4.3等比数列-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册同步讲义（Word含答案）

高一数学人教版（2019）选择性必修第二册
【4.3等比数列】
【学习目标】了解等比数列概念形成的过称
【知识详单】
1.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数明做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0),
2.在a与b中间插入一个数G,使a G, b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.
3.等比数列的单调性
递增数列
false>0
q>
false<0
0递减数列
false>0
0false<0
q>
【典例精析】
7.已知正项等比数列 {an} ， a2=4 ， 2a1+a2=a3 ；数列 {bn} 的前 n 项和 Sn 满足 Sn=nan .
（Ⅰ）求 an ， bn ；
（Ⅱ）证明： b2a1a2+b3a2a3+b4a3a4+?+ba+1aaan+1<2 .
【答案】 解：（Ⅰ）设正项等比数列 {an} 的公比为 q ，由 2a1+a2=a3 ，得 2+q=q2
解得 q=2 或 q=?1 （舍）
又 a2=4?an=2n
由 Sn=nan ，得 b1=2
n≥2 时， bn=Sn?Sn?1=n?2n?(n?1)?2n?1=(n+1)?2n?1
则 bn=(n+1)?2n?1
（Ⅱ） bn+1anan+1=(n+2)2n2n?2n+1=(n+2)(12)n+1
设 Tn=b2a1a2+b3a2a3+b4a3a4+?+bn+1anan+1
则 Tn=3×(12)2+4×(12)3+5×(12)4+?+(n+2)(12)n+1
12Tn=3×(12)3+4×(12)4+?+(n+1)(12)n+1+(n+2)(12)n+2
两式相减得 12Tn=3×(12)2+1×(12)3+1×(12)4+?+1×(12)n+1?(n+2)(12)n+2
得 12Tn=1?(n+4)?(12)n+2
得 Tn=2?(n+4)?(12)n+1<2
8.已知等比数列 {an} 的公比为 2 ,且 a3 , a4+4 , a5 成等差数列.
(Ⅰ)求 {an} 的通项公式;
(Ⅱ)设 {an} 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn=62 ,求 n 的值.
【答案】 解：(Ⅰ)因为 {an} 为公比为 2 的等比数列,
所以 a3=a1q2=4a1 , a4=8a1 , a5=16a1 ,
依题意得 2(a4+4)=a3+a5 ,
即 2(8a1+4)=4a1+16a1 ,
整理得 4a1=8 , 解得 ?a1=2 .
所以数列 {?an?} 的通项公式为 ?an=2n .
(Ⅱ)依题意 Sn=a1?1?qn1?q ,
=2?1?2n1?2??=2n+1?2? .
所以 2n+1?2=62 ,整理得 ?2n+1=64 ,?
解得 n=5.
所以 n 的值是5
【拓展练习】
1.在等比数列 {an} 中， a3+a4=4 ， a2=2 ，则公比 q 等于（??? ）
A.?2???????????????????????????????????????B.?1或-2???????????????????????????????????????C.?1???????????????????????????????????????D.?-1或2
2.有下列四个说法：①等比数列中的某一项可以为0；②等比数列中公比的取值范围是 (?∞,+∞) ；③若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1；④若 b2=ac ，则 a ， b ， c 成等比数列.其中说法正确的个数为（??? ）
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
3.某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建五个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费.设备费从第一到第五实验室依次构成等比数列，已知第三实验室比第一实验室的设备费用高9万元，第五实验室比第三实验室的设备费用高36万元.则该研究所改建这五个实验室投人的设备费用为（??? ）
A.?93万元???????????????????????????????B.?45万元???????????????????????????????C.?189万元???????????????????????????????D.?96万元
4.明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”.注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔正中间一层的灯的盏数为（??? ）
A.?3?????????????????????????????????????????B.?12?????????????????????????????????????????C.?24?????????????????????????????????????????D.?48
5.在流行病学中，基本传染数 R0 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数． R0 一般由疾病的感染周期?感染者与其他人的接触频率?每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数 R0=3 （注：对于 R0>1 的传染病，要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径），那么由1个初始感染者经过六轮传染被感染（不含初始感染者）的总人数为________（注：初始感染者传染 R0 个人为第一轮传染，这 R0 个人每人再传染 R0 个人为第二轮传染……）
6.已知数列 {an} 的首项 a1=2 ，前n项和为 Sn ，且 Sn+Sn+1=2n+1?1(n∈N?) ，则 S11= ________.
【参考答案】
【答案】 B
【解析】设等比数列 {an} 的首项为 a1 ，
根据题意得 {a1q2+a1q3=4,a1q=2, 解得 {a1=2,q=1 或 {a1=?1,q=?2，
故答案为：B
2.【答案】 B
【解析】对于①，因为等比数列中的各项都不为0，所以①不正确；
对于②，因为等比数列的公比不为0，所以②不正确；
对于③，若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0，根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以③正确；
对于④，只有当 a ， b ， c 都不为0时， a ， b ， c 才成等比数列，所以④不正确.
因此，正确的说法只有1个，
故答案为：B.
3.【答案】 A
【解析】设第一到第五实验室的设备费用分别为 a1,a2,a3,a4,a5 ；则由题意 a1,a2,a3,a4,a5 成等比数列，设公比为 q ，且 a3?a1=9 ， a5?a3=36 ；
a5?a3=a3q2?a1q2=36 ，解得 q=2 或 q=?2 （舍）；
由 a3?a1=3a1=9 得 a1=3 .
所以 a1+a2+a3+a4+a5=3(1?25)1?2=93 .
故答案为：A.
4.【答案】 C
【解析】根据题意，可知从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为 a1 ，则有 S7=a1?(1?27)1?2=381 ，解得 a1=3 ，中间层灯盏数 a4=a1q3=24 ，
故答案为：C.
5.【答案】 1092
【解析】由题意： a1=1,q=R0=3 ，
所以 an=a1qn?1=3n?1 ，
第六轮的传染人数为 a7 ，
所以前六轮被传染的人数为 S7?a1=1?371?3?1=1092 。
故答案为：1092。
6.【答案】 1366或写成 46+23 .
【解析】因为 Sn+Sn+1=2n+1?1(n∈N?) ，
所以 Sn-1+Sn=2n?1(n≥2) ，两式相减可得 Sn+1?Sn-1=2n+1?2n=2n=an+1+an(n≥2) ，
所以 a2+a3=22,a4+a5=24,a6+a7=26,a8+a9=28,a10+a11=210 ，
所以 S11=a1+a2+???+a10+a11=2+22+24+26+28+210
= 2+22[1?(22)5]1?22=2+4(1?45)?3=46+23=1366 .
故答案为：1366或写成 46+23 .