5.3导数在研究函数中的应用-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册同步讲义（Word含答案）

高一数学人教版（2019）选择性必修第二册
【5.3导数在研究函数中的应用】
【学习目标】掌握函数的极值及单调性
【知识详单】
1.函数的极值
1.极小值点与极小值
若函数f(x)满足:
(1)在x=a附近其他点的函数值f(x)≥f(a).
(2)f' (a)=0.
(3)在x=a附近的左侧f' (x) <0,右侧f' (x)>0.
则a叫做函数y=f(x)的极小值点f(a) 叫做函数y=f(x) 的极小值。
2.极大值点与极大值
若函数f(x)满足:
(1)在x=b附近其他点的函数值f(x)≤f(b).
(2)f' (b)=0.
(3)在x=b附近的左侧f' (x) >0,右侧f' (x) <0.
则b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值，
3.函数的单调性
函数f(x)的单调性与导函数f' (x)正负之间的关系
【典例精析】
例1.若关于 x 的方程 lnx?ax=x2 在 (0,+∞) 上有两个不等的实数根，则实数 a 的取值范围为（??? ）
A.?(?∞,?1]???????????????????????B.?(?∞,?1)???????????????????????C.?[?1,+∞)?????????????????D.?(?1,+∞)
【答案】 B
【解析】由 lnx?ax=x2 得出 a=lnxx?x ，
则 f(x)=lnxx?x ，
f'(x)=1?lnxx2?1=1?lnx?x2x2 ，
设 g(x)=1?lnx?x2 ， x>0 ，
故 g'(x)=?1x?2x<0 ，
g(x)=1?lnx?x2 在 (0,+∞) 上为减函数， g(1)=0 ，
故 x∈(0,1) 时 f'(x)>0 ； x∈(1,+∞) 时 f'(x)<0 ，
故 f(x)=lnxx?x 在 (0,1) 上为增函数，在 (1,+∞) 上为减函数，
f(x)max=f(1)=?1 ，
且 x→0, 时 f(x)→?∞ ； x→+∞, 时 f(x)→?∞ ，
y=a 与 f(x)=lnxx?x 的图象要有两个交点，
则 a 的取值范围为 (?∞,?1) 。
故答案为：B。
例2.已知函数 f(x)=ex?a(lnx+1)(a∈R) .
（1）若函数 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增，求实数 a 的取值范围；
【答案】 （1）解：由 f(x)=ex?a(lnx+1)(a∈R) 得， f′(x)=ex?ax=xex?ax(x>0)
函数 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增，则 f′(x)=xex?ax≥0 恒成立，
所以 a≤xex(x>0) ，易见函数 y=x 在 (0,+∞) 单调递增且 y>0 ，函数 y=ex 在 (0,+∞) 单调递增且 y>0 ，故函数 y=xex 在 (0,+∞) 单调递增，值域为 (0,+∞) ，
所以 a≤0 .
综上所述， a 的取值范围是 (?∞,0]
（2）解：当 a=e 时， f′(x)=ex?ax=xex?ex .设 F(x)=xex?e(x≥0) ，则 F(x) 在 [0,+∞) 上递增，且 F(1)=0 .
当 x∈(0,1) 时， F(x)<0 ，∴ f′(x)=F(x)x<0 ， f(x) 单调递减，
当 x∈(1,+∞) 时， F(x)>0 ，∴ f′(x)=F(x)x>0 ， f(x) 单调递增.
f(x) 的最小值为 f(x)min=f(1)=0 ，∴ f(x)≥0 恒成立
（3）解：①当 a=e 时，由（2）可知不符合题意.
②当 a0
x∈(1,+∞) 时， F(x)>F(1)>0 ，∴ f′(x)=F(x)x>0 ， f(x) 单调递增.
∴ f(x)>f(1)=e?a>0 ，与题意不符，舍去.
③当 a>e 时， F(1)=e?a<0 ， F(a)=a(ea?1)>0 ， F(x)=xex?e(x≥0) 在 [0,+∞) 上递增.
∴存在 x0>1 ，使得 F(x0)=x0ex0?a=0 ，即 x0ex0=a ，
当 x∈(0,x0) 时， F(x)当 x∈(x0,+∞) 时， F(x)>F(x0)=0 ，∴ f′(x)=F(x)x>0 ， f(x) 单调递增.
所以 f(x) 在 (1,x0) 上单调递减，又 f(1)=e?a<0 ，故 f(x)<0 恒成立，符合题意.
综上所述， a 的取值范围是 (e,+∞)

（2）a=e 时，求证 f(x)≥0 恒成立；
（3）存在 x0>1 ，使得 x∈(1,x0) 时 f(x)<0 恒成立，求 a 的取值范围.
【拓展练习】
1.函数 f(x)=x2lnx 的单调递减区间为（??? ）
A.?(0,e)????????????????????????????B.?(ee,+∞)????????????????????????????C.?(e,+∞)????????????????????????????D.?(0,ee)
2.函数 f(x)=x2+xex 的大致图象是（?? ）
A.???????????B.???????????C.???????????D.?
3.设函数 f(x) 在 R 上可导， ?x∈R ，有 f(x)+f(?x)=x2 且 f(2)=2 ；对 ?x∈(0,+∞) ，有 f′(x)>x 恒成立，则 f(x)x2>12 的解集为（??? ）
A.?(?2,0)∪(0,2)??????B.?(?∞,?2)∪(2,+∞)??????C.?(?2,0)∪(2,+∞)??????D.?(?∞,?2)∪(0,2)
4.下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ??)
A.?y＝sin x????????????????????????????B.?y＝xe2????????????????????????????C.?y＝x3－x????????????????????????????D.?y＝ln x－x
5.已知 f(x) 满足 f(4)=f(?2)=1,f′(x) 为其导函数，且导函数 y=f′(x) 的图象如图所示，则 f(x)<1 的解集是________．
6.若 f(x)=?12x2+bln(x+2) 在 (?1,+∞) 上是减函数，则 b 的取值范围是________．
【参考答案】
1.【答案】 D
【解析】由题意得，函数 f(x) 的定义域为 (0,+∞) ，
f′(x)=2x?lnx+x2?1x=2xlnx+x=x(2lnx+1) ．
令 f′(x)<0 ，得 2lnx+1<0 ，解得 0故函数 f(x)=x2lnx 的单调递减区间为 (0,ee) ．
故答案为：D
2.【答案】 A
【解析】函数y= x2+xex 的导数为 y'=?x2+x+1ex ，
令y′=0，得x= 1±52 ，
x∈(?∞，1?52) 时，y′＜0， x∈(1?52，1+52) 时，y′＞0， x∈(1+52，+∞) 时，y′＜0．
∴函数在（﹣ ∞，1?52 ），（ 1+52，+∞ ）递减，在（ 1?52，1+52 ）递增．
且x=0时，y=0，排除B，x=-1时，y=0，x=-2时，y>0,排除C，
故答案为：A．
3.【答案】 C
【解析】解：令 g(x)=f(x)?12x2 ，
∵g(?x)+g(x)=f(?x)?12x2+f(x)?12x2=0 ，
∴ 函数 g(x) 为奇函数．
∵x∈(0,+∞) 时， g′(x)=f′(x)?x>0 ，
故函数 g(x) 在 (0,+∞) 上是增函数，故函数 g(x) 在 (?∞,0) 上也是增函数，
可得 g(x) 在 (?∞,0) 和 (0,+∞) 上是增函数，
要解 f(x)x2>12 即 f(x)?12x2>0 ，即 g(x)>0
∵f(2)=2 ，
∴g(2)=f(2)?12?22=0 ， g(?2)=0
∴x∈(2,+∞) 或 x∈(?2,0) 时 g(x)>0
故 x∈(?2,0)∪(2,+∞) 时 f(x)x2>12
故答案为：C
4.【答案】 B
【解析】易知A不符合题意；
B中y′＝e2＞0在(0，＋∞)内恒成立．
C中 y'=3x2?1>0 ?不恒成立；D y'=1x?1=1?xx 当 0故答案为：B
5.【答案】 （-2,4）
【解析】解：由 f(x) 的导函数 f′(x) 的图象知： f(x) 在 (?∞,0] 上单调递减，在 (0,+∞) 上单调递增，
当 x≤0 时，由 f(x)<1=f(?2) ，得 ?2当 x>0 时，由 f(x)<1=f(4) ，得 0综上所述： f(x)<1 的解集为（-2,4）．
故答案为：（-2,4）.

【分析】结合题意由图像可知导函数的正负情况，由此得出原函数的单调性以及单调区间，结合函数的单调性即可求出f(x)<1的不等式的解集。
6.【答案】 (-∞.-1]
【解析】 ∵f(x)=?12x2+bln(x+2) ， ∴f′(x)=?x+bx+2 ，
由于函数 f(x)=?12x2+bln(x+2) 在 (?1,+∞) 上是减函数，
则 f′(x)≤0 对任意的 x∈(?1,+∞) 恒成立，即 bx+2≤x ，得 b≤x(x+2)=x2+2x ，
∵ 二次函数 y=x2+2x 在区间 (?1,+∞) 上为增函数，则 y>(?1)2+2×(?1)=?1 ， ∴b≤?1 .
因此，实数 b 的取值范围是(-∞.-1].
故答案为：(-∞.-1].