1.1等腰三角形-2020-2021学年北师大版八年级数学下册同步提升训练（Word版含解析）

2020-2021年度北师大版八年级数学下册《1.1等腰三角形》同步提升训练（附答案）
1．已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则该等腰三角形的周长为（　　）
A．7
B．9
C．9或12
D．12
2．如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE，则∠A＝（　　）度．
A．30
B．36
C．45
D．50
3．如图，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，如果∠DEF＝60°，则∠A的度数为（　　）
A．20°
B．15°
C．12°
D．10°
4．如图，在△ABC中，AC＝BC，D是BA延长线上一点，E是CB延长线上一点，F是AC延长线上一点，∠DAC＝131°，则∠ECF的度数为（　　）
A．49°
B．88°
C．98°
D．131°
5．若一条长为24cm的细线能围成一边长等于6cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为（　　）A．6cm
B．9cm
C．6cm或9cm
D．12cm
6．如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，M，N经过点O，且MN∥BC，若AB＝5，△AMN的周长等于12，则AC的长为（　　）
A．7
B．6
C．5
D．4
7．在等腰三角形ABC中，BC边上的高恰好等于BC边长的一半，则∠BAC等于（　　）
A．90°
B．90°或75°
C．90°或15°
D．90°或75°或15°
8．如图所示，在平面直角坐标系中，点A（3，1），点P在x轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）
A．2
个
B．3
个
C．4
个
D．5
个
9．如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
10．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，D是AC边上的一点，且AD＝BD，则∠CBD＝（　　）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
11．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝2，∠BAC的外角平分线交BC延长线于点E，BD⊥AE于D，若AE＝AC，则AD的长为　
　．
12．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，点E为对角线AC与BD的交点，∠AEB＝70°，若∠ABC＝2∠ADB＝4∠CBD，则∠ACD＝　
　°．
13．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∠A＝100°，D为BC的中点，点E在AB上，∠BDE＝15°，P是等腰△ABC腰上的一点，若△EDP是以DE为腰的等腰三角形，则∠EDP的大小为　
　．
14．如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD．则∠3＝　
　°．
15．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，若点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有　
　个．
16．如图，△ABC的面积为16cm2，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于P，则△PBC的面积为　
　cm2．
17．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，腰长为6，则这个等腰三角形的底角度数是　
　．
18．如图，在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成18和15两部分，则AC的长为　
　．
19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB上的一点，∠ACD＝35°，若△ACD为等腰三角形，那么∠B的度数为　
　．
20．如图，在等边△ABC中，AB＝8，E是BA延长线上一点，且EA＝4，D是BC上一点，且DE＝EC，则BD的长为　
　．
21．已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在CA，BA的延长线上，且BE＝CD，连BD，CE．
（1）求证：∠D＝∠E；
（2）若∠BAC＝108°，∠D＝36o，则图中共有　
　个等腰三角形．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E．
（1）求∠ADB的度数；（2）求证：△ADE是等腰三角形．
23．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于F．
（1）证明：△ADF是等腰三角形；
（2）若AB＝6，求DE的长．
24．△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点P在BC边上运动（P不与B、C重合），连接AP，作∠APQ＝∠B，PQ交AB于点Q．
（1）如图1，当PQ∥CA时，判断△APB的形状并说明理由；
（2）在点P的运动过程中，△APQ的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BQP的度数；若不可以，请说明理由．
25．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求证：CE＝CF；
（2）若CD＝2，求DF的长．
26．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．
（1）求证：∠AEC＝∠ACE；
（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长．
27．在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD．
（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠BDF的度数；
（2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN．
①补全图2；
②若BN＝DN，求证：MB＝MN．
参考答案
1．解：当2为腰时，三边为2，2，5，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，
当5为腰时，三边为5，5，2，符合三角形三边关系定理，周长为：5+5+2＝12．
故选：D．
2．解：设∠EBD＝x，
∵DE＝BE，
∴∠AED＝2x，
又∵AD＝DE，
∴∠A＝2x，
∴∠BDC＝x+2x＝3x，
而BC＝BD，则∠C＝3x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝3x，
∴3x+3x+2x＝180°，
∴∠A＝2x＝45°．
故选：C．
3．解：∵DE＝EF，∠DEF＝60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴∠EDF＝60°，
∵AB＝BC＝CD．
∴△ABC和△BCD为等腰三角形，∠A＝∠ACB，∠CBD＝∠CDB，
∵∠CBD＝∠A+∠ACB＝2∠A，
∴∠CDB＝2∠A，
∵∠ECD＝∠A+∠CDB＝3∠A，CD＝DE，
∴△CDE为等腰三角形，
∴∠ECD＝∠DEC＝3∠A，
∠EDF＝∠A+∠DEC＝4∠A＝60°，
∴∠A＝15°．
故选：B．
4．解：∵∠DAC＝131°，∠DAC+∠CAB＝180°，
∴∠CAB＝49°，
∵AC＝BC，
∴∠CBA＝49°，∠ACB＝180°﹣49°﹣49°＝82°，
∴∠ECF＝180°﹣82°＝98°，
故选：C．
5．解：若6cm为底时，腰长＝（24﹣6）＝9cm，
三角形的三边分别为6cm、9cm、9cm，
能围成等腰三角形，
若6cm为腰时，底边＝24﹣6×2＝12，
三角形的三边分别为6cm、6cm、12cm，
∵6+6＝12，
∴不能围成三角形，
综上所述，腰长是9cm，
故选：B．
6．解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，
∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，
∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，
∴MO＝MB，NO＝NC，
∵AB＝5，△AMN的周长等于12，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AB+AC＝5+AC＝12，
∴AC＝7，
故选：A．
7．解：如下图，分三种情况：
①如图1，AB＝BC，AD⊥BC，AD在三角形的内部，
由题意知，AD＝BC＝AB，
∵sin∠B＝＝，
∴∠B＝30°，∠C＝（180°﹣∠B）＝75°，
∴∠BAC＝∠C＝75°；
②如图2，AC＝BC，AD⊥BC，AD在三角形的外部，
由题意知，AD＝BC＝AC，
∵sin∠ACD＝＝，
∴∠ACD＝30°＝∠B+∠CAB，
∵∠B＝∠CAB，
∴∠BAC＝∠ACD＝15°；
③如图3，AC＝BC，AD⊥BC，BC边为等腰三角形的底边，
由等腰三角形的底边上的高与底边上中线，顶角的平分线重合，可得点D为BC的中点，
由题意知，AD＝BC＝CD＝BD，
∴△ABD，△ADC均为等腰直角三角形，
∴∠BAD＝∠CAD＝45°，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAC的度数为90°或75°或15°，
故选：D．
8．解：如图，以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，OA的垂直平分线与x轴的交点有4个．
故选：C．
9．解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G
∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵EC＝CD，
∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，
∴∠AEF＝30°，
∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，
∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，
∴BE平分∠ABC，
∴EG＝EF＝2，
在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，
∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；
方法二、
∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵EC＝CD，
∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，
∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，
∴BE＝DE，∠BFD＝90°，
∴BE＝2EF＝4＝DE，
∴DF＝DE+EF＝6；
故选：D．
10．解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠CBD＝70°﹣40°＝30°，
故选：A．
11．解：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，延长BA至F，
∵BD垂直平分AG，
∴BA＝BG＝8，
∠BAG＝∠G
∵∠BAG＝∠EAF，∠BAC的外角平分线交BC延长线于点E，
∴∠EAF＝∠G，∠CAE＝∠EAF，
∴∠G＝∠CAE，
∴AC∥GB，
∴∠ACE＝∠GBE，
∵AE＝AC＝2，
∴∠ACE＝∠E，
∴∠GBE＝∠E，
∴GB＝GE＝8，
∵DG+d＝G﹣AE，
∴2AD＝6，
∴AD＝3．
故答案为3．
12．解：设∠CBD＝x，
由题意得：∠ABC＝2∠ADB＝4∠CBD＝4x，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝（180°﹣4x）＝90°﹣2x，
∵∠ABE+∠BAE+∠AEB＝180°，
∴3x+90°﹣2x+70°＝180°，
∴x＝20°，
∴∠BDC＝20°，
∴∠ACD＝180°﹣∠DEC﹣∠BDC＝90°，
故答案为：90．
13．解：∵AB＝AC，∠A＝100°，
∴∠B＝（180°﹣∠A）＝40°，
∵∠BDE＝15°，
∴∠AED＝55°，
∵当△DEP是以DE为腰的等腰三角形，
①当点P在AB上，
∵DE＝DP1，
∴∠DP1E＝∠AED＝55°，
∴∠EDP1＝180°﹣55°﹣55°＝70°，
②当点P在AC上，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，
∴DG＝DH，
在Rt△DEG与Rt△DP2H中，
，
∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL），
∴∠AP2D＝∠AED＝55°，
∵∠BAC＝100°，
∴∠EDP2＝150°，
③当点P在AC上，
同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH（HL），
∴∠EDG＝∠P3DH，
∴∠EDP3＝∠GDH＝180°﹣100°＝80°，
④当点P在AB上，EP＝ED时，∠EDP＝（180°﹣55°）＝62.5°．
故答案为：62.5°或70°或80°或150°．
14．解：∵AD为BC边上的高，
∴∠ADB＝90°，
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠BAD＝（180°﹣∠ADB）＝45°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2＝∠ABD＝22.5°，BE⊥AC，
∴∠BEA＝90°＝∠ADB，
∵∠3+∠BEA+∠AHE＝180°，∠2+∠ADB+∠BHD＝180°，∠AHE＝∠BHD，
∴∠3＝∠2＝22.5°．
故答案为：22.5°．
15．解：如图：分情况讨论．
①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故答案为：8．
16．解：延长AP交BC于点E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
在△ABP和△EBP中，
，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴S△PBC＝S△ABC＝×16cm2＝8cm2，
故答案为：8．
17．解：在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝40°，
当BD在△ABC内部时，如图1，
∵BD为高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣40°＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣50°）＝65°；
当BD在△ABC外部时，如图2，
∵BD为高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣40°＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
而∠BAD＝∠ABC+∠ACB，
∴∠ACB＝∠BAD＝25°，
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为65°或25°．
故答案为：65°或25°．
18．解：设AB＝BC＝2x，AC＝y，则BD＝CD＝x，
∵BC上的中线AD将这个三角形的周长分成18和15两部分，
∴有两种情况：
1、当3x＝18且x+y＝15时，
解得x＝6，y＝9，
即AC的长为9；
2、当x+y＝18且3x＝15时，解得x＝5，y＝13，
此时腰为10，
即AC的长为13．
综上所述，AC的长为9或13．
故答案为：9或13．
19．解：如图1，当DA＝DC时，
∵∠ACD＝35°，
∴∠A＝35°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝55°；
如图2，当CA＝CD时，
∵∠ACD＝35°，
∴∠A＝（180°﹣35°）÷2＝72.5°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝17.5°．
综上所述，∠B的度数为55°或17.5°．
故答案为：55°或17.5°．
20．解：过点E作EF⊥BC于F；如图所示：
则∠BFE＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，BC＝AB＝8，
∴∠FEB＝90°﹣60°＝30°，
∵BE＝AB+AE＝8+4＝12，
∴BF＝BE＝6，
∴CF＝BC﹣BF＝2，
∵ED＝EC，EF⊥BC，
∴DF＝CF＝2，
∴BD＝BF﹣DF＝4；
故答案为：4．
21．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△EBC和△DCB中，
，
∴△EBC≌△DCB（SAS），
∴BE＝CD．
（2）图中共有5个等腰三角形．
∵∠BAC＝108°,AB＝AC,
∴∠ABC＝∠ACB＝36°,
∵∠D＝∠E＝36°,
∴∠D＝∠BCD,∠E＝∠CBE,
∴∠DAB＝∠EAC＝72°,
∴∠DBA＝∠DAB＝72°,∠EAC＝∠ECA＝72°,
∴DB＝DA,EA＝EC,
∴△ABD,△AEC,△BCD,△BCE,△ABC是等腰三角形．
故答案为：5．
22．（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝36°，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝72°+36°＝108°；
（2）证明：∵AE∥BC，
∴∠EAC＝∠C＝72°，
∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，
∴∠ADE＝∠CDB＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴△ADE是等腰三角形．
23．证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，
∴AD⊥BC，
即∠ADB＝90°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE＝∠EAB＝30°，
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝30°，
∴∠DAF＝∠F＝30°，
∴AD＝DF，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝60°，
∴∠DAE＝∠EAB＝30°，
在Rt△ADB中，∠B＝30°，AB＝6，
∴AD＝3，
在Rt△ADE中，AD＝3，∠DAE＝30°，
∴DE＝．
24．解：（1）△APB是直角三角形，
理由如下：∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝30°＝∠B＝∠APQ，
∵PQ∥AC，
∴∠BPQ＝∠C，
∴∠APB＝60°，
∴∠BAP＝90°，
∴△APB是直角三角形；
（2）当AQ＝QP时，
∴∠QAP＝∠APQ＝30°，
∴∠BQP＝∠QAP+∠APQ＝60°，
当AP＝PQ时，则∠AQP＝∠PAQ＝75°，
∴∠BQP＝105°，
当AQ＝AP时，则∠AQP＝∠APQ＝30°，
∵P不与B、C重合，
∴不存在，
综上所述：∠BQP＝105°或60°．
25．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．
∵DE∥AB，
∴∠B＝EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∵EF⊥ED，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝30°
∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°，
∴∠F＝∠FEC＝30°，
∴CE＝CF．
（2）由（1）可知∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴CE＝DC＝2．
又∵CE＝CF，
∴CF＝2．
∴DF＝DC+CF＝2+2＝4．
26．解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，
即∠AEC＝∠ACE；
（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，
∴∠B＝∠BCE，
又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，
∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，
∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝2，
∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝4，
∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3．
27．（1）解：如图1中，
在等边三角形△ACD中，
∠CAD＝∠ADC＝60°，AD＝AC．
∵E为AC的中点，
∴∠ADE＝∠ADC＝30°，
∵AB＝AC，
∴AD＝AB，
∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝160°，
∴∠ADB＝∠ABD＝10°，
∴∠BDF＝∠ADF﹣∠ADB＝20°．
（2）①补全图形，如图所示．
②证明：连接AN．
∵CM平分∠ACB，
∴设∠ACM＝∠BCM＝α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝2α．
在等边三角形△ACD中，
∵E为AC的中点，
∴DN⊥AC，
∴NA＝NC，
∴∠NAC＝∠NCA＝α，
∴∠DAN＝60°+α，
在△ABN
和△ADN
中，
∴△ABN≌△ADN（SSS），
∴∠ABN＝∠ADN＝30°，∠BAN＝∠DAN＝60°+α，
∴∠BAC＝60°+2α，
在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，
∴60°+2α+2α+2
α＝180°，
∴α＝20°，
∴∠NBC＝∠ABC﹣∠ABN＝10°，
∴∠MNB＝∠NBC+∠NCB＝30°，
∴∠MNB＝∠MBN，
∴MB＝MN