苏教版八年级下全册教学案 第十一章《图形与证明（一）（共9课时）

课题 11.1你的判断对吗？ 个人主页
学习目标 1.经历一些观察、操作活动，并对获得的数学猜想进行试验验证，体验直观判断有时不一定正确，从而尝试从数学的角度运用所学的知识和方法寻求证据、给出证明.
学习重难点 教学重点：初步体验证明说理的方法和重要性教学难点：初步体验证明说理的方法和重要性
教学流程
预习导航 1．图中的两条线段AB与CD哪一条长一些？先猜一猜，再量一量.观察:1.下图的两条线段AB与CD哪一条长一些？先猜一猜，再量一量.2.图中有曲线吗？请在右图中把编号相同的点用线段连起来.
合作探究 一、新知探究：观察、思考和实验是人类发现、发明、创造的发端。我们曾通过观察、操作、实验等探索活动，发现了许多正确的结论.难道所有的探索活动获得的结论都是正确的吗？情景1、从一只透明的空玻璃杯的侧面能看到杯子下面放了一枚硬币.⑴如果向杯中注水，猜一猜这时从杯子的侧面还能看到这枚硬币吗？⑵试一试，你看到了硬币吗？情景2装有半杯水的透明玻璃杯中，插入一根笔直的筷子，这时我们会看到什么结论呢？说明：情景1、2学生亲身经历这两个实验的全过程,体验到生活中会产生错觉；事实上，在数学中有时也会产生错觉二、例题分析：如图，是一张边长为8cm正方形纸片把它们剪成4块，按右图重新拼合，这块制片恰好能拼成一个长为13，宽为5的长方吗？与同学交流试验、观察、操作的结果，说说你的感受. 说明：本例题应主要让学生自己通过分组合作共同研究，判断能否完成这样的拼图，进一步感受到仅凭观察、猜想、操作、实验是不够的，强调我们在以后的数学学习中要学会说理.三、展示交流：1.图1中的四边形是正方形吗？图2中的两条直线a、b平行吗？说说你的看法，如何验证你的结论？2．如图，两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个小圆，另一个大圆内有2个小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大一些？请你猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证你的猜想.四、提炼总结：(一)本节课你有什么收获？(二)思考：1、要判断两条线段是否平行,仅靠观察是________的.(行或不行)2、下图中两条直线的位置关系如何 请你先观察,再用量角器度量两条直线的夹角各是多少度,然后与同学们交流,你们的结论一样吗
当堂达标 1、通过观察你能肯定的是( )A.图形中线段是否相等; B.图形中线段是否平行C.图形中线段是否相交; D.图形中线段是否垂直2、有一正方体，将它各面上分别标出a、b、c、d、e、f.有甲、乙、丙三个同学站在不同角度观察结果如图，问这个正方体各个面上的字母的对面各是什么字母，即a的对面为 ，b的对面为 ，c的对面为 .　　　3.春节联欢晚会,某班组委会组织了一个有趣的活动,两个人握一次手,若每两人握手一次,则全班56个人共握几次手 n个人共握多少次手呢 4.地理老师在黑板上画了一幅世界五大洲的图形，并给每个洲都写上了代号，然后，他请5个同学每人认出2个大洲来，5个同学的回答是：甲：3号是欧洲，2号是美洲；乙：4号是亚洲，2号是大洋洲；丙：1号是亚洲，5号是非洲；丁：4号码是非洲，3号是大洋洲；戊：2号码是欧洲，5号是美洲；地理老师说：“你们每个人都认对了一半”，请问，每个号码各代表什么洲呢？
学习反思：
课题 11．2 说理（1） 个人主页
学习目标 经历探索一些问题时，由于“直观判断不可靠”、“直观无法做出确定判断”，但运用已有的数学知识和方法可以确定一个数学结论的正确性的过程，初步感受说理的必要性．
学习重难点 教学重点：感受“说理”的必要性,“说理”是确认一个数学结论正确性的有力工具.教学难点：感受“说理”的必要性
教学流程
预习导航 1、 如图(1)，把长方形草坪中间的一条1m宽的直道改造成如图(2)处1m宽的“曲径”。问题1 两条小道占用草坪的面积相同吗？说说你的理由．问题2 你认为应该如何计算小道占草坪的面积？
合作探究 一、新知探究：七年级某班的学生通过多次计算代数式的值，得到了以下的一些结论：问题1 当x=－5、、0、2、3时，计算代数式的值，与同学交流．问题2 换几个数再试试，你发现了什么？你能说明理由吗？问题3 你认为以下结论正确吗？你能说明理由吗？ （1）无论x取什么数，代数式的值总是偶数； （2）无论x取什么数，代数式的值总是正数； （3）无论x取什么数，代数式的值总是负数； （4）无论x取什么数，代数式的值大于1．二、例题分析例1、如图，画∠AOB，并画∠AOB的角平分线OC. (1)将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别交于点E、F，并比较PE、PF的长度；（2)把三角尺绕点P旋转，比较PE与PF的长度，你能得到什么结论？你的结论一定成立吗？与同学交流.说明：由于学生已有通过观察、度量、猜想所得到的结论有时不一定可靠的体验，以及初步感受到“说理”是确认一个数学结论正确性的有力工具，因此学生对探索到的结论就有如何“说理”的需求，虽然学生暂时不能解决，但这个悬念促使学生向往、追求着“说理”．例2、一参观团依据下列约束条件从A、B、C、D、E五个地方选定参观地点：如果去A地，必须去B地D、E两地至少去一处B、C只去一处C、D两地都去或都不去如果去E地，那么A、D两地也必须去 依据以上条件，你认为参观团只能去 三、展示交流1、如图，四边形ABCD各边中点分别为E、F、G、H，度量四边形的边和角，你发现什么结论？2、用两个全等的等腰直角三角尺拼成四边形，则此四边形一定是_____。3、下列语句错误的是（ ）A.同角的补角相等; B.同位角相等.C.垂直于同一条直线的两直线平行; D.两条直线相交有且只有一个交点.4、满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）A、∠B+∠A=∠C B、∠A︰∠B︰∠C=2︰3︰4 C、∠A=2∠B=3∠C D、一个外角等于和它相邻的一个内角5.如图，△ABC中，∠B=55°,∠C=63°,DE∥AB,则∠DEC等于( ) A.63° B.62° C.55° D.118°四、提炼总结：（一)小结 本节课你有什么收获？(二)思考：已知等腰直角三角形ABC中,AB=AC,P是BC边上一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,试探寻PE、PF的和与△ABC一腰上的高之间的关系
当堂达标 1、2005年冬季，新七十二名泉评选结果揭晓，济南市所辖的五个区中皆有名泉分布,小明由此推断济南市历城区一定有名泉。他的这个推理 （填“正确”或“不正确”）2、用两个全等的等腰直角三角尺拼成四边形，则此四边形一定是_____。3、水结成冰时，体积增加了，冰化成水时，体积减少了几分之几？4、今年五一节期间，王老板在其经营的服装店里卖出两件衣服，其中一件是裤子售价为168元，盈利20％，一件是夹克衫售价也是168元，但亏损20％，问王老板在这次的交易过程中是赚了还是亏了，赚了赚了多少？亏了亏了多少？还是不赚不亏？
学习反思：
课题 11．2 说理（2） 个人主页
学习目标 了解定义、命题、真命题、假命题的含义,会区分命题的条件和结论.在交流中发展有条理思考和有条理表达的能力.
学习重难点 教学重点：命题的组成，能说出一个命题的条件和结论.教学难点：命题的组成、真假命题的判断.
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预习导航 一、课前预习与导学 1、定义：对名称或术语的含义进行______________,就是给出它们的定义。请举例说明：　　　2、命题：__________________句子叫命题，正确的命题叫_________,错误的命题叫_____。3、下列命题是真命题的是( )A.如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角B.两互补的角一定是邻补角 C.如果a2=b2,那么a=b; D.如果两角是同位角,那么这两角一定相等
合作探究 一、新知探究：活动一：问题一 (1)什么是总体的“样本”？(2)怎样的两个数叫做“互为相反数”？(3)怎样的两个图形叫做“全等形”？问题二：(1) “等角的余角相等”与“等角的余角相等吗 ”这两句话一样吗 如果不一样,它们有什么不同 (2)“经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”与“经过一点画已知直线的垂直”有什么不同 (3)“四边形不是多边形”与“四边形不一定是多边形”有什么不同 给出命题的定义,并能判定一个句子是不是命题.补充：问题二中的句子，一类对劳动某件事情做出了判断；另一类是没有对某件事情做出了判断。(即命题与非命题)活动二：师生讨论与交流：命题的真假、组成及形式：________________________________________________________.二、例题分析:例1、下列命题的条件是什么 结论是什么 并指出真假命题.(1)如果一个三角形是等腰三角形,那么它的两个底角相等；(2)如果一个四边形的对角线相等,那么这个四边形是矩形；(3)两条直线相交,只有一个交点；(4)相等的角是对顶角；(5)直角三角形的两个锐角互余；(6)垂直于同一条直线的两条直线平行.例2、判断下列语句是否是命题，若是，写成“如果…那么…”的形式，并判断其是真命题不是假命题。(1)全等三角形的对应角相等；(2)延长BA到点C，使AC=AB；(3)同角的补角相等；(4)面积相等的三角形是全等三角形。三、展示交流：1. 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？（1）正数大于一切负数吗？ （ ）（2）两点之间线段最短。 ( )（3）不是无理数。 ( )（4）作一条直线和已知直线平行。 （ ）2. 指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：（1）内错角相等，两直线平行。（2）两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（3）直角三角形两个锐角互余。（4）同角的余角相等3. 下列句子中，哪些是真命题？哪些是假命题？（1）如果3x-15>6-2x,那么x<4 （ ）（2）各角对应相等的两个多边形是相似多边形; （ ）（3）如果a≠0,b≠0,那么ab≠0 （ ） (4)一个角的补角一定大于这个角. （　）四、提炼总结：(一)小结 ：本节课你有什么收获？(二)思考：我们知道任何一个命题都由条件和结论两部分组成,如果我们把一个真命题的条件变结论,结论变条件,那么所得的是不是一个真命题 试举例说明.（三）在一次测试中，老师出了题目：比较nn+1与(n＋1)n的大小．有些同学经过计算发现：当n=1，2时，有nn+1<(n＋1)n，于是认为命题“如果n为任意自然数，则nn+1<(n＋1)n为真命题，你认为他们的判断正确吗？说说你的理由．说明：让学生感受错误的命题有一个反例足以说明，而正确的命题仅靠举例证实是不够，它要通过演绎推理去证明．
当堂达标 １、已知下列命题：（1）等角的补角相等；（2）鸦片战争是中国近代史的开端；（3）等腰梯形是轴对称图形；（4）异号两数相加得零；（5）平行于同一条直线的两直线平行；（6）函数的自变量x的取值范围是；（7）在三角形中，两边之和小于第三边。判断其中的真命题与假命题２、 下列命题的条件是什么？结论是什么？（1）能被2整除的数也能被4整除；（2）对顶角相等；（3）若xy=0,则x=0；（4）角平分线上的点到这个角两边的距离相等３、对于同一平面内的三条直线a,b,c给出下列五个论断：（1）a∥b;（2）b∥c;（3）a⊥b;（4）a∥c;（5）a⊥c以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个正确的命题（至少写出４个）
学习反思：
课题 11.3证明(1) 个人主页
学习目标 1.了解证明的基本步骤和书写格式.2.能从“同位角相等，两直线平行”这个基本事实出发，证明平行线的判定定理，并能简单应用这些结论.3.感受数学的严谨、结论的确定，初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力.　
学习重难点 教学重点：从“同位角相等，两直线平行”这个基本事实出发，证明平行线的判定定理，并能简单应用这些结论.教学难点：证明的基本步骤和书写格式，发展初步的演绎推理能力.
教学流程
预习导航 (1)如图6—19，已知AB⊥BD，CD⊥BD，∠1+∠2=180°．求证：CD∥EF．证明：∵ AB⊥BD，CD⊥BD( )，∴ AB∥CD( )．又∵ ∠1+∠2=180°( )，∴ AB∥EF( )．∴ CD∥EF( )．(2)如图6—20，a∥b，a、b被c所截，∠1=120°，则∠2=___________.如图6—21，AB∥CD，∠1=52°13′，则∠5=____________，∠5的余角=______________.
合作探究 一、概念探究：(1)一个数学结论的正确性如何确认呢？其实数学家们早就遇到了这样的问题，人类对数学命题进行证明的研究已有两千多年的历史了.公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得写出了举世闻名的巨著《原本》，在这本书里，他挑选了一些基本定义和基本事实作为证实其他命题的出发点，推导出了400条定理. (2)探索活动：1.本教材选用下列真命题作为基本事实：同位角相等，两直线平行.两直线平行，同位角相等.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.三边对应相等的两个三角形全等.此外，等式的有关性质和不等式的有关性质也都看作基本事实.2.探索“同角的补角相等” (3)、交流与思考用推理的方法证实真命题的过程叫做证明.经过证明的真命题称为定理.已经证明的定理也可以作为以后推理的依据.思考：如何证明“同位角相等”呢？证明与图形有关的命题的步骤：1.根据命题，画出图形；2.根据命题，结合图形,写出已知、求证.已知部分是已知事项(即命题的条件),求证部分是论证的事项(即命题的结论)；3.写出证明过程.二、例题分析：例1、证明:内错角相等,两直线平行.定理: 内错角相等,两直线平行.尝试:证明:“同旁内角互补,两直线平行”.(1)根据命题，画出图形；(2)根据所画图形,写出已知、求证；(3)说说你的证明思路.例2、如何证明“对顶角相等”(1)仿照问题1提问师生共同合作完成推理：三、展示交流：1、已知:如图,直线a与直线b被直线c所截,∠1＝∠2，求证: a∥b.2、已知：如图，AB=CD，BC=AD，AE平分平分∠BAC，交BC于点E，CF平分∠DCA，交AD于点F，求证：AE∥FC。 四、提炼总结：(一) 本教材选用了那些真命题作为基本事实？(二)本节课你有什么收获？
当堂达标 1.求证:平行于第三条直线的两直线平行要求:画出图形,写出已知,求证,不要求证明.2.已知：如图，∠BAD=∠DCB,∠1=∠3. 求证：AD∥BC.3.证明：同角的余角相等.4.已知：如图，∠1=∠2，CE平分∠ACD.求证：AB∥CD.
学习反思：
课题 11.3证明(2) 个人主页
学习目标 1.进一步了解证明的基本步骤和书写格式.2.能从“两直线平行，同位角相等”这个基本事实出发，证明平行线的性质定理，并能简单应用这些结论. 3.继续感受数学的严谨、结论的确定，初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力.　
学习重难点 教学重点：从“两直线平行，同位角相等”这个基本事实出发，证明平行线的性质定理，并能简单应用这些结论.教学难点：证明的基本步骤和书写格式，推理的合理性.
教学流程
预习导航 1．下列命题中不成立的是( )A.两直线平行，同位角相等； B.两直线平行，内错角相等；C两直线平行，同旁内角互补； D.两直线平行，同旁内角相等。2．如图，已知AB∥CD，∠B=∠D，求证：AD∥DC。3．如图，∠BDE＋∠B=1800，∠AED=800，则∠C=____。4．如图，AD平分∠BAC，点E在BC上，点G在CA的延长线上，EG∥AD，EG交AB于点F，求证：AF=AG。
合作探究 一、概念探究：1、尝试、操作：1.我们曾探索、发现了有关平行线的那些结论 2.我们是如何证明“同旁内角互补,两直线平行”的 3.从基本事实“两直线平行，同位角相等”可以证明那些结论？　2、探索活动：从基本事实“两直线平行，同位角相等”出发，如何证明“两直线平行，内错角相等”？1.画出图形，并根据图形写出已知、求证；2.说出你的证题思路；3.完成证明，并与同学交流.结论：定理：两直线平行，内错角相等.二、例题分析：例1、.已知：如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD. 求证：∠1＋∠2＝180°.说明：1. 通过合作交流让学生感受学习过程中合作的重要性，通过大家思维的互补从而得出最佳的结果.这里也可让学生板演，让学生自主地写出完整的讲明过程，教师要引导学生，也可让学生自己分析.2. 在整个交流合作的过程中学生肯定会有不同的思考方法，然后可选择两个典型的思路方法全班同学共同分析，然后得出我们在证明过程中经常使用的两种方法：（1）分析法，（2）综合法.。例2. 已知：如图a∥b，c∥d，∠1=50°.求证：∠2=130°.分析：思考方法一：c∥d→∠3+∠5=180°,→∠1+∠2=180°→∠2=130°.思考方法二：∠3+∠4=180°→∠1+∠2=180°,∠2=130°.说明：通过多种思考方法的交流，促进学生发散思考，并在交流中，发展学生的合乎逻辑的思维、有条理的表达能力.请同学们根据上述的分析思路，完成此题的证明过程.三、展示交流：已知：如图，AD∥BC，∠ABC=∠C，求证：AD平分∠EAC.四、提炼总结：(一)小结 本节课你有什么收获？(二)思考：如图2，AB∥CD，∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是( ) A. 60° B. 70°C. 80° D. 65° E
当堂达标 1．如图6—23，AB∥CD，BC∥DE．那么∠B+∠D=______________.2．如图6—24，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠ACB=50°，那么∠EDC=_____________度．(3)如图6—28，DC∥AB，∠ADC=∠ABC，DE平分∠ADC交AB于E，BF平分∠ABC交DC于F．求证：DE∥FB． 证明：∵ DE平分∠ADC，BF平分∠ABC( )，∴ ，．∵ ∠ADC=∠ABC( )，∴ ∠1=∠2( )．∵ DC∥AB( )，∴ ∠1=∠3( )．∴ ∠2=∠3( )．∴ DE∥FB( )．
学习反思：
课题 11.3 证明 (3) 个人主页
学习目标 进一步了解证明的基本步骤和书写格式.2．能从“两直线平行，同位角相等”这个基本事实出发，证明三角形内角和定理以及三角形内角和定理的推论，并能简单应用这些结论. 3．继续感受数学的严谨、结论的确定，初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力.　
学习重难点 教学重点：从“两直线平行，同位角相等”这个基本事实出发，证明三角形内角和定理以及三角形内角和定理的推论，并能简单应用这些结论.教学难点：证明的基本步骤和书写格式，由合情推理到演绎推理的转化.
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预习导航 1．在⊿ABC中，∠A＋∠B=1200，∠C=∠A，则⊿ABC是( )A.钝角三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形2．下列叙述中正确的是( )A.三角形的外角等于两个内角的和 B.三角形的外角大于内角 C.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和 D.三角形每一个内角都只有一个外角。3．实验1：先将三角形纸片一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行(如图1)，然后把两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合，(如图2、3，最后得到图4)所示的结果，从中，你发现了什么？实验2：将三角形纸片三顶角剪下来，随意将它们拼凑在一起，你发现了什么？4、如图，P是⊿ABC内一点，求证：∠BPC＞∠A。
合作探究 概念探究：(一)、情境创设：1、三角形三个内角的和等于多少度？2.你是如何知道的？这个结论正确吗(二)、探索活动：1.如何证明三角形内角和等于180°？2.你有没有办法在平面图形中把三角形的三个内角“搬”到一起？分析：添加辅助线，实质是构造新图形，由于学生没有接触过辅助线，实际教学中学生可能采用的方法有：(1)拼图中把一个角移动位置的活动，通过画一个角等于这个角来实现.(2)从已有的对图形的平移、旋转的认识出发，通过角的平移、旋转把三角形的3个内角“搬”到一起.3.你能想办法把∠A、∠B“搬”到相应的位置上吗？已知：△ABC.，求证：∠A+∠B+∠C=180证明：如图，作BC的延长线CD，过点C作CE∥AB。∵CE∥AB,∴∠1=∠B(两直线平行，同位角相等),∴∠2=∠A(两直线平行，内错角相等). ∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定义),∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).通过证明我们现在对三角形内角和等于180°不再产生怀疑了，于是得到：三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.(三)交流：你还有不同的证明方法吗？与同学交流.二、例题分析：例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，求证：梯形ABCD是等腰梯形.分析：为了将∠B、∠C“搬”到一个三角形，可过点D作DE∥AB交BC于E，从而∠1=∠B，又因∠B=∠C，所以∠1=∠C，故DE=DC，又由于AD∥BC，易知四边形ABED是平行四边形，从而DE=AB，因此AB=CD，根据“两腰相等的梯形是等腰梯形”.三、展示交流：已知:如图,在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在斜边AB上,且BE＝BC.求证:∠B＝2∠ACE四、提炼总结：小结：本节课你有什么收获？
当堂达标 1．如图1，AB∥CD，（1）∠A、∠P、∠C三角之间存在怎样的关系？用两种方法证明你的结论.（2）如果将P点向右移，如图2， AB∥CD，此时∠A、∠P、∠C三角之间存在怎样的关系？并证明你的结论.2．如图，△ABC中，AB=AC，求证∠B=∠C.3．求证：六边形的内角和为720°4．如图，在五角星中，∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和等于多少度？并证明.A B EC D
学习反思：
课题 11.4互逆命题(1) 个人主页
学习目标 1、了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。2、通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是假命题。3、经历一些“探索－发现－猜想－证明”的过程，不断发展合乎逻辑的思考、有条理的表达的能力。　
学习重难点 教学重点：会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。教学难点：不断发展合乎逻辑的思考、有条理的表达的能力。
教学流程
预习导航 1．判断：(1)如果a=b，那么a2=b2；(2)如果a2=b，那么a=b；(3)两直线平行，同位角相等；(4)同位角相等，两直线平行；(5)对顶角相等；(6)相等角是对顶角。观察上述命题，你发现了什么？2．两个命题中，如果第一个命题的____是第二个命题的____，而第一个命题的____又是第二个命题的____，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做另一个命题的 _____。3．说出下列命题的逆命题，它们都是真命题吗？(1)两直线平行，内错角相等；(2)如果两个角都是直角，那么它们相等；(3)全等三角形的对应角相等；(4)如果x=5，那么|x|=5。4．如图，已知AC平分∠PAQ，点B、B/分别在AP、AQ上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB/ ,那么该条件是____(本题是多选题)A.BB/ ⊥AC B.BC=CB/ C.∠ACB=∠ACB/ D.∠ABC=∠AB/C
合作探究 概念探究：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 1. 交流：说出下列命题的逆命题，并与同学交流：(1)对顶角相等；(2)如果a2=b2，那么a=b；(3)直角三角形的两个锐角互余；(4)轴对称图形是等腰三角形；(5)正方形的4个角都是直角.2. 你能判断上述互逆命题的真假吗？(1)真，假；(2)假，真；(3)真，真；(4)假，真；(5)真，假.说明：组织学生思考并交流各自判断命题真假的情况，以利于引导学生主动发现：一对互逆命题的真假性不一定相同.3．说说你对一对互逆命题的真假性的看法，如果原命题是真命题，它的逆命题一定是真命题吗？4．你是如何判断一个命题是假命题的.例：如果a2=b2，那么a=b正确吗？（不正确，如：当a=2，b=2时，a2=b2，但a≠b，这样的例子称为反例）.说明：组织学生交流各自判断一个命题是假命题的方法，以利于引导学生体验并理解：说明一个命题是假命题只需举一个反例.这里既是学生学习互逆命题，同时也获得判断真假命题方法的好机会，也是对前面几何知识的回味，要让学生多思，举一反三. 二、例题分析：例1：写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题.(1)若ac2＞bc2，则a＞b；(2)角平分线上的点到这个角的两边距离相等；(3)若ab=0，则a=0.
解答 (1)逆命题为：若a＞b，则ac2＞bc2.假命题，如c=0，ac2=bc2(2)逆命题为：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，真命题.(3)逆命题为：若a=0，则ab=0，真命题.说明：1、真命题应是公理、定理、定义以及由它们推导出来的正确的结论，是无需证明大家一致公认的事实或一步一步推导出来的，而假命题只需举一个反例，即符合题设但不符合结论的例子.2、这里仍要提供让学生多说的好机会，让学生多说才能多思，多说才能有条理地表述，让学生自己去举反例，让学生要有思考的过程，要注意这里不仅仅是命题的教学，更是几何的综合课堂.三、展示交流：1. 写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假.(1)如果|a|=|b|，那么a=b； (2)如果a＞0，那么a2＞0；(3)等角的补角相等； (4)全等三角形的面积相等.2. 举反例说明下列命题是假命题.(1)如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0；(2)面积相等的三角形是全等三角形.(3)4条边相等的四边形是正方形.(4)相等的角是对顶角.(5)两直线被第三条直线所截,同位角相等.(6)两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等.四、提炼总结：小结：1.什么是逆命题，会识别两个互逆命题。2. 本节课你有什么收获？
当堂达标 1．写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假.(1)如果|a|=|b|，那么a=b；(2)如果a＞0，那么a2＞0；(3)等角的余角相等； (4)面积相等三角形是全等三角形.(5)若ac2＞bc2，则a＞b；(6)角平分线上的点到这个角的两边距离相等；(7)若ab=0，则a=0.2．举反例说明下列命题是假命题.(1)如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0；(2)面积相等的三角形是全等三角形；(3)4条边相等的四边形是正方形；(4)相等的角是对顶角；(5)两直线被第三条直线所截,同位角相等；(6)两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等。
学习反思：
课题 11.4互逆命题(2) 个人主页
学习目标 1、了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。2、通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是假命题。3、经历一些“探索－发现－猜想－证明”的过程，不断发展合乎逻辑的思考、有条理的表达的能力。　
学习重难点 教学重点：会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。教学难点：不断发展合乎逻辑的思考、有条理的表达的能力。
教学流程
预习导航 1．“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题是_________。2．“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题是________________。3．“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的逆命题是_______。4．在⊿ABC中，三条边的长分别为a、b、c,且a=n2－1，b=2n，c=n2＋1,(n>1)求证：∠C=900。5．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、B在，且到河岸CD的中点O的距离为500米，(1)牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水所走的路程最短？(2)最短路程是多少？
合作探究 概念探究：(一)、情境创设：如图1, AB∥CD，AB与DE相交于点G，∠B=∠D.(二)、探索活动：问题1：你由这些条件得到什么结论？如何证明这些结论？说明:充分发挥学生的主动性,去探索问题的结论. 在下列括号内填写推理的依据. ∵AB∥CD (已知) 又∵∠B=∠D (已知)∴∠EGA=∠D ( ) ∴∠EGA=∠B( ) ∴DE∥BF( )上面的推理过程用符号“=>”怎样表达：分析： 问题2：还有不同的方法可以证明DE∥BF吗？问题3：在图(1)中，如果DE∥BF，∠B=∠D，那么你得到什么结论？证明你的结论.问题4：在图(1)中，如果AB∥CD，DE∥BF，那么你得到什么结论？证明你的结论.说明：1、问题3、4构造了课本中讨论的关于图(1)的一个命题的逆命题，实质是在不断依据有关平行线的的互逆命题进行推理中，引导学生逐步认识探索图形的性质要关注图形的“位置关系”和“大小关系”的内在联系，体验数学活动中充满着探索与创造，感受数学的严谨。2、课本提供的情景是让学生经历“观察--实验--猜想—证明”等活动，由合情推理到演绎推理，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，从而不断发展初步的演绎推理的能力.3、实际中我们可以把图形演变为图2，再来让学生猜想，并能得出什么结论，并证明结论的正确性.从中让学生从中判断“如果任意角的两边分别互相平行，那么这两个角相等”这个命题正确与否.二、例题分析：例1、证明：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.分析：已知：如图(2)直线a、b、c，b∥a，c∥a，求证：b∥c.证明：作直线a、b、c的截线d∵b∥a(已知)∴ ∠2=∠1( )∵c∥a (已知)∴∠3=∠1( )∴∠2=∠3(等量代换)∴b∥c ( )例2 如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上，且BD=AD，DC=AC，求∠B的度数.分析：图中有三个等腰三角形，可用等边对等角的性质，再用方程的思想解题，列方程的依据是三角形内角和定理.解：∵AB=AC(已知) 在△ADC中，∴∠B=∠C(等边对等角) ∵∠C+∠CAD+∠ADC=180°.同理，∠B=∠BAD，∠CAD=∠CDA. ∴x°+2 x°+ 2x°=180 °.设∠B=x°，则∠C=x°，∠BAD=x°，∴x°=36 °.∴∠ADC=2x°, ∠CAD=2x°. 答：∠B的度数为36°.三、展示交流：如图1，AB∥CD，（1）∠A、∠P、∠C三角之间存在怎样的关系？用两种方法证明你的结论.（2）如果将P点向右移，(如图2) AB∥CD，此时∠A、∠P、∠C三角之间存在怎样的关系？并证明你的结论.(3) 如果将P点移到图3和图4的位置，此时∠A、∠P、∠C三角之间存在怎样的关系？并证明你的结论.四、提炼总结：(一)小结 本节课你有什么收获？(二)思考：证明：角平分线上的一点到这个角的两边距离相等.
当堂达标 1.给下面的证明过程证明理由已知AB=DC，∠BAD=∠CDA求证：∠ABC=∠DCB证明：连结AC、BD交点为O在△ADB与△DAC中因为∠BAD=∠ADC( )AD=DA( )AB=DC( )所以△ADB≌△DAC( )所以BD=CA又在△ABC与△DCB中因为BD=CA( )AB=DC( )BC=BC( )所以△ABC≌△DCB( )所以∠ABC=∠DCB2. 如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上，且BD=AD，DC=AC，求∠B的度数.
学习反思：
课题 图形与证明(一) 小结与思考 个人主页
学习目标 1．通过习题，让学生进一步了解定义、命题、定理、逆命题、互逆命题等概念，并让学生知道原命题成立，它的逆命题不一定成立。２．继续感受数学的严谨，初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯，发展学生初步的演绎推理能力.3．进一步培养学生的动脑、动手的解题能力。
学习重点 教学重点：本章知识的梳理以及应用。教学难点：本章知识的应用。
教学流程
复习导航 1.证明命题的一般步骤:（1）根据命题，画出图形；（2）根据命题，结合图形，写出已知、求证；（3）写出证明过程．注：运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;检查表达过程是否正确,完善。2.对名称或术语的含义进行描述，做出规定，就是给出他们的定义.例如： （1）“符号不同、绝对值相等的两个数”是“ 互为相反数”的定义;（2）“能够完全重合的图形”是“全等形_”的定义．（3）无理数：无限不循环小数叫做无理数.3.命题:判断一件事情的句子,叫做命题.命题由条件和结论两部分构成．正确的命题称为真命题,不正确的的命题称为假命题.4．三角形内角和定理 5.基本事实：同位角相等，两直线平行．两直线平行，同位角相等．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．三边对应相等的两个三角形全等
合作探究 一、例题欣赏1.已知:如图6-13,在△ABC中,AD平分∠EAC, AD∥BC. 求证:∠B= ∠C. 2.已知：如图，已知AD是△ABD 和△ACD的公共边求证：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C3.证明:等边对等角．条件: 一个三角形的两条边相等;结论: 它们所对的角也相等.已知:△ABC中，AB=AC，求证∠B=∠C.思考：你能把命题中的条件和结论互换, 构造一个新的命题吗 你构造的命题是真命题吗？为什么？4.在四边形ABCD中,有以下几个事项：（１） AB∥CD（２） ∠B=∠D （３） AD∥BC请用其中的两个事项作为条件，另一个事项作为结论，构造一个命题．你构造的命题是真命题吗？为什么？二、展示交流：1.如图，在△ABC中，AB=AC,P是BC上的一点，PE ⊥ AB,PF ⊥ AC, 垂足分别为E,F, BD是等腰三角形的腰AC上的高。试探索BD, PF, PE三者关系延伸拓展2.如图，在△ABC中，AB=AC, P是BC延长线上的一点，PE ⊥ AB,PF ⊥ AC, 垂足分别为E,F, BD是等腰三角形的腰AC上的高。试再探索BD , PE , PF 三者关系。AEDB PF拓展延伸3.如图，在等腰梯形ABCD中，AB=DC, P是BC上的一点，PE ⊥ AB,PF ⊥ AC, 垂足分别为E,F, BM是腰DC上的高。试再探索BM , PE , PF 三者关系。三、提炼总结：同学们，这节课你们有哪些收获呢？
当堂达标 1．下面的句子哪些是命题 （1）每单位面积所受到的压力叫做压强； （2）如果a是实数，那么a2+1〉0； （3）两个无理数的乘积一定是无理数； （4）偶数一定是合数吗？ （5）连接AB； （6）不相等的两个角不可能是对顶角2.如图，在△AFD 和△CEB中，点A,E,F,C在同一直线上，下面有4个判断：①AD=CB ②AE=FC ③ ∠ B= ∠ D ④AD ∥BC 请用其中的三个事项作为已知条件，余下一个事项作为结论，构造一个命题．你构造的命题是真命题吗？为什么？3如图：在△ABC中，P是∠ B 、∠ C角平分线的交点， ∠BPC与∠A有怎样的大小关系？说说你的理由。拓展1如图：在△ABC中，P是∠ B 、∠ C外角的角平分线的交点， ∠BPC与∠A有怎样的大小关系？说说你的理由。拓展2如图：在△ABC中，P是∠ B的角平分线 和∠ C外角的角平分线的交点，∠BPC与∠A有怎样的大小关系？说说你的理由。APB C N拓展3如图：在△ABC中，P，Q是∠ B 、∠ C三等分线的交点， ∠BPC与∠BQC 与∠ A有怎样的大小关系？说说你的理由。AQPB C
学习反思：
参考答案
11.3 证明 (3)答案
1. (1) ∠A+∠P+∠C=360°
（2）∠P=∠A +∠C 2. 证明略 3. 证明略
4.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
11.4互逆命题(1) 答案
1.(1) 原命题：如果|a|=|b|，那么a=b；（假命题）
逆命题：如果a=b，那么|a|=|b|；（真命题）
(2) 原命题：如果a＞0，那么a2＞0；（真命题）
逆命题：如果a2＞0，那么a＞0；（假命题）
(3) 原命题：等角的余角相等；（真命题）
逆命题：如果两个角的余角相等，那么这两个角相等；（真命题）
(4) 原命题：面积相等三角形是全等三角形. （假命题）
逆命题：全等三角形面积相等（真命题）
(5) 原命题：若ac2＞bc2，则a＞b；（真命题）
逆命题：若a＞b，则ac2＞bc2；（假命题）
(6) 原命题：角平分线上的点到这个角的两边距离相等；（真命题）
逆命题：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上；（真命题）
(7) 原命题：若ab=0，则a=0. （假命题）
逆命题：若a=0，则ab=0. （真命题）
2.略
11.4互逆命题(2) 答案1. 略2. ∠B =36°
小结与思考答案1. （1），（2），（3），（6）是命题；2. 略3. ∠BPC=90°+∠A
拓展1：∠BPC=90°-∠A拓展2：∠A=2∠BPC拓展3：∠BPC=90°+∠Q
∠BPC=120°+∠A。
第2题 第3题 第4题
A/、
=>∠EGA=∠B=>DE∥BF。
A
B
C
D
A
B
C
D
P
M
E
F
A
F
C
B
E
D
A
B
C
P
A
B
C
P