1.4角平分线-2020-2021学年北师大版八年级数学下册同步提升训练（Word版含解析）

2020-2021年度北师大版八年级数学下册《1.4角平分线》同步提升训练（附答案）
1．如图，已知△ABC的面积是30，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的周长是（　　）
A．30
B．25
C．20
D．15
2．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路AB，AC，BC两两相交围成的一块平地内修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在何处？可供选择的位置有（　　）处．
A．一
B．二
C．三
D．四
3．如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，AE平分∠CAB，交BD于点E，AB＝8，DE＝3，则△ABE的面积等于（　　）
A．15
B．12
C．10
D．14
4．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（　　）
A．1
B．1.5
C．2
D．2.5
5．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝11，AB＝6，DE＝2，则AC＝（　　）
A．7
B．6
C．5
D．4
6．如图，在△ABC中，BD、AE分别是△ABC的角平分线和高线，过点D作DF⊥AB于点F，若AB＝4，BC＝6，DF＝2，则AE的长为（　　）
A．3
B．
C．
D．
7．如图，△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝8，DE＝3，则△BCE的面积等于（　　）
A．11
B．8
C．12
D．3
8．如图，四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的角平分线恰相交于一点P（A、P、C三点不共线），记△APD、△APB、△BPC、△DPC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则有（　　）
A．S1+S3＝S2+S4
B．S1+S2＝S3+S4
C．S1+S4＝S2+S3
D．S1＝S3
9．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为60和35，则△EDF的面积为（　　）
A．25
B．5.5
C．7.5
D．12.5
10．如图，已知点P到BE、BD、AC的距离恰好相等，则点P的位置：
①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；
③在∠ECA的平分线上；
④恰是∠B，∠DAC，∠ECA三个角的平分线的交点．
上述结论中，正确结论的个数有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
11．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为60，AB＝16，BC＝14，则DE的长等于　
　．
12．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝12，BC＝18，CD＝8，则四边形ABCD的面积是　
　．
13．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝10，则点P到BC的距离是　
　．
14．如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，若∠A＝70°，则∠BOC＝　
　．
15．如图，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分线BP、CP相交于点P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周长为14cm，S△BPC＝7.5，则△ABC的面积为　
　cm2．
16．如图，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∠ABC和∠BAC的角平分线的交点是点D，则△ABD的面积为　
　．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．AB＝5，AC＝13，BC＝12，∠BAC与∠ACB的角平分线相交于点D，点M、N分别在边AB、BC上，且∠MDN＝45°，连接MN，则△BMN的周长为　
　．
18．如图，BH是钝角三角形ABC的高，AD是角平分线，且2∠C＝90°﹣∠ABH，若CD＝4，△ABC的面积为12，则AD＝　
　．
19．如图，点P在∠AOB的平分线上，∠AOB＝60°，PD⊥OA于D，点M在OP上，且DM＝MP＝6，若C是OB上的动点，则PC的最小值是　
　．
20．在四边形ABCD中，∠ADC与∠BCD的角平分线交于点E，∠DEC＝115°，过点B作BF∥AD交CE于点F，CE＝2BF，，连接BE，，则CE＝　
　．
21．如图，△ABC中，∠B＞∠A，CD⊥AB于点D，∠ACB的平分线CE交AB于点E．
（1）若∠A＝55°，∠B＝75°，求∠DCE的度数；
（2）直接写出∠DCE，∠A，∠B之间的等量关系．
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．
23．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．
24．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
25．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA于点H．
（1）若PH＝8cm，求点P到直线BC的距离；
（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．
26．已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
（1）如图1，求∠BDC的度数；
（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．
27．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．
参考答案
1．解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，OD⊥BC于D，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OE＝OD＝3，OF＝OD＝3，
∵△ABC的面积是30，
∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，
∴S△ABC＝×（AB+BC+AC）×3＝30，
∴AB+BC+AC＝20，
即△ABC的周长是20，
故选：C．
2．解：∵度假村到三条公路的距离相等，
∴度假村在三条公路AB，AC，BC所组成的角的平分线上，
∵△ABC的三条角平分线相交于一点，
∴度假村可供选择的位置有一处，
故选：A．
3．解：过点E作EF⊥AB于点F，如图：
∵BD是AC边上的高，
∴ED⊥AC，
又∵AE平分∠CAB，DE＝3，
∴EF＝3，
∵AB＝8，
∴△ABE的面积为：8×3÷2＝12．
故选：B．
4．解：过点D作DE⊥BC于E，则DE即为DP的最小值，
∵∠BAD＝∠BDC＝90°，∠ADB＝∠C，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠ABD＝∠CBD，DA⊥AB，DE⊥BC，
∴DE＝AD＝2，
故选：C．
5．解：作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE＝2，
∵S△ADC+S△ABD＝S△ABC，
∴×2×AC+×2×6＝11，
∴AC＝5．
故选：C．
6．解：如图所示，过D作DH⊥BC于H，
∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，DH⊥BC，
∴DF＝DH＝2，
∵AE⊥BC，
∴BC×AE＝AB×DF+BC×DH，
即6AE＝4×2+6×2，
∴AE＝，
故选：C．
7．解：过E作EF⊥BC于F，
∵CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，DE＝3，
∴EF＝DE＝3，
∴△BCE的面积S＝＝，
故选：C．
8．解：
四边形ABCD，四个内角平分线交于一点P，则P是该四边形内切圆的圆心，
如图，可将四边形分成8个三角形，面积分别是a、a、b、b、c、c、d、d，
则S1＝a+d，S2＝a+b，S3＝b+c，S4＝c+d，
∴S1+S3＝a+b+c+d＝S2+S4，
故选：A．
9．解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF＝DH，
在Rt△ADF和Rt△ADH中，，
∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），
∴SRt△ADF＝SRt△ADH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴SRt△DEF＝SRt△DGH，
∵△ADG和△AED的面积分别为60和35，
∴35+SRt△DEF＝60﹣SRt△DGH，
∴SRt△DEF＝．
故选：D．
10．解：由角平分线性质的逆定理，可得①②③④都正确．
故选：D．
二．填空题（共10小题）
11．解：作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF＝DE，
∴S△ABC＝S△ABD+S△DBC＝×AB×DE+×BC×DF＝＝60，
∴DF＝DE＝4．
故答案为：4．
12．解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示．
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DC＝8，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD，
＝AB?DE+BC?CD，
＝×12×8+×18×8，
＝120．
故答案为：120．
13．解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD⊥AB，AD⊥CD，PE⊥BC，
∴PA＝PE＝PD，
∵AD＝10，
∴PE＝5，即点P到BC的距离是5，
故答案为：5．
14．解：∵在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，
∴O为△ABC的三内角平分线的交点，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，
∴∠OBC+∠OCB＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°，
故答案为：125°．
15．解：如图，过点P作PF⊥AN于F，作PG⊥AM于G，连接AP，
∵∠GBC和∠FCB的平分线BP、CP交于P，PE⊥BC，
∴PF＝PG＝PE＝3，
∵S△BPC＝7.5，
∴BC?3＝7.5，
解得BC＝5，
∵△ABC的周长为14cm，
∴AB+AC+BC＝14，
∴AB+AC＝9，
∴S△ABC＝S△ACP+S△ABP﹣S△BCP
＝（AB+AC﹣BC）×3
＝×（9﹣5）×3
＝6（cm2）．
故答案为：6．
16．解：连接CD，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，
由勾股定理得，AB＝，
∵点D是∠ABC和∠BAC的角平分线的交点，DE⊥AB，DF⊥AC，DG⊥BC，
∴DE＝DF＝DG，
×AB×DE+×AC×DF+×BC×DG＝×AC×BC，即×10×DE+×6×DF+×8×DG＝×6×8，
解得，DE＝2，
∴△ABD的面积＝×10×2＝10，
故答案为：10．
17．解：过D点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，如图，
∵DA平分∠BAC，
∴DE＝DH，
同理可得DF＝DH，
∴DE＝DF，
∵∠DEB＝∠B＝∠DFB＝90°，
∴四边形BEDF为正方形，
∴BE＝BF＝DE＝DF，
在Rt△ADE和Rt△ADH中
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADH（HL），
∴AE＝AH，
同理可得Rt△CDF≌Rt△CDH（HL），
∴CF＝CH，
设正方形BEDF的边长为x，则AE＝AH＝5﹣x，CF＝CH＝12﹣x，
∵AH+CH＝AC，
∴5﹣x+12﹣x＝13，解得x＝2，
即BE＝2，
在FC上截取FP＝EM，如图，
∵DE＝DF，∠DEM＝∠DFP，EM＝FP，
∴△DEM≌△DFP（SAS），
∴DM＝DP，∠EDM＝∠FDP，
∴∠MDP＝∠EDF＝90°，
∵∠MDN＝45°，
∴∠PDN＝45°，
在△DMN和△DPN中，
，
∴△DMN≌△DPN（SAS），
∴MN＝NP＝NF+FP＝NF+EM，
∴△BMN的周长＝MN+BM+BN＝EM+BM+BN+NF＝BE+BF＝2+2＝4．
故答案为4．
18．解：∵BH为△ABC的高，
∴∠AHB＝90°，
∴∠BAH＝90°﹣∠ABH，
而2∠C＝90°﹣∠ABH，
∴∠BAH＝2∠C，
∵∠BAH＝∠C+∠ABC，
∴∠ABC＝∠C，
∴△ABC为等腰三角形，
∵AD是角平分线，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝4，
∵△ABC的面积为12，
∴×AD×BC＝12，即×AD×8＝12，
∴AD＝3．
故答案为3．
19．解：∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，
∴∠AOP＝∠AOB＝30°，
∴∠DPO＝60°，
∵PM＝DM＝6，
∴∠MDP＝∠DPM＝60°，
∵∠PDO＝90°，
∴∠ODM＝30°＝∠AOP，
∴OM＝DM＝6，
∴OP＝12，
∴PD＝OP＝6，
∵点C是OB上一个动点，
∴PC的最小值为P到OB距离，
∴PC的最小值＝PD＝6，
故答案为：6．
20．解：∵∠CBF＝∠BCE，
∴可以假设∠BCE＝4x，则∠CBF＝5x，
∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，
∴∠ADE＝∠EDC，∠ECD＝∠ECB＝4x，设∠ADE＝∠EDC＝y，
∵AD∥BF，
∴∠A+∠ABF＝180°，
∴∠ADC+∠DCB+∠CBF＝180°，
∴2y+13x＝180°①，
∵∠DEC＝115°，
∴∠EDC+∠ECD＝65°，即y+4x＝65°
②，
由①②解得，
∴∠BCF＝40°，∠CBF＝50°，
∴∠CFB＝90°，
∴BF⊥EC，
∴CE＝2BF，设BF＝m，则CE＝2m，
∵S△BCE＝?EC?BF＝，
∴×2m×m＝，
∴m＝或﹣（舍弃），
∴CE＝2m＝5，
故答案为5．
21．解：（1）∵∠A＝55°，∠B＝75°，
∴∠ACB＝50°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝25°，
∵∠B＝75°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝15°，
∴∠DCE＝∠ECB﹣∠BCD＝25°﹣15°＝10°，
即∠DCE的度数是10°；
（2）∠DCE＝（∠B﹣∠A），
理由：∵∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B，CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝（180°﹣∠A﹣∠B），
∵CD⊥AB，
∴∠BCD＝90°﹣∠B，
∴∠DCE＝∠ECB﹣∠BCD＝（180°﹣∠A﹣∠B）﹣（90°﹣∠B）＝90°﹣∠A﹣∠B﹣90°+∠B＝（∠B﹣∠A），
即∠DCE＝（∠B﹣∠A）．
22．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在△DCF和△DEB中，，
∴△DCF≌△DEB，（SAS），
∴BD＝DF．
23．（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴△BDE与△CDF均为直角三角形，
∵
∴△BDE≌△CDF，
∴DE＝DF，即AD平分∠BAC；
（2）AB+AC＝2AE．
证明：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵∠E＝∠AFD＝90°，
∴∠ADE＝∠ADF，
在△AED与△AFD中，
∵，
∴△AED≌△AFD，
∴AE＝AF，
∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．
24．（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；
（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∴EG＝EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S△ACD＝15，
∴×AD×EG+×CD×EH＝15，即×4×EG+×8×EG＝15，
解得，EG＝EH＝，
∴EF＝EH＝，
∴△ABE的面积＝×AB×EF＝×7×＝．
25．（1）解：作PQ⊥BE于Q，如图，
∵BP平分∠ABC，
∴PH＝PQ＝8，
即点P到直线BC的距离为8cm；
（2）证明：∵PC平分∠ACE，
∴PD＝PQ，
而PH＝PQ，
∴PD＝PH，
∴点P在∠HAC的平分线上．
26．解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝∠ACB＝×40°＝20°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣30°﹣20°
＝130°；
（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，
∴DH＝DE＝2，
∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，
∴DF＝DH＝2，
∴△ADC的面积＝DF?AC＝×2×4＝4．
27．（1）证明：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；
（2）解：在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
设BE＝x，则CF＝x，
∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，
∴5﹣x＝3+x，
解得：x＝1，
∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．