4.1数列的概念-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册专题训练（Word含答案）

高一数学人教版（2019）选择性必修第二册
【4.1数列的概念专题训练】
【基础巩固】
1.已知点 (n,an) 在函数 y=9?2x 的图象上，则数列 {an} 的前 n 项和 Sn 的最大值为（?? ）
A.?-14????????????????????????????????????????B.?-16????????????????????????????????????????C.?14????????????????????????????????????????D.?16
2.下列说法正确的是（??? ）
A.?数列1，3，5，7可以表示为 {1,3,5,7}
B.?数列-2，-1，0，1，2与数列2，1，0，-1，-2是相同的数列
C.?数列若用图象表示，从图象看都是一群孤立的点
D.?数列的项数一定是无限的
3.下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（??? ）
A.?1,13,132,133, …???????????????????????????????????????????????????B.?sinπ13,sin2π13,sin3π13,sin4π13, …
C.??1,?12,?13,?14, …????????????????????????????????????D.?1,2,3,4,?,30
4.已知数列 {an} 的通项 an=2020?2n2021?2n ，且存在正整数T，S使得 aT≤an≤aS 对任意的 n∈N? 恒成立，则 T+S 的值为（??? ）
A.?15?????????????????????????????????????????B.?17?????????????????????????????????????????C.?19?????????????????????????????????????????D.?21
5.已知数列 {an} 是公差不为零的等差数列， {bn} 是正项等比数列，若 a1=b1 ， a7=b7 ，则（??? ）
A.?a4=b4???????????????????????????????B.?a5b8???????????????????????????????D.?a96.设｛an｝是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是数列｛an｝是递增数列的
A.?充分而不必要条件????????B.?必要而不充分条件、????????C.?充分必要条件????????D.?既不充分也不必要条件
7.已知数列 {an} 中， a1=12 ， an+1=an2?an+1 ，记 Sn=a1+a2+?+an ， Tn=a12+a22+?+an2 ， n∈N? ，，给出下列结论：
① an+1<1516 ；② 2an+1?an?1≤0 ；③ Sn<56n ；④ 2Sn?Tn≤n .则（??? ）
A.?①③正确???????????????????????????B.?①④正确???????????????????????????C.?②③正确???????????????????????????D.?②④正确
8.若等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，首项 a1>0 ， a2020+a2021>0 ， a2020?a2021<0 ，则满足 Sn>0 成立的最大正整数 n 是（??? ）
A.?4039???????????????????????????????????B.?4040???????????????????????????????????C.?4041???????????????????????????????????D.?4042
9.已知数列 {an} 的通项公式为 an ＝n2－n－50，则－8是该数列的( ??)
A.?第5项???????????????????????????????B.?第6项???????????????????????????????C.?第7项???????????????????????????????D.?非任何一项
10.已知数列 {an} 是首项为 a ，公差为1的等差数列，数列 {bn} 满足 bn=1+anan .若对任意的 n∈N? ，都有 bn≥b5 成立，则实数 a 的取值范围是（??? ）
A.?[?6,?5]????????????????????????B.?(?6,?5)????????????????????????C.?[?5,?4]????????????????????????D.?(?5,?4)
【培优提升】
11.已知正数数列 {an} 满足 (n+1)an+1=nan+1an ，且对任意 n∈N? ，都有 an≤2 ，则 a1 的取值范围为________．
12.等比数列 {an} 中， a1?a3=3 ，前 n 项和为 Sn ， S1 ， S3 ， S2 成等差数列，则 Sn 的最大值为________.
13.现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管数最少，那么剩余钢管的根数为________．
14.已知数列 {an} 满足 a1=12 ， an+1=12an(n∈N?) .设 bn=n?2λan ， n∈N? ，且数列 {bn} 是递增数列，则实数 λ 的取值范围是________.
15.已知正项数列 {an} 、 {bn} ，记数列 {an} 的前n项和为 Sn ，若 a1+b1=43 ， 2Sn+an=1 ， nbn2?bnbn?1?(n+1)bn?12=0
（1）求数列 {an} 、 {bn} 的通项公式；
（2）求数列 {2anbn} 的前n项和 Tn ．
16.??
（1）已知等比数列 {an} 满足 a1=14 ， a3a5=4(a4?1) ，求 a2 的值；
（2）已知等比数列 {an} 为递增数列.若 a1>0 ，且 2(a4+a6)=5a5 ，求数列 {an} 的公比 q .
17.已知正项数列 {an} 满足 an2=(2n?1)an+2n .
（1）求证：数列 {an} 是等差数列;
（2）若数列 {bn} 满足 bn=an?40n?11 ，且数列 {bn} 的最大项为 bp ，最小项为 bq ，求 p+q 的值.
18.已知数列 {an} 满足 an+1=6an?4an+2 ，且 a1=3(n∈N?) .
（1）证明：数列 {1an?2} 是等差数列；
（2）求数列 {an} 的通项公式.
【参考答案】
1.【答案】 D
2.【答案】 C
3.【答案】 C
4.【答案】 D
5.【答案】 D
6.【答案】 C
7.【答案】 D
8.【答案】 B
9.【答案】 C
10.【答案】 D
11.【答案】 [2?3,2]
12.【答案】 4
13.【答案】 10
14.【答案】 (?∞,32)
15.【答案】 （1）解：由题意知： 2S1+a1=2a1+a1=1 , a1=13 ，∴ b1=43?a1=1 ，
∵ 2Sn+an=1,2Sn+1+an+1=1
∴ 3an+1=an?q=13?an=13n
又∵ (bn+bn?1)?[nbn?(n+1)bn?1]=0,bn>0
∴ nbn=(n+1)bn?1?bnbn?1?bn?1bn?2?b2b1=n+1n?nn?1??32?bn=n+12 （ b1 也适合）
（2）解：∵ 2anbn=n+13n
∴ Tn=23+332+433+?+n+13n
13T=232+333+?+n3n+n+13n+1
∴ 23Tn=23+132+133+?+13n?n+13n+1=23+19(1?13n?1)1?13?n+13n+1
=23+16(1?13n?1)?n+13n+1
∴ Tn=54?14?3n?1?n+12?3n
16.【答案】 （1）解：设等比数列 {an} 的公比为 q ，
由 a3a5=4(a4?1) ，得 a42=4(a4?1) ，
解得 a4=2 ，∴ q3=a4a1=8 ，∴ q=2 ，∴ a2=a1q=12
（2）解：由 2(a4+a6)=5a5 ，得 2(a4+a4q2)=5a4q ，
易知 a4≠0 ，所以 2+2q2=5q ，即 (2q?1)(q?2)=0 ，
解得 q=2 或 q=12 .
因为等比数列 {an} 为递增数列，且 a1>0 ，所以 q>1 ，所以 q=2
17.【答案】 （1）证明：由已知有： an2?(2n?1)an?2n=(an?2n)(an+1)=0 且 an>0 ，
所以由 an=2n , n∈N?
an+1?an=2(n+1)?2n=2 ，由 a12?(2?1)a1?2=0 解得 a1=2 ，
所以数列 {an} 是以首项为2，公差为2的等差数列
（2）解： bn=an?40n?11 =2n?40n?11 = =2n?10n?11=2(1+11?10n?11) ，
当 p=4 时， bp 最大，当 q=3 时， bq 最小，所以 p+q=7
18.【答案】 （1）证明：因为 an+1=6an?4an+2 ，
所以 1a1?2=13?2=1 ， 1an+1?2=16an?4an+2?2 ，
=an+2(6an?4)?2(an+2) ，
=an+24an?8=(an?2)+44(an?2)=1an?2+14 ，
即 1an+1?2?1an?2=14,n∈N? ，
故数列 {1an?2} 是首项为1，公差为 14 的等差数列
（2）解：由（1）知 1an?2=1a1?2+(n?1)×14=n+34 ，
所以 an=2n+10n+3,n∈N?