7.1.1 数系的扩充和复数的概念-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册练习（Word含答案解析）

数系的扩充和复数的概念练习
一、单选题
下列命题中
①若x，y∈C，则x+yi=2+i的充要条件是x=2，y=1；
②纯虚数集相对复数集的补集是虚数集；
③若(z1?z2)2+(z2?z3)2=0，则z1=z2=z3．
正确的命题个数是(????)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
已知复数z=a+(2?b)i的实部和虚部分别是2和3，则a，b的值是(????)
A. 2，5 B. 1，3 C. 2，?1 D. 2，1
若a，b∈R，i是虚数单位，a+2020i=2?bi，则a2+bi=? (??? )
A. 2020+2i B. 2020+4i C. 2+2020i D. 4?2020i
若实数x，y满足x+y+(x?y)i=2，则xy的值是(????)
A. 1 B. 2 C. ?2 D. ?3
设复数z=1+bib∈R，且z2=?3+4i，则z的虚部为(? ? ?)
A. 2i B. ?2i C. 2 D. ?2
已知实数m，n满足(m+ni)(4?2i)=5+3i，则m+n=?(????)
A. 95 B. 115 C. 94 D. 114
若复数z满足2z+z=6+i，其中i为虚数单位，则z的实部为(??? )
A. ?2 B. 2 C. ?1 D. 1
若复数z=(m+2)+(m2?9)i(m∈R)是正实数，则实数m的值为(??? )
A. ?2 B. 3 C. ?3 D. ±3
已知方程x2+4x+4+(a+x)i=0(a∈R)有实根b，且z=a+bi，则复数z等于? (??? )
A. 2?2i B. 2+2i C. ?2+2i D. ?2?2i
若1+ai2?i为实数，其中i为虚数单位，则实数a的值为
A. 2 B. ?12 C. 12 D. ?2
设m∈R，复数z=(1+i)(m?i)在复平面内对应的点位于实轴上，又函数f(x)=mlnx+x，若曲线y=f(x)与直线l:y=2kx?1有且只有一个公共点，则实数k的取值范围为(? )
A. B.
C. D.
若z1=2+bi，z2=a+i，a，b∈R，则当z1+z2=0时，复数a+bi为(? ? ?)
A. 1+i B. 2+i C. 3 D. ?2?i
二、单空题
已知x，y∈R，i为虚数单位，若x+3i=(y?2)i，则x+y=_________．
已知z1=?4a+1+(2a2+3a)i，z2=2a+(a2+a)i，其中a∈R，z1>z2，则a的值为_________．
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=m2?2m?3+(m2+3m+2)i(i为虚数单位)，b=12，c=13，∠ACB=90°，则实数m=____________．
已知α，β∈R，z1=cosα?45+isinα?35，z2=cosβ+isinβ，且z1=z2，则cos(α?β)=_______．
若实数x，y满足(1+i)x+(1?i)y=2，则xy的值是________．
三、解答题
已知复数z=m(m?1)+(m2+2m?3)i，当实数m取什么值时，复数z是(1)零；(2)纯虚数；(3)z=2+5i．
当实数m取什么值时，复数z=m2?m?6+(m2?2m?15)i是下列数？
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数．
分别求满足下列条件的实数x，y的值．
(1)2x?1+(y+1)i=x?y+(?x?y)i；
(2)x2?x?6x+1+(x2?2x?3)i=0．
答案和解析
1.【答案】A
【解答】
解：对于①，若x，y∈C，则x+yi=2+i的充要条件是x=2，y=1，而①中x，y∈C，
故①错误；
对于②，?实数集相对复数集的补集是虚数集，故②错误；
对于③，设z1=1，z2=i，z3=?1，则(z1?z2)2+(z2?z3)2=0，z1，z2，z3不等，故③错误．
2.【答案】C
【解析】解：∵复数z=a+(2?b)i的实部和虚部分别是2和3，
∴a=22?b=3，
解得a=2，b=?1．
∴a，b的值是2，?1．
3.【答案】D
【解答】
解：因为a+2020i=2?bi，所以a=2，b=?2020，
所以a2+bi=4?2020i．
4.【答案】A
【解答】
解：由x+y+(x?y)i=2得x+y=2x?y=0,
所以x=y=1，
∴xy=1．
5.【答案】D
【解答】?
解：∵z2=?3+4i，z=1+bib∈R，?
∴(1+bi)2=?3+4i，1?b2+2bi=?3+4i，
∴1?b2=?3，2b=4，
解得b=2．
即z=1?2i，
则z的虚部为?2．
6.【答案】A
【解答】
解：由(m+ni)(4?2i)=(4m+2n)+(4n?2m)i=3i+5，
得4m+2n=54n?2m=3，解得m=710，n=1110．
∴m+n=710+1110=95．
7.【答案】B
【解答】
解：设z=x+yi(x,y∈R)，则z=x?yi
∵2z+z=6+i，
∴2(x+yi)+x?yi=6+i，即3x+yi=6+i，
∴3x=6，y=1.解得x=2，y=1．
∴z=2+i．
故z的实部为2
8.【答案】B
【解答】
解：依题意应有m2?9=0,m+2>0,解得m=3．
9.【答案】A
【解答】
解：∵方程x2+4x+4+(a+x)i=0(a∈R)有实根b，
∴(b2+4b+4)+(b+a)i=0．
故b2+4b+4=0且b+a=0，
∴b=?2，a=2，z=2?2i，
10.【答案】B
【解答】
解：由题意可设1+ai2?i=b(b∈R)，故1+ai=2b?bi，
所以1=2b，a=?b，所以b=12，a=?12．
11.【答案】A
【解答】
解：∵z=(1+i)(m?i)=(m+1)+(m?1)i在复平面内对应的点位于实轴上，
∴m?1=0，即m=1．
则f(x)=lnx+x，f′(x)=1x+1，
又当x→0时，f(x)→?∞，作出函数f(x)=lnx+x的图象如图：
直线l：y=2kx?1过(0,?1)，设切点为(x0,lnx0+x0)，
则在切点处的切线方程为y?lnx0?x0=(1x0+1)(x?x0)，
把(0,?1)代入，可得?1?lnx0?x0=?1?x0，即lnx0=0，即x0=1．
则2k=2，k=1.而f′(x)=1x+1>1(x>0)，
由图可知，当2k∈(?∞,1]，即k∈(?∞,12]时，曲线y=f(x)与直线l：y=2kx?1有且只有一个公共点，
综上可得，当k∈(?∞,12]∪{1}时，曲线y=f(x)与直线l：y=2kx?1有且只有一个公共点．
12.【答案】D
【解答】
解：由题意，z1+z2=(2+a)+(b+1)i，
当z1+z2=0时，
有2+a=0,b+1=0,即a=?2,b=?1,
∴a+bi=?2?i．
13.【答案】5
【解析】解：因为x+3i=(y?2)i，
所以x=0y?2=3，所以x=0y=5，
所以x+y=5．
14.【答案】0
【解答】
解：∵z1>z2，
∴2a2+3a=0,a2+a=0,?4a+1>2a,即a=0或a=?32,a=0或a=?1,a<16.
故a=0．
15.【答案】?2
【解析】
【解析】
解：由题意知a=c2?b2=5，则m2?2m?3=5m2+3m+2=0，解得m=?2．
16.【答案】12
【解答】
解：由复数相等的充要条件，知cosα?45=cosβ,sinα?35=sinβ,即cosα?cosβ=45①,sinα?sinβ=35②.
由①2+②2得2?2(cos?α·cos?β+sin?α·sin?β)=1，即2?2cos(α?β)=1，所以cos(α?β)=12．
所以答案为12．
17.【答案】1
【解答】
解：∵实数x、y满足(1+i)x+(1?i)y=2，
即x+y+(x?y)i=2，
∴x+y=2，x?y=0，
解得x=y=1，
∴xy=1，
故答案为1．
18.【答案】解：(1)由m(m?1)=0,m2+2m?3=0,可得m=1．
(2)由m(m?1)=0,m2+2m?3≠0,可得m=0．
(3)由m(m?1)=2,m2+2m?3=5,可得m=2．
综上，当m=1时，复数z是0；
当m=0时，复数z是纯虚数；
当m=2时，复数z是2+5i．
19.【答案】解：(1)若z=m2?m?6+(m2?2m?15)i是实数，
则有m2?2m?15=0，
解得m=5或?3;
(2)若z=m2?m?6+(m2?2m?15)i是虚数，
则m2?2m?15≠0，
解得m≠5且m≠?3;
(3)若z=m2?m?6+(m2?2m?15)i是纯虚数，
则m2?m?6=0m2?2m?15≠0,
解得m=3或?2．
20.【答案】解：(1)∵x,y∈R，且2x?1+(y+1)i=x?y+(?x?y)i，
∴由复数相等的条件得2x?1=x?yy+1=?x?y,
解得x=3y=?2．
∴x=3,y=?2;
(2)∵x∈R且，
∴由复数相等的条件得x2?x?6x+1=0x2?2x?3=0,
解得x=3．