第一章 计数原理单元测试（含解析）
文档属性
| 名称 | 第一章 计数原理单元测试（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-16 10:11:05 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
第一章
计数原理单元测试
一、单选题(共60分)
1．(本题5分)用数字可以组成没有重复数字，并且比大的五位偶数共有
A．个
B．个
C．个
D．个
2．(本题5分)完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有
A．5种
B．4种
C．9种
D．20种
3．(本题5分)若的展开式中含有常数项，则n的最小值为（
）
A．8
B．10
C．11
D．12
4．(本题5分)若，则等于（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
5．(本题5分)的展开式的常数项是（
）
A．
B．
C．3
D．4
6．(本题5分)如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是
A．-2835
B．2835
C．21
D．-21
7．(本题5分)中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有( )
A．50种
B．60种
C．70种
D．90种
8．(本题5分)3个老师和5个同学照相，老师不能坐在最左端，任何两位老师不能相邻，则不同的坐法种数是
A．
B．
C．
D．
9．(本题5分)展开式中的系数为（
）
A．120
B．80
C．20
D．45
10．(本题5分)若在
关于的展开式中，常数项为4，则的系数是
A．56
B．-56
C．112
D．-112
11．(本题5分)有两排座位，前排个座位，后排个座位，现安排人就座，规定前排中间的个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的坐法的种数是（
）
A．
B．
C．
D．
12．(本题5分)已知的展开式中没有常数项，则n的最大值是（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
二、填空题(共20分)
13．(本题5分)公园计划在小路的一侧种植丹桂、金桂、银桂、四季桂4棵桂花树，垂乳银杏、金带银杏2棵银杏树，要求2棵银杏树必须相邻，则种植方法共有______种．
14．(本题5分)若把英文单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误拼写方法有________种．
15．(本题5分)在中美组织的暑假中学生交流会结束时，中方组织者将孙悟空、猪八戒、沙和尚、唐三藏、白龙马的彩色陶俑各一个送给来中国参观的美国中学生汤姆、杰克、索菲娅，每个人至少一个，且猪八戒的彩色陶俑不能送给索菲娅，则不同的送法种数为_____.
16．(本题5分)二项式的展开式中的系数为，则________．
三、解答题(共70分)
17．(本题10分)已知的展开式前两项的二项式系数的和为10.
(1)
求的值.
(2)
这个展开式中是否有常数项?若有,将它求出,若没有,请说明理由.
18．(本题12分)在某大型活动中，甲?乙等五名志愿者被随机地分到，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.
（1）求甲?乙两人同时参加岗位服务的分配方法有多少种？
（2）求甲?乙两人不在同一个岗位服务的分配方法有多少种？
19．(本题12分)在的展开式中，如果第4r项和第r+2项的二项式系数相等.
（1）求r的值；
（2）写出展开式中第4r项和r+2项.
20．(本题12分)数列满足()
（1）求的值；
（2）求与之间的关系式；
（3）求证：（）
21．(本题12分)2名女生、4名男生排成一排，求：
（1）2名女生不相邻的不同排法共有多少种？
（2）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？
22．(本题12分)（1）证明：；
（2）计算：；
（3）计算：.
答案解析
1．B
【详解】
分个位是0和不是0两类情况，个位是0的比20000大的五位偶数有,个位不是0的比20000大的五位偶数有,故共有240，选B.
2．C
【详解】
会用第一种方法的有5个人，选1个人完成这项工作有5种选择；会用第二种方法的有4个人，选1个人完成这项工作有4种选择；两者相加一共有9种选择,故选C.
3．C
【详解】
二项式展开式的通项公式为，由于展开式中含有常数项，则，，当时，取得最小值为.
故选：C
4．B
【详解】
因为，
所以，
解得.
故选：B
5．D
【详解】
解：展开式中的第项为，
当，即时，此时；
当，即时，此时.则.
故选:D.
6．A
【详解】
先通过给x赋值1得到展开式的各项系数和；再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为-3得到展开式中的系数．解：令x=1得展开式的各项系数和为2n，∴2n=128解得n=7，故可知的展开式
，当r=2时，得到的即为展开式中的系数-2835，故选A.
7．C
【详解】
根据题意，分2种情况讨论：
如果同学甲选牛，那么同学乙只能选兔、狗和羊中的一种，
丙同学可以从剩下的10种中任意选，
∴选法有种；
如果同学甲选马，那么同学乙能选牛、兔、狗和羊中的一种，
丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有种，
不同的选法共有种，故选C.
8．C
【详解】
先排学生,有种方法,再排教师,在学生之间去掉最左端的5个间隔中选3个排列,有种方法,故共有种排法,选C.
9．A
【详解】
原式可化为：，其展开式中可出现项的只有与两项，
所以其展开式中项分别为、，
则项为.
故选A.
10．B
【详解】
由题意得展开式的通项为，，
展开式的常数项为，
展开式中项为
展开式中的系数是
故选B
11．D
【解析】
由题意知本题是一个分类计数问题，都在前排左面4个座位6种，都在前排右面4个座位6种，分列在中间3个的左右4×4×2=32种，在前排一共6+6+32=44种，甲乙都在后排共有种，甲乙分列在前后两排种，一共有44+110+192=346种.故选D.
12．C
【详解】
因为的展开式中没有常数项；由二项式展开式的通项公式
可知
(1)当（x+1）中取x时，式子展开式中无,
所以中x的幂指数取不到-1,即；
（2）当（x+1）中取1时,式子展开式中无常数项,所以中x的幂指数取不到0,即
，选项中的n要同时满足上面两个不等式，故选B.
13．240.
【详解】
由题意，把两棵银杏树看出一个元素，共有种不同的排法，
则四棵桂花树和两棵银杏树的整体，共有5个不用的元素，共有中不同的排列，
所以两棵银杏树必须相邻，共有种不同的排法，
故答案为240种．
14．11
【详解】
单词中含个字母，则其全排列为，但其中两个字母一样，
因此排列方法为，其中只有一种组合是正确，因此错误拼写方法有种，
故答案为:11.
15．100
【详解】
因为索菲娅特殊，所以优先安排她，分为三类：
i）索菲娅有3个陶俑时，有，还有2个彩陶再排列，即共有4×2=8；
ii）索菲娅有2个陶俑时，有6，还有3个彩陶，有2个人，3×2=6，共有6×6=36；
ⅲ）索菲娅有1个陶俑时有4，还有4个彩陶分给2人，有2类，3，1分组，有4×2=8，
或2，2分组时，平均分组问题有顺序时6，所以这种情况共有4×（8+6）=56，
综上所述：不同的送法种数为8+36+56＝100.
故答案为：100.
16．
【详解】
二项式的展开式中通项公式：,令
,
则，
的系数为,，解得，
则，故答案为.
17．(1)9
(2)
常数项为
【解析】
5分
，于是第7项是常数项,
10分
常数项为.
13分
18．（1）6种；（2）216种.
【详解】
总事件数是从5个人中选2个作为一组，同其他3人共4个元素在四个位置进行排列.
（1）当甲?乙两人同时参加岗位服务时，另外三个人在??三个位置进行全排列，
满足条件的事件数是；即甲?乙两人同时参加岗位服务的分配方法有6种；
（2）记甲?乙两人同时参加同一岗位服务为事件，满足条件的事件数是，
那么甲?乙两人不在同一岗位服务的有：；
甲?乙两人不在同一个岗位服务的分配方法有216种.
19．（1）4；（2）和
【详解】
（1）第项与第项的二项式系数相等，
则，即或.
解得，（舍）.
故r的值为4.
（2）第4r项，即第16项为，
第r+2项，即第6项为，
20．
【详解】
（1），，
，；
（2）
（3）由（2）可知，所以
．
所以时不等式成立，而时不等式显然成立，所以原命题成立.
21．（1）480种（2）360种
【详解】
（1）2名女生不相邻的排列可以分成2步完成：
第一步
将4名男生排成一排，有种排法；
第二步
排2名女生.由于2名女生不相邻，可以在每2名男生之间及两端共5个位置中选出2个排2名女生，有种排法.
根据分步计数原理，不同的排法种数是.
（2）女生甲必须排在女生乙左边的排列可以分成2步完成：
第一步：排2名女生，女生的顺序已经确定，这2名女生的排法种数为从6个位置中选出2个位置的组合数，即为；
第二步：排4名男生.将4名男生在剩下的4个位置上进行排列的方法数有种.
根据分步计数原理，不同的排法种数是.
22．
【详解】
解：（1）；
（2）
.
（3）设，
则
.
所以，
又，所以.
所以
.（结果没化简，不扣分）
方法二：
.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第一章
计数原理单元测试
一、单选题(共60分)
1．(本题5分)用数字可以组成没有重复数字，并且比大的五位偶数共有
A．个
B．个
C．个
D．个
2．(本题5分)完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有
A．5种
B．4种
C．9种
D．20种
3．(本题5分)若的展开式中含有常数项，则n的最小值为（
）
A．8
B．10
C．11
D．12
4．(本题5分)若，则等于（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
5．(本题5分)的展开式的常数项是（
）
A．
B．
C．3
D．4
6．(本题5分)如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是
A．-2835
B．2835
C．21
D．-21
7．(本题5分)中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种，现有十二生肖的吉物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有( )
A．50种
B．60种
C．70种
D．90种
8．(本题5分)3个老师和5个同学照相，老师不能坐在最左端，任何两位老师不能相邻，则不同的坐法种数是
A．
B．
C．
D．
9．(本题5分)展开式中的系数为（
）
A．120
B．80
C．20
D．45
10．(本题5分)若在
关于的展开式中，常数项为4，则的系数是
A．56
B．-56
C．112
D．-112
11．(本题5分)有两排座位，前排个座位，后排个座位，现安排人就座，规定前排中间的个座位不能坐，并且这两人不左右相邻，那么不同的坐法的种数是（
）
A．
B．
C．
D．
12．(本题5分)已知的展开式中没有常数项，则n的最大值是（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
二、填空题(共20分)
13．(本题5分)公园计划在小路的一侧种植丹桂、金桂、银桂、四季桂4棵桂花树，垂乳银杏、金带银杏2棵银杏树，要求2棵银杏树必须相邻，则种植方法共有______种．
14．(本题5分)若把英文单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误拼写方法有________种．
15．(本题5分)在中美组织的暑假中学生交流会结束时，中方组织者将孙悟空、猪八戒、沙和尚、唐三藏、白龙马的彩色陶俑各一个送给来中国参观的美国中学生汤姆、杰克、索菲娅，每个人至少一个，且猪八戒的彩色陶俑不能送给索菲娅，则不同的送法种数为_____.
16．(本题5分)二项式的展开式中的系数为，则________．
三、解答题(共70分)
17．(本题10分)已知的展开式前两项的二项式系数的和为10.
(1)
求的值.
(2)
这个展开式中是否有常数项?若有,将它求出,若没有,请说明理由.
18．(本题12分)在某大型活动中，甲?乙等五名志愿者被随机地分到，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.
（1）求甲?乙两人同时参加岗位服务的分配方法有多少种？
（2）求甲?乙两人不在同一个岗位服务的分配方法有多少种？
19．(本题12分)在的展开式中，如果第4r项和第r+2项的二项式系数相等.
（1）求r的值；
（2）写出展开式中第4r项和r+2项.
20．(本题12分)数列满足()
（1）求的值；
（2）求与之间的关系式；
（3）求证：（）
21．(本题12分)2名女生、4名男生排成一排，求：
（1）2名女生不相邻的不同排法共有多少种？
（2）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？
22．(本题12分)（1）证明：；
（2）计算：；
（3）计算：.
答案解析
1．B
【详解】
分个位是0和不是0两类情况，个位是0的比20000大的五位偶数有,个位不是0的比20000大的五位偶数有,故共有240，选B.
2．C
【详解】
会用第一种方法的有5个人，选1个人完成这项工作有5种选择；会用第二种方法的有4个人，选1个人完成这项工作有4种选择；两者相加一共有9种选择,故选C.
3．C
【详解】
二项式展开式的通项公式为，由于展开式中含有常数项，则，，当时，取得最小值为.
故选：C
4．B
【详解】
因为，
所以，
解得.
故选：B
5．D
【详解】
解：展开式中的第项为，
当，即时，此时；
当，即时，此时.则.
故选:D.
6．A
【详解】
先通过给x赋值1得到展开式的各项系数和；再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为-3得到展开式中的系数．解：令x=1得展开式的各项系数和为2n，∴2n=128解得n=7，故可知的展开式
，当r=2时，得到的即为展开式中的系数-2835，故选A.
7．C
【详解】
根据题意，分2种情况讨论：
如果同学甲选牛，那么同学乙只能选兔、狗和羊中的一种，
丙同学可以从剩下的10种中任意选，
∴选法有种；
如果同学甲选马，那么同学乙能选牛、兔、狗和羊中的一种，
丙同学可以从剩下的10种中任意选，∴选法有种，
不同的选法共有种，故选C.
8．C
【详解】
先排学生,有种方法,再排教师,在学生之间去掉最左端的5个间隔中选3个排列,有种方法,故共有种排法,选C.
9．A
【详解】
原式可化为：，其展开式中可出现项的只有与两项，
所以其展开式中项分别为、，
则项为.
故选A.
10．B
【详解】
由题意得展开式的通项为，，
展开式的常数项为，
展开式中项为
展开式中的系数是
故选B
11．D
【解析】
由题意知本题是一个分类计数问题，都在前排左面4个座位6种，都在前排右面4个座位6种，分列在中间3个的左右4×4×2=32种，在前排一共6+6+32=44种，甲乙都在后排共有种，甲乙分列在前后两排种，一共有44+110+192=346种.故选D.
12．C
【详解】
因为的展开式中没有常数项；由二项式展开式的通项公式
可知
(1)当（x+1）中取x时，式子展开式中无,
所以中x的幂指数取不到-1,即；
（2）当（x+1）中取1时,式子展开式中无常数项,所以中x的幂指数取不到0,即
，选项中的n要同时满足上面两个不等式，故选B.
13．240.
【详解】
由题意，把两棵银杏树看出一个元素，共有种不同的排法，
则四棵桂花树和两棵银杏树的整体，共有5个不用的元素，共有中不同的排列，
所以两棵银杏树必须相邻，共有种不同的排法，
故答案为240种．
14．11
【详解】
单词中含个字母，则其全排列为，但其中两个字母一样，
因此排列方法为，其中只有一种组合是正确，因此错误拼写方法有种，
故答案为:11.
15．100
【详解】
因为索菲娅特殊，所以优先安排她，分为三类：
i）索菲娅有3个陶俑时，有，还有2个彩陶再排列，即共有4×2=8；
ii）索菲娅有2个陶俑时，有6，还有3个彩陶，有2个人，3×2=6，共有6×6=36；
ⅲ）索菲娅有1个陶俑时有4，还有4个彩陶分给2人，有2类，3，1分组，有4×2=8，
或2，2分组时，平均分组问题有顺序时6，所以这种情况共有4×（8+6）=56，
综上所述：不同的送法种数为8+36+56＝100.
故答案为：100.
16．
【详解】
二项式的展开式中通项公式：,令
,
则，
的系数为,，解得，
则，故答案为.
17．(1)9
(2)
常数项为
【解析】
5分
，于是第7项是常数项,
10分
常数项为.
13分
18．（1）6种；（2）216种.
【详解】
总事件数是从5个人中选2个作为一组，同其他3人共4个元素在四个位置进行排列.
（1）当甲?乙两人同时参加岗位服务时，另外三个人在??三个位置进行全排列，
满足条件的事件数是；即甲?乙两人同时参加岗位服务的分配方法有6种；
（2）记甲?乙两人同时参加同一岗位服务为事件，满足条件的事件数是，
那么甲?乙两人不在同一岗位服务的有：；
甲?乙两人不在同一个岗位服务的分配方法有216种.
19．（1）4；（2）和
【详解】
（1）第项与第项的二项式系数相等，
则，即或.
解得，（舍）.
故r的值为4.
（2）第4r项，即第16项为，
第r+2项，即第6项为，
20．
【详解】
（1），，
，；
（2）
（3）由（2）可知，所以
．
所以时不等式成立，而时不等式显然成立，所以原命题成立.
21．（1）480种（2）360种
【详解】
（1）2名女生不相邻的排列可以分成2步完成：
第一步
将4名男生排成一排，有种排法；
第二步
排2名女生.由于2名女生不相邻，可以在每2名男生之间及两端共5个位置中选出2个排2名女生，有种排法.
根据分步计数原理，不同的排法种数是.
（2）女生甲必须排在女生乙左边的排列可以分成2步完成：
第一步：排2名女生，女生的顺序已经确定，这2名女生的排法种数为从6个位置中选出2个位置的组合数，即为；
第二步：排4名男生.将4名男生在剩下的4个位置上进行排列的方法数有种.
根据分步计数原理，不同的排法种数是.
22．
【详解】
解：（1）；
（2）
.
（3）设，
则
.
所以，
又，所以.
所以
.（结果没化简，不扣分）
方法二：
.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)