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2.1.1
离散型随机变量
随堂同步进阶练习
一、单选题
1．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字,只记得最后四位数字两两不同,且都大于5,于是他随机拨最后四位数字(两两不同),设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ,则随机变量ξ的所有可能取值的种数为( )
A．20
B．24
C．4
D．18
2．抛掷一枚质地均匀的硬币一次,随机变量为( )
A．掷硬币的次数
B．出现正面向上的次数
C．出现正面向上或反面向上的次数
D．出现正面向上与反面向上的次数之和
3．下列随机变量是离散型随机变量的是( )
(1)抛5颗骰子得到的点数和;
(2)某人一天内接收到的电话次数;
(3)某地一年内下雨的天数;
(4)某机器生产零件的误差数.
A．(1)(2)(3)
B．(4)
C．(1)(4)
D．(2)(3)
4．已知下列随机变量:
①10件产品中有2件次品,从中任选3件,取到次品的件数X;
②一位射击手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,用X表示该射击手在一次射击中的得分;
③刘翔在一次110米跨栏比赛中的成绩X;
④在体育彩票的抽奖中,一次摇号产生的号码数X.
其中X是离散型随机变量的是( )
A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．③④
5．下列变量中不是随机变量的是.
A．某人投篮6次投中的次数
B．某日上证收盘指数
C．标准状态下,水在100时会沸腾
D．某人早晨在车站等出租车的时
6．下列随机变量中不是离散型随机变量的是.
A．掷5次硬币正面向上的次数M
B．某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T
C．从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和Y
D．将一个骰子掷3次,3次出现的点数之和X
7．下列随机变量中，不是离散型随机变量的是( )
A．某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数X
B．某水位监测站所测水位在(0,18]这一范围内变化，该水位监测站所测水位H
C．从装有1红、3黄共4个球的口袋中，取出2个球，其中黄球的个数ξ
D．将一个骰子掷3次，3次出现的点数和X
8．袋中装有10个红球,5个黑球,每次随机抽取一个球,若取到黑球,则放入袋中,直到取到红球为止,若抽取的次数为X,则表示“放入袋中5回小球”的事件为( )
A．X=4
B．X=5
C．X=6
D．X≤4
9．对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ,则ξ=k表示的试验结果为( )
A．第k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
B．第k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
C．前k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
D．前k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
10．从标1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为ξ，那么随机变量ξ可能取的值有
A．17个
B．18个
C．19个
D．20个
11．投掷均匀硬币一枚，随机变量为
( )
A．出现正面的次数
B．出现正面或反面的次数
C．掷硬币的次数
D．出现正、反面次数之和
12．随机变量的概率分布规律为其中是常数，则的值为
A．
B．
C．
D．
13．从装有除颜色外没有区别的3个黄球、3个红球、3个蓝球的袋中摸3个球，设摸出的3个球的颜色种数为随机变量X，则P(X＝2)＝( )
A．
B．
C．
D．
二、填空题
14．在考试中,需回答三个问题,考试规则规定:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分,则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是_____.
15．在8件产品中,有3件次品,5件正品,从中任取一件,取到次品就停止,取后不放回,抽取次数为X,则“X=3”表示的试验结果是_____.
16．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．
三、解答题
17．写出下列各随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果:
(1)盒中装有6支白粉笔和8支红粉笔,从中任意取出3支,其中所含白粉笔的支数ξ;
(2)从4张已编号(1~4号)的卡片中任意取出2张,被取出的卡片号数之和ξ.
18．某校高二年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数，求X的分布列.
19．一个袋中装有形状?大小均相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为.
（1）列表说明可能出现的结果与对应的的值；
（2）若规定抽取3个球的过程中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分的可能取值，并判断是不是离散型随机变量.
20．已知随机变量ξ只能取三个值：x1、x2、x3，其概率依次成等差数列，求公差d的取值范围．
答案解析
1．B
【详解】
由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6，7，8，9四位数字的不同排列，故有(种).
故选B.
2．B
【解析】出现正面向上的次数为0或1,是随机变量.
3．A
【解析】由离散型随机变量的定义知(1)(2)(3)均是离散型随机变量,而(4)不是,由于这个误差数几乎都是在0附近的实数,无法一一列出.
4．C
【解析】
③中X的值可在某一区间内取值,不能一一列出,故不是离散型随机变量.
5．C
【详解】
由随机变量的概念可知.
标准状态下,水在100时会沸腾不是随机变量.
6．B
【详解】
由随机变量的概念可知.
某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T不能一一举出，故不是离散型随机变量
7．B
【解析】
水位在(0,18]内变化，不能一一举出，故不是离散型随机变量，故选B．
8．C
【详解】
根据题意可知，如果没有抽到红球，则将黑球放回，然后继续抽取，所有“放入袋中回小球”也即是前次都是抽到黑球，第六次抽到了红球，故，所以选C.
9．D
【详解】
由题意表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为，因此前次检测到的都是正品，第次检测的是一件次品.
故选D.
10．A
【详解】
2支竹签上的数字是1~10中的两个，若其中一个为1，另一个可取2~10，相应X可取得3~11，同理一个为2，另一个可取3~10，相应X可取得5~12，以此类推，可看到X可取得3~19间的所有整数，共17个.
11．A
【解析】描述随机试验的随机变量有多种形式，不论选取哪一种形式，随机变量可以表示随机试验的所有可能结果，同时随机变量在选定标准之后，它是变化的.掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0，1，故选A；而B中标准模糊不清，C中掷硬币次数是确定的，都不是随机变量；D中对应的事件是必然事件.
答案：A
12．D
【详解】
由题意，由所有概率的和为可得，
，故选.
13．D
【详解】
X=2，即摸出的3个球有2种颜色，其中一种颜色的球有2个，另一种颜色的球有1个，故，故选D.
14．-300,-100,100,300
【解析】
若答对0个问题得分；若答对1个问题得分；若答对2个问题得分；若问题全答对得分.
故答案为，，，.
15．前两次均取到正品,第三次取到次品
【解析】
ξ=3表示共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品.
答案：共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品.
16．－1,0,1,2,3
【详解】
X＝?1，甲抢到一题但答错了，而乙抢到了两个题目都答错了，
X＝0，甲没抢到题，乙抢到题目答错至少2个题或甲抢到2题，但答时一对一错，而乙答错一个题目．
X＝1，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对．
X＝2，甲抢到2题均答对．
X＝3，甲抢到3题均答对．
故答案为：?1，0，1，2，3
17．
【解析】
(1)ξ可取0,1,2,3.
ξ=i表示取出i支白粉笔,3-i支红粉笔,其中i=0,1,2,3.
(2)ξ可取3,4,5,6,7.
其中ξ=3表示取出编号为1,2的两张卡片.
ξ=4表示取出编号为1,3的两张卡片.
ξ=5表示取出编号为2,3或1,4的两张卡片.
ξ=6表示取出编号为2,4的两张卡片.
ξ=7表示取出编号为3,4的两张卡片.
18．X的分布列如下：
X
0
1
2
3
4
P
【解析】X的可能取值为0，1，2，3，4，
，，，，.
∴X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
19．
【详解】
（1）
0
1
2
3
结果
取得3个黑球
取得1个白球，2个黑球
取得2个白球，1个黑球
取得3个白球
（2）由题意可得，而的可能取值为0，1，2，3，
故的可能取值为6，11，16，21.
显然，为离散型随机变量.
20．
【解析】
解 设ξ的分布列为
ξ
x1
x2
x3
P
a－d
a
a＋d
由离散型随机变量分布列的基本性质知：
解得－≤d≤.
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精品试卷·第
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2.1.1
离散型随机变量
随堂同步基础练习
一、单选题
1．给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；
③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．
其中正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．袋中共有5个除了颜色外完全相同的球，其中有3个白球，2个红球.从袋中不放回地逐个取球，取完所有的红球就停止，记停止时取得的球的数量为随机变量X，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．某人进行射击，共有10发子弹，若击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为，则表示的试验结果是（
）
A．第10次击中目标
B．第10次未击中目标
C．前9次未击中目标
D．第9次击中目标
4．袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”事件的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为离散型随机变量的是
A．至少取到1个白球
B．至多取到1个白球
C．取到白球的个数
D．取到的球的个数
6．下列随机变量中，不是离散型随机变量的是( )
A．某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数X
B．某水位监测站所测水位在(0,18]这一范围内变化，该水位监测站所测水位H
C．从装有1红、3黄共4个球的口袋中，取出2个球，其中黄球的个数ξ
D．将一个骰子掷3次，3次出现的点数和X
7．已知下列随机变量:
①10件产品中有2件次品,从中任选3件,取到次品的件数X;
②一位射击手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,用X表示该射击手在一次射击中的得分;
③刘翔在一次110米跨栏比赛中的成绩X;
④在体育彩票的抽奖中,一次摇号产生的号码数X.
其中X是离散型随机变量的是( )
A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．③④
8．下列随机变量中不是离散型随机变量的是.
A．掷5次硬币正面向上的次数M
B．某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T
C．从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和Y
D．将一个骰子掷3次,3次出现的点数之和X
9．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为( )
A．1,2，…，6
B．1,2，…，7
C．1,2，…，11
D．1,2,3…
10．从标1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为ξ，那么随机变量ξ可能取的值有
A．17个
B．18个
C．19个
D．20个
11．下列随机变量X不是离散型随机变量的是
( )
A．某机场候机室中一天的游客数量为X
B．某寻呼台一天内收到的寻呼次数为X
C．某水文站观察到一天中长江的水位为X
D．某立交桥一天经过的车辆数为X
12．随机变量的概率分布规律为其中是常数，则的值为
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．在考试中,需回答三个问题,考试规则规定:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分,则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是_____.
三、解答题
14．写出下列随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果.
（1）一个袋中装有大小相同的2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X;
（2）抛掷两枚骰子各一次，第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差的绝对值Y.
15．某城市建设集团塔吊工人师傅的税前月工资按下述方法计取：固定工资元，每工作一小时再获取元，从该公司塔吊师傅中任意抽取一名，设其月工作时间为小时（且），获取的税前工资为元.
（1）当时，求的值；
（2）写出和之间的关系式；
（3）若，求的值.
16．一个袋中装有形状?大小均相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为.
（1）列表说明可能出现的结果与对应的的值；
（2）若规定抽取3个球的过程中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分的可能取值，并判断是不是离散型随机变量.
17．我市电视台为了解市民对我市举办的春节文艺晚会的关注情况，组织了一次抽样调查，下面是调查中的其中一个方面：
按类型用分层抽样的方法抽取份问卷，其中属“看直播”的问卷有份．
（1）求的值；
（2）为了解市民为什么不看的一些理由，用分层抽样的方法从“不看”问卷中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任取份，求至少有份是女性问卷的概率；
（3）现从（2）所确定的总体中每次都抽取1份，取后不放回，直到确定出所有女性问卷为止，记所要抽取的次数为，直接写出的所有可能取值（无需推理）.
18．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量取值所表示的随机试验的结果．
(1)在10件产品中有2件是次品，8件是正品，任取三件，取到正品的个数ξ；
(2)在10件产品中有2件次品，8件正品，每次取一件，取后不放回，直到取到两件次品为止，抽取的次数ξ；
(3)在10件产品中有8件正品，2件次品，每次取一件，取后放回，直到取到两件次品为止，抽取的次数ξ；
(4)在10件产品中有8件正品，2件次品，每次取一件，取后放回，共取5次，取到正品的件数ξ.
19．指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数；
(2)某林场树木最高达30
m，则此林场中树木的高度．
20．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，写出“ξ＝6”时表示的试验结果．
答案解析
1．D
【详解】
由随机变量定义可以直接判断①②③④都是正确的．
故选：D．
2．D
【详解】
最后一次取到的一定是红球，前两次是一红球二白球，
，
故选：D.
3．C
【详解】
由题知：表示前9次未击中目标，第10次击中目标或未击中目标.
故选：C
4．C
【详解】
因为“放回5个红球”表示前次摸到的都是黑球，第次摸到红球，
所以.
故选：C
5．C
【详解】
根据离散型随机变量的定义可得选项C是离散型随机变量，其可以一一列出，
其中随机变量的取值，
故选C.
6．B
【解析】
水位在(0,18]内变化，不能一一举出，故不是离散型随机变量，故选B．
7．C
【解析】
③中X的值可在某一区间内取值,不能一一列出,故不是离散型随机变量.
8．B
【详解】
由随机变量的概念可知.
某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T不能一一举出，故不是离散型随机变量
9．B
【详解】
从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则有可能第一次取出球，也有可能取完6个红球后才取出白球.
10．A
【详解】
2支竹签上的数字是1~10中的两个，若其中一个为1，另一个可取2~10，相应X可取得3~11，同理一个为2，另一个可取3~10，相应X可取得5~12，以此类推，可看到X可取得3~19间的所有整数，共17个.
11．C
【解析】
A、B、D中的随机变量X可能取的值，我们都可以按一定次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；
C中的X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故其不是离散型随机变量.
故选C.
12．D
【详解】
由题意，由所有概率的和为可得，
，故选.
13．-300,-100,100,300
【解析】
若答对0个问题得分；若答对1个问题得分；若答对2个问题得分；若问题全答对得分.
故答案为，，，.
点睛：本题考查的是离散型随机变量及其分布列，要理解题中的含义.
14．
【详解】
解：（1）X的所有可能取值为0，1，2.
X=0表示所取的3个球是3个黑球；
X=1表示所取的3个球是1个白球、2个黑球；
X=2表示所取的3个球是2个白球、1个黑球；
（2）依题意，用(a，b)表示一个样本点，其中a为第一枚骰子掷出的点数，，b为第二枚骰子掷出的点数，，
则，故Y的所有可能取值为0，1，2，3，4，5.
Y=0表示掷出的两枚骰子的点数相同，其包含的样本点有(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)
；
Y=1表示掷出的两枚骰子的点数相差1，其包含的样本点有(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，3)，(4，5)，(5，4)，(5，6)，(6，5)
；
Y=2表示掷出的两枚骰子的点数相差2，其包含的样本点有(1，3)，(3，1)，(2，4)，(4，2)，(3，5)，(5，3)，(4，6)，(6，4)
；
Y=3表示掷出的两枚骰子的点数相差3，其包含的样本点有(1，4)，(4，1)，(2，5)，(5，2)，(3，6)，(6，3)
；
Y=4表示掷出的两枚骰子的点数相差4，其包含的样本点有(1，5)，(5，1)，(2，6)，(6，2)
；
Y=5表示掷出的两枚骰子的点数相差5，其包含的样本点有(1，6)，(6，1)
.
15．（1）；（2）（且）；（3）.
【详解】
（1）当时，表示该师傅该月工作了小时，所以；
（2）由题意可得（且）；
（3），即，即.
因为，所以，
所以.
16．
【详解】
（1）
0
1
2
3
结果
取得3个黑球
取得1个白球，2个黑球
取得2个白球，1个黑球
取得3个白球
（2）由题意可得，而的可能取值为0，1，2，3，
故的可能取值为6，11，16，21.
显然，为离散型随机变量.
17．（1）；（2）；（3）.
【详解】
（1）
（2）
;
(3).
18．
【解析】
(1)ξ＝1,2,3，ξ＝k
(k＝1,2,3)表示取到k个正品；
(2)ξ＝2,3,4，…，10，ξ＝k
(k＝2,3，…，10)表示取了k次，第k次取得次品，前k－1次只取得一件次品．
(3)ξ＝2,3,4，…，ξ＝k(k＝2,3,4，…)表示取了k次，前k－1次取得一件次品，第k次取得次品．
(4)ξ＝0,1,2,3,4,5，ξ＝k
(k＝0,1,2,3,4,5)表示抽取5次共取得的正品数．
19．
【解析】
(1)只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．
(2)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量．
20．
【解析】
“ξ＝6”表示：甲在前5局比赛中胜3局并胜第6局，或乙在前5局比赛中胜3局并胜第6局．
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精品试卷·第
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