)=(1?λ)AB+34λAC，
且AF=AC+CF=AC+μCD
=AC+μ(23AB?AC)=23μAB+(1?μ)AC，
可得1?λ=23μ34λ=1?μ解得λ=23μ=12,
所以AF=13AB+12AC，
因为AF=xAB+yAC，
所以x=13,y=12，
则(x,y)为(13,12)?.
9.【答案】C
【解答】
解：(如图)以AB、AD分别为x、y轴建立坐标系，
进而可得C(1,1)，M(1,12)，设E(x,0)(0≤x≤1)
∴EC=(1?x,1)，EM=(1?x,12)，
∵0≤x≤1，
∴当x=1时，有最小值为12；
当x=0时，EM·EC有最大值为32，
由此可得的取值范围是[12,32]
10.【答案】D
【解答】
解：如图，|F|=|G|2cos?θ2．
又∵|F|=|G|，∴2cosθ2=1，∴θ=120?，
故选D．
11.【答案】C
【解答】
解：∵ΔABC中，AB=4,AC=3，∠A=π3，BC的中点为M，
∴AM?AB=12AB+AC?AB
=12AB?AB+12AC?AB
=8+3
=11，
12.【答案】A
【解答】
解：分别取AC、BC的中点D、E，
∵OA+2OB+3OC=0，
∴OA+OC=?2(?OB+OC)，
即2OD=?4OE，
∴O是DE的一个三等分点，
∴S△AECS△AOC=DEDO=32，S△ABCS△AOC=31
13.【答案】A
【解答】
解：∵△ABC的外接圆的圆心为O，且AB+AC=2AO，∴O为BC的中点，即BC为外接圆的直径，∴∠BAC=90°．
∵|OA|=|AC|=2，
∴△AOC是边长为2的等边三角形，
∴∠ACB=60°，∠ABC=30°，
∴|BA|=BC?sin?60?=23，
∴向量BA在向量BC上的投影向量为．
14.【答案】30
【解答】
解：∵AB=(4,?2)，AC=(7,4)，AD=(3,6)，
∴AB?AD=4×3?2×6=0，BC=AC?AB=(3,6)=AD，DC=AC?AD=(4,2)=AB，
∴AB⊥AD，BC//AD，AB//DC，
∴四边形ABCD为矩形，
∵|AB|=42+(?2)2=20，|AD|=32+62=45，
∴四边形ABCD的面积为20×45=30，
故答案为：30．
15.【答案】21
【解答】解：因为B，P，N三点共线，
所以存在实数x满足AP=xAB+(1?x)AN=xAB+1?x3AC，
因为C，P，M三点共线，
所以存在实数y满足AP=yAM+(1?y)AC=y2AB+(1?y)AC，
又AB，AC不共线，则x=y21?x3=1?y?x=25y=45,
所以AP=25AB+15AC，
所以AP2=125(4AB2+4AB·AC+AC2)
=125×(4×102+4×10×5×12+52)=21，
所以AP=21，
16.【答案】直角三角形
【解答】解：由|OB?OC|=|OB+OC?2OA|，得|CB|=|AB+AC|．
设D是BC的中点，则|CB|=2|AD|，即|AD|=12|CB|，
所以△ABC为直角三角形．
故答案为直角三角形．
17.【答案】3︰4
【解答】
解：如图，延长MA到E，使得ME=2MA，延长MB到F，使得MF=3MB，以ME、MF为临边作平行四边形MEDF，连接AD、EF，
由2MA+3MB+4MC=0，
即2MA+3MB=?4MC，
所以MD=?4MC，
∴M、C、D三点共线，且MD=4MC，
所以S△MAC=14·S△MAD=18S△MED=116S?MEDF，
S△MAB=16S△MEF=112S?MEDF，
所以S△MAC︰S△MAB=116：112=3:4，
故答案为3︰4．
18.【答案】2918
【解答】
解：以AB所在直线为x轴，A为原点建立如图所示的坐标系，
由于AB=2，BC=1，∠ABC=60°，所以CD=1，等腰梯形ABCD的高为32，
所以A(0,0)，B(2,0)，D12,32，C32,32，
所以BC=?12,32，DC=(1,0)，
又因为BE=23BC，DF=16DC，
所以E53,33，F23,32，
因此AE·AF=53,33·23,32
=53×23+33×32=109+12=2918．
19.【答案】3
【解答】
解：如图，
|BC+DC|=AD+AB=|AC|，
在Rt△AOB中，AB=1，∠OAB=30°，
AC=2AO=2AB·cos?30°=3．
故答案为：3．
20.【答案】证明：由于M是AB的中点，且BN=13BD，
所以MN=MB+BN=12AB+13BD
=12AB+13BA+13AD=16AB+13AD，
MC=MB+BC=12AB+AD
=3(16AB+13AD)=3MN，
所以M，N，C三点共线．
21.【答案】解：，
解得．
，且B,P,O三点共线，
∴x+2y=1①，
又，，，
，
由可知，
展开化简得到，
联立①②解得，，故．
22.【答案】?解：(1)因为cosB+cosAcosCsinBcosC=3ab，
由正弦定理，得cosB+cosAcosCsinBcosC=3sinAsinB，
所以?cos(A+C)+cosAcosCsinBcosC=3sinAsinB．
所以sinAsinC=3sinAcosC．
又因为sinA≠0，
所以tanC=3．
因为C∈(0,π)，
所以C=π3．
又因为asinA=csinC，
所以3sinA=2332，
所以sinA=34．
(2)设AB边上的中线为CD，则2CD=CA+CB，
所以4CD2=(CA+CB)2=b2+a2+2abcosC，
即37=b2+9+3b，b2+3b?28=0．
解得b=4或b=?7(舍去)．
所以S△ABC=12absinC=12×4×3×32=33．