8.1 基本立体图形-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册练习（Word含答案解析）

基本立体图形练习
一、单选题
将一个等边三角形绕它的一条边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括(? )
A. 一个圆柱、一个圆锥 B. 一个圆台、一个圆锥
C. 两个圆锥 D. 两个圆柱
一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是(?)
A. B. C. D.
用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为(? )
A. 32 B. 32π C. 16π D. 8π
如图所示都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是(????)
? ? ? ? ?①? ? ? ? ? ? ? ? ? ?②? ? ? ? ? ? ? ?③? ? ? ? ? ? ? ? ? ④
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
已知三棱锥P?ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB=5，BC=7，AC=2，则此三棱锥的外接球的体积为(　)
A. 83π B. 823π C. 163π D. 323π
棱台不具备的特点是(? ?)
A. 两底面相似 B. 侧面都是梯形
C. 侧棱都相等 D. 侧棱延长后都交于一点
正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为32，ΔA1DB与ΔA1DC1的重心分别为E,F，则该正方体外接球截EF所在直线所得的弦长为
A. 213 B. 13 C. 39 D. 62
在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有(????)
A. 20 B. 15 C. 12 D. 10
两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9?π和16?π，则这两个平面间的距离是(????)
A. 1 B. 7 C. 3或4 D. 1或7
正方体的棱长为a，且正方体各面的中心是一个几何体的顶点，这个几何体的棱长为(????)
A. 22a B. 12a C. 33a D. 13a
棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1内有一个内切球O，过正方体中两条异面直线AB，A1D1的中点P，Q作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为(? ? )
A. 22 B. 2?1 C. 2 D. 1
球O与棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1的各个面都相切，点M为棱DD1的中点，则平面ACM截球O所得截面的面积为? (??? )
A. 4π3 B. π C. 2π3 D. π3
二、单空题
一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为??????????cm．
已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，中心为M，则四棱锥M?ABCD的外接球被平面ABB1A1截得的截面面积为________．
已知各棱长都相等的直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)所有顶点都在球O的表面上．若球O的表面积为28π，则该三棱柱的侧面积为_______．
把四个半径为1的小球装入一个大球内，则大球半径的最小值为________．
底面边长为6，侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的高为??????????．
三、解答题
一个圆锥的底面半径为3，高为5，在其中有一个高为x的内接圆柱．
(1)用x表示圆柱的轴截面面积S；
(2)当x为何值时，S最大？
如图所示，四边形AA1B1B为矩形，AA1=3，CC1=2，CC1//AA1，CC1//BB1，这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱；若不是棱柱，作出一个过点C1的截面，截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的名称．
试从正方体ABCD?A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个点，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．(做出其中一个即可)
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；
(3)三棱柱．
答案和解析
1.【答案】C
【解答】
解：将一个等边三角形绕它的一条边所在的直线旋转一周，
所得的几何体是共用一个底面的两个圆锥．
2.【答案】A
【解答】
解：B是经过正方体对角面的截面；
C是经过球心且平行于正方体侧面的截面；
D是经过一对平行的侧面的中心，跟正方体上下底面成一定夹角，但不是对角面的截面．
3.【答案】B
【解答】
解：若8为底面周长，则圆柱的高为4，
此时圆柱的底面直径为8π，其轴截面的面积为32π；
若4为底面周长，则圆柱的高为8，
此时圆柱的底面直径为4π，其轴截面的面积为32π．
4.【答案】B
【解答】
解：(1)图还原后，①⑤对面，②④对面，③⑥对面；
(2)图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；
(3)图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；
(4)图还原后，①⑥对面，②⑤对面，③④对面；
综上，可得还原成正方体后，其中两个完全一样的是(2)(3)，
5.【答案】B
【解答】
解：∵AB=5，BC=7，AC=2，
则PA2+PB2=5，PB2+PC2=7，PA2+PC2=4，
∴解得PA=1，PC=3，PB=2，
以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，
则长方体的外接球同时也是三棱锥P?ABC外接球．
∵长方体的对角线长为1+3+4=22，
∴球直径为22，半径R=2，
因此三棱锥P?ABC外接球的体积是43πR3=43π×(2)3=823π，
6.【答案】C
【解答】
解：根据棱台的定义，由平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面与底面之间的部分叫棱台．
∴棱台的两底面是相似多边形;侧面的上下底边平行;
侧棱延长后交于一点，故A、B、D成立，C不一定成立，
7.【答案】A
【解答】
解：正方体ABCD?A1B1C1D1中，
与的重心分别为E,F，
则如下图所示，
由正方体的性质可知，E、F在矩形D1C1BA内，且D1F=2OF,AE=2OE,
∴点O到直线EF的距离d=326=22，
而球O的半径为R=12322+322+322=362，
正方体外接球被EF所在直线截得的弦长为2R2?d2=2(362)2?(22)2=213．
8.【答案】D
【解答】解：五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，
每个平面可得到五棱柱的两条对角线，5个平面共可得到10条对角线，
9.【答案】D
【解析】解：球的半径为R=5，设两个截面圆的半径别为r1，r2，球心到截面的距离分别为d1，d2；
球的半径为R，由πr12=9π，得r1=3；
由πr22=16π，得r2=4；
如图①所示，当球的球心在两个平行平面的外侧时，
这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差；
即d2?d1=R2?r12?R2?r22=52?32?52?42=4?3=1；
如图②所示，当球的球心在两个平行平面的之间时，
这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和．
即d2+d1=R2?r12+R2?r22=52?32+52?42
=4+3=7；
所以这两个平面间的距离为1或7．
10.【答案】A
【解答】
解：如图，建立空间直角坐标系，
∵正方体的棱长为a，
∴E(a2,a2,a)，F(a2,a2,0)，M(a2,a，a2)，
N(0,a2,a2)，P(a2,0，a2)，Q(a,a2,a2).
这个几何体是正八面体，
棱长|PQ|=(a2?a)2+(0?a2)2+(a2?a2)2=22a．
∴这个几何体的棱长为22a．
11.【答案】C
【解答】
解：如图，MN为该直线被球面截在球内的线段，
连接并延长PO，交对棱C1D1于R，则R为对棱的中点，
取MN的中点H，则OH⊥MN，
∴OH//RQ，且OH=12RQ=22，
∴MH=OM2?OH2=1?12=22，
∴MN=2MH=2．
12.【答案】D
【解答】
解：设圆心到截面距离为d，截面圆半径为r，
由VO?ACM=VM?AOC，即13S△ACM?d=23S△AOC，
易知S△ACM=6，S△AOC=2，
∴d=63，
又d2+r2=1，
∴r=33，所以截面的面积为π3．
13.【答案】12
【解答】
解：n棱柱有2n个顶点，由于此棱柱有10个顶点，
那么此棱柱为五棱柱，
又因棱柱的侧棱都相等，五条侧棱长的和为60cm，
可知每条侧棱长为12cm．
14.【答案】
【解答】
解：设四棱锥M?ABCD的外接球半径为R，球心为O，直线OM与平面ABCD交于点N，
则(OM?MN)2+AN2=OA2，即(R?1)2+(2)2=R2，R=32，
又球心O到平面ABB1A1的距离d=1，
设四棱锥M?ABCD的外接球被平面ABB1A1截得的圆的半径为r．
则r=R2?d2=(32)2?12=52，
所以四棱锥M?ABCD的外接球被平面ABB1A1截得的截面面积S=πr2=．
故答案为：．
15.【答案】36
【解答】
解：如图，
∵三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都相等，6个顶点都在球O的球面上，
∴三棱柱为正三棱柱，则其中心为球的球心，设为O，
再设球的半径为r，由球O的表面积为28π，得4πr2=28π，
∴r=7．
设三棱柱的底面边长为a，
则上底面所在圆的半径为32a×23=33a，
且球心O到上底面中心H的距离OH=a2，
设直三棱柱高为h，底面周长为L，
∴r2=(a2)2+(33a)2，即r=712a=7，
∴a=23=?，L=3×a=63
则三棱柱的侧面积为S=L×?=63×23=36．
16.【答案】62+1
【解答】
解：设大球的半径为R．
要使大球半径半径最小，
则四个小球在大球内必两两相切，且都与大球都相切．
又因为此时四个小球的球心构成一个棱长为2的正四面体的顶点，
所以正四面体的中心就是大球的球心，
因此若正四面体的中心到其顶点的距离为a，则R=a+1．
如图：
三棱锥P?ABC是棱长为2的正四面体，H是底面正△ABC的中心，
所以AH=233，PH=263．
设正四面体的中心为O，则OP=OA=a，OH=263?a，
因此OA2=AH2+OH2，即a2=2332+263?a2，解得a=62，
所以R=a+1=62+1，
即大球半径的最小值为62+1．
17.【答案】6
【解答】
解：侧面是等腰直角三角形，
则侧棱长为6×22=32，
设顶点在底面的射影为O，
则O到底面顶点的距离为6×32×23=23，
则高为(32)2?(23)2=6．
故答案为6．
18.【答案】解：(1)如图所示，设内接圆柱的底面圆半径为r，
由已知得5?x5=r3，所以r=3(5?x)5.?
所以S=2·3(5?x)5·x=?65(x2?5x)=?65(x?52)2+152，其中0(2)当x=52时，S最大．
19.【答案】解：因为这个几何体中没有两个互相平行的面，所以这个几何体不是棱柱．?
如图：在AA1上取点E，使AE=2;在BB1上取点F，? 使BF=2．
连接C1E，EF，C1F，? 则过点C1，E，F的截面将原几何体分成两部分．
?其中一部分是三棱柱ABC?EFC1，其侧棱长为2;
另一部分是四棱锥C1?EA1B1F.
即截去的几何体是四棱锥．
20.【答案】解：(1)如图所示，三棱锥A1?AB1D1．
(2)如图所示，三棱锥B1?ACD1．
(3)如图所示，三棱柱A1B1D1?ABD．