8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册练习（Word含答案解析）

棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积练习
一、单选题
若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是(? ? ? ?)
A. 3 B. 2 C. 23 D. 32
正四棱台的上、下底面边长分别为1cm，3cm，侧棱长为2cm，则棱台的侧面积为(????)
A. 4cm2 B. 8cm2 C. 43cm2 D. 83cm2
三棱台ABC—A1B1C1中，A1B1：AB=1：2，则三棱锥A1—ABC，A1—B1C1B，A1—C1BC的体积之比为(? ? ? )
A. 1：1：1 B. 2：1：1 C. 4：2：1 D. 4：1：2
将一个正方体截去四个角后得到一个正四面体，这个正四面体的体积是正方体体积的(? ? )
A. 12 B. 13 C. 16 D. 14
已知某空间几何体的三视图如图所示，每个小方格是边长为1的正方形，则该几何体的表面积为(????)
A. 13 B. 23 C. 63+4 D. 83
已知正四棱锥P?ABCD的所有顶点都在球O的球面上，且正四棱锥P?ABCD的底面面积为6，侧面积为67，则球O的体积为(????)
A. 323π B. 2873π C. 1254π D. 12534π
某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为(????)
A. 3 B. 433 C. 533 D. 2
在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC=BC=2，AA1=1，则点A到平面A1BC的距离为(???? ?)
A. 34 B. 32 C. 334 D. 3
某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(????)
A. 60 B. 30 C. 20 D. 10
已知三棱锥P?ABC的四个顶点均在同一个确定的球面上，且BA=BC=6，∠ABC=π2，若三棱锥P?ABC体积的最大值为3，则其外接球的半径为(??? )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
如图，在四棱锥P?ABCD中，PA=PB=PC=PD=2，底面ABCD是边长为2的正方形．点E是PC的中点，过点A，E作棱锥的截面，分别与侧棱PB，PD交于M，N两点，则四棱锥P?AMEN体积的最小值为(????)
A. 223 B. 233 C. 229 D. 239
二、单空题
已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如图所示，其中长方体的长、宽、高分别为4，3，3，三棱柱底面是直角边分别为4，3的直角三角形，侧棱长为3，则此几何体的体积是________，表面积是________．
如图，在棱长为a的正方体ABCD?A1B1C1D1中，则点A到平面A1BD的距离d=________．
正六棱柱底面边长为10，高为15，则这个正六棱柱的体积是??????????．
已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四棱锥A1?EFGH的体积为??????????．
在《九章算术》中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在堑堵ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，AA1=AB=2，则当阳马B?A1ACC1的体积最大时，堑堵ABC?A1B1C1的体积为??????????．
三、解答题
已知正三棱台的上、下底面边长分别为3cm和6cm，高为32cm，求此正三棱台的表面积．
如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，且EC=2FB．
(Ⅰ)证明：平面AEF⊥平面ACC1A1；
(Ⅱ)若AB=EC=2，求三棱锥C?AEF的体积．
如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．
(1)求证：PA?//平面BDE；
(2)求证：BD⊥平面PAC；
(3)若AB=2,PB=6，求三棱锥B?CDE的体积．
答案和解析
1.【答案】A
【解答】
解：设正方体的棱长为a，则正方体的表面积是6a2，
以正方体的顶点为顶点作正四面体，棱长为2a，
它的表面积是4×34×(2a)2=23a2，
则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为3．
2.【答案】D
【解答】
解：正四棱台的上、下底面边长分别为1cm，3cm，侧棱长为2cm，
所以棱台的斜高为：22?(3?12)2=3cm．
所以棱台的侧面积是：4×1+32×3=83cm2．
3.【答案】D
【解答】
解：设点A1到底面ABC的距离为h，
则三棱锥A1?ABC的体积V1=13×?×S△ABC，
三棱锥A1?B1C1B的体积V2=13×?×S△A1B1C1=13×?×14×S△ABC=14V1，
三棱锥A1?C1BC的体积V3=2V2=12V1，
所以三棱锥A1?ABC，A1?B1C1B，A1?C1BC的体积之比为4：1：2．
4.【答案】B
【解答】
解：将正方体ABCD?A′B′C′D′截去四个角后得到一个四面体BDA′C′，
设正方体边长为a，
则VB?B′A′C′=VA′?ABD=VD?A′C′D′=VC′?BCD=13×12×a×a×a=a36．
∴四面体BDA1C1的体积：
V=V正方体?4VB?B′A′C′=a3?2a33=a33．
∴这个四面体的体积是原正方体体积的13．
5.【答案】D
【解答】
解：根据三视图知该几何体是棱长为2的正方体去掉四个全等的三棱锥所余下的几何体，如图所示：
则该几何体是棱长为22的正四面体，
所以该正四面体的表面积为
S正四面体=4S正△ABC=4×12×(22)2×sin60°=83．
6.【答案】A
【解答】
解：设底面边长为a，侧棱长为b，
由底面面积为6得；a2=6，得a=6，
∵侧面积为67，
∴4×12×b2?622×6=67，得b=23，
连接AC，BD交于点O1，连接PO1，则易知PO1⊥平面ABCD，
故四棱锥P?ABCD的高PO1=12?3=3，且点O在直线PO1上，
连接OA，设球的半径为R，
∴R2=(3?R)2+(3)2，
∴R=2，
∴球O的体积为4π3?R3=32π3，
?7.【答案】A
【解答】
解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，?
其底面面积S=12×(1+2)×2=3，高?=3，?
故体积V=13S?=13×3×3=3，?
8.【答案】B
【解答】
解：?设点A到平面A1BC的距离为h，
因AB=AC=BC=2，AA1=1，
则A1C=A1B=5，
取BC中点D，则AD=3，且AD⊥BC，A1D⊥BC，
故A1D=A1C2?CD2=2，
∴S△A1BC=12BC·A1D=12×2×2=2，
而S△ABC=12×2×3=3，
∵VA1?ABC=VA?A1BC，
∴13S△ABC·AA1=13S△A1BC·?，
∴13×3×1=13×2×?，
解得?=32．
9.【答案】D
【解答】
解：
由三视图可知：该几何体为三棱锥P?ABC，
该三棱锥的体积V=13×12×5×3×4=10．
10.【答案】A
【解答】
解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC为截面圆的直径，故外接球的球心O在截面ABC中的射影为AC的中点D，
∴当P，O，D共线且P，O位于截面同一侧时棱锥的体积最大，
棱锥的最大高度为PD，
∴13×12×6×6×PD=3，解得PD=3，
设外接球的半径为R，则OD=3?R，OC=R，
在△ODC中，CD=12AC=3，
由勾股定理得：(3?R)2+3=R2，解得R=2．
11.【答案】D
【解析】解：∵在四棱锥P?ABCD中，PA=PB=PC=PD=2，底面ABCD是边长为2的正方形．
点E是PC的中点，过点A，E作棱锥的截面，分别与侧棱PB，PD交于M，N两点，
∴VP?AMEN=VA?MNP+VE?MNP=13S△PMN?32=12S△PMN，
依题意当S△PMN最小时，四棱锥P?AMEN体积取最小值，
M，O，V三点共线，且PN=λPD,PM=μPB，
|PD||PN|=1λ,|PB||PM|=1μ，
PV=23PO=13(PD+PB)=13λPN+13μPM，
13λ+13μ=1，∴2|PN|+2|PM|=3，
∵3=2|PN|+2|PM|≥22|PN|?2|PM|，
∴|PN|?|PM|≥169，当且仅当2|PN|=2|PM|时，取“=”，
∴VP?AMNE=12S△PMN=12×12×|PN|×|PM|×sinπ3≥12×12×169×32=293．
∴四棱锥P?AMEN体积的最小值为239．
12.【答案】90;138
【解答】
解：该几何体的体积V=4×6×3+12×4×3×3=90，
表面积S=2(4×6+4×3+6×3)?3×3+12×4×3×2+32+42×3+3×4=138．
故答案为：90;138
13.【答案】33a
【解答】
解：在三棱锥A1?ABD中，AA1是三棱锥A1?ABD的高，
AB=AD=AA1=a，A1B=BD=A1D=2a，
∵V三棱锥A1?ABD=V三棱锥A?A1BD，
∴13×12a2×a=13×12×2a×32×2a×d，
∴d=33a，
∴点A到平面A1BD的距离为33a.
故答案为33a.
14.【答案】22503
【解答】
解：∵正六棱柱底面边长为10，
∴正六棱柱的底面积为S=6×12×10×10×sin60°=300×32=1503，
又正六棱柱的高为15，
∴这个正六棱柱的体积是1503×15=22503．
故答案为：22503．
15.【答案】43
【解答】
解：
∵正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，
E，F，G，H分别是四条棱AB，BC，CD，DA上的中点，
∴四边形EFGH是边长为2的正方形，
点A1到平面EFGH的距离d=AA1=2，
∴四棱锥A1?EFGH体积为：
VA1?EFGH=13×d×S正方形EFGH
=13×2×2×2
=43．
16.【答案】2
【解答】
解：设AC=m，则BC=4?m2，
VB?A1ACC1=13×2m×4?m2=23m4?m2，
∴当m4?m2最大时，?VB?A1ACC1体积最大，
m4?m2=m2(4?m2)≤m2+(4?m2)2=2，
当且仅当m=2时，取最大值，
∴当“阳马”即四棱锥B?A1ACC1体积最大时，AC=BC=2，
所以堑堵ABC?A1B1C1的体积为12×2×2×2=2．
17.【答案】解：如图所示，画出正三棱台ABC?A1B1C1，OO1为正三棱台的高，
DD1为侧面梯形BCC1B1的高，则四边形ODD1O1为直角梯形，
所以DD1=OO12+(OD?O1D1)2=(32)2+(3?32)2=3．
所以此正三棱台的表面积S表=S侧+S底=3×12×(3+6)×3+34×32+34×62=9943cm2．
18.【答案】(1)证明：取AC中点M，连接BM，
因为正三棱柱ABC?A1B1C1中，BC=AB，
所以BM⊥AC，
因为正三棱柱ABC?A1B1C1中平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC=AC，BM?平面ABC，
所以BM⊥平面ACC1A1．
取AE中点N，连接MN，FN，则MN//EC，且MN=12EC，
又因为BB1//CC1，EC=2FB，所以FB//EC且FB=12EC，
所以MN//FB且MN=FB，
所以四边形BMNF是平行四边形，
所以FN//BM，
所以FN⊥平面ACC1A1．
又FN?平面AEF，
所以平面AEF⊥平面ACC1A1．
(2)解：作AD⊥BC于D，垂足为D，
因为正三棱柱ABC?A1B1C1中AB=AC=2，
所以AD⊥BC，且AD=3，
又因为正三棱柱ABC?A1B1C1中，平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1C∩平面ABC=AC，AD?平面ABC，
所以AD⊥平面BB1C1C，
所以VA?CEF=13×S△CEF×AD
=13×12×2×2×3=233．
故VC?AEF=VA?CEF=233．
19.【答案】(1)证明：连接AC，OE，
四边形ABCD为正方形，则O为AC中点，
在△PAC中，E、O分别为PC、AC中点，
∴?EO?//PA，
又PA?平面BED，EO?平面BED，
∴PA?//平面BED；
(2)证明：∵PO⊥平面ABCD，
BD?平面ABCD，∴PO⊥BD，
又四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，
又PO?平面PAC，AC?平面PAC，
PO∩AC=O，
∴BD⊥平面PAC；
(3)解：由题意知：OB=2，又PB=6，
∴PO=PB2?OB2=2,
S△BCD=12BC·CD=12×2×2=2，
点E到面BCD的距离为?=12PO=1，
∴VB?CDE=VE?BCD
=13S△BCD·?=13×2×1=23．