6.4.3余弦定理、正弦定理-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册练习（Word含答案解析）

余弦定理、正弦定理练习
一、单选题
在△ABC中，若A=60°，b=1，△ABC的面积S=3，则asinA=? (??? )
A. 2393 B. 2293 C. 2633 D. 33
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2cos2A+B2?cos2C=1，4sin?B=3sin?A，a?b=1，则c=? (??? )
A. 13 B. 7 C. 37 D. 6
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ccos?B+bcos?C=asin?A，△ABC的面积S=34(b2+a2?c2)，则B=? (??? )
A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于2?km，灯塔A在C的北偏东45°方向上，B在C的南偏东15°方向上，则A，B之间的距离为(????)
A. 23km B. 33km C. 43km D. 53km
在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若2sinB=sinA+sinC，cosB=35，?ABC的面积等于6，则b=(??? )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若ccosB+bcosC=asinA，S=34(b2+a2?c2)，则∠B=(???? ??)
A. 90? B. 60? C. 45? D. 30?
△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=12，bsinA=asinB2，则S△ABC的最大值为(????)
A. 38 B. 316 C. 324 D. 348
在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若?ABC的面积为S，a=2,4S=b2+c2?4，则?ABC外接圆的面积为(??? )
A. 4π B. 8π C. π D. 2π
在△ABC中，cosC=23，AC=4，BC=3，则cosB=(? ? ? ?)
A. 19 B. 13 C. 12 D. 23
在△ABC中，角A，B，C所以对的边分别为a，b，c，若sinBsinC=3sinA，△ABC的面积为332，a+b=33，则c=(? )
A. 21 B. 3 C. 21或3 D. 21或3
在非直角△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin?A+bsin?B?csin?C=4bsin?Bcos?C，CD是角C的内角平分线，且CD=b，则cos?C等于(????)
A. 18 B. 34 C. 23 D. 16
在△ABC中，若A=60°，b=1，△ABC的面积S=3，则asinA=?(???)
A. 2393 B. 2293 C. 2633 D. 33
海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是(????)
A. 103海里 B. 1063海里 C. 52海里 D. 56海里
二、单空题
如图，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(b+c)cosA=a(2?cosB?cosC)，b=c，设∠AOB=θ(0<θ<π)，OA=2OB=4，则四边形OACB面积的最大值为??????????．
在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7，则C的大小是________．
在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=bcosC+ccosA，且CA?CB=2，c=2，则三角形ABC的面积为________．
如图，设?ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acosC+ccosA=bsinB，且∠CAB=π6.若点D是?ABC外一点，DC=2，DA=3，则当四边形ABCD面积最大值时，sinD=______．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S且b=2c，若4sin2A=3sin2B+2sin2C，则SAB?AC的值为______．
三、解答题
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2?ab?2b2=0．
(1)若B=π6，求角A，C的大小；
(2)若C=2π3，c=14，求S△ABC．
在△ABC中，根据下列条件解三角形：
(1)已知a∶b∶c=1∶3∶2；
(2)已知a=8，B=60°，c=4(3+1)；
(3)已知b=3，c=33，B=30°．
如图，在梯形ABCD中，已知AD//BC，AD=1，BD=210，∠CAD=π4，tan∠ADC=?2，

求：(1)CD的长；
(2)△BCD的面积．
答案和解析
1.【答案】A
【解答】
解：∵S△ABC=3，
∴S=3=12bcsin?A=12×1×c×32，
∴c=4．
又由余弦定理a2=42+12?2·4·1·cos60°=13，
∴a=13，
由正弦定理，asinA=1332=2393，
2.【答案】A
【解答】
解：由2cos2A+B2?cos?2C=1，
可得2cos2A+B2?1?cos?2C=0，
则有cos?2C+cos?C=0，即2cos2C+cos?C?1=0，
解得cos?C=12或cos?C=?1(舍去)．
由4sin?B=3sin?A，得4b=3a?①，
又a?b=1?②，?
联立①②得a=4，b=3，
所以c2=a2+b2?2abcos?C=16+9?12=13，则c=13．
3.【答案】D
【解答】
解：由正弦定理及ccosB+bcosC=asinA，得sinCcosB+sinBcosC=sin2A，
所以sin(C+B)=sinA=sin2A，所以sinA=1，
因为0°<∠A<180°，所以∠A=90°，
由余弦定理、三角形面积公式及S=34b2+a2?c2，
得12absinC=34?2abcosC，整理得tanC=3，
又0°<∠C<90°，所以∠C=60°，故∠B=30°．
故选D．
4.【答案】A
【解答】
解：
根据图形可知∠ACB=120°，
在△ABC中，|AC|=|BC|=2km，
根据余弦定理得：|AB|2=22+22?2×2×2cos120°=12，
所以A，B之间的距离为23km．
5.【答案】C
【解答】
解：∵2sinB=sinA+sinC，∴2b=a+c①
∵cosB=35
∴a2+c2?b22ac=35②
∵B∈0,π，∴sinB=45．
由?ABC的面积等于6可得12ac×45=6③
由①②③解得b=4．
6.【答案】D
【解答】
解：∵ccosB+bcosC=asinA，
∴根据正弦定理：sinCcosB+sinBcosC=sin2A，
∴sin(B+C)=sin2A，∴sinA=sin2A，
∵A为△ABC内角，∴sinA>0，
∴sinA=1，，
∵S=34b2+a2?c2，
∴根据余弦定理：
，
又，
则，
则，即，
又C∈0,π2，所以C=π3，
∵B为△ABC内角，．
7.【答案】D
【解答】
解：由正弦定理知：sinBsinA=sinAsinB2，
即2sinB2cosB2sinA=sinAsinB2，
因为，，
故cosB2=12，
所以B=2π3，
又b=12，
由余弦定理得b2=a2+c2?2accosB=a2+c2+ac≥3ac，当且仅当a=c时等号成立，
∴ac≤112，
故SΔABC=12acsinB≤348，
8.【答案】D
【解答】
解：由余弦定理得，b2+c2?a2=2bccosA，a=2，
所以b2+c2?4=2bccosA，
又S=12bcsinA，4S=b2+c2?4，
所以有4×12bcsinA=2bccosA，即sinA=cosA，
又A∈0,π，所以A=π4，
由正弦定理得，asinA=2sinπ4=2R，R为?ABC外接圆的半径，得R=2．
所以?ABC外接圆的面积为S=π22=2π．
9.【答案】A
【解答】解：在△ABC中，cosC=23，AC=4，BC=3，
由余弦定理可得AB2=AC2+BC2?2AC?BC?cosC
=42+32?2×4×3×23=9，
故AB=3，
∴cosB=AB2+BC2?AC22AB?BC
=32+32?422×3×3=19，
故选：A．
10.【答案】D
【解答】
解：由S△ABC=12ab·sinC=332得ab·sinC=33，
又sinBsinC=3sinA，由正弦定理得bsin?C=3a，
即absin?C=3a2=33，
解得a=3，
由a+b=33，得b=23，
∴sinC=32，则cosC=±12，
当cosC=?12时，利用余弦定理?12=3+12?c212得c=21，
当cosC=12时，利用余弦定理12=3+12?c212得c=3，
11.【答案】A
【解答】
解：∵asin?A+bsinB?csin?C=4bsinBcosC，
∴由正弦定理得a2+b2?c2=4b2cosC=4b2?a2+b2?c22ab，
即1=2ba，则a=2b，
∵CD是角C的角平分线，且CD=b，
∴由三角形的面积公式得S△ACD+S△BCD=S△ABC，
即12b?bsinC2+12a?bsinC2=12a?bsinC，
即b2sinC2+2b2sinC2=2b2?2sinC2cosC2，
即1+2=4cosC2，即cosC2=34，
即cosC=2cos2C2?1=2×(34)2?1=2×916?1=18，
12.【答案】A
【解答】
解：∵在△ABC中，∠A=60°，b=1，△ABC的面积为3，
∴12bcsinA=3，
∴12×1×c×32=3，
∴c=4．
∴cos60°=12+42?a22×1×4，
解得：a=13(负值舍去)，
asinA=1332=2393．
13.【答案】D
【解答】
解：由题意可得，A=60°，B=75°，∠C=180°?60°?75°=45°
根据正弦定理可得，BCsin60°=ABsin45°
∴BC=10×3222=56
14.【答案】8+53
【解答】
解：因为，
所以由正弦定理得
，
，
，
因为，
所以sinB+sinC=2sinA，
由正弦定理得，b+c=2a，
又b=c，
所以a=b=c，
所以三角形ABC是等边三角形；
则S四边形OACB=S△AOB+S△ABC
，，
，
当时，有最大值8+53；
故答案为8+53．
15.【答案】120°
【解答】
解：因为sin?A∶sin?B∶sin?C=3∶5∶7，
由正弦定理可得a∶b∶c=3∶5∶7，
设a=3k(k>0)，则b=5k，c=7k，
由余弦定理的推论得cosC=a2+b2?c22ab=?12，
又0°所以C=120°．
故答案为120°．
16.【答案】3
【解答】
解：∵a=bcosC+ccosA，
由正弦定理得sinA=sinBcosC+sinCcosA，
∴sinB+C=sinBcosC+sinCcosA，
所以cosBsinC=sinCcosA，因为sinC≠0，所以cosB=cosA，
所以A=B，即a=b，
因为CA?CB=2，所以abcosC=2，
由余弦定理得c2=a2+b2?2abcosC，
所以4=a2+b2?2×2，即a2+b2=8，
所以a=b=2，
所以三角形ABC为等边三角形，
∴S△ABC=3．
故答案为3．
17.【答案】277
【解答】
解：因为acosC+ccosA=bsinB，
所以由正弦定理可得
，
即sinB=1，∠B=90?．
又因为∠CAB=π6，所以BC=12AC,AB=32AC，
由余弦定理可得，可得AC2=13?12cosD，
四边形面积
当时四边形面积最大，此时．
故，
故答案为277．
18.【答案】72
【解答】
解：△ABC中，4sin2A=3sin2B+2sin2C，
所以4a2=3b2+2c2；
又b=2c，
所以4a2=6c2+2c2=8c2，
解得a=2c；
所以cosA=b2+c2?a22bc=2c2+c2?2c22×2c×c=24，
所以SAB?AC=12?c?b?sinAc?b?cosA=12?1?(24)224=72．
故答案为：72．
19.【答案】解：(1)由a2?ab?2b2=0结合正弦定理得sin2A?sin?Asin?B?2sin2B=0，
又B=π6，
所以上式化简并整理得2sin2A?sin?A?1=0，
于是sin?A=1或sinA=?12(舍去).?
因为0所以A=π2，?
又A+B+C=π，
所以C=π?π2?π6=π3;
(2)由余弦定理得c2=a2+b2?2abcos?C，即142=a2+b2?2abcos2π3，
所以a2+b2+ab=196①.?
由a2?ab?2b2=0得(a+b)(a?2b)=0，?
因为a+b>0，
所以a?2b=0，即a=2b②，?
联立①②解得b=27，a=47，?
所以S△ABC=12absin?C=143．
?20.【答案】解：(1)由于a∶b∶c=1∶3∶2，可设a=x，b=3x，c=2x，
由余弦定理的推论，得cos?A=b2+c2?a22bc=3x2+4x2?x22×3x×2x=32，
因为A∈0°,180°，
故A=30°，
同理可求得cos?B=12，cos?C=0，
又B∈0°,180°，C∈0°,180°，
所以B=60°，C=90°．
(2)由余弦定理得：
b2=a2+c2?2accosB=82+[4(3+1)]2?2×8×4(3+1)·cos?60°=96，
∴b=46，
法一：由cos?A=b2+c2?a22bc=96+16(3+1)2?642×46×4(3+1)=22，
∵0°∴A=45°，
故C=180°?A?B=180°?45°?60°=75°，
法二：由正弦定理asinA=bsinB，
∴8sinA=46sin60°，
∴sin?A=22，
∵b>a，c>a，
∴a最小，即A为锐角，
因此A=45°，
故C=180°?A?B=180°?45°?60°=75°．
(3)法一：由余弦定理b2=a2+c2?2accos?B，得32=a2+(33)2?2a×33×cos?30°，
∴a2?9a+18=0，得a=3或6，
当a=3时，A=30°，
∴C=120°；
当a=6时，由正弦定理得sin?A=asin?Bb=6×123=1，
∴A=90°，
∴C=60°．
法二：由bcsin?30°=33×12=332知本题有两解，
由正弦定理得sin?C=csinBb=33×123=32，
又C∈0°,180°，
∴C=60°或120°，
当C=60°时，A=90°，△ABC为直角三角形，
由勾股定理得a=b2+c2=32+(33)2=6，
当C=120°时，A=30°，△ABC为等腰三角形，
∴a=3．
21.【答案】解：(1)∵tan∠ADC=?2，
∴sin∠ADC=255，cos∠ADC=?55．
∴sin∠ACD=sin(∠CAD+∠ADC)=sin∠CADcos∠ADC+cos∠CADsin∠ADC
=22×(?55)+22×255=1010．
在△ACD中，由正弦定理得ADsin∠ACD=CDsin∠CAD，即11010=CD22，
解得CD=5．
(2)∵AD//BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴sin∠BCD=sin∠ADC=255，cos∠BCD=?cos∠ADC=55．
在△BCD中，由余弦定理得BD2=CD2+BC2?2BC?CDcos∠BCD，
即40=5+BC2?2BC，解得BC=7或BC=?5(舍)．
∴S△BCD=12BC?CDsin∠BCD=12×7×5×255=7．
出BC，则S△BCD=12BC?CDsin∠BCD．