1.2直角三角形-2020-2021学年北师大版八年级数学下册同步提升训练（Word版含解析）

2020-2021年度北师大版八年级数学下册《1.2直角三角形》同步提升训练（附答案）
1．在下列条件中：①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A﹣∠B＝90°，③∠A＝∠B＝2∠C，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD，CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，则∠B的大小是（　　）
A．32°
B．64°
C．77°
D．87°
3．在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝2∠C，则∠C的度数为（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．30°或60°
4．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是（　　）
A．AAS
B．SAS
C．ASA
D．HL
5．如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以AB为边画Rt△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共（　　）个．
A．5
B．6
C．7
D．8
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD∥AB交∠ABC的平分线于点D，若∠ABD＝20°，则∠ACD的度数为（　　）
A．20°
B．30°
C．40°
D．50°
7．如图，在△ABC中∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．点D是BC上的中点．点P是边AB上的动点，若要使△BPD为直角三角形，则BP＝　
　．
8．“平行四边形两组对边分别相等”的逆命题是　
，它是　
（填“真命题”或“假命题”）．
9．已知∠AOB＝30°，点D在OA上，OD＝，点E在OB上，DE＝2，则OE的长是　
　．
10．如图，∠AOB＝50°，点P是边OB上一个动点（不与点O重合），当∠A的度数为　
　时，△AOP为直角三角形．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，BE⊥AD于点E．若∠CAB＝50°，则∠DBE＝　
　．
12．如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝54°，∠2＝24°，则∠B的度数为　
　．
13．如图，在Rt△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝90°，翻折△ABC，使点B落到点A上，折痕交BC于E，则∠CAE的度数为　
　．
14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥AC，图中等于∠A的角是　
　．
15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝59°，EF∥GH，若∠1＝58°，则∠2＝　
　°．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将∠A折叠，使点A落在边CB上的点A′处，折痕为CD；若∠A′DC＝84°，则∠B＝　
　°．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝40°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于点E，连接AE，则∠AEB的度数为　
　．
18．如图，已知Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点P是边AB上一点，点M，N分别是边BC和BC延长线上的点，∠MPB＝∠NPA，∠PNB＝∠FNG，线段PM的延长线和射线NF的反向延长线交于点Q，若∠CAB＝50°，则∠Q＝　
　．
19．已知，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．
（1）如图1，求证：CD⊥AB；
（2）将△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边所在直线上，记为A′点．
①如图2，若∠B＝34°，求∠A′CB的度数；
②若∠B＝n°，请直接写出∠A′CB的度数（用含n的代数式表示）．
20．如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，BF＝EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF．
21．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACB交AB于E，EF⊥AB交CB于F．
（1）求证：CD∥EF；
（2）若∠A＝70°，求∠FEC的度数．
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB于E，F在CE上，FD∥CB，且AD＝AC．
（1）若∠ACE＝30°，求∠B；
（2）求证：CF＝FD．
23．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A，C重合，那么当点P运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？
24．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，过点C作CE⊥BD，交BD的延长线于点E，∠ABC＝60°，∠ECD＝15°．
（1）直接写出∠ADB的度数是　
　；
（2）求证：BD＝AB；
（3）若AB＝2，求BC的长．
25．在△AOB中，∠AOB＝90°，点C为直线AO上的一个动点（与点O，A不重合），分别作∠OBC和∠ACB的角平分线，两角平分线所在直线交于点E．
（1）若点C在线段AO上，如图1．
①依题意补全图1；
②求∠BEC的度数；
（2）当点C在直线AO上运动时，∠BEC的度数是否变化？若不变，请说明理由；若变化，画出相应的图形，并直接写出∠BEC的度数．
26．在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于D，CE是△ABC的角平分线．
（1）求∠DCE的度数．
（2）若∠CEF＝135°，求证：EF∥BC．
参考答案
1．解：①由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B﹣∠C得到：2∠B＝180°，则∠B＝90°，则△ABC是直角三角形，故符合题意；
②∠A﹣∠B＝90°得到：∠A＞90°，则△ABC不是直角三角形，故不符合题意；
③由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B＝2∠C得到：5∠C＝180°，则∠C＝36°，则∠A＝∠B＝72°＜90°，则△ABC不是直角三角形，故不符合题意；
④由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B＝∠C得到：∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，故符合题意；
综上所述，是直角三角形的是①④，共2个．
故选：B．
2．解：如图，取CF的中点T，连接DT，AT．
∵∠BAC＝90°，FD⊥BC，
∴∠CAF＝∠CDF＝90°，
∴AT＝DT＝CF，
∴TD＝TC＝TA，
∴∠TDA＝∠TAD，∠TDC＝∠TCD，
∵∠ADB＝45°，
∴∠ADT+∠TDC＝135°，
∴∠ATC＝360°﹣2×135°＝90°，
∴AT⊥CF，
∵CT＝TF，
∴AC＝AF，
∴∠AFC＝45°，
∴∠BFD＝45°﹣32°＝13°，
∵∠BDF＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BFD＝77°，
故选：C．
3．解：∵在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝2∠C，
∴2∠C+∠C＝90°，
∴∠C＝30°，
故选：A．
4．解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
故选：D．
5．解：根据题意可得以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共8个．
故选：D．
6．解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝20°，
∴∠ABC＝40°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
∵CD∥AB，
∴∠ACD＝∠A＝50°，
故选：D．
7．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∵D是BC中点，
∴CD＝BD＝4，
分两种情形：①当∠DPB＝90°时∴BP＝．
②当∠PDB＝90°，易证：DP∥AC，
∵CD＝DB，
∴AP＝PB＝5，
综上所述，满足条件的PB的值为5或．
故答案为5或
8．解：平行四边形的两组对边分别相等的逆命题是如果两个四边形两组对边分别相等，那么它是平行四边形，是真命题；
故答案为：如果一个个四边形两组对边分别相等，那么它是平行四边形；真命题
9．解：如图所示，过D作DF⊥OB于F，
∵∠AOB＝30°，OD＝2，
∴DF＝OD＝，OF＝3，
又∵DE＝2，
∴Rt△DEF中，EF＝1，
当点E在点F左侧时，OE＝OF﹣EF＝3﹣1＝2；
当点E'在点F右侧时，OE'＝OF+E'F＝3+1＝4；
综上所述，OE的长为2或4，
故答案为：2或4．
10．解：若△AOP为直角三角形，则
①∠A＝90°时，△AOP为直角三角形；
②当∠APO＝90°时，△AOP为直角三角形，此时∠A＝40°．
故答案为90°或40°．
11．解：∵∠C＝∠E＝90°，∠ADC＝∠BDE，
∴∠DBE＝∠DAC，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠CAB＝25°，
故答案为25°．
12．解：如图，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝54°，
∵∠3＝∠2+∠A，
∴∠A＝54°﹣24°＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣30°＝60°，
故答案为60°．
13．解：∵∠B＝34°，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝56°，
∵翻折△ABC，使点B落到点A上，折痕交BC于E，
∴∠EAB＝∠B＝34°，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠B＝56°﹣34°＝22°，
故答案为：22°．
14．解：∵CD⊥AB，DE⊥AC，
∴∠CDA＝∠DEC＝90°，
∴∠A+∠DCA＝90°，∠DCA+∠CDE＝90°，
∴∠A＝∠CDE，
∵∠DEA＝∠ACB＝90°，
∴DE∥BC，
∴∠BCD＝∠CDE，
∴∠BCD＝∠A，
故答案为∠CDE，∠BCD．
15．解：∵Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝59°，
∴∠A＝31°，
由三角形外角性质，可得∠ADF＝∠1﹣∠A＝27°，
又∵EF∥GH，
∴∠2＝∠ADF＝27°，
故答案为：27．
16．解：∵△CDA′与△CDA关于CD成轴对称，
∴∠ADC＝∠A′DC＝84°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCA＝∠DCB＝45°，
∵∠CDA＝∠B+∠DCB，
∴∠B＝84°﹣45°＝39°
故答案为：39．
17．解：作EF⊥AC交CA的延长线于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延长线于H，
∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABD，
∴EF＝EH，EG＝EH，
∴EF＝EF，又EF⊥AC，EG⊥AB，
∴AE平分∠FAG，
∵∠CAB＝40°，
∴∠BAF＝140°，
∴∠EAB＝70°，
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝40°，
∴∠ABC＝50°，
∴∠ABH＝130°，又BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝65°，
∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠ABE＝45°，
故答案为：45°．
18．解：延长NP到K．
∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝90°﹣50°＝40°，
由题意：∠NPA＝∠QPB＝∠BPK，∠PNB＝∠FNG＝∠QNB，
设∠NPA＝∠QPB＝∠BPK＝x，∠PNB＝∠FNG＝∠QNB＝y，
∵∠KPB＝∠PNB+∠PBN，∠KPM＝∠PNQ+∠Q，
∴x＝y+40°，2x＝2y+∠Q，
∴x﹣y＝40°，
∴∠Q＝2（x﹣y）＝80°，
故答案为80°．
19．解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵∠ACD＝∠B，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）①当∠B＝34°时，∵∠ACD＝∠B，
∴∠ACD＝34°，
由（1）知，∠BCD+∠B＝90°，
∴∠BCD＝56°，
由折叠知，∠A'CD＝∠ACD＝34°，
∴∠A'CB＝∠BCD﹣∠A'CD＝56°﹣34°＝22°；
②当∠B＝n°时，同①的方法得，∠A'CD＝n°，∠BCD＝90°﹣n°，
∴∠A'CB＝∠BCD﹣∠A'CD＝90°﹣n°﹣n°＝90°﹣2n°．
20．证明：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝FC+EC，即BC＝EF，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABC和△DEF都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
21．（1）证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF；
（2）解：∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，
∵∠ACB＝90°，CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝45°，
∴∠DCE＝45°﹣20°＝25°，
∵CD∥EF，
∴∠FEC＝∠DCE＝25°．
22．解：（1）∵∠ACB＝90°，CE⊥AB于E，
∴∠B+∠CAB＝90°，∠CAB+∠ACE＝90°
∴∠B＝∠ACE＝30°
（2）连接CD，
∵AC＝AD
∴∠ACD＝∠ADC，
∵FD∥CB
∴∠B＝∠FDA
∴∠FDA＝∠ACE，
∴∠ADC﹣∠ADF＝∠ACD﹣∠ACE
∴∠FDC＝∠FCD
∴FC＝FD
23．解：根据三角形全等的判定方法HL可知：
①当P运动到AP＝BC时，
∵∠C＝∠QAP＝90°，
在Rt△ABC与Rt△QPA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
即AP＝BC＝10；
②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合，不合题意．
综上所述，当点P运动到线段AC中点时，△ABC与△QPA全等．
24．解：（1）∵CE⊥BE，
∴∠E＝90°，
∵∠ECD＝15°，
∴∠ADB＝∠CDE＝90°﹣15°＝75°
故答案为75°．
（2）证明：∵BD平分∠ABC，
∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝∠DBC＝30°，
∵∠ADB＝75°，
∴∠A＝75°，
∴∠A＝∠ADB，
∴AB＝DB．
（3）过点D作DF⊥BC，交BC于F点．
∵DF⊥BC，
∴∠DFB＝∠DFC＝90°，
∵∠DBF＝30°，
∴DF＝BD，
∵BD＝AB＝2，
∴DF＝1，
∴FB＝，
∵CE⊥BE，
∴∠E＝90°，
∵∠DBC＝30°，
∴∠ECB＝60°，
∵∠ECD＝15°，
∴∠DCB＝45°，
∴∠DCF＝∠FDC＝45°，
∴FD＝FC＝1，
∴BC＝．
25．解：（1）①图形如图所示．
②设∠EBO＝∠EBC＝x，∠OCE＝∠ECK＝y．
则有：，
可得∠E＝×90°＝45°．
（2）如图，当点C在OA的延长线上时，结论∠BEC＝135°．
理由：∵∠AOB＝90°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°，
∵∠EBC＝∠OBC，∠ECB＝∠OCB，
∴∠EBC+∠ECB＝×90°＝45°，
∴∠BEC＝180°﹣45°＝135°．
如图当点C在AO的延长线上时，同法可证：∠BEC＝135°．
26．解：∵∠B＝30°，CD⊥AB于D，
∴∠DCB＝90°﹣∠B＝60°．
∵CE平分∠ACB，∠ACB＝90°，
∴∠ECB＝∠ACB＝45°，
∴∠DCE＝∠DCB﹣∠ECB＝60°﹣45°＝15°；
（2）∵∠CEF＝135°，∠ECB＝∠ACB＝45°，
∴∠CEF+∠ECB＝180°，
∴EF∥BC．