苏教版七年级下教学案 第八章《幂的运算》（共7课时）

课题 8.1 同底数幂的乘法 自主空间
学习目标 知识与技能：掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加。过程与方法：经历生活中的实际问题引出同底数幂相乘的情况。情感、态度与价值观：感受从具体到抽象、从特殊到一般的思考方法，发展数感和归纳的能力。
学习重点 会运用同底数幂的乘法法则进行相关计算。
学习难点 同底数幂的乘法运算法则的推导过程。
教学流程
预习导航 1、在日常生活中我们常遇到大数，这时候我们可用科学记数法来表示它们，请大家将下列大数用科学记数法来表示：（1）2 000= ； （2）340 000= ；（3）6 610 000= ；（4）19 990 000= ；　　（5）1 000 000 000= 。2、太阳光照射到地球表面所需的时间大约是5×102 s，光的速度约是3×108 m/s，地球与太阳之间的距离是多少？3 、 物质一般都是由分子组成的，如1 mL水中约含有3.6 x 1022个水分子，你知道喝300 mL 的水，大约喝了多少个水分子吗？4、 1 g 黄金可以拉成长达4 x 103 m 的细丝。如果用250 kg 黄金拉成细丝，能够饶地球赤道1 圈吗？能够从地球拉到月球吗？（地球与月球的距离约为3.844x105 km）
合作探究 一、新知探究：(1) 计算下列各式 102×105; 105×106; 104×108 （学生回答并自己纠正写法上的错误，并说明为什么） (2) 怎样计算10m ×10n(m,n为正整数) (3) 2m ×2n等于什么 ()m ×()n呢 (m,n为正整数) 当m,n为正整数时, am ．an=(a ．a ．… ．a) ．(a ．a ．… ．a) m个a n个a = a ．a ．… ．a (m+n)个a =am+n.am ．an =am+n (m,n是正整数)法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。二、例题分析：例1 计算：（１）　　　（２）　　（３）（４）（m是正整数）注意：1、在计算时，只有当底数相同时,指数才可以相加.2、x的指数为1,计算时不要遗漏.推广：am an ap =(am an) ap=am+n ap=am+n+p例2：计算：如果卫星绕地球运行的速度是ｍ／ｓ，求这颗卫星运行１ｈ的路程.想一想：上题中，卫星运行１ｈ的路程，一个普通人步行大约需要多少时间？三、展示交流：１计算：（１）　　　 （２）　　（３）　　　　 　（４）　２．在银河系中，恒星“心宿二”的体积约是太阳的倍，太阳的体积约是地球的倍，那么“心宿二”的体积约是地球的多少倍？四、提炼总结：1．说说同底数幂的乘法运算的性质2．通过探索同底数幂乘法运算性质的活动你有什么感受？
当堂达标 １．计算：（１）　　　　（２）（３）　（ｎ是正整数）（４）（ｍ是大于１的整数）２．计算：　(ｍ,n是正整数）3．已知，，求的值。
学习反思：
课题 8.2 幂的乘方与积的乘方（1） 自主空间
学习目标 知识与技能：1.能说出幂的乘方的运算性质，并会用符号表示；2．使学生能运用幂的乘方法则进行计算，并能说出每一步运算的依据。过程与方法：在推导幂的乘方法则过程中，培养学生逻辑思维和分析问题的能力。情感、态度与价值观：经历探索幂的乘方的运算性质过程，进一步体会幂的意义，从中感受具体到抽象、特殊到一般的思考方法，发展数感和归纳能力。
学习重点 理解并掌握幂的乘方法则．
学习难点 幂的乘方法则的灵活运用．
教学流程
预习导航 一个正方体的棱长是100 mm, 即102 mm,它的体积是多少？2．在黑板上写下100个104的乘积，你能有简便的写法呢？根据乘方的定义，100个104相乘，可以写成（104）100，你会计算吗？
合作探究 一、新知探究：做一做：先说出下列各式的意义，再计算下列各式：（23）2=_________________;（a4）3=_________________;（am）5=_________________从上面的计算中，你发现了什么规律？上面各式括号中都是幂的形式，然后再乘方．即： 幂的乘方 猜想：（am）n等于什么？你的猜想正确吗？（讨论，充分发表自己的看法）一般地有：于是得(am)n = amn(m，n都是正整数)这就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘．（学生自己归纳）二、例题分析：例 1： 计算：(1)(106)2；(2)(am)4(m为正整数)；(3)－(y3)2；(4)(－x3)3．注意：符号和乘方的关系． 例 2： 计算：x2·x4＋(x3)2; (2)(a3)3·(a4)3.比较：同底数幂相乘，积的乘方与合并同类项之间的区别。三、展示交流：1、下面的计算对不对？如果不对，应怎样改正：(1) (a5)2 = a7； (2) a5· a2 ＝a10．填空：（1）108=（ ）2； （2）b27=(b3)( );(3)(ym)3=( )m; (4)p2nn+2=( )2.3、请你比较340与430的大小。四、提炼总结：1、说说幂的乘方的运算性质；2、举例说明幂的乘方运算性质与同底数幂的乘法性质的联系与区别。
当堂达标 1.下列计算中正确命题的个数有（ ）个（１）＝　　(２)(３)　　 　(４)＝(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)以上都不对2. 计算：（1）（a3）3； （2）（x6）5； （3）－（x2）3； 3.计算：（1） （2） HYPERLINK "http://" 4.已知
学习反思：
课题 8.2 幂的乘方与积的乘方（2） 自主空间
学习目标 知识与技能：使学生能灵活地运用积的乘方法则进行计算，并会解决一些实际问题过程与方法：1、经历积的乘方运算性质的探索过程，进一步理解幂的意义； 2、通过法则的推导过程培养学生分析问题、解决问题的能力。情感、态度与价值观：从中感受具体到抽象、特殊到一般的思想方法，发展数感和归纳的能力。
学习重点 法则的理解与掌握。
学习难点 法则的灵活运用。
教学流程
预习导航 1．计算：(1)（3×2）3=__________, 33×23=___________. (2)[3×(－2)]3=__________, 33×(－2) 3=_________. (3)(×)3=__________, ()3×()3=_________.2．计算：25×0.55
合作探究 一、新知探究：通过计算思考：1、从上面预习的计算中你发现了什么？与同学交流； 2、 换几个数再试试； 3、 猜想（3×2）n（n是正整数）、(ab)n的结果。（3×2）n=（3×2）·（3×2）······（3×2） n个 =(3×3×······×3) ×(2×2×······×2) n个 n个(ab)n＝(ab)·(ab)····(ab) n个＝(a·a···a)·(b·b···b) n个 n个 =anbn结论：从上面的计算于是我们得到了积的乘方法则：(ab)n＝an bn (n是正整数) 这就是说，积的乘方等于积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。二、例题分析：例1 计算：(1)(5m )3； (2)(－xy2)3； 注意：（1）5 的三次方不能漏算； （2）注意符号。议一议：当n是正整数时，（abc）n ＝an·bn· cn 成立吗？ 法则的推而广之：当n是正整数时，（abc）n ＝an·bn ·cn 例2 计算：(1) (3xy2)2； (2) (－2ab3c2)4分析：先由学生观察、讨论解题的方法，然后由教师根据学生的回答板书，并要求学生说出运算中每一步的依据. 三、展示交流：1、计算：（1）； （2）； （3）［（－1）11x2］22、计算 (1) [（－2）×106]2·[（6×102）2 (2) 0.52004·22004 (3)若 xn＝5 , yn＝3 则 (xy)2n等于多少？ 四、提炼总结：1、掌握积的乘方的运算法则，注意积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要乘方。2、灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁。
当堂达标 1、计算等于　　（　　　）A.　　B．　　C.　　　D.　2、填空：若 (a2 bn)m ＝a4·b6 ，则m ＝ n ＝ 3、计算：(1)(－x)2·x·(－2y)3 +(2xy)2·(－x)3 ·y （2）(－8)2003·0.1252002
学习反思：
课题 8.3 同底数幂的除法（1） 自主空间
学习目标 知识与技能：能说出同底数幂除法的运算性质，并会用符号表示。过程与方法：经历同底数幂的除法运算法则的推导过程，会正确的运用同底数幂除法的运算性质进行运算。情感、态度与价值观： 进一步感受归纳的思想方法，发展有条理的表达和推理能力。
学习重点 会用同底数幂的除法运算法则进行有关计算。
学习难点 同底数幂除法法则的灵活应用。
教学流程
预习导航 (1) 自行车的速度一般约为2×102m/min，汽车的速度一般约为1.2×103m/min，飞机的速度一般约为1.5×104m/min,你能算出飞机的速度是自行车的多少倍、汽车的多少倍吗？(2) 一颗人造地球卫星运行的速度是7.9×103 m/s,一架喷气式飞机的速度是1．0×103 km/h.人造卫星的速度是飞机速度的倍？（3） 地球上的所有植物每年大约能提供人类6.6 x 1016大卡植物能量，每人每年大约要消耗8 x 105 大卡的植物能量，地球能养活多少人？
合作探究 一、新知探究：1、试一试：计算：（1）___________；（2）___________；（3）___________（a≠0）2、在学生讨论、计算的基础上，提问，你能发现什么？23=25－2 104=107－3; a4=a7－3.问题：你能根据除法的意义来说明这些运算结果是怎么得到的吗？3、做一做：当a≠0，m、n是正整数，且m＞n时，结论：一般地，设m、n为正整数，m>n，a≠0，有.这就是说，同底数幂相除，底数不变，指数相减。二、例题分析： 例1 计算：（1） （2） （3）（ab）4÷(ab)2 （4） t2m+3÷t2(m是正整数)（学生回答并自己纠正写法上的错误，并说明为什么）例2 计算： （1）273×92÷312 （2） 分析：底数不同的情况下不能直接运用同底数幂的除法法则计算.三、展示交流：1、 计算： （1）x8÷x4 (2)(－x)6 ÷x2 (3)（a+b）4÷(a+b)22、计算:（1）252÷52 （2） y9 ÷(y7 ÷y3) 已知 xm=9, xn =6, xk =2, 求 xm－2n+3k的值。四、提炼总结：运用同底数幂的除法性质时应注意以下问题：（1）运用法则的关键是看底数是否相同，而指数相减的是指被除式的指数减去除式的指数； （2）注意指数“1”的情况，如 ，不能把 的指数当做0； （3）多个同底数幂相除时，应按顺序计算.
当堂达标 １、如果,则m,n的关系是( )A、m=2n B、m=－2n C、m－2n=1 D、m－2n=1２、计算：（１）、　　　　　（２）、　（３）、　　（４）、（５）、　（６）、3、（1）若 xm = 2 , xn = 5 ,求xm+n 和xm－n 的值。 （2）4m．8m－1÷2m = 512 ,求m 的值
学习反思：
课题 8.3同底数幂的除法（2） 自主空间
学习目标 1、培养学生 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )抽象的数学 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )思维能力2、通过例题和习题，训练学生 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网" \t "_blank )综合解题的能力和计算能力.
学习重点 理解并掌握负整数指数幂的性质
学习难点 理解和应用负整数指数幂的性质和作用
教学流程
预习导航 16=24；8=2（）； 4=2（）； 2=2（）幂是如何变化的？ 指数是如何变化的？
合作探究 一、新知探究：1. 做一做 猜一猜81=34； 10000=104 1=3（） 1=10（） 27=3（） 1000=10（） 1/3=3（） 0.1=10（） 从以上的做一做和猜一猜使学生感受零指数幂和负整数指数幂的实际意义 2.零指数幂和负整数指数幂的意义的规定 （1） 根据有理数除法法则： 23 / 23=1，102 / 102=1，35 / 35=1，…… 如果试用同底数幂除法的运算性质，可得：23 / 23=23－3=20，102 / 102=10 2－2=100，35 / 35=35－5 =30 所以我们规定 a0=1(a不为0) （2）根据有理数除法法则： 如果试用同底数幂除法的运算性质，可得： 所以我们规定（是正整数）二、例题分析：用小数或分数表示下列各数 （1） ； （2） （3） 三、展示交流：1、 太阳系中，从冥王星到太阳光线要花5个半小时才能跑完这段路程。光的速度约为3 x 105km/s 求冥王星离太阳的距离. 2、计算 （1） （2） 四、提炼总结：1、说说零指数幂和负整数指数幂的意义2、说说（—1）—1、（—0.001)0..—2—2的意义
当堂达标 填空： （1）当a≠0时，a0= （2）当a≠0，p为正整数时，a－p= （3）30÷3－1= ,若（x－2）0=1，则x满足条件 （4）33= 3－3= （－3）3= （－3）－3= （5）510÷510= 103÷106= 72÷78= （－2）9÷（－2）2= 2、选择:（1）（－0.5）－2等于( ) A.1 B.4 C.－4 D.0.25（2）（33－3×9)0等于( ) A.1 B.0 C.12 D.无意义（3）下列算术：①，②（0.0001）0=(1010)0,③10－2=0.001,④中，正确的算术有（ ）个. A.0 B.1 C.2 D.33、计算:(1)a8÷a3÷a2 (2)52×5－1－90 (3)5－16×(－2)－3 (4)(52×5－2+50)×5－3 (5)(x3)2÷[(x4)3÷(x3)3]3 （6）(7) （8） （9） （10）[课外延伸] 1．在括号内填写各式成立的条件：(1)x0=1 ( ); (2) (y－2)0=1 ( );(3)(a－b)0=1 ( ); (4)(|x|－3)0=1 ( );2．填空: (1)256b=25·211,则b=____.(2)若0.0000003=3×10m,则 m=________(3)若()x=,则x= （4） ，则x=_____（5）若1=0.01x,则x= , （6） 若,则x= 3.若a=－0.32,b=－3－2,c= ( )A.a〈b〈c〈d B. b〈a〈d〈cC.a〈d〈c〈b D. c〈a〈d〈b4.若,求n的值.
学习反思：
课题 8.3同底数幂的除法（3） 自主空间
学习目标 知识与技能：1、会用科学记数法表示绝对值小于1的数。2、幂的负整数指数的确定。过程与方法：熟练运用科学记数法表示一个数。情感、态度与价值观：体会数学的简洁美。
学习重点 用科学记数法表示绝对值小于1的数
学习难点 幂的负整数指数的确定
教学流程
预习导航 “纳米”已经进入了社会生活的方方面面（如纳米食品，纳米衣料……）（1）你听说过“纳米”吗？知道“纳米”是什么吗？（纳米是一个长度单位）1纳米有多长？（1纳米=十亿分之一米）纳米记为nm。请你用式子表示1nm等于多少米？1nm=1/1 000 000 000 m， 或 1nm=1/109 m (3)怎样用式子表示3nm、5nm等于多少米呢？18nm呢？3nm=m,5nm=m.这就说明，一个很小的正数可以写成只有一个一位正整数与10的负整数指数幂积的形式。
合作探究 一、新知探究：太阳的半径约为700 000 000m。太阳的主要成分是氢，而氢原子的半径大约只有0.000 000 000 05m. 用科学记数法，我们可以把700 000 000m写在m。类似的，0.000 000 000 05m可以写成m 一般地，一个正数利用科学记数法可以写成的形式，其中 ，n是整数.说明：以前n是正整数，现在可以是0和负整数了。二、例题分析1、用科学记数法表示下面的小数。 （1）0.000 006 2 (2) 0.000 38 (3) 0.000 01 (4) 0.025 68 (5) 29 801.2 (6)83 000 0002、在显微镜下，一种细胞的截面可以近似地看成圆，它的半径约为，试求这种细胞的截面面积（3.14)解：截面面积：S=答：该细胞的截面面积约是3、 光在真空中走30cm需要多少时间？ 解：光的速度是300000000 m/s，即3×108 m/s 。 30cm , 即 3×10－1 cm。 所以，光在真空中走30cm 需要的时间为 3×10－1／/3×108 ＝10－9 答: 光在真空中走30cm 需要10－9 s 。 注：纳米（简记为nm)jj是长度单位，1纳米为十亿分之一米 刻度尺上的一小格是1mm ,1nm是1mm的 百万分之一。难以相像1nm有多么小！将直径为1nm的颗粒放在1个铅球上，约相当于将1个铅球放在地球上。三、展示交流：1、 已知1厘米3氢气的质量约为0.000 09克，一块橡皮的质量45克。 （1）用科学记数法表示1厘米3氢气的质量； （2）1厘米3氢气的质量是这块橡皮质量的多少分之一？（3）某 房间空气中每立方米含 个病菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1毫升杀菌剂可以杀死个这种病菌，问要将长10米、宽8米、高3米的房间内的病菌全部杀死，需要多少毫升杀菌剂？四、提炼总结：（1）用科学记数法表示一个很小的正数时，幂的负整数指数如何确定？（2）我们以前学习了用科学记数法表示一个很大的正数，这节课又学习了 用科学记数法表示一个很小的正数，试说出这两者的共同点与不共同点 （3）谈谈你对像“纳米”、“头发丝的直径”、“一张纸的厚度”等这些很小的数的感受，并能自己也举出一些类似的例子来说明
当堂达标 填空：（1）（－2）2= ； （2）（－2）－2= ； （3）22= ；（4）2－2= ； （5）7－2= ； （6）（－3）－3= ；（7）3－3= ； （8）5－2= ； （9）10－3= ；（10）1－20= ； （11）（0.01）－3= ； (12)(－0.01)－2= ；2．选择：（1）下列计算正确的是 （ ） A. 3－3=－9 B. 3－3= C. 3－3= D. 3－3= (2) 有下列算术：①（0.001）0=1； ②10－3=0.0001；③ 10－5=0.00001； ④（6－3×2）0=1 其中正确的有 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3．计算：（1）（b2）3·(b3)4÷(－b5)3 (2)(－x2y)5÷(－x2y)3(3)(－x2n－2)·(－x)5÷[xn+1·xn·(－x)] (4)22－2－2+(－2)－2(5) (6)4－(－2)－2－32÷(－3)0(7)10－2×100+103÷105 (8) 4.用科学记数法表示下列各数：（1）360 000 000= ； （2）－2730 000= ；（3）0．000 00012= ； （4）0.000 1= ； (5)－0.000 00091= ； （6）0.000 000 007= .5.写出下列各数的原数：（1）105= ； （2）10－3= ；（3）1．2×105= ； （4）2.05×10－5= ； [课外延伸] （仔细想一想，你是最棒的！）1．若，则x= ；2．若，则x= ；3．若0.000 0003=3×10x,则x= ；4．若，则x= ；5．若256x=25·211,则x= . 6.比较33－55，44－44，55－33的大小.7.已知3x+1·5x+1=152x－3,求x的值. 8. 已知22x+3－22x+1=192,求x的值.9.美国旅行者一号太空飞行器在1ns(十亿分之一秒)的时间里能飞行0.017mm,求飞行器的速度是多少m/s
学习反思：
课题 小结与思考 自主空间
学习目标 知识与技能：1、能说出幂的运算的性质；2、会运用幂的运算性质进行计算，并能说出每一步的依据；过程与方法：3、能说出零指数幂、负整数指数幂的意义，能用熟悉的事物描述一些较小的正数，并能用科学记数法表示绝对值小于1的数；情感、态度与价值观：4、通过具体例子体会本章学习中体现的从具体到抽象、特殊到一般的思考问题的方法，渗透转化、归纳等思想方法，发展合情推理能力和演绎推理能力。
学习重点 运用幂的运算性质进行计算
学习难点 运用幂的运算性质进行证明规律
教学流程
预习导航 幂的运算：1、同底数幂的乘法 2、幂的乘方 3、积的乘方 4、同底数幂的除法：（1）零指数幂 （2）负整数指数幂请你用字母表示以上运算法则。你认为本章的学习中应该注意哪些问题？
合作探究 一、例题分析：例1 判断下列等式是否成立：　　①(－x)2＝－x2， ②(－x3)＝－(－x)3，　　③(x－y)2＝(y－x)2， ④(x－y)3＝(y－x)3，　　⑤x－a－b＝x－(a+b)， ⑥x+a－b＝x－(b－a)．解：③⑤⑥成立．例2 已知10m＝4，10n＝5，求103m+2n的值．解：因为103m=(10m)3=43 =64,102n=(10n)2=52=25.所以103m+2n=103m×102n=64×25=1680例3 若x＝2m+1，y＝3+4m，则用x的代数式表示y为______．　解：∵2m＝x－1，　　 ∴y＝3+4m　　　　＝3+22m．　　　　＝3+(2m)2　　　　＝3+(x－1)2　　　　＝x2－2x+4．例4设＜n＞表示正整数n的个位数，例如＜3＞=3，＜21＞=1，＜13×24＞=2，则＜210＞=______．解 210=(24)2·22=162·4，∴ ＜210＞=＜6×4＞=4例5 1993+9319的个位数字是( )A．2 B．4 C．6 D．8解1993+9319的个位数字等于993+319的个位数字．∵ 993=(92)46·9=8146·9．319=(34)4·33=814·27．∴993+319的个位数字等于9+7的个位数字．则 1993+9319的个位数字是6．二、展示交流：在一次水灾中，大约有2.5×105个人无家可归，假如你负责这些灾民，而你的首要工作就是要将他们安置好。假如一顶帐篷占地100m2，可以安置40个床位，为了安置所有无家可归的人，需要多少顶帐篷？请计算一下这些帐篷大约要占多少地方？估计一下，你学校操场可以安置多少人？要安置这些人，大约需要多少个这样的操场？三、提炼总结：总结本节课的主要内容，可以让学生再提出一些问题。
当堂达标 1、已知a=355，b=444，c=533，则有 （ ）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b2、已知3x=a，3y =b，则32x－y等于 ( )3、试比较355，444，533的大小．4、已知a=－0.32,b=－3－2,c=(－1/3)－2d=(－1/3)0,比较a、b、c、d的大小并用“，〈”号连接起来。练一练 复习题 P52－－53 1、 2、
学习反思：
参考答案
8.1 同底数幂的乘法
1、计算：
⑴ a13 ⑵ a10 ⑶ 2x2n+1 ⑷ a2m
2、计算： －(s－t)2m+n+1
3、256
8.2 幂的乘方与积的乘方（1）
1、D
2、计算：⑴ a9 ⑵ x30 ⑶ –x6
3、计算：⑴ 3a6 ⑵ a8
4、9
8.2 幂的乘方与积的乘方（2）
1、D 2、2，3
3、计算：⑴ －8x3 y3 －4x5 y5 ⑵ －8
8.3（1）
1、D
2、计算：
⑴ m20 ⑵ q6 ⑶ a4 b4 ⑷ 32m－3 ⑸ x4 y6 z2 ⑹ x+y
3、（1） 10，
（2） 3
8．3（2）
1填空：
（1）1（2）（3）3，x≠2（4）27,（5）1,
2选择
B（2）A（3）C
3计算
a3（2）4（3）7（4）（5）1（6）（7）10101
（8）（9）（10）
课外延伸：
1(1)x≠0,(2)y≠2,(3)a≠b,(4)x≠±3
2填空：
（1）2（2）－7（3）－2（4）－5（5）0，－1
3(B)
4.－1
8.3(3)
1填空：
（1）4（2）（3）4（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）1（11）106（12）104
2选择：
C（2）B
3计算：
（1）－b3（2）x4y2（3）－x4n+5（4）4（5）（6）（7）（8）
4(略). http://
5（1）100000（2）（3）120000（4）0.0000205
小结与思考：
1 C 2 A 3（略） 4 （略）