5.1导数的概念及其意义-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册专题训练（Word含答案）

高一数学人教版（2019）选择性必修第二册
【5.1导数的概念及其意义专题训练】
【基础巩固】
1.已知函数 f(x)=2ln(3x)+8x ，则 limΔx→0f(1?2Δx)?f(1)Δx 的值为（??? ）
A.?10????????????????????????????????????????B.?-10????????????????????????????????????????C.?-20????????????????????????????????????????D.?20
2.已知函数 f(x) 和 g(x) 在区间 [a,b] 上的图象如图所示，则下列说法正确的是（??? ）
A.?f(x) 在a到b之间的平均变化率大于 g(x) 在a到b之间的平均变化率
B.?f(x) 在a到b之间的平均变化率小于 g(x) 在a到b之间的平均变化率
C.?对于任意 x0∈(a,b) ，函数 f(x) 在 x=x0 处的瞬时变化率总大于函数 g(x) 在 x=x0 处的瞬时变化率
D.?存在 x0∈(a,b) ，使得函数 f(x) 在 x=x0 处的瞬时变化率小于函数 g(x) 在 x=x0 处的瞬时变化率
3.函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为(?? )
A.?f′(x0)＝ lim△x→0f(x0+△x)?f(x0)△x???????????????????????????B.?f′(x0)＝ lim△x→0[f(x0+△x)?f(x0)]
C.?f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)?????????????????????????????????????D.?f′(x0)＝ f(x0+△x)?f(x0)△x
4.甲、乙两厂污水的排放量W与时间 t 的关系如图所示，则治污效果较好的是（??? ）
A.?甲厂?????????????????????????????????B.?乙厂?????????????????????????????????C.?两厂一样?????????????????????????????????D.?不确定
5.函数 y=f(x) 在 x=x0 处的导数 f′(x0) 的几何意义是（??? ）
A.?在点 (x0,f(x0)) 处与 y=f(x) 的图象只有一个交点的直线的斜率
B.?过点 (x0,f(x0)) 的切线的斜率
C.?点 (x0,f(x0)) 与点 (0,0) 的连线的斜率
D.?函数 y=f(x) 的图象在点 (x0,f(x0)) 处的切线的斜率
6.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段 [t0,t1],[t1,t2],[t2,t3] 上的平均速度分别为 v1,v2,v3 ，则三者的大小关系为（??? ）
A.?v2=v37.已知函数 f(x)=x2 图象上四点 A(1,f(1)) 、 B(2,f(2)) 、 C(3,f(3)) 、 D(4,f(4)) ，割线 AB 、 BC 、 CD 的斜率分别为 k1,k2,k3 ，则（??? ）
A.?k18.一质点的运动方程是 s=5?3t2 ，则在时间 [1,1+Δt] 内相应的平均速度为（??? ）
A.?3Δt+6????????????????????????????B.??3Δt+6????????????????????????????C.?3Δt?6????????????????????????????D.??3Δt?6
9.已知某质点的运动方程为 s=2t2?t ，其中s的单位是m，t的单位是s，则该质点在 2s 末的瞬时速度为（??? ）
A.?3m/s???????????????????????????????????B.?5m/s???????????????????????????????????C.?7m/s???????????????????????????????????D.?9m/s
10.某物体的运动方程为 s(t)=3t2 （位移单位：m，时间单位：s），若 v=lim△t→0=s(3+△t)?s(3)△t=18m/s ，则下列说法中正确的是（??? ）
A.?18m/s 是物体从开始到 3s 这段时间内的平均速度
B.?18m/s 是物体从 3s 到 (3+Δt)s 这段时间内的速度
C.?18m/s 是物体在 3s 这一时刻的瞬时速度
D.?18m/s 是物体从 3s 到 (3+Δt)s 这段时间内的平均速度
【培优提升】
11.已知某物体的运动方程是 s={3t2+2,0?t<329+3(t?3)2,t?3 ，则该物体在 t=1 时的瞬时速度为________；在 t=4 时的瞬时速度为________.
12.过曲线 y=x2+1 上两点 P(1,2) 和 Q(1+Δx,2+Δy) 作曲线的割线，当 Δx=0.1 时，割线的斜率为________；当 Δx=0.001 时，割线的斜率为________.
13.曲线 y=lnx?1x 在 x=1 处的切线倾斜角为 α ，则 sin2α= ________.
14.已知函数 f(x)=ln(x+1)?ax2 ，对任意的 m∈(0,1),n∈(0,1) ，当 m≠n 时， f(m+1)?f(n+1)m?n<1 ，则实数 a 的取值范围是________.
15.服药后，人体血液中药物的质量浓度y（单位:μg/mL）是时间t（单位：min）的函数 y=f(t) ，假设函数 y=f(t) 在 t=10 和 t=100 处的导数分别为 f′(10)=1.5 和 f′(100)=?0.6 ，试解释它们的实际意义．
16.试求过点 M(1,1) 且与曲线 y=x3+1 相切的直线方程．
17.已知函数 f(x)=?x2+x 图象上两点 A(2,f(2)) 、 B(2+Δx,f(2+Δx))(Δx>0) .
（1）若割线 AB 的斜率不大于-1，求 Δx 的范围；
（2）求函数 f(x)=?x2+x 的图象在点 A(2,f(2)) 处切线的方程.
18.航天飞机升空后一段时间内，第 ts 时的高度为 ?(t)=5t3+30t2+45t+4 ，其中h的单位为m，t的单位为s.
（1）?(0),?(1),?(2) 分别表示什么？
（2）求第 2s 内的平均速度；
（3）求第 2s 末的瞬时速度.
【参考答案】
1.【答案】 C
2.【答案】 D
3.【答案】 A
4.【答案】 B
5.【答案】 D
6.【答案】 C
7.【答案】 A
8.【答案】 D
9.【答案】 C
10.【答案】 C
二、培优提升
11.【答案】 6；6
12.【答案】 2.1；2.001
13.【答案】 45
14.【答案】 [?16,+∞)
15.【答案】 解： f′(10)=1.5 表示服药后10 min时，血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5 μg/(mL·min)．
也就是说，如果保持这一速度，每经过 1 min，血液中药物的质量浓度将上升1.5 μg/mL．
f′(100)=?0.6 表示服药后100 min时，血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6 μg/(mL·min)．
也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min，血液中药物的质量浓度将下降0.6 μg/mL．
16.【答案】 解：因为 ΔyΔx=(x+Δx)3+1?x3?1Δx =3x(Δx)2+3x2Δx+(Δx)3Δx =3xΔx+3x2+(Δx)2 ，
则 limΔx→0ΔyΔx=3x2 ，因此 y′=3x2 ．
设过点 M(1,1) 的直线与曲线 y=x3+1 相切于点 P(x0,x03+1) ，
根据导数的几何意义知，曲线在点P处的切线的斜率为 k=3x02 ①，
过点M和点P的切线的斜率 k=x03+1?1x0?1 ②，
由①-②得 3x02=x03x0?1 ，解得 x0=0 或 x0=32 ，所以 k=0 或 k=274 ，
因此过点 M(1,1) 且与曲线 y=x3+1 相切的直线有两条，方程分别为 y?1=274(x?1) 和 y=1 ，即 27x?4y?23=0 和 y=1
17.【答案】 （1）解：由题意得，割线 AB 的斜率为 ΔyΔx=f(2+Δx)?f(2)Δx
=?(2+Δx)2+(2+Δx)?(?4+2)Δx
=?4Δx+Δx?(Δx)2Δx=?3?Δx ，
由 ?3?Δx≤?1 ，得 Δx≥?2 ，
又因为 Δx>0 ，所以 Δx 的取值范围是 (0,+∞)
（2）解：由（1）知函数 f(x)=?x2+x 的图象在点 A(2,f(2)) 处切线的斜率为
k=lim△x→0△y△x=lim△x→0(?3?△x)=?3 ，
又 f(2)=?22+2=?2 ，
所以切线的方程为 y?(?2)=?3(x?2) ，
即 3x+y?4=0 .
18.【答案】 （1）解： ?(0) 表示航天飞机发射前的高度；
?(1) 表示航天飞机升空后第 1s 时的高度；
?(2) 表示航天飞机升空后第 2s 时的高度
（2）解：航天飞机升空后第 2s 内的平均速度为 v=?(2)??(1)2?1=5×23+30×22+45×2+4?(5×13+30×12+45×1+4)1 =170(m/s)
（3）解：第 2s 末的瞬时速度为 limΔt→0Δ?Δt=limΔt→0?(2+Δt)??(2)Δt
=limΔt→05(2+Δt)3+30(2+Δt)2+45(2+Δt)+4?(5×23+30×22+45×2+4)Δt
=limΔt→05(Δt)3+60(Δt)2+225ΔtΔt=225(m/s) .
因此，第 2s 末的瞬时速度为 225m/s .