5.2导数的运算-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册同步讲义（Word含答案）

高一数学人教版（2019）选择性必修第二册
【5.2导数的运算】
【学习目标】熟练掌握导数的四则运算法则
【知识详单】
1.简单复合函数的导数
(1)定义:一般地，对于两个函数y=f (u) 和u=g (x)， 如果通过中间变量u, y 可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f (u) 和u=g (x) 的复合函数，记作y=f(g(x)).
求导法则:对于复合函数y=f (g (x)),y' false=y'false·u'false即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。
2.导数的四则运算法则
和、差的导数
[f(x)false(x)]'=f' (x)falseg' (x)
积的导数
f(x)·g(x)]' =f' (x)·g(x)+f(x)·g' (x)
商的导数
false（g(x)≠0）
3.常用函数的导数函数导数
函数
f(x)=c
f(x)=x
f(x)=x?
f(x)=x?
f(x)=false
f(x)=false
导数
f' (x)=0
f' (x)=1
f' (x)=2x
f' (x)=3x?
f' (x)=false
f' (x)=false
【典例精析】
例1.已知定义在 (1,+∞) 上的函数 f(x) ， f′(x) 为其导函数，满足 1xf(x)+f′(x)lnx+2x=0 ，且 f(e)=?e2 ，若不等式 f(x)≤ax 对任意 x∈(1,+∞) 恒成立，则实数a的取值范围是（??? ）
A.?[e,+∞)????????????????????????????B.?(?e2,2)????????????????????????????C.?(?e,2)????????????????????????????D.?[?e,+∞)
【答案】 D
【解析】 ∵ 1xf(x)+f′(x)lnx+2x=0 ，
∴f(x)lnx+x2=C ，
∴f(e)lne+e2=C ，
∵ f(e)=?e2 ， ∴ ?e2+e2=C ，解得 C=0 ，
∴f(x)lnx+x2=0 ， ∴f(x)=?x2lnx (x>1) ，
∵ 不等式 f(x)≤ax 对任意 x∈(1,+∞) 恒成立，
∴ ?x2lnx≤ax 对任意 x∈(1,+∞) 恒成立，
即 a≥?xlnx 对任意 x∈(1,+∞) 恒成立，
令 g(x)=?xlnx ，则 g′(x)=1?lnx(lnx)2 ，
令 g′(x)=1?lnx(lnx)2=0 ，解得 x=e ，
∴ 10 ， g(x) 在 (1,e) 上单调递增；
x>e 时， g′(x)<0 ， g(x) 在 (e,+∞) 上单调递减，
∴ 当 x=e 时， g(x) 取得极大值，也是最大值，
g(x)max=g(e)=?elne=?e ，
∴a≥?e ，
∴ 实数a的取值范围是 [?e,+∞) .
故答案为：D.
例2.记 f′(x) 、 g′(x) 分别为函数 f(x) 、 g(x) 的导函数.把同时满足 f(x0)=g(x0) 和 f′(x0)=g′(x0) 的 x0 叫做 f(x) 与 g(x) 的“Q点”.
（1）求 f(x)=2x 与 g(x)=x2?2x+4 的“Q点”；
（2）若 f(x)=ax2+12 与 g(x)=lnx 存在“Q点”，求实数a的值.
【答案】 （1）解：因为 f′(x)=2,g′(x)=2x?2 ，
设 x0 为函数 f(x) 与 g(x) 的一个“ Q ”点.
由 f(x0)=g(x0) 且 f′(x0)=g′(x0) 得 {2x0=x02?2x0+42=2x0?2 ，
解得 x0=2 .
所以函数 f(x) 与 g(x) 的“ Q ”点是2.
（2）解：因为 f′(x)=2ax,g′(x)=1x ，
设 x0 为函数 f(x) 与 g(x) 的一个“ Q ”点.
由 f(x0)=g(x0) 且 f′(x0)=g′(x0) 得 {ax02+12=lnx0?①2ax0=1x0?② ，
由②得 a=12x02 代入①得 lnx0=1 ，所以 x0=e .
所以 a=12x02=12e2 .
【拓展练习】
1.设函数 f(x)= sinθ3x3+3cosθ2x2+tanθ ,其中 θ∈[0,5π12] ,则导数 f'(1) 的取值范围是(??? )
A.?[－2, 2]??????????????????????????????B.?[2,3]??????????????????????????????C.?[ 3 ,2]??????????????????????????????D.?[ 2 ,2]
2.正弦曲线y=sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是（??? ）
A.?[0， π4 ]∪[ 3π4 ，π)?????????????B.?[0，π)?????????????C.?[ π4 ， 3π4 ]?????????????D.?[0， π4 ]∪[ π2 ， 3π4 ]
3.设 f0(x)=sinx ， f1(x)=f′0(x) ， f2(x)=f′1(x) ，…， fn+1(x)=f′n(x) ， n∈N ，则 f2019(x)= （??? ）
A.??sinx，????????????????????????????????B.?sinx????????????????????????????????C.??cosx????????????????????????????????D.?cosx
4.下列求导运算正确的是（??? ）
A.?(cosx)′=sinx????????????????B.?(3x)′=3xlog3e????????????????C.?(lgx)′=1xln10????????????????D.?(x?2)′=?2x?1
5.已知函数 f(x)=?12x2+2xf′(2021)+2021lnx ，则 f′(2021)= ________.
6.若函数 y=f(x) 满足 f(x)=sinx+f′(π6)cosx ，则 f′(π6)= ________．
【参考答案】
【答案】 D
【解析】解： ∵f′(x)=sinθ?x2+3cosθ?x
∴f′(1)=sinθ+3cosθ=2sin(θ+π3) ，
∵θ∈[0,5π12]∴θ+π3∈[π3,3π4]∴sin(θ+π3)∈[22,1]∴2sin(θ+π3)∈[2,2]
故答案为：D．
2.【答案】 A
【解析】由函数 y=sinx ，得 y′=cosx .
设 P(x0,y0) ，则以点P为切点的切线l的斜率为 k=cosx0∈[?1,1] .
设以点P为切点的切线l的倾斜角为 α ，则 tanα=k∈[?1,1] .
由 α∈[0,π) ，得 [0，π4]∪[3π4，π)
故答案为：A
3.【答案】 C
【解析】 f1(x)=cosx ， f2(x)=?sinx ， f3(x)=?cosx ， f4(x)=sinx ，
因此 f4t+3(x)=f3(x)=?cosx ，
故 f2019(x)=f4×504+3(x)=f3(x)=?cosx
故答案为：C.
4.【答案】 C
【解析】 (cosx)′=?sinx ，A不正确；
(3x)′=3x?ln3 ，B不正确；
(lgx)′=1x?ln10 ，C符合题意；
(x?2)′=?2x?2?1=?2x?3 ，D不正确．
故答案为：C．
5.【答案】 2020
【解析】∵ f(x)=?12x2+2xf′(2021)+2021lnx ，
∴ f′(x)=?x+2f′(2021)+2021x ，
∴ f′(2021)=?2021+2f′(2021)+1 ，∴ f′(2021)=2020 。
故答案为：2020。
6.【答案】 33
【解析】 f′(x)=cosx?f′(π6)sinx ，令 x=π6 ，
f′(π6)=cosπ6?f′(π6)sinπ6 ，解得 f′(π6)=33 。
故答案为: 33。