八年级数学二次根式综合应用讲义（word版含答案）

八年级数学1055370012331700二次根式综合应用讲义
课前预习
回顾二次根式的相关概念，并完成下列各题．
（1）；．
（2）二次根式的乘除法则：
①_______________________；②______________________．
（3）二次根式的加减法则：
①______________________；②_______________________．
根据幂的运算性质（a≠0，p为正整数）进行计算：
（1）； （2）．
有理数混合运算处理方法：
①观察_______划_______；
②有序操作依_______；
③每步推进一点点．
例：
思路分析
观察结构，划为①②③三个部分，对①②部分，每步推进一点点．
过程示范
请你类比有理数混合运算处理方法，处理下面实数混合运算：
知识点睛
理解二次根式的双重非负性
（1）对于二次根式，有且．
（2）若，则x=_____，y=_____，z=_____．
实数混合运算处理方法：
①_____________________；
②_____________________；
③_____________________．
做运算时往往需要估计工作量，观察式子结构，巧用公式，可以大大简化运算．
（1）；
（2）．
比较大小的几种方法：估值法，作差法，乘方法，分母有理化．
二次根式与数形结合
被开方数中出现平方形式，可通过构造直角三角形借助勾股定理解决问题．
精讲精练
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）； （2）； （3）．
若x，y，z为实数，且满足，则
的值为___________．
若a，b为实数，且满足，则的值
为___________．
实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，
化简：．
当1≤x≤3时，化简：．
已知b<0，则二次根式的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
若xy≠0，则使成立的条件是（ ）
A．x > 0，y > 0 B．x > 0，y < 0
C．x < 0，y > 0 D．x < 0，y < 0
化简：．
计算：
（1）；
（2）；
（3）； （4）．
用适当的方法比较大小．
（1）与； （2）与；
（3）与； （4）与；
（5）与； （6）与．
，，的大小关系是（ ）
A．<< B．<<
C．<< D．<<
观察下列各式：；；．
类比上述式子，再写出几个同类型的式子．你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律，并给出证明．
观察下列各式及验证过程：
；；．
验证：；
；
．
（1）按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用（n≥1且n为自然数）表示的等式，并进行验证．
问题背景：
在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点三角形ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需要求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上___________．
思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC
三边的长分别为，，（a>0），请利用图2的
正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，
并求出它的面积．
探索创新：
（3）若△ABC三边的长分别为，，（m>0，n>0，且m≠n），试利用图3的网格画出相应的△ABC，并求出这个三角形的面积．
如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，CE．已知AB=2，DE=1，BD=4，设CD=x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）求AC+CE的最小值；
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式
的最小值．
【参考答案】
课前预习
（1）；
（2）①；
②
（3）①化为最简二次根式；②合并同类二次根式
（1）5；（2）
①结构，部分
②法则
知识点睛
0，0，0
①观察结构划部分；
②有序操作依法则；
③每步推进一点点
精讲精练
（1） （2） （3）
9
2
C
B
（1） （2）
（3） （4）
（1）< （2）< （3）>
（4）< （5）> （6）>
B
，证明略
（1）；
（2）
（1）；
（2）图略，△ABC的面积是；
（3）图略，△ABC的面积是
（1）；
（2）5；
（3）13，图略