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2.1.2
离散型随机变量的分布列
随堂同步基础练习
一、单选题
1．设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
若随机变量Y=X-2，则P(Y=2)等于（
）
A．0.3
B．0.4
C．0.6
D．0.7
2．某一随机变量的概率分布如下表，且，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知随机变量的分布列为
0
1
2
3
若，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
4．若随机变量X的分布列如下所示
X
－1
0
1
2
P
0.2
a
b
0.3
且E(X)＝0.8，则a、b的值分别是（
）
A．0.4，0.1
B．0.1，0.4
C．0.3，0.2
D．0.2，0.3
5．若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P
则常数a的值为（
）
A．
B．
C．或
D．1或
6．设随机变量的概率为分布列如下表，则（
）
1
2
3
4
A．
B．
C．
D．
7．已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
8．若随机变量的分布列如下：
则当时，的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
9．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表,请小牛同学计算ξ的均值,尽管“!”处无法完全看清,且两个“?”处字迹模糊,但能肯定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案Eξ等于( )
x
1
2
3
P(ξ=x)
?
!
?
A．1
B．2
C．4
D．6
10．已知随机变量X的分布列为：
若，则实数x的取值范围是
A．4≤x≤9
B．4C．4≤x<9
D．411．随机变量ξ的分布列如下:
其中a,b,c成等差数列,则P(|ξ|=1)等于( )
A．
B．
C．
D．
二、填空题
12．设随机变量的分布列为，则的值为___________.
13．一批产品分为四级，其中一级产品是二级产品的两倍，三级产品是二级产品的一半，四级产品与三级产品相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，设其级别为随机变量ξ，则_____.
14．设离散型随机变量X服从两点分布，若，则__________．
15．已知随机变量X的分布列为，则等于________.
三、解答题
16．一个袋中装有除颜色外其他都相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为X.
（1）列表说明可能出现的结果与对应的X的值;
（2）若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，求最终得分Y的可能取值.
17．某汽车驾驶学校在学员学习完毕后，对学员的驾驶技术进行9选3考试（即共9项测试，随机选取3项）考核，若全部过关，则颁发结业证；若不合格，则参加下期考核，直至合格为止，若学员小李抽到“移库”一项，则第一次合格的概率为，第二次合格的概率为，第三次合格的概率为，若第四次抽到可要求调换项目，其它选项小李均可一次性通过．
（1）求小李第一次考试即通过的概率；
（2）求小李参加考核的次数的分布列．
18．某校为校级元旦晚会选拔主持人，现有来自高一年级的参赛选手4名，其中男生2名；高二年级的参赛选手4名，其中男生3名.从这8名参赛选手中随机选择4人组成搭档参赛.
（1）设事件为“选出的4人中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个年级”，求事件发生的概率；
（2）设为选出的4人中男生的人数，求随机变量的分布列.
19．某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：
消费次第
第1次
第2次
第3次
第4次
次
收费比率
1
0.95
0.90
0.85
0.80
若该公司注册的会员中没有消费超过5次的，从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下：
消费次数
1
2
3
4
5
人数
60
20
10
5
5
假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：
（1）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；
（2）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为元，求的分布列.
20．在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这四场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率都相等．已知这四场比赛结束后，该班胜场多于负场．
（1）求该班胜场多于负场的所有可能情况的种数；
（2）若胜场次数为，求的分布列．
21．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
（1）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件发生的概率；
（2）设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列.
答案解析
1．A
【详解】
由0.2+0.1+0.1+0.3+m=1，得m=0.3.又P(Y=2)=P(X=4)=0.3．
故选：A．
2．B
【详解】
由离散型随机变量分布列的性质以及已知条件得，解得，
因此，.
故选：B.
3．B
【详解】
由随机变量的分布列知，的可能取值为0，1，4，9，
，
，
，
，
因为，
所以实数的取值范围是.
故选：B
4．B
【详解】
由随机变量X的分布列得：，
所以，
又因为，
解得，
所以，
故选：B
5．A
【详解】
由随机变量的分布列的性质知，
，
故选：A.
6．A
【详解】
由，解得或
故选：A
7．C
【详解】
因为的分布列服从两点分布，所以，
因为，所以
故选：C
8．B
【详解】
由题意可得，，，则.
故选：B
9．B
【详解】
由题意，设“?”对应的概率为a，则“!”处对应的概率为1-2a，
则，故选B.
10．B
【详解】
由随机变量X的分布列知：X2的可能取值为0，1，4，9，
且P（X2＝0）＝，
P（X2＝1）＝，
P（X2＝4）＝，
P（X2＝9）＝，
∵P(X2∴实数x的取值范围是4＜x≤9．
故选B．
11．D
【详解】
由随机变量ξ的分布列可得a+b+c=1①
又a,b,c成等差数列得2b=a+c.
②
联立①②解得b=,
P(|ξ|=1)=P(ξ=-1)+P(ξ=1)=a+c=2b=
故选：D.
12．
【详解】
因为随机变量的分布列为
所以根据分布列的性质有
所以所以
故答案为：
13．
【详解】
依题意，，，，
由分布列性质得，
则，即，.
所以.
故答案为：.
14．
【详解】
解：因为离散型随机变量X服从两点分布，且
所以
故答案为：
15．
【详解】
，，解得a=5，
则.
故答案为：．
16．
【详解】
(1)
结果
取得3个黑球
取得1个白球，2个黑球
取得2个白球，1个黑球
取得3个白球
X
0
1
2
3
(2)由题意可得Y=5X+6，而X的可能取值为0，1，2，3，
所以Y对应的取值为5×0+6，5×1+6，5×2+6，5×3+6，
即Y的可能取值为6，11，16，21．
17．
【详解】
（1）根据题意小李第一次考试即通过包括①小李没有抽到“移库”一项；②抽到“移库”一项且通过．
；
（2）根据题意小李参加考核的次数可能为1，2，3，4，则
，
，
，
，
分布列为
1
2
3
4
18．
【详解】
（1）由题意知，所以事件发生的概率为.
（2）随机变量的所有可能取值为1,2,3，4，，
所以随机变量的分布列为
1
2
3
4
19．
【详解】
（1）因为第一次消费时，公司获得利润为元，
第二次消费时，公司获得利润为元，
所以两次消费中，公司获得的平均利润为元，
（2）因为公司成本为元，所以消费一次公司获得的平均利润为元，消费两次公司获得的平均利润为元，消费三次公司获得的平均利润为元，消费四次公司获得的平均利润为元，
消费五次公司获得的平均利润为元，
的所有可能的取值为，
，
，
，
，
，
.故的分布列为
50
45
40
35
30
0.6
0.2
0.1
0.05
0.05
20．
【详解】
（1）若胜一场，则其余为平，共有种情况；
若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有种情况；
若胜三场，则其余一场为负或平，共有种情况；
若胜四场，则只有1种情况．
综上，共有种情况．
（2）的可能取值为1,2,3,4，
由（1）可得：，，，
所以的分布列为：
1
2
3
4
21．
【详解】
（1）从这8名运动员中随机选择4人参加比赛，共有种，其中事件所包含的基本事件数为，
所以.
（2）随机变量的所有可能取值为，
，，
，，
所以随机变量的分布列为:：
1
2
3
4
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精品试卷·第
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2.1.2
离散型随机变量的分布列
随堂同步进阶练习
一、单选题
1．已知离散型随机变量X的分布列如图，则常数c为
X
0
1
P
A．
B．
C．或
D．
2．在某校篮球队的首轮选拔测试中,参加测试的五名同学的投篮命中率分别为,每人均有10次投篮机会,至少投中6次才能晋级下一轮测试,假设每人每次投篮相互独立,则晋级下一轮的人数大约为( )
A．2人
B．3人
C．4人
D．5人
3．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X2)等于
A．
B．
C．
D．1
4．有件产品，其中件是次品，从中任取件，若表示取得次品的件数，则
A．
B．
C．
D．
5．若随机变量ξ的分布列如表所示，E(ξ)＝1.6，则a－b＝( )
A．0.2
B．－0.2
C．0.8
D．－0.8
6．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，其分布列为，则的值为
A．
B．
C．
D．
7．一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量，则
A．
B．
C．
D．
8．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝,k＝1,2,3，则m的值为
( )
A．
B．
C．
D．
9．设随机变量X的分布列为，则
A．
B．
C．
D．
10．随机变量的概率分布列规律为其中为常数，则的值为
.
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．已知随机变量ξ和η，其中η＝4ξ－2，且E(η)＝7，若ξ的分布列如下表，则n的值为__.
ξ
1
2
3
4
P
m
n
三、解答题
12．为发展业务，某调研组对两个公司的产品需求量进行调研，准备从国内7个人口超过1500万的超大城市和个人口低于200万的小城市中随机抽取若干个进行统计，若一次抽取2个城市，则全是小城市的概率为.
（1）求的值；
（2）若一次抽取4个城市，则
①假设取出小城市的个数为，求的分布列；
②若取出的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.
13．为了解学生自主学习期间完成数学试卷(单位：套)的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表：
1
2
3
4
5
男
1
4
3
2
2
女
0
1
3
3
1
（1）从该班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生完成试卷套数之和为4的概率；
（2）若从完成试卷套数不少于4的学生中任选4人，设选到的男学生人数为，求随机变量的分布列.
14．袋中有8个形状?大小均相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球.
（1）若从袋中一次摸出2个小球，求恰为异色球的概率；
（2）若从袋中一次摸出3个小球，且3个球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记此时红球的个数为，求的分布列.
15．（．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：
（1）该顾客中奖的概率；
（2）该顾客获得的奖品总价值X（元）的概率分布列．
16．两台车床加工同一种机械零件如下表：
分类
合格品
次品
总计
第一台车床加工的零件数
35
5
40
第二台车床加工的零件数
50
10
60
总计
85
15
100
从这100个零件中任取一个零件，求：
(1)取得合格品的概率；
(2)取得零件是第一台车床加工的合格品的概率．
17．在10件产品中,有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件．求：
（1）取出的3件产品中一等品件数的分布列；
（2）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
18．已知一个口袋中装有n个红球(n≥1且n∈N＋)和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出2个球，若2个球颜色不同则为中奖，否则不中奖．
(1)当n＝3时，设三次摸球中中奖的次数为X，求随机变量X的分布列；
(2)记三次摸球中恰有两次中奖的概率为P，求当n取多少时，P的值最大．
19．为了解某地区城镇居民和农村居民对“单独两孩”的看法,某媒体在该地区选择了3600人对是否赞成“单独两孩”的问题进行调查,调查统计的结果如下表:
赞成
反对
无所谓
农村居民
2100人
120人
y人
城镇居民
600人
x人
z人
已知在全体样本中随机抽取1人,抽到持“反对”态度的人的概率为0.05.
(1)现在用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行访谈,问应在持“无所谓”态度的人中抽取的人数是多少?
(2)在持“反对”态度的人中,用分层抽样的方法抽取6人,按每组3人分成两组进行深入交流,求第一组中农村居民的人数ξ的分布列.
20．某一射手射击所得环数X的分布列如下：
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
m
0.29
0.22
(1)求m的值；
(2)求此射手“射击一次命中的环数≥7”的概率．
答案解析
1．A
【详解】
由随机变量的分布列知，，，，
∴，故选A．
2．B
【详解】
5名同学投篮各10次，相当于做了10次独立重复事件，他们投中的次数服从二项分布，则他们投中的期望分别为
故晋级下一轮大约有3人，故选B．
3．C
【详解】
由题意，知X取0，1，2，X服从超几何分布，
它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，
即P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，
于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝
故选C
4．B
【详解】
根据题意，
故选：B.
5．B
【解析】
易知a，b∈[0,1]，由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8，又由E(ξ)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2.
故选B.
6．C
【详解】
从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，当盒中旧球的个数为时，相当于旧球的个数在原来3个的基础上增加了一个，所以取出的3个球中只有一个新球，即取出的3个球中有2个是旧球1个新球，所以，故选C.
7．D
【详解】
表示前个为白球，第个恰为红球.
（0，1，2，…，5），
∴分布列为
∴.
8．B
【解析】
因为，所以，选B.
9．B
【详解】
由概率和为1,可知，解得，=选B.
10．D
【详解】
根据题意，由于，那么可知，时，则可得概率和为1，即.
∴
∴
故选D.
11．
【详解】
，，所以，且概率和，解得.
12．
【详解】
（1）由题意知，共个城市，取出2个的方法总数是，
其中全是小城市的情况有种，
故全是小城市的概率是，
整理得，
即，
.，
.
（2）①由题意可知的所有可能取值为0，1，2，3，4.
，
.
故的分布列为
0
1
2
3
4
②若4个城市全是超大城市，共有种情况；
若4个城市全是小城市，共有种情况，
故全为超大城市的概率为.
13．
【详解】
（1）设事件：从该班学生中任选名男生，一名女生，这两名学生完成试卷套数之和为4.
由题意可知，.
（2）完成试卷套数不少于4的学生共8人，其中男学生人数为4，故的所有可能取值为0，1，2，3，4.
由题意可得，
，
，
，
.
所以随机变量的分布列为
0
1
2
3
4
14．
【详解】
（1）摸出的2个小球为异色球的种数为，
从8个球中摸出2个小球的种数为，故所求概率.
（2）由题意知，随机变量的所有可能取值为1，2，3.
符合条件的摸法包括以下三种：
①摸得1个红球，1个黑球，1个白球，共有种，
②摸得2个红球，1个其他颜色球，共有种，
③所摸得的3个球均为红球，共有种不同摸法，故符合条件的不同摸法共有40种.
故，
，
故的分布列为
1
2
3
15．
【详解】
（1）该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率
P＝.（或用间接法，P=1-）.
(2)依题意可知，X的所有可能取值为0,10,20,50,60(元)，且
P(X＝0)＝，P(X＝10)＝，P(X＝20)＝，
P(X＝50)＝，P(X＝60)＝.所以X的分布列为：
X
0
10
20
50
60
P
16．
【详解】
(1)记在100个零件中任取一个零件，取得合格品记为A，因为在100个零件中，有85个为合格品，
则P(A)＝＝0.85.
(2)从100个零件中任取一个零件是第一台加工的概率为P1＝，
第一台车床加工的合格品的概率为P2＝，
所以取得零件是第一台车床加工的合格品的概率P＝P1·P2＝.
17．
【详解】
（1）题意知
的所有可能取值为
，，，，且
服从参数为
，，
的超几何分布，
因此
．
所以
；
；
；
．
故
的分布列为
:
X
0
1
2
3
P
（2）设“取出的件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件，“恰好取出件一等品和件三等品”为事件，
“恰好取出件一等品”为事件，“恰好取出件一等品”为事件，
由于事件，，彼此互斥，且，
而，，，
所以取出的件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为：
．
18．
【详解】
（1）当n=3时，每次摸出两个球，中奖的概率，
；
；
；；
ξ分布列为：
ξ
0
1
2
3
p
（2）设每次摸奖中奖的概率为p，
则三次摸球（每次摸奖后放回）恰有两次中奖的概率为：
，0＜p＜1，
P'=﹣9p2+6p=﹣3p（3p﹣2），知在上P为增函数，在上P为减函数，
当时P取得最大值．
又，
故n2﹣3n+2=0，解得：n=1或n=2，
故n为1或2时，P有最大值．
19．
【详解】
(1)∵抽到持“反对”态度的人的概率为0.05,∴=0.05,解得x=60,∴持“无所谓”态度的人数为3600-2100-120-600-60=720,
∴应在持“无所谓”态度的人中抽取的人数为720×=72.
(2)由(1)知,持“反对”态度的一共有180人,∴在所抽取的6人中,农村居民的人数为×6=4,城镇居民的人数为×6=2,∴ξ的可能取值为1,2,3,∴P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,
∴ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P
20．
【解析】
(1)由分布列的性质得
m＝1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.09＋0.29＋0.22)＝0.28.
(2)P(射击一次命中的环数≥7)
＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.
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