7.2.2 复数的乘、除运算-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册练习（Word含答案解析）

复数的乘、除运算练习
一、单选题
若1+2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则(? ? )
A. b=2，c=3 B. b=?2，c=3
C. b=?2，c=?1 D. b=2，c=?1
复数z1=i(1?i)2，z2=2?i3分别对应复平面上的点P，Q，则向量PQ对应的复数是(????)
A. 10 B. ?3+i C. 1?i D. 52+i
下列命题中，错误命题的个数为(????)
①两个复数一定不能比较大小；
②z1，z2，z3∈C，若(z1?z2)2+(z2?z3)2=0，则z1=z3；
③若(x2?1)+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=±1；
④z是虚数的一个充要条件是z+z∈R；
⑤若a，b是两个相等的实数，则(a?b)+(a+b)i是纯虚数；
⑥复数z∈R的一个充要条件是z=z．
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
对于z=1+i22000+1?i22000，下列结论成立的是(????)
A. z是零 B. z是纯虚数 C. z是正实数 D. z是负实数
下列各式的运算结果为纯虚数的是(????)
A. i1+i2 B. i21?i C. 1+i2 D. i1+i
已知z=1?i2020，则|z+2i|=(????)
A. 10 B. 22 C. 2 D. 2
(1?i)2i7=?(??? )
A. 1 B. 2 C. ?i D. ?2i
已知i为虚数单位，则i2021等于(? ? ?)
A. i B. 1 C. ?i D. ?1
已知z=1?i2020，则|z+2i|=(????)
A. 10 B. 22 C. 2 D. 2
复数z=i2020(?1?2i)的共轭复数为? (??? )
A. 1+2i B. 1?2i C. ?1+2i D. ?2+i
已知复数z=1?i20211+i，则z的虚部是(???)
A. ?1 B. ?i C. 1 D. i
已知复数z满足z=1+1+i1?i2019(其中i为虚数单位)，则zz=(??? )
A. 22?22i B. 22+22i C. 2?2i D. 2+2i
二、单空题
设x、y为实数，且x1?i+y1?2i=51?3i，则x+y=_______，|x+yi|=_________ ．
设z1=x+2i，z2=3?yi(x,y∈R)，且z1+z2=5?6i，则z1?z2=_____，z1z2=_______．
若复数z=(a?2)?3i为纯虚数(a∈R)，则a+i2?0191+ai的值为____________________．
计算：1?i1+i8?1+i28=______________。
若(x?i)i=y+2i，x，y∈R，则复数x+yi=_________．
三、解答题
已知虚数z使得z1=z1+z2和z2=z21+z都为实数，求z．
已知1+i是方程x2+bx+c=0(b,c为实数)的一个根．
(1)求b，c的值；
(2)试判断1?i是不是方程的根．
(1)设复数z满足：|z|2+(z+z)i=3?i2+i，求复数z．
(2)设虚数z1，z2满足z12=z2，若z1，z2是一个实系数一元二次方程的两个根，求z1+z2．
答案和解析
1.【答案】B
【解答】
解：因为1+2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，
所以1?2i也是方程x2+bx+c=0的复数根，
则1+2i+1?2i=?b，
(1+2i)(1?2i)=c，
解得b=?2，c=3．
2.【答案】D
【解析】
解：∵z1=i(1?i)2=i?2i=?12，z2=2?i3=2+i，
∴PQ=(2,1)?(?12,0)=(52,1)．
∴向量PQ对应的复数是52+i．
3.【答案】C
【解答】
解：①两个复数不都是实数时不能比较大小，故①错误；??
②z1，z2，z3∈C，若(z1?z2)2+(z2?z3)2=0，取z1=i，z2=0，z3=1满足等式，但是z1≠z3，故②错误；?
③x=?1时，此数=0，不是纯虚数，故③错误；?
④z是虚数的一个必要条件是z+z∈R，故④错误；?
⑤若a，b是两个相等的实数，当a=b=0时，(a?b)+(a+b)i=0不是纯虚数，故⑤错误；?
⑥当z∈R时，z=z，反之亦成立，故⑥正确.?
综上可知：只有⑥正确．
故选C．
4.【答案】C
【解答】
解：由已知：1+i22=(1+i)22=i，
∴1+i24=i2=?1，
∴1+i22000=1+i24500=1，
同理1?i22000=1．
所以z=2，C正确，
5.【答案】C
【解答】解：A.i1+i2=i1+2i+i2=i1+2i+?1=2i2=?2；
B.i21?i=?1?i=?1+i；
C.(1+i)2=1+2i+i2=1+2i+?1=2i；
D.i1+i=i+i2=?1+i．
6.【答案】C
【解答】
解：由z=1?i2020=1?i4×505=1?1=0，
得|z+2i|=|2i|=2．
7.【答案】B
【解答】解：(1?i)2i7=?2i?i=2?，
8.【答案】A
【解答】
解：i2021=(i4)505?i=i．
9.【答案】C
【解答】解：由z=1?i2020=1?i4×505=1?1=0，
得|z+2i|=|2i|=2．
10.【答案】C
【解答】
解：z=i2020(?1?2i)=i505×4(?1?2i)=?1?2i，
则z?=?1+2i，
11.【答案】C
【解析】解：z=1?i20211+i=1?i4×505+11+i=1?i1+i=(1?i)2(1+i)(1?i)=?i，
则z?=i．
∴z?的虚部是1．
12.【答案】B
【解答】
解：1+i1?i=1+i21?i1+i=1+i2+2i1?i2，
由i2=?1，所以1+i1?i=1?1+2i1??1=i，
则z=1+1+i1?i2019=1+i2019=1+i4×504+3，
即z=1+i3=1?i，
所以z=2,z=1+i，
所以zz=1+i2=22+22i，
13.【答案】4，26
【解答】
解：x1?i+y1?2i=51?3i
?x(1+i)(1?i)(1+i)+y(1+2i)(1+2i)(1?2i)=5(1+3i)(1?3i)(1+3i)
?12x(1+i)+15y(1+2i)=12(1+3i)
?12x+15y=1212x+2y5=32,∴x=?1y=5,
∴x+y=4.|x+yi?|=|?1+5i?|=?12+52=26，
故答案为4，26．
14.【答案】?1+10i；22?10i
【解答】
解：∵z1=x+2i，z2=3?yi，z1+z2=5?6i，
∴(x+2i)+(3?yi)=5?6i，
∴(3+x)+(2?y)i=5?6i，
∴x+3=5,2?y=?6,
∴x=2,y=8,
∴z1=2+2i，z2=3?8i，
∴z1?z2=(2+2i)?(3?8i)=?1+10i，
z1z2=(2+2i)(3?8i)=22???10i．
故答案为?1+10i；22?10i．
15.【答案】?i
【解答】
解：因为复数z=(a?2)?3i(a∈R)为纯虚数，
所以a?2=0，解得a=2，
而i2019=i504×4+3=i3=?i，
所以a+i2?0191+ai=2?i1+2i=2?i1?2i1+2i1?2i=?5i5=?i．
故答案为?i．
16.【答案】0
【解答】
解：，
故答案为0．
17.【答案】2+i??
【解答】解：因为xi+1=y+2i，故x=2，y=1，即x+yi=2+i．
18.【答案】解：设z=x+yi(x,y∈R且y≠0)，则z2=x2?y2+2xyi，
∴z1=x+yi1+x2?y2+2xyi=x(x2+y2+1)+y(1?x2?y2)i(x2?y2+1)2+4x2y2，
∵z1∈R且y≠0，∴1?x2?y2=0，即x2+y2=1①，
同理由z2=z21+z，得x2+2x+y2=0②，
解①②得x=?12，y=±32，
故z=?12±32i.
19.【答案】解：(1)因为1+i是方程x2+bx+c=0的根，
所以(1+i)2+b(1+i)+c=0，
即(b+c)+(2+b)i=0．
又b，c为实数，故b+c=02+b=0,
解得b=?2c=2．
(2)由(1)可知方程为x2?2x+2=0，把1?i代入方程左边，
得(1?i)2?2(1?i)+2=0，显然方程成立，
所以1?i也是上述方程的一个根．
20.【答案】(1)解：设z=a+bi(a,b∈R)，则z=a?bi
因为|z|2+(z+z)i=3?i2+i
所以a2+b2+2ai=1?i?
所以??a2+b2=12a=?1
解得：a=?12b=±32，所以z=?12±32i? ．
(2)解：∵z1，z2是一个实系数一元二次方程的两个根，z1，z2都是虚数，
?∴z1，z2是共轭虚数．
又∵z12=z2，
∴z12=z1，?
设z1=x+yi(x,y∈R，且y≠0)，
则(x+yi)2=x?yi，? 即x2?y2+2xyi=x?yi，
? 所以x2?y2=x2xy=?yy≠0?,
解得x=?12y=±32
因为z1，z2是共轭复数，所以z1+z2=?1．