7.2 万有引力定律 同步练习 （word版含答案）

万有引力定律练习
一、单选题
对于万有引力定律的表达式F=Gm1m2r2，下面说法正确的是(??? )
A. 公式中G为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的
B. 当r趋近于零时，万有引力趋于无穷大
C. 对于m1与m2间的万有引力，质量大的受到的引力大
D. m1与m2受到的引力是一对平衡力
设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则gg0为(????)
A. 1 B. 19 C. 14 D. 116
已知地球半径为R，将一物体从地面发射至离地面高h处时，物体所受万有引力减小到原来的一半，则h为(????)
A. R B. 2R C. 2R D. (2?1)R
地球的质量为M，半径为R。质量为m的宇航员离地面高度为h时，受到地球的万有引力为(????)
A. F=GMmR B. F=GMmR2
C. F=GMmR+? D. F=GMm(R+?)2
如下图所示，两星球相距为L，质量比为mA:mB=1:9，两星球半径远小于L.从星球A沿AB连线向B以某一初速度发射一探测器．只考虑星球A、B对探测器的作用，下列说法正确的是(??? )
A. 探测器的速度一直减小
B. 探测器在距星球A为L4处加速度为零
C. 若探测器能到达星球B，其速度可能恰好为零
D. 探测器在距星球A为L3处加速度为零
把火星和地球都视为质量均匀分布的球体，已知地球半径约为火星半径的2倍，地球质量约为火星质量的10倍，由这些数据可推算出(　　)
A. 地球和火星的第一宇宙速度之比为5：1
B. 地球和火星的第一宇宙速度之比为10：1
C. 地球表面和火星表面的重力加速度之比为5：1
D. 地球表面和火星表面的重力加速度之比为10：1
如图所示，将质量为m的物体(可看做质点)，放在离地面高度为h的P点，已知地球半径为R、质量为M，万有引力常量为G，则物体受到地球的万有引力大小为(????)
A. F=GMmR2
B. F=GMm?2
C. F=GMmR+?
D. F=GMm(R+?)2
地球赤道上的重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上物体“飘”起来，则地球的转速应为原来转速的(? ? ?)．
A. ga倍 B. g+aa倍 C. g?aa倍 D. ga倍
据报道，美国国家航空航天局(NASA)首次在太阳系外发现“类地”行星Kepler?186f.若宇航员乘坐宇宙飞船到达该行星，进行科学观测：该行星自转周期为T;宇航员在该行星“北极”距该行星地面附近h处自由释放一个小球(引力视为恒力)，落地时间为t.已知该行星半径为R，万有引力常量为G，则下列说法正确的是(? ? ?)
A. 该行星的第一宇宙速度为2?Rt
B. 该行星的平均密度为?2GπRt2
C. 如果该行星存在一颗同步卫星，其距行星表面高度为3?T2R22π2t2
D. 宇宙飞船绕该星球做圆周运动的周期小于πt2R?
科幻电影《流浪地球》中讲述了人类想方设法让地球脱离太阳系的故事。地球流浪途中在接近木星时被木星吸引，当地球快要撞击木星的危险时刻，点燃木星产生强大气流推开地球拯救了地球。若逃逸前，地球、木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，且航天器在地球表面的重力为G1，在木星表面的重力为G2；地球与木星均可视为球体，其半径分别为R1、R2，则下列说法正确的是(? )
A. 地球逃逸前，发射的航天器逃出太阳系的最小速度为11.2km/s
B. 木星与地球的第一宇宙速度之比为G2R1G1R2
C. 地球与木星绕太阳公转周期之比的立方等于它们轨道半长轴之比的平方
D. 地球与木星的质量之比为G1R12G2R22
有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点.现从M中挖去半径为12R的球体，如图所示，则剩余部分对m的万有引力F为(????)
A. 7GMm36R2 B. 7GMm8R2 C. GMm18R2 D. 7GMm32R2
嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍。已知地球质量是月球质量的P倍，地球半径R是月球半径的Q倍，地球表面重力加速度大小为g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为(????)
A. RQgKP B. RPKgQ C. RKgQP D. RPgQK
二、多选题
已知物体放在质量分布均匀的球壳内部的时候受到球壳的万有引力为零，假想有一个质量分布均匀的球心为O1半径为R的星球，若将球内部挖掉一个半径为R2的圆心为O2的小球(A为两球切点)，如图所示，在不考虑星球自转的情况下，若将一可视作质点的小物体从O2点由静止释放，则小物体将(????)
A. 由O2向A运动 B. 由O2向O1运动
C. 匀加速直线运动 D. 变加速直线运动
据报道，美国发射的“月球勘测轨道器”(LRO)每天在50?km的高度穿越月球两极上空10次．若以T表示LRO在离月球表面高度h处的轨道上做匀速圆周运动的周期，以R表示月球的半径，则(????)
A. LRO运行时的向心加速度为4π2RT2
B. LRO运行时的向心加速度为4π2(R+?)T2
C. 月球表面的重力加速度为4π2RT2
D. 月球表面的重力加速度为4π2(R+?)3T2R2
近年来，我国航天事业取得长足进步，相信不久的将来，我国宇航员将到达火星。若宇航员在距火星表面高h处将一物体(视为质点)以初速度v0水平抛出，测得抛出点与着落点相距2 h，已知火星的半径为R，自转周期为T，万有引力常量为G，不计大气阻力。下列说法正确的是(????)
A. 火星表面的重力加速度为g=2v023?
B. 火星的质量约为M=2v02R23G?
C. 火星的第一宇宙速度为v=3R2?v0
D. 火星的同步卫星的高度为
如图所示，曲线Ⅰ是一颗绕地球做圆周运动卫星轨道的示意图，其半径为R；曲线Ⅱ是一颗绕地球椭圆运动卫星轨道的示意图，O点为地球球心，AB为椭圆的长轴，两轨道和地心都在同一平面内，已知在两轨道上运动的卫星的周期相等，万有引力常量为G，地球质量为M，下列说法正确的是(????)
A. 卫星在Ⅰ轨道上的加速度大小为a0，卫星在Ⅱ轨道上A点加速度大小为aA，则有a0>aA
B. 椭圆轨道的半长轴长度为R
C. 卫星在Ⅰ轨道的速率为v0，卫星在Ⅱ轨道B点的速率为vB，则v0>vB
D. 若OA=0.5R，则卫星在B点的速率vB>2GM3R
三、计算题
一个质量均匀分布的球体，半径为2r，在其内部挖去一个半径为r的球形空穴，其表面与球面相切，如下图所示．已知挖去小球的质量为m，在球心和空穴中心连线上，距球心d=6r处有一质量为m2的质点，求：
(1)被挖去的小球挖去前对m2的万有引力为多大?
(2)剩余部分对m2的万有引力为多大?
如下图所示，地球质量M1约为月球质量M2的81倍，地球半径R1约为月球半径R2的4倍，一飞行器在近地圆轨道1上，经一系列变轨后在近月圆轨道2上运行，已知地球中心到月球中心的距离为r.求：
(1)飞行器在近地圆轨道1上受到地球的引力F1与在近月圆轨道2上受到月球的引力F2的比值；
(2)O为地月连线上一点，飞行器在该点受到地球和月球的引力的合力为零，求O点到地心的距离r1．
假设某航天员驾驶一艘宇宙飞船飞临X星球，然后在该星球上做火箭发射实验．微型火箭点火后加速上升4s后熄火，测得火箭上升的最大高度为80m，若火箭始终在垂直于星球表面的方向上运动，火箭燃料质量的损失及阻力忽略不计，且已知该星球的半径为地球半径的12，质量为地球质量的18，地球表面的重力加速度g0取10m/s2.(忽略地球及星球的自转带来的影响)
(1)求该星球表面的重力加速度的大小；
(2)求火箭点火加速上升时所受的平均推力与其所受重力的比值．
答案和解析
1.【答案】A
【解答】
A.公式中G为引力常量，它是实验测得的，而不是人为规定的，故A正确；
B.当r趋近于无穷大时公式不再适用，故B错误；
CD.无论物体的质量是什么关系，它们之间的万有引力时一对相互作用力，所以大小总是相等，故CD错误。
故选A。
2.【答案】D
【解答】
根据万有引力等于重力，列出等式：GMmr2=mg；
得：g=GMr2，其中M是地球的质量，r应该是物体在某位置到球心的距离；
所以地面的重力加速度为：g0=GMR2；
距离地心4R处的重力加速度为：g=GM?(4R)2=116g0；
所以g?g0=116；
故D正确，ABC错误。
故选D。
3.【答案】D
【解答】
地面上：F=GMmR2，高度为h处：F′=GMm(R+?)2；
因为F′=12F?，所以(R+?)2R2=21?，所以，?=(2?1)R，故D正确，ABC错误。
故选D。
4.【答案】D
【解答】
根据万有引力公式有：F=GMmr2，其中r=R+?，则万有引力大小为：F=GMm(R+?)2，故D正确，ABC错误。
故选D。
5.【答案】B
【解答】
AC.探测器从A向B运动，所受AB的万有引力的合力先向左再向右，则探测器的速度先减小后增大，故AC错误；
BD.当探测器合力为零时，加速度为零，则有GmAmrA2=GmBmrB2，因为mA:mB=1:9，则rA:rB=1:3，知探测器距离星球A的距离为x=L4，故B正确，D错误。
故选B。
6.【答案】A
【解答】
AB.根据万有引力提供向心力为：GMmR?2=mv?2R，第一宇宙速度公式有：v=GMR，v地?v火?=M地?M火?R火?R地?=101×12=51，故A正确，B错误．
CD.根据mg=GMmR?2得重力加速度公式为：g=GMR?2，g地?g火?=M地?M火?R火2R地2=101×14=52，故CD错误
故选A。
7.【答案】D
【解答】
根据万有引力的大小公式为F=GMmr2?，r=R+?.所以F=GMm(R+??)2??；
故D正确，ABC错误。
故选D。
8.【答案】B
【解答】
解：原来状态应满足公式GmMR2?mg=ma=mω2R，
后来飘起来时，万有引力全部提供物体随地球自转所需要的向心力，
则有GmMR2=mω′2R，
M为地球质量、m为物体质量、R为地球半径、ω′为飘起时的角速度、ω为原来的角速度，
则有：ω=2πn，ω′=2πn′，
联立求解得ω′=ωg+aa，故B正确，ACD错误。
故选B。
9.【答案】A
【解答】
根据自由落体运动求得星球表面的重力加速度g=2?t2?
A、星球的第一宇宙速度v=gR=2?Rt，故A正确；?
B、由GmMR2=mg=m2?t2有：M=2?R2Gt2，所以星球的密度ρ=MV=2?R2Gt243πR3=3?2Gt2Rπ，故B错误；?
C、同步卫星的周期与星球自转周期相同，故有：GmM(R+?)2=m(R+?)4π2T2，代入数据解得：?=3?T2R22π2t2?R，故C错误。?
D、根据万有引力提供圆周运动向心力有：GmMr2=mr4π2T2可得卫星的周期T=4π2r3GM，可知轨道半径越小周期越小，卫星的最小半径为R，则周期最小值为Tmin=4π2R3GM=4π2R3gR2=4π2R2?t2=πt2R?，故D错误；?
故选A。
10.【答案】D
【解析】
【解答】
A.地球逃逸前，发射的航天器逃出太阳系的最小速度为16.7km/s，故A错误；
B.由GM地mR12=G1，GM木mR22=G2，可解得M木M地=G2R22G1R12，又GM地mR12=mv12R1，GM木mR22=mv22R2，可解得木星与地球的第一宇宙速度之比v2v1=M木R1M地R2=G2R2G1R1，故B错误；
C.地球与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方，故C错误；
D.由GM1mR12=G1，GM2mR22=G2，联立解得M1M2=G1R12G2R22，故D正确。
故选D。
11.【答案】A
【解答】
在小球内部挖去一个半径为12R的球体，挖去小球的质量为：m′=(0.5RR)3M=18M，
挖去小球前球与质点的万有引力：F″=GMm(2R)2=GMm4R2，
被挖部分对质点的引力为：F′=G18Mm(3R2)2=GMm18R2，
则剩余部分对m的万有引力F=F″?F′=7GMm36R2。
故选A。
12.【答案】A
【解答】
令月球的半径为R1，月球的质量为M1，地球的质量为M，嫦娥四号的质量为m，则嫦娥四号”绕月球做匀速圆周运动的半径为KR1，
根据牛顿第二定律有：GM1m(KR1)2=mv2KR1
所以v=GM1KR1=GMPKRQ=GMQKRP
根据黄金代换式有：GM=gR2，
所以嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为：v=gRQKP，故BCD错误，A正确。
故选A。
13.【答案】BC
【解答】
AB.据对称性可知，星球的剩余部分对质点的吸引力方向由O2指向O1，则小物体从O2点由静止释放，小物体将由O2向O1运动，故A项错误，B项正确；
CD.已知物体放在质量分布均匀的球壳内部的时候受到球壳的万有引力为零，设星球的密度为ρ，小物体的质量为m，未挖去小球前，小物体在距球心O1距离为r处受到的引力为F=Gρ?43πr3mr2=Gρ?43πmr
方向指向O1，星球挖去部分对小物体(小物体在O2O1连线上且距O1距离为r处)的引力为F1=Gρ?43π(R2?r)3m(R2?r)2=Gρ?43πm(R2?r)
方向指向O2，
则剩余部分对质点的吸引力为F2=F+F1=23πGρRm
方向指向O1，据牛顿第二定律得，物体的加速度为，即物体做匀加速直线运动，
故C项正确，D项错误。
故选BC。
14.【答案】BD
【解答】
AB、向心加速度a=r(2πT)2，其中r为匀速圆周运动的轨道半径?所以LRO运行时的向心加速度为4π2(R+?)T2，故A错误，B正确
CD、根据万有引力提供向心力得：GMm(R+?)2=m?4π2T2(R+?)?①根据万有引力等于重力得：GMmR2=mg?②解得：月球表面的重力加速度g=4π2(R+?)3T2R2，故C错误，D正确．
故选BD
15.【答案】AB
【解答】
A.平抛的水平位移为x=(2?)2??2=3?；竖直方向有?=12gt2；水平方向有x=v0t；联立得g=2v023?，故A正确；
B.火星表面物体的重力等于万有引力，有mg=GMmR2，得火星的质量为M=gR2G=2v02R23G?，故B正确；
C.根据第一宇宙速度公式v1=gR得v1=2v02R3?=2R3?v0；故C错误；
D.火星的同步卫星的周期等于火星的自转周期T，根据万有引力提供向心力有；解得
故D错误。
故选AB。
16.【答案】BC
【解答】
A.根据GMmr?2=ma，得a=GMr?2，轨道Ⅰ半径大于轨道Ⅱ的A点到O点距离，所以a0?B.根据题意，卫星在两轨道上运动的卫星的周期相等，根据开普勒第三定律R?3T?2=k，知圆轨道的半径R和椭圆轨道的半长轴相等，所以椭圆轨道的半长轴长度为R，故B正确；
C.设卫星在虚线圆轨道上的速度为v1?，由虚线圆轨道进入椭圆轨道速度减小，所以v1?>vB?，根据v=GMr知v0?>v1?，所以v0?>vB?，故C正确；
D.若OA=0.5R，则OB=1.5R，人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，GMmr?2=mv?2r，得v=GMr，如果卫星以OB为轨道半径做匀速圆周运动，则v=2GM3R，在Ⅱ轨道上，卫星在B点要减速，做近心运动，所以卫星在B点的速度vB?<2GM3R，故D错误。
故选BC。
17.【答案】解：
(1)被挖部分对质点的引力为：F/=Gmm2(5r)2=Gmm225r2
(2)由万有引力表达式：F=GMmr2，由其内部挖去一个半径为r的球形空穴，挖去小球的质量为m，可知球体密度为：ρ=m43πr3。挖去之前的球的质量为M，则：M=m43πr3×4π2r33=8m，
故挖去前的引力为：F=G8mm26r2=2Gmm29r2
剩余部分的引力为：F?F′=2Gmm29r2?Gmm225r2=41Gmm2225r2。
答：(1)被挖去的小球对m2的万有引力为Gmm225r2；
(2)剩余部分对m2的万有引力为G41mm2225r2。
18.【答案】解：(1)飞行器在近地圆轨道1上运行，万有引力F1=GMmR2，
在近月圆轨道2上，万有引力F2=GM′mR′2，
地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍，
则F1：F2=81：16；
(2)飞行器在O点受到地球和月球的引力的合力为零，
GMmr12=GM′mr22，
其中r1+r2=r，
解得O点到地心的距离r1=0.9r。
答：(1)飞行器在近地圆轨道1上受到地球的引力F1与在近月圆轨道2上受到月球的引力F2的比值为81：16；
(2)O为地月连线上一点，飞行器在该点受到地球和月球的引力的合力为零，O点到地心的距离为0.9r。
19.【答案】(1)根据GMmR2=mg，
得g=GMR2
在地球表面，有g0=GM0R02
联立得g=MR02M0?R?2g0?=12g0?=5m/s?2；
(2)设火箭加速上升时的加速度大小为a，加速上升的高度为?1，
则有?1=12at2
设火箭熄火后减速上升高度为?2，
则有?2=v122g=(at)22g
且?1+?2=80m
解得a=5m/s2
根据牛顿第二定律，有F?mg=ma
解得Fmg=2。