1.3线段的垂直平分线-2020-2021学年北师大版八年级数学下册同步提升训练（Word版含解析）

2020-2021年度北师大版八年级数学下册《1.3线段的垂直平分线》同步提升训练（附答案）
1．如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且BD+AD＝BC，则点D在（　　）
A．AC的垂直平分线上
B．∠BAC的平分线上
C．BC的中点
D．AB的垂直平分线上
2．如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AIB＝α，则∠AOB的大小为（　　）
A．α
B．4α﹣360°
C．α+90°
D．180°﹣α
3．如图，在△ABC中，BC＝8，AB垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则AC为（　　）
A．10
B．16
C．18
D．26
4．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝4cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（　　）
A．10cm
B．12cm
C．15cm
D．17cm
5．如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为（　　）
A．40°
B．50°
C．80°
D．100°
6．A、B、C三个小区在一个三角形的三个顶点的位置上，要求在它们中间建造一座公园，为使三个小区到公园距离相等，则公园最适当的建造位置是在△ABC的（　　）
A．三条中线的交点
B．三条垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边上高的交点
7．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为　
　．
8．如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，过点E作AM的垂线交AM于点F．若∠ACB＝28°，∠EBD＝25°，则∠AED＝　
　°．
9．如图，点O是△ABC内的一点，且点O到顶点A、B、C的距离相等，连接OB，OC，若∠A＝78°，则∠BOC的度数为　
　．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22.5°，DE垂直平分AB交BC于点E，EC＝2，则△ACE的面积为　
　．
11．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AC的垂直平分线交BC于点E、交AC于点D，若BE＝DE，DC＝3，则AE的长为　
　．
12．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于E点，∠B＝50°，∠FAE＝20°，则∠C＝　
　度．
13．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线交于点O，若∠BOC＝80°，则∠A＝　
　．
14．已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB＝50°，∠ADB＝86°，则∠CAD的度数是　
　．
15．如图，在△ABC中，点O是BC、AC的垂直平分线的交点，OB＝5cm，AB＝8cm，则△AOB的周长是　
　cm．
16．如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，且分别交AB，AC于点D和E，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠EBC等于　
　度．
17．如图，在△ABC中，∠C＝30°，点D是AC的中点，DE⊥AC交BC于E，点O在DE上，OA＝OB，OD＝2，OE＝4，则BE的长为　
　．
18．如图，在锐角△ABC中、∠A＝80°，DE和DF分别垂直平分边AB、AC，则∠DBC的度数为　
　°．
19．如图，△ABC中，∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足．
（1）直接写出∠BAC的度数；
（2）求∠DAF的度数；
（3）若BC的长为30，求△DAF的周长．
20．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE．
（1）求证：AB＝EC；
（2）若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，求DC长．
21．如图，在四边形ABCD中，点E是边BC的中点，点F是边CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD．
（1）求证：AB＝AD；
（2）若∠BCD＝114°，求∠BAD的度数．
22．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点
E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若∠BAC＝60°，写出DO与AD之间的数量关系，不需证明．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE＝CF，连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由．
24．如图，线段AB、AC的垂直平分线相交于D，连接BD、CD，若∠EDG＝40°，求∠BDC的度数．
25．已知：如图，在△ABC中，点E、F分别是AB、AC上的点，且EF∥∥BC，BM是线段CF的垂直平分线，垂足为M，N是线段BM上的一点，且NC＝EF．
（1）若∠BNC＝150°，EF＝4，求FM的值．
（2）若BN＝BE，求证：∠MNC＝3∠MBC．
26．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，判断∠CAF与∠B的大小关系，并说明理由．
参考答案
1．解：∵BD+DC＝BC，BD+AD＝BC，
∴DC＝DA，
∴点D在AC的垂直平分线上，
故选：A．
2．解：连接CO并延长至D，
∵∠AIB＝α，
∴∠IAB+∠IBA＝180°﹣α，
∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，
∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝360°﹣2α，
∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝2α﹣180°，
∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，
∴OA＝OC，OB＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，
∵∠AOD是△AOC的一个外角，
∴∠AOD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OCA，
同理，∠BOD＝2∠OCB，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠OCA+2∠OCB＝4α﹣360°，
故选：B．
3．解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∵△BDC的周长为18，
∴BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝18，
∵BC＝8，
∴AC＝10，
故选：A．
4．解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DB＝DA，AB＝2AE＝8（cm），
∵△ADC的周长为9cm，
∴AC+CD+DA＝AC+CD+DB＝AC+BC＝9（cm），
∴△ABC的周长＝AC+BC+AB＝17（cm），
故选：D．
5．解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A＝40°，
∴∠BEC＝∠EBA+∠A＝80°，
故选：C．
6．解：∵线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，
∴三个小区到公园距离相等，公园最适当的建造位置是在△ABC三边垂直平分线上，
故选：B．
7．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△ACE的周长＝EA+EC+AC＝EB+EC+AC＝BC+AC＝11，
故答案为：11．
8．解：连接CE，过E作ER⊥AC于R，CD交ER于Q，AE交BC于O，
∵DE是线段BC的中垂线，
∴∠EDC＝90°，CE＝BE，
∴∠ECB＝∠EBD，
∵∠EBD＝25°，
∴∠ECB＝25°，
∴∠DEB＝∠CED＝90°﹣25°＝65°，
∵ER⊥AC，ED⊥BC，
∴∠QRC＝∠QDE＝90°，
∴∠ACB+∠CQR＝90°，∠EQD+∠QED＝90°，
∵∠CQR＝∠EQD，
∴∠ACB＝∠QED，
∵∠ACB＝28°，
∴∠QED＝28°，
∵AE平分∠CAM，ER⊥AC，EF⊥AM，
∴ER＝EF，
在Rt△ERC和Rt△EFB中，
，
∴Rt△ERC≌Rt△EFB（HL），
∴∠EBF＝∠ACE＝∠ACB+∠ECD＝28°+25°＝53°，
∵∠EFB＝90°，
∴∠BEF＝90°﹣∠EBF＝90°﹣53°＝37°，
∴∠REF＝∠RED+∠BED+∠BEF＝28°+65°+37°＝130°，
∵∠ARE＝∠AFE＝90°，
∴∠CAM＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，
∵AE平分∠CAM，
∴∠CAE＝CAM＝25°，
∴∠DOE＝∠CAE+∠ACB＝25°+28°＝53°，
∵ED⊥BC，
∴∠EDB＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠DOE＝90°﹣53°＝37°，
故答案为：37．
9．解：连接OA，
∵∠BCA＝78°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣78°＝102°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB，
同理，∠OCA＝∠OAC，
∴∠OBA+∠OCA＝∠OAB+∠OAC＝78°，
∴∠OBC+∠OCB＝102°﹣78°＝24°，
∴∠BOC＝180°﹣24°＝156°，
故答案为：156°．
10．解：∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B＝22.5°，
∴∠AEC＝∠EAB+∠B＝45°，
∴AC＝EC＝2，
∴△ACE的面积＝×AC×EC＝×2×2＝2，
故答案为：2．
11．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∵BE＝DE，∠B＝90°，ED⊥AC，
∴∠EAC＝∠BAE，
∴∠EAC＝∠C＝∠BAE＝30°，
在Rt△CED中，EC＝＝2，
∴AE＝2，
故答案为：2．
12．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF＝∠FAE+∠CAE＝20°+∠C，
由三角形内角和定理得，∠B+∠BAC+∠C＝180°，即50°+20°+∠C+20°+∠C+∠C＝180°，
解得，∠C＝30°，
故答案为：30．
13．解：连接OA，
∵∠BOC＝80°，
∴∠OBC+∠OCB＝100°，
∴∠OAB+∠OBA+∠OAC+∠OCA＝80°，
∵AB、AC的垂直平分线交于点O，
∴AO＝BO，AO＝CO，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，
∴∠A＝∠OAB+∠OAC＝40°，
故答案为：40°．
14．解：∵C、D两点在线段AB的中垂线上，
∴CA＝CB，DA＝DB，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝∠ACB＝×50°＝25°，∠ADC＝∠ADB＝×86°＝43°，
当点C与点D在线段AB两侧时，∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣25°﹣43°＝112°，
当点C与点D′在线段AB同侧时，∠CAD′＝∠AD′C﹣∠ACD′＝43°﹣25°＝18°，
故答案为：18°或112°．
15．解：∵点O是BC、AC的垂直平分线的交点，
∴OA＝OB＝5cm，
∴△AOB的周长＝OA+OB+AB＝18（cm），
故答案为：18．
16．解：∵A＝50°，∠C＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A＝50°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝70°﹣50°＝20°，
故答案为：20．
17．解：连接OC，作OF⊥BC于点F，
由题意得，DE＝OD+OE＝6，
在Rt△CDE中，∠DCE＝30°，
∴CE＝2DE＝12，∠OEF＝60°，
∵AD＝DC，ED⊥AC，
∴OA＝OC，
∵OA＝OB，
∴OB＝OC，
∵OF⊥BC，
∴CF＝FB，
在Rt△OFE中，∠OEF＝60°，
∴∠EOF＝30°，
∴EF＝OE＝2，
∴CF＝CE﹣EF＝10，
∴BC＝20，
∴BE＝20﹣12＝8，
故答案为：8．
18．解：连接DA、DC，
∵∠BAC＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，
∵DE和DF分别垂直平分边AB、AC，
∴DA＝DB，DA＝DC，
∴DB＝DC，∠DBA＝∠DAB，∠DAC＝∠DCA，
∴∠DBA+∠DCA＝∠DAB+∠DAC＝80°，
∴∠DBC＝∠DBC＝×（100°﹣80°）＝10°，
故答案为：10．
19．解：（1）∵∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝100°；
（2）∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，
∴DA＝DB，FA＝FC，
∴∠DAB＝∠ABC＝25°，∠FAC＝∠ACB＝55°，
∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝20°；
（3）△DAF的周长＝DA+DF+FA＝DB+DF+FC＝BC＝30．
20．（1）证明：∵EF垂直平分AC，
∴AE＝EC，
∵AD⊥BC，BD＝DE，
∴AB＝AE，
∴AB＝EC；
（2）解：∵△ABC的周长为14cm，
∴AB+BC+AC＝14（cm），
∵AC＝6cm，
∴AB+BC＝8（cm），
∵AB＝EC，BD＝DE，
∴DC＝DE+EC＝（AB+BC）＝4（cm）．
21．解：（1）连接AC，
∵点E是边BC的中点，AE⊥BC，
∴AB＝AC（垂直平分线的性质）
同理AD＝AC，
∴AB＝AD；
（2）∵AB＝AC，AD＝AC，
∴∠B＝∠1，∠D＝∠2，
∴∠B+∠D＝∠1+∠2，
即∠B+∠D＝∠BCD，
∵∠BAD+（∠B+∠D）+∠BCD＝（4﹣2）?180°＝360°，∠BCD＝114°，
∴∠BAD＝360°﹣114°﹣114°＝132°．
22．（1）证明：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∴点A、D都在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF；
（2），
证明：∵AD为△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠EAD＝30°，
∴DE＝AD，
∵∠EAD＝30°，DE⊥AB，
∴∠DEO＝30°，
∴OD＝DE，
∴DO＝AD．
23．解：DE＝BF，DE⊥BF．理由如下：
连接BD，延长BF交DE于点G．
∵点D在线段AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝22.5°．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，
∴∠ABC＝67.5°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BC＝DC．
在△ECD和△FCB中，
，
∴Rt△ECD≌Rt△FCB（SAS），
∴DE＝BF，∠CED＝∠CFB．
∵∠CFB+∠CBF＝90°，
∴∠CED+∠CBF＝90°，
∴∠EGB＝90°，即DE⊥BF．
24．解：经过点D作射线AH，
∵∠EDG＝40°，
∴∠EDF＝180°﹣40°＝140°，
∵DF⊥AB，DE⊥AC，
∴∠BAC＝180°﹣∠EDF＝40°，
∵线段AB、AC的垂直平分线相交于D，
∴DA＝DB，DA＝DC，
∴∠DAB＝∠DBA，∠DAC＝∠DCA，
∴∠BDC＝∠BDH+∠CDH＝2∠DAB+2∠DAC＝80°．
25．（1）解：如图1中，
∵∠BNC＝150°，
∴∠CNM＝30°，
∵BM垂直平分线段FC，
∴∠NMC＝90°，FM＝CM，
∵CN＝EF＝4，
∴CM＝FM＝CN＝2．
（2）证明：如图2中，连接FN，BF．
∵BM垂直平分线段CF，
∴BF＝BC，NC＝NF，
∴∠CBN＝∠FBN，
∵EF＝NC，
∴EF＝FN，∵BE＝BN，BF＝BF，
∴△BFE≌△BFN（SSS），
∴∠EFB＝∠∠NFB，
∵EF∥BC，
∴∠EFB＝∠FBC＝2∠CBN，
∴∠BFN＝2∠CBN，
∵∠CNM＝∠MNF＝∠NBF+∠BFN，
∴∠CNM＝3∠MBC．
26．解：∠CAF＝∠B．
理由如下：∵EF垂直平分AD
∴FA＝FD，
∴∠FAD＝∠FDA，
∠FAD＝∠FAC+∠CAD，∠FDA＝∠B+∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴∠CAF＝∠B．