第2课时 诱导公式(二)
诱导公式五、六
(1)诱导公式五、六反映的是角±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名改变，符号看象限”来记忆．
(2)诱导公式是三角变换的基本公式，其中角可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握，灵活变通．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确.
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)点P(x0，y0)关于直线y＝x的对称点是P′(－y0，－x0)．( )
(2)诱导公式五、六可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．( )
答案：(1)× (2)√
2．化简：sin＝( )
A．sin
x
B．cos
x
C．－sin
x
D．－cos
x
解析：sin
＝sin
＝sin
＝cos
x
答案：B
3．已知sin
θ＝，则cos(450°＋θ)的值是( )
A.
B．－
C．－
D.
解析：cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin
θ＝－.
答案：B
4．sin
95°＋cos
175°的值为________．
解析：sin
95°＋cos
175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)＝cos
5°－cos
5°＝0.
答案：0
类型一 利用诱导公式求值
例1 (1)已知π<α<2π，cos(α－9π)＝－，则cos的值为( )
A.
B．－
C．－
D.
(2)已知sin＝，则cos＝( )
A．－
B.
C.
D．－
【解析】 (1)由cos(α－9π)＝－cos
α＝－，所以cos
α＝，因为α∈(π，2π)，所以sin
α＝－＝－，cos＝－sin
α＝.
(2)因为sin＝，所以cos＝cos[－]＝sin＝.
【答案】 (1)D (2)B
(1)化简已知可得cosα，化简要求的函数可知需要求出sinα.
(2)＋＝.
方法归纳
利用诱导公式五、六求值的三个关注点
(1)角的变化：对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一．
(2)切化弦：切化弦，以保证三角函数名最少．
(3)函数名称：对于kπ±α和±α这两套诱导公式，切记前一套公式不变名，后一套公式变名．
提醒：当角比较复杂时，要注意分析两个角之间是否具有互余、互补关系，或两个角的和、差为特殊角等，常见的如±α，＋α与－α的关系．
跟踪训练1 若cos(π＋α)＝－，且α∈，则tan＝__________.
解析：因为cos(π＋α)＝－，所以cos
α＝，因为α∈，所以sin
α＝－＝－，
所以tan＝tan＝tan＝＝＝＝＝.
答案：
由cos(π＋α)可求出cosα，进而可求sinα.tan可化为sinα，cosα的关系．
类型二 利用诱导公式证明恒等式
例2 求证：＝.
【证明】 右边＝
＝
＝
＝
＝＝＝左边，
所以原等式成立.
等式右边复杂，应从右边入手，利用诱导公式化简证明．
方法归纳
证明三角恒等式的常用方法
(1)由左边推至右边或由右边推至左边，遵循的是化繁为简的原则．
(2)证明左边＝A，右边＝A，则左边＝右边，这里的A起着桥梁的作用．
(3)通过作差或作商证明，即左边－右边＝0或＝1.
跟踪训练2 求证：·sin(α－2π)·cos(2π－α)＝sin2α.
证明：左边＝·[－sin(2π－α)]cos
α＝[－(－sin
α)]cos
α＝·sin
α·cos
α＝sin2α＝右边，故原式成立．
等式左边复杂、应从左边入手利用诱导公式化简证明．
类型三 诱导公式的综合应用
例3 已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且cos＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
【解析】 (1)f(α)＝＝＝－cos
α.
(2)因为cos＝，又cos＝cos
＝－sin
α，即sin
α＝－，而α是第三象限角，
所以cos
α＝－＝－＝－，所以f(α)＝－cos
α＝.
(3)α＝－π时，f(α)＝－cos
α＝－cos＝－cos＝－cos＝－.
首先利用诱导公式对函数式化简变形，再利用平方关系等三角函数知识解题．
方法归纳
用诱导公式化简求值的方法
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．
(2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．
跟踪训练3 已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P，求的值．
解析：因为角α的终边在第二象限且与单位圆相交于点P，
所以a2＋＝1(a<0)，所以a＝－，所以sin
α＝，cos
α＝－，
所以原式＝＝－·＝×＝2.
首先注意α的范围．求出α的范围与值再利用诱导公式求值．
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若sin<0，且cos>0，则θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
解析：由于sin＝cos
θ<0，cos＝sin
θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.
答案：B
2．如果cos(π＋A)＝－，那么sin等于( )
A．－
B.
C．－
D.
解析：cos(π＋A)＝－cos
A＝－，
∴cos
A＝，
∴sin＝cos
A＝.
答案：B
3．下列式子与sin相等的是( )
A．sin
B．cos
C．cos
D．sin
解析：因为sin＝－sin＝－cos
θ，
对于A，sin＝cos
θ；
对于B，cos＝－sin
θ；
对于C，cos＝cos
＝－cos＝－sin
θ；
对于D，sin＝sin
＝－sin＝－cos
θ.
答案：D
4．已知tan
θ＝2，则等于( )
A．2
B．－2
C．0
D.
解析：＝＝＝＝－2.
答案：B
5．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )
A．cos(A＋B)＝cos
C
B．sin(A＋B)＝－sin
C
C．cos＝sin
B
D．sin＝cos
解析：∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，
∴cos(A＋B)＝－cos
C，sin(A＋B)＝sin
C，
故A，B错；
∵A＋C＝π－B，∴＝，
∴cos＝cos＝sin，故C错；
∵B＋C＝π－A，∴sin＝sin＝cos，故D对．
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若cos
α＝－，且α是第三象限角，则cos＝________.
解析：因为cos
α＝－，且α是第三象限角，所以sin
α＝－，cos＝cos＝－sin
α＝.
答案：
7．求＝________.
解析：原式＝
＝＝－tan
α.
答案：－tan
α
8．已知cos
α＝，则sin·costan(π－α)＝________.
解析：sincostan(π－α)
＝－cos
αsin
α(－tan
α)＝sin2α＝1－cos2α
＝1－2＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知cos＝，求下列各式的值：
(1)sin；(2)sin
解析：(1)sin＝sin
＝cos＝.
(2)sin＝sin
＝－sin
＝－cos＝－.
10．化简：
(1)·sincos；
(2)sin(－α－5π)cos－sincos(α－2π)．
解析：
(1)原式＝·sin(－sin
α)
＝·(－sin
α)
＝·(－cos
α)(－sin
α)
＝－cos2α.
(2)原式＝sin(－α－π)cos＋cos
αcos[－(2π－α)]
＝sin[－(α＋π)]cos＋cos
αcos(2π－α)
＝－sin(α＋π)sin
α＋cos
αcos
α
＝sin2α＋cos2α
＝1.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知cos＝，则sin的值是( )
A.
B.
C．－
D．－
解析：sin＝sin＝cos＝.
答案：A
12．已知sin＝，且α∈(－π，0)，则tan(α－π)＝________.
解析：由sin＝，得cos
α＝.又α∈(－π，0)，所以α∈(－，0)．
所以sin
α＝－＝－＝－，
tan(α－π)＝tan
α＝＝＝－2.
答案：－2
13．求证：对任意的整数k，＝－1.
证明：左边＝.
①当k为偶数时，设k＝2n(n∈Z)，则左边＝＝＝－1.
②当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，同理可得左边＝＝＝－1，综上可得，对任意的整数k原等式成立．
14．在△ABC中，已知sin＝sin，试判断△ABC的形状．
解析：∵A＋B＋C＝π，
∴A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.
又sin＝sin，∴sin＝sin，
∴sin＝sin，∴cos
C＝cos
B，
又B，C为△ABC的内角，∴C＝B，
故△ABC为等腰三角形．
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-
1
-1.3 三角函数的诱导公式
考试标准
课标要点
学考要求
高考要求
π±α与α的正弦、余弦、正切值的关系
b
b
±α与α的正弦、余弦值的关系
b
b
知识导图
学法指导
1.熟练掌握相应角的终边上点的坐标的特点，如α与－α的终边关于x轴对称，则两角对应的终边上的点的坐标可分别写为(x，y)和(x，－y)．
2．诱导公式的目的在于将任意角的三角函数化为锐角的三角函数．
3．观察公式一至公式四的结构特征，可以将它们统一成一句话“函数名不变，符号看象限”．
4．观察公式五和公式六的结构特征，可以将它们统一成一句话“函数名改变，符号看象限”．
第1课时 诱导公式(一)
诱导公式一～四的理解
(1)公式一～四中角α是任意角．
(2)公式一概括为：终边相同的角的同名三角函数值相等．
(3)公式一、二、三、四都叫诱导公式，它们可概括如下：
①记忆方法：2kπ＋α，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“函数名不变，符号看象限”．
②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若α看成锐角，则π＋α的终边在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sinα.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确.
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)点P(x，y)关于x轴的对称点是P′(－x，y)．( )
(2)诱导公式中的符号是由角α的象限决定的．( )
(3)诱导公式一、二、三、四函数的名称都不变．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是( )
A．α一定是锐角
B．0≤α<2π
C．α一定是正角
D．α是使公式有意义的任意角
解析：诱导公式中的角α是使公式有意义的任意角．
答案：D
3．sin
600°的值是( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：sin
600°＝sin(600°－720°)＝sin(－120°)＝－sin
120°＝－sin
60°＝－.
答案：D
4．若sin(π＋α)＝－，则sin(4π－α)的值是( )
A．－
B.
C．－
D.
解析：∵sin(π＋α)＝－，∴sin
α＝，sin(4π－α)＝－sin
α＝－.
答案：A
类型一 给角求值问题
例1 (1)sinπ·cosπ·tan的值是( )
A.－ B.
C．－
D.
(2)求下列三角函数式的值：
①sin(－330°)·cos
210°；
②sin(－1
200°)·tan(－30°)－cos
585°·tan(－1
665°)．
【解析】 (1)sinπ·cosπ·tan
＝sincostan
＝－sin·tan
＝－··(－)＝－.
(2)①sin(－330°)·cos
210°＝sin(30°－360°)cos(180°＋30°)
＝sin
30°·(－cos30°)＝×＝－.
②sin(－1
200°)·tan(－30°)－cos
585°·tan(－1
665°)
＝－sin
1
200°·－cos(720°－135°)·tan(－9×180°－45°)
＝sin(1
080°＋120°)－cos
135°·tan(－45°)
＝－×(－1)＝.
答案：(1)A (2)①－ ②
负角化正角，大角化小角，直到化为锐角求值．
方法归纳
利用诱导公式解决给角求值问题的方法
(1)“负化正”；
(2)“大化小”，用公式一将角化为0°到360°间的角；
(3)“小化锐”，用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；
(4)“锐求值”，得到锐角的三角函数后求值．
跟踪训练1 (1)sin＋tan的值为( )
A.
B．－
C．－
D.
(2)sin2120°＋cos
180°＋tan
45°－cos2(－330°)＋sin(－210°)＝________.
解析：(1)原式＝－sin＋tan＝－＋＝－.故选C.
(2)原式＝sin260°＋(－1)＋1－cos230°＋sin
30°＝2－2＋＝.
答案：(1)C (2)
首先利用诱导公式把角化为锐角再求值．
类型二 已知三角函数值求相关角的三角函数值
例2 若sin(π＋α)＝，α∈，则tan(π－α)等于( )
A.－
B．－
C．－
D.
【解析】 因为sin(π＋α)＝－sin
α，根据条件得sin
α＝－，
又α∈，所以cos
α＝
＝.
所以tan
α＝＝－＝－.
所以tan(π－α)＝－tan
α＝.故选D.
【答案】 D
将已知条件利用诱导公式化简，建立要求的因式与已知条件的联系从而求值．
方法归纳
解决条件求值问题的方法
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
跟踪训练2 已知α为第二象限角，且sin
α＝，则tan(π＋α)的值是( )
A.
B.
C．－
D．－
解析：因为sin
α＝且α为第二象限角，所以cos
α＝－＝－，所以tan
α＝＝－.所以tan(π＋α)＝tan
α＝－.故选D.
答案：D
先由正弦求余弦时，注意α的范围，最后利用诱导公式求值．
类型三 三角函数式的化简与证明
例3 化简与证明：
(1)证明：＝－1；
(2)化简：cos
20°＋cos
160°＋sin
1
866°－sin(－606°)．
【解析】 (1)证明
左边＝
＝
＝－1.
(2)原式＝cos
20°－cos
20°＋sin(5×360°＋66°)－sin(－2×360°＋114°)
＝sin
66°－sin
114°
＝sin
66°－sin(180°－66°)
＝sin
66°－sin
66°
＝0.
用诱导公式消,除角的差异→用同角三角函,数关系消除名,称差异→证明两边相等
方法归纳
利用诱导公式一～四化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．
跟踪训练3 证明：＝tan
α.
证明：
＝＝tan
α.
证明三角恒等式时，要针对恒等式左、右两边的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异.
能用诱导公式的先用诱导公式将不同角化为相同角，再统一函数名称，从而实现左右统一．
1.3.1
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．sin
480°的值为( )
A.
B.
C．－
D．－
解析：sin
480°＝sin(360°＋120°)＝sin
120°
＝sin(180°－60°)＝sin
60°＝.
答案：B
2．已知sin(π＋θ)＝，则角θ的终边在( )
A．第一或第二象限
B．第二或第三象限
C．第一或第四象限
D．第三或第四象限
解析：∵sin(π＋θ)＝＝－sin
θ，∴sin
θ<0，结合三角函数的定义，可知角θ的终边在第三或四象限，故选D.
答案：D
3．下列各式不正确的是( )
A．sin(α＋180°)＝－sin
α
B．cos(－α＋β)＝－cos(α－β)
C．sin(－α－360°)＝－sin
α
D．cos(－α－β)＝cos(α＋β)
解析：由诱导公式知cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B不正确．
答案：B
4．若cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( )
A.
B．±
C.
D．－
解析：由cos(π＋α)＝－，得cos
α＝，故sin(2π＋α)＝sin
α＝－＝－(α为第四象限角)．
答案：D
5．给出下列各函数值：
①sin(－1
000°)；②cos(－2
200°)；③tan(－10)；
④.其中符号为负的是( )
A．①
B．②
C．③
D．④
解析：sin(－1
000°)＝sin
80°>0；
cos(－2
200°)＝cos(－40°)＝cos
40°>0；
tan(－10)＝tan(3π－10)<0；
＝，
∵sin>0，tan<0，∴原式>0.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．求值：(1)cos＝________；(2)tan(－225°)＝________.
解析：(1)cos＝cos＝cos
＝cos＝－cos＝－.
(2)tan(－225°)＝tan(360°－225°)＝tan
135°＝tan(180°－45°)＝－tan
45°＝－1.
答案：(1)－ (2)－1
7．若sin(－α)＝，α∈，则cos(π＋α)＝________.
解析：∵sin(－α)＝，∴sin
α＝－.∵α∈，
∴cos
α＝＝，∴cos(π＋α)＝－cos
α＝－.
答案：－
8．化简：＝________.
解析：原式＝＝－＝－1.
答案：－1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求下列各三角函数值：
(1)sin
1
200°；(2)cosπ；(3)sin；(4)tan(－855°)．
解析：(1)sin
1
200°＝sin[120°＋3×360°]＝sin
120°＝sin(180°－60°)＝sin
60°＝.
(2)cosπ＝cos＝cosπ＝cos＝cos＝.
(3)sin＝－sin＝－sin
＝－sin＝－.
(4)tan(－855°)＝－tan
855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan
135°＝－tan(180°－45°)＝－tan(－45°)＝tan
45°＝1.
10．若cos
α＝，α是第四象限角，求
的值．
解析：由已知cos
α＝，α是第四象限角得sin
α＝－，
故
＝＝＝－＝.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，x∈R，且f(2
019)＝3，则f(2
020)的值为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：∵f(2
019)＝asin(2
019π＋α)＋bcos(2
019π＋β)＋4＝3，
∴asin(2
019π＋α)＋bcos(2
019π＋β)＝－1，
∴f(2
020)＝asin(2
019π＋α＋π)＋bcos(2
019π＋β＋π)＋4＝－asin(2
019π＋α)－bcos(2
019π＋β)＋4＝1＋4＝5.
答案：C
12．求值＝________.
解析：
＝
＝tan
α.
答案：tan
α
13．求下列三角函数值．
(1)tanπ＋cos(－1
650°)＋sinπ；
(2)7cos
270°＋3sin
270°＋tan
765°.
解析：(1)原式＝tan＋cos
1
650°＋sin
＝－tan＋cos(4×360°＋210°)－sin
＝－1＋cos
210°－＝－1＋cos(180°＋30°)－
＝－－cos
30°＝－－.
(2)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＝－7cos
90°－3sin
90°＋tan
45°＝－2.
14．求sin·cos(n∈Z)的值．
解析：方法一 ①当n为奇数时，原式＝sin·(－cos)＝sin·＝sin·cos＝×＝.
②当n为偶数时，原式＝sin·cos＝sin·cos＝sin·＝×＝－.
综上可知，原式＝(－1)n＋1.
方法二 原式＝sin·(－1)ncos＝sin·(－1)ncos＝sin·(－1)n·(－cos)＝(－1)n××＝(－1)n＋1.
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1
-1.2.2 同角三角函数的基本关系
考试标准
课标要点
学考要求
高考要求
同角三角函数的基本关系
b
b
同角三角函数关系的应用
b
b
知识导图
学法指导
1.充分理解同角三角函数的基本关系式，掌握公式成立的条件、形式及公式的变形，在尝试证明的基础上去理解记忆．
2．理解并记忆相应的求值、化简以及证明的模型，领会解题常用的方法技巧，熟练掌握公式及其变形的应用.
同角三角函数的基本关系式
(1)“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)，关系式都成立，与角的表达形式无关，如：sin23α＋cos23α＝1等．
(2)注意公式成立的条件．
(3)注意公式的变形，特别是公式的逆用．
(4)在应用平方关系式求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确.
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)sin2＋cos2＝1.( )
(2)sin
α2＋cos
α2＝1.( )
(3)对于任意角α都有sin2α＋cos2α＝1，tan
α＝.( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．若α为第二象限角，且sin
α＝，则cos
α＝( )
A．－ B.
C.
D．－
解析：∵α是第二象限角，
∴cos
α＝－＝－.
答案：A
3．已知tan
α＝，且α∈，则sin
α的值是( )
A．－ B.
C.
D．－
解析：∵α∈(π，)，∴sin
α<0.由tan
α＝＝，
sin2α＋cos2α＝1，得sin
α＝－.
答案：A
4．化简：(1＋tan2α)·cos2α等于( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：原式＝·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.
答案：C
类型一 利用同角基本关系式求值
例1 (1)已知sin
α＝，求cos
α，tan
α；
(2)已知tan
α＝3，求.
【解析】 (1)因为sin
α＝>0，且sin
α≠1，所以α是第一或第二象限角．
①当α为第一象限角时，cos
α＝＝＝，tan
α＝＝；
②当α为第二象限角时，cos
α＝－＝－，tan
α＝－.
(2)分子、分母同除以cos2α，得＝.
又tan
α＝3，所以＝＝.
(1)已知角的正弦值或余弦值，求其他三角函数值，应先判断三角函数值的符号，然后根据平方关系求出该角的正弦值或余弦值，再利用商数关系求解该角的正切值即可．
(2)利用同角基本关系式，分子、分母同除以cos2α，把正弦、余弦化成正切．
方法归纳
求同角三角函数值的一般步骤
(1)根据已知三角函数值的符号，确定角所在的象限．
(2)根据(1)中角所在象限确定是否对角所在的象限进行分类讨论．
(3)利用两个基本公式求出其余三角函数值．
跟踪训练1 (1)本例(2)条件变为＝2，求的值；
(2)本例(2)条件不变，求4sin2α－3sin
α·cos
α－5cos2α的值．
解析：(1)法一：由＝2，化简得sin
α＝3cos
α，
原式＝＝＝.
法二：由＝2得tan
α＝3，
原式＝＝＝.
(2)原式＝
＝＝＝.
形如(2)式的求解，应灵活利用“1”的代换，将整式变为分式，即利用分式的性质将式子变为关于tanα的代数式，从而代入求值．
类型二 化简三角函数式
例2 化简：
(1)－；
(2)
.
【解析】 (1)－＝
＝＝＝－2tan2α.
(2)＝＝＝1.
(1)利用同角基本关系化简．
(2)注意1的活用．例如
1＋2sin
10
°cos
10
°＝sin210
°＋cos210
°＋2sin210
°cos
10
°＝(cos
10
°＋sin
10
°)2
方法归纳
三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低次数，达到化简的目的．
跟踪训练2 (1)化简：；
(2)化简：sin2αtan
α＋2sin
αcos
α＋.
解析：(1)原式＝
＝
＝＝1.
(2)原式＝sin2α·＋2sin
αcos
α＋cos2α·＝＝＝.
(1)1－sin2130
°＝cos2130
°，
1－2sin
130
°cos
130
°＝
(sin
130
°－cos
130
°)2.
(2)式子中的tanα应化为，如果出现分式，一般应通分．
类型三 利用同角三角函数关系证明
例3 求证：＝.
【证明】 因为左边＝＝＝＝＝右边，所以等式成立.
左边是含正、余弦的式子，右边是含有正切的式子，因此需要弦化切，左边的分子可以用平方关系，分母可以用平方差公式实现变形．
方法归纳
证明简单三角恒等式的思路
(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则．
(2)证明左右两边等于同一个式子．
(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.
(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．
跟踪训练3 求证：＝.
证明：方法一 因为右边分母为cos
α，故可将左边分子分母同乘以cos
α.
左边＝＝＝＝＝右边．
方法二 因为左边分母是1－sin
α，故可将右边分子分母同乘以1－sin
α.
右边＝＝＝＝＝左边．
方法三 只需证明左、右两边都与某个中间结果相等即可，因此可先将它们的分母变为相同．
因为左边＝，右边＝＝＝，所以左边＝右边，原式成立．
方法四 只需证明左边－右边＝0即可．
因为－＝＝＝＝0，
所以＝.
方法五 为了消去左、右两边的差异，在左边的分子上凑出1＋sin
α.
左边＝＝＝＝＝右边．
方法六 证明内项积等于外项积．
因为(1－sin
α)(1＋sin
α)＝1－sin2α＝cos2α，1－sin
α≠0，cos
α≠0，所以＝.
方法七 利用分析法逐步寻求等式成立的条件．
要证＝成立，只需证cos
αcos
α＝(1－sin
α)(1＋sin
α)，
即证cos2α＝1－sin2α，此式成立，故＝成立．
三角恒等式的证明方法非常多，其主要方法有：
(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；
(2)左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子；
(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除差异；
(4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc或证＝等；
(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1
”．
类型四 sin
α±cos
α型求值
例4 已知sin
α＋cos
α＝，其中0<α<π，求sin
α－cos
α的值．
【解析】 因为sin
α＋cos
α＝，所以(sin
α＋cos
α)2＝，可得：sin
α·cos
α＝－.
因为0<α<π，且sin
α·cos
α<0，所以sin
α>0，cos
α<0.所以sin
α－cos
α>0，
又(sin
α－cos
α)2＝1－2sin
αcos
α＝，所以sin
α－cos
α＝.
sinθ＋cosθ＝,两边平方→求出2sinθcos
θ的值→求sinθ－cos
θ的值
方法归纳
已知sin
α±cos
α的求值问题的方法
对于已知sin
α±cos
α的求值问题，一般利用整体代入的方法来解决，其具体的解法为：
(1)用sin
α表示cos
α(或用cos
α表示sin
α)，代入sin2α＋cos2α＝1，根据角α的终边所在的象限解二次方程得sin
α的值(或cos
α的值)，再求其他，如tan
α(体现方程思想)．
(2)利用sin
α±cos
α的平方及sin2α＋cos2α＝1，先求出sin
αcos
α的值，然后求出sin
α?cos
α的值(要注意结合角的范围确定符号)从而求解sin
α，cos
α的值，再求其他．
跟踪训练4 已知x是第三象限角，且cos
x－sin
x＝.
(1)求cos
x＋sin
x的值；
(2)求2sin2x－sin
xcos
x＋cos2x的值．
解析：(1)(cos
x－sin
x)2＝1－2sin
xcos
x＝，
所以2sin
xcos
x＝，
所以(cos
x＋sin
x)2＝1＋2sin
xcos
x＝，
因为x是第三象限角，所以cos
x＋sin
x<0，
所以cos
x＋sin
x＝－.
(2)由
解得cos
x＝－，sin
x＝－，
所以2sin2x－sin
xcos
x＋cos2x＝2×－＋＝.
(1)把cosx－sinx＝平方
(2)注意x的范围
(3)分别求出sinx、cosx
1.2.2
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列四个命题中可能成立的一个是( )
A．sin
α＝且cos
α＝
B．sin
α＝0且cos
α＝－1
C．tan
α＝1且cos
α＝－1
D．tan
α＝－(α在第二象限)
解析：由同角三角函数基本关系式，知A，C，D不可能成立，B可能成立．
答案：B
2．已知α是第二象限角，且cos
α＝－，则tan
α的值是( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：∵α为第二象限角，∴sin
α＝＝＝，∴tan
α＝＝＝－.
答案：D
3．已知cos
α－sin
α＝－，则sin
αcos
α的值为( )
A.
B．±
C．－
D．±
解析：由已知得(cos
α－sin
α)2＝sin2α＋cos2α－2sin
αcos
α＝1－2sin
αcos
α＝，所以sin
αcos
α＝.
答案：A
4．化简(1－cos
α)的结果是( )
A．sin
α
B．cos
α
C．1＋sin
α
D．1＋cos
α
解析：(1－cos
α)＝(1－cos
α)＝＝＝sin
α.
答案：A
5．已知|sin
θ|＝，且<θ<5π，则tan
θ的值是( )
A.
B．－2
C．－
D．2
解析：因为<θ<5π，所以θ为第二象限角，所以sin
θ＝，所以cos
θ＝－，所以tan
θ＝－.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若sin
θ＝－，tan
θ>0，则cos
θ＝________.
解析：由已知得θ是第三象限角，
所以cos
θ＝－＝－
＝－.
答案：－
7．已知sin
αcos
α＝，则sin
α－cos
α＝________.
解析：因为(sin
α－cos
α)2＝1－2sin
αcos
α＝1－2×＝0，所以sin
α－cos
α＝0.
答案：0
8．已知＝2，则sin
αcos
α的值为________．
解析：由＝2，得＝2，∴tan
α＝3，
∴sin
αcos
α＝＝＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知tan
α＝3，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)sin2α＋cos2α.
解析：(1)∵tan
α＝3，∴cos
α≠0.
原式的分子、分母同除以cos
α，得
原式＝＝＝.
(2)原式的分子、分母同除以cos2α，得
原式＝＝＝－.
(3)原式＝＝＝＝.
10．证明：·＝1.
证明：·
＝·
＝·
＝＝＝1.
[能力提升](20分钟，40分)
11．设A是△ABC的一个内角，且sin
A＋cos
A＝，则这个三角形是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
解析：将sin
A＋cos
A＝两边平方得sin2A＋2sin
Acos
A＋cos2A＝，又sin2A＋cos2A＝1，故sin
Acos
A＝－.因为0
A>0，则cos
A<0，即A是钝角．
答案：B
12．化简sin2β＋cos4β＋sin2βcos2β的结果是________．
解析：原式＝sin2β＋cos2β(cos2β＋sin2β)
＝sin2β＋cos2β＝1.
答案：1
13．化简：－
(α为第二象限角)．
解析：∵α是第二象限角，
∴cos
α<0.
则原式＝－
＝·－
＝＋＝
＝＝tan
α.
14．已知－x＋cos
x＝，求下列各式的值．
(1)sin
x－cos
x；
(2).
解析：(1)∵sin
x＋cos
x＝，
∴(sin
x＋cos
x)2＝2，即1＋2sin
xcos
x＝，
∴2sin
xcos
x＝－.
∵(sin
x－cos
x)2＝sin2x－2sin
xcos
x＋cos2x＝1－2sin
xcos
x＝1＋＝，
又－x<0，cos
x>0，
∴sin
x－cos
x<0，∴sin
x－cos
x＝－.
(2)由已知条件及(1)，可知，
解得，∴＝＝.
PAGE
-
1
-第2课时 任意角的三角函数(二)
1.相关概念
(1)单位圆：
以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆．
(2)有向线段：
带有方向(规定了起点和终点)的线段．
规定：方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之为负值．
2．三角函数线
(1)三角函数线的方向．
正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与角α的终边或其反向延长线的交点．
(2)三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的，为正值，与x轴或y轴反向的，为负值．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确.
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)角的三角函数线是直线．( )
(2)角的三角函数值等于三角函数线的长度．( )
(3)第二象限的角没有正切线．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．有下列四个说法：
①α一定时，单位圆中的正弦线一定；
②单位圆中，有相同正弦线的角相等；
③α和α＋π有相同的正切线；
④具有相同正切线的两个角终边相同．
不正确说法的个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个
D．3个
解析：①正确．当α确定时其sin
α是确定的．
②不正确．例如和.③正确，④不正确．
答案：C
3．如图所示，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )
A．正弦线PM，正切线A′T′
B．正弦线MP，正切线A′T′
C．正弦线MP，正切线AT
D．正弦线PM，正切线AT
解析：α为第三象限角，故正弦线为MP，正切线为AT，所以C正确．
答案：C
4．已知sin
α>0，tan
α<0，则α的( )
A．余弦线方向向右，正切线方向向下
B．余弦线方向向右，正切线方向向上
C．余弦线方向向左，正切线方向向下
D．余弦线方向向上，正切线方向向左
解析：因为sin
α>0，tan
α<0，所以α是第二象限角，余弦、正切都是负值，因此余弦线方向向左，正切线方向向下．
答案：C
类型一 三角函数线的作法
例1 做出的正弦线、余弦线和正切线．
【解析】 角的终边(如图)与单位圆的交点为P.作PM垂直于x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线AT，与的终边的反向延长线交于点T，则的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.
先作单位圆再作角，最后作出三角函数线．
方法归纳
三角函数线的画法
(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．
(2)作正切线时，应从A(1,0)点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.
跟踪训练1 作出－的正弦线、余弦线和正切线．
解析：如图：sin＝MP，
cos＝OM，tan＝AT.
作单位圆、作角、画出三角函数线．
类型二 利用三角函数线比较大小
例2 分别比较sin与sin，cos与cos，tan与tan的大小．
【解析】 在直角坐标系中作单位圆如图所示．
以x轴非负半轴为始边作的终边与单位圆交于P点，作PM⊥Ox，垂足为M.由单位圆与Ox正方向的交点A作Ox的垂线与OP的反向延长线交于T点，则sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT.
同理，可做出的正弦线、余弦线和正切线，
sin＝M′P′，cos＝OM′，tan＝AT′.
由图形可知，MP>M′P′，符号相同，则sin>sin；OM>OM′，符号相同，则cos>cos；AT利用三角函数线比较sinα与sinβ，cosα与cosβ，tanα与tanβ的大小时，先在坐标系中画出α，β的正弦线、余弦线、正切线，再结合有向线段的长度和方向来比较大小.
方法归纳
利用三角函数线比较大小的步骤
利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．
跟踪训练2 设<α<，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果<α<，上述长度关系又如何？
解析：如图所示，当<α<时，角α的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT，显然在长度上，AT>MP>OM；
当<α<时，角α的正弦线为
M′P′，余弦线为OM′，正切线为AT′，显然在长度上，AT′>M′P′>OM′.
由于<α<时，sinα，cosα，tanα都大于0，故可以直接根据角的正弦线、余弦线、正切线的长短来比较三者的大小．
类型三 利用三角函数线解不等式
例3 求函数f(α)＝的定义域．
【解析】 要使函数f(α)有意义，则sin
α≥.
如图所示，画出单位圆，作直线y＝，交单位圆于P1，P2两点，连接OP1，OP2，过点P1，P2作x轴的垂线，垂足分别为M1，M2，易知正弦线M1P1＝M2P2＝.
在[0,2π)范围内，sin＝sin＝，则点P1，P2分别在，的终边上，又sin
α≥，结合图形可知，图中阴影部分(包括边界)即满足sin
α≥的角α的终边所在的范围，即当α∈[0,2π)时，≤α≤，
故函数f(α)的定义域为.
要使函数f(α)有意义，则sinα≥，利用三角函数线可得α的取值范围，即函数f(α)的定义域．
方法归纳
利用三角函数线解三角不等式的方法
利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点．一般来说，对于sin
x≥b，cos
x≥a(或sin
x≤b，cos
x≤a)，只需作直线y＝b，x＝a与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x的范围；对于tan
x≥c(或tan
x≤c)，则取点(1，c)，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图象可得．
跟踪训练3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin
α≥；
(2)cos
α≤－.
解析：(1)作直线y＝，交单位圆于A，B两点，作射线OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图1所示的阴影部分，包括边界)即为角α的终边所在的范围．
故满足要求的角α的集合为.
(2)作直线x＝－，交单位圆于C，D两点，作射线OC与OD，则OC与OD围成的区域(如图2所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边所在的范围．
故满足条件的角α的集合为{α≤α≤2kπ＋，k∈Z}.
作单位圆画出角α的三角函数线，结合图象写出角的范围．
1.2.1.2
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．对三角函数线，下列说法正确的是( )
A．对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线
B．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在
C．任意角的正弦线、正切线总是存在的，但余弦线不一定存在
D．任意角的正弦线、余弦线总是存在的，但正切线不一定存在
解析：终边在y轴上的角的正切线不存在，故A，C错，对任意角都能作正弦线、余弦线，故B错，因此选D.
答案：D
2．如果MP和OM分别是角α＝的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )
A．MPB．OM>0>MP
C．OMD．MP>0>OM
解析：因为π是第二象限角，
所以sinπ>0，cosπ<0，
所以MP>0，OM<0，
所以MP>0>OM.
答案：D
3．有三个命题：①和的正弦线长度相等；②和的正切线相同；③和的余弦线长度相等．
其中正确说法的个数为( )
A．1 B．2
C．3
D．0
解析：和的正弦线关于y轴对称，长度相等；和两角的正切线相同；和的余弦线长度相等．故①②③都正确．故选C.
答案：C
4．使sin
x≤cos
x成立的x的一个区间是( )
A.
B.
C.
D.
解析：如图所示，画出三角函数线sin
x＝MP，cos
x＝OM，由于sin＝cos，sin＝cos，为使sin
x≤cos
x成立，由图可得在[－π，π)范围内，－≤x≤.
答案：A
5．如果<θ<，那么下列各式中正确的是( )
A．cos
θθθ
B．sin
θθθ
C．tan
θθθ
D．cos
θθθ
解析：如图所示，作出角θ的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，由图可知AT>MP>OM，即tan
θ>sin
θ>cos
θ，故选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．比较大小：sin
1________sin(填“>”或“<”)．
解析：因为0<1<<，结合单位圆中的三角函数线，知
sin
1答案：<
7．不等式tan
α＋>0的解集是________________________．
解析：不等式的解集如图所示(阴影部分)，
∴.
答案：
8．用三角函数线比较sin
1与cos
1的大小，结果是________．
解析：如图，sin
1＝MP，cos
1＝OM.
显然MP>OM，即sin
1>cos
1.
答案：sin
1>cos
1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．做出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．
(1)；(2)－.
解析：(1)因为∈，所以做出角的终边如图①所示，交单位圆于点P作PM⊥x轴于点M，则有向线段MP＝sin，有向线段OM＝cos，设过A(1,0)垂直于x轴的直线交OP的反向延长线于T，则有向线段AT＝tan.综上所述，图①中的有向线段MP，OM，AT分别为角的正弦线、余弦线、正切线．
(2)因为－∈，所以在第三象限内做出－角的终边如图②所示，交单位圆于点P′用类似①的方法作图，可得图②中的有向线段M′P′、OM′、A′T′分别为－角的正弦线、余弦线、正切线．
10．利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合：
(1)tan
α＝－1；(2)sin
α≤－.
解析：(1)如图①所示，过点(1，－1)和原点作直线交单位圆于点P和P′，则OP和OP′就是角α的终边，所以∠xOP＝＝π－，∠xOP′＝－，
所以满足条件的所有角α的集合是.
(2)如图②所示，过作与x轴的平行线，交单位圆于点P和P′，则sin∠xOP＝sin∠xOP′＝－，
∴∠xOP＝π，∠xOP′＝π，
∴满足条件所有角α的集合为
.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在( )
A．第一象限的角平分线上
B．第四象限的角平分线上
C．第二、第四象限的角平分线上
D．第一、第三象限的角平分线上
解析：作图(图略)可知角α的终边在直线y＝－x上，∴α的终边在第二、第四象限的角平分线上，故选C.
答案：C
12．若cos
θ>sin，利用三角函数线得角θ的取值范围是________．
解析：因为cos
θ>sin，所以cos
θ>sin＝sin＝，易知角θ的取值范围是(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
13．若α∈，试利用三角函数线证明sin
α＋cos
α>1.
解析：如图所示，角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则sin
α＝MP，cos
α＝OM，OP＝1，由三角形两边之和大于第三边，可知MP＋OM>OP，即sin
α＋cos
α>1.
14．求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝lg(sin
x－)＋.
解析：(1)自变量x应满足2sin
x－≥0，即sin
x≥.图①中阴影部分就是满足条件的角x的范围，即.
① ②
(2)由题意，自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图②(阴影部分)所示，
∴.
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3
-1．2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数
考试标准
课标要点
学考要求
高考要求
三角函数定义
b
b
三角函数值符号
b
b
诱导公式(一)
b
b
三角函数线
a
a
知识导图
学法指导
1.以锐角三角函数的定义来推广记忆任意角的三角函数的定义．
2．根据任意角的三角函数定义中横、纵坐标的取值范围确定函数的定义域．
3．熟练掌握定义是解决概念类问题的关键，明确有向线段OM、MP、AT为角α的余弦线、正弦线、正切线．
4．体会“数与形”的结合，将三角函数值转化为有向线段．
第1课时 任意角的三角函数(一)
1.任意角的三角函数的定义
前提
如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)
定义
正弦
y叫做α的正弦，记作sin
α，即sin
α＝y
余弦
x叫做α的余弦，记作cos
α，即cos
α＝x
正切
叫做α的正切，记作tan
α，即tan
α＝(x≠0)
三角函数
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数.
三角函数的定义
(1)三角函数是一个函数，符合函数的定义，是由角的集合(弧度数)到一个比值的集合的函数．
(2)三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合．
2．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数
定义域
sin
α
R
cos
α
R
tan
α
{α∈R|α≠kπ＋，k∈Z}
3.三角函数值在各象限的符号
对三角函数值符号的理解
三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．根据三角函数定义知：
(1)正弦值符号取决于纵坐标y的符号；
(2)余弦值的符号取决于横坐标x的符号；
(3)正切值的符号是由x，y符号共同决定的，即x，y同号为正，异号为负．
4．诱导公式一
(1)语言表示：终边相同的角的同名三角函数的值相等．
(2)式子表示其中k∈Z.
诱导公式一
(1)实质：是说终边相同的角的三角函数值相等.
即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次．
(2)结构特征：左、右为同一三角函数；公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α.
(3)作用：把求任意角的三角函数值转化为求0
～2π(或0
°～360
°)角的三角函数值．体现了“大化小”“负化正”的数学思想．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确.
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如图所示，sin
α＝y.( )
(2)第三象限角的正弦、余弦、正切都是负值．( )
(3)终边相同的角不一定相等，其三角函数值一定相等．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．有下列命题，其中正确的个数是( )
①终边相同的角的三角函数值相同；
②同名三角函数值相同，角不一定相同；
③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相同；
④不相等的角，同名三角函数值也不相同．
A．0个 B．1个
C．2个
D．3个
解析：终边相同的角的同名三角函数值相同；同名三角函数值相同，角不一定相同；终边不相同，它们的同名三角函数值也可能相同；不相等的角，同名三角函数值可能相同．故只有②正确．
答案：B
3．若角α的终边上有一点(0，－1)，则tan
α的值是( )
A．－1
B．0
C．1
D．不存在
解析：因为角α的终边上有一点(0，－1)，所以角的终边落在y轴的非正半轴上，其正切值不存在．
答案：D
4．sin
750°＝________.
解析：sin
750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin
30°＝.
答案：
类型一 三角函数的定义及应用
例1 (1)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sin
α＝________，cos
α＝________，tan
α＝________；
(2)已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin
α，cos
α，tan
α的值．
【解析】 (1)∵x＝5，y＝－12，∴r＝＝13，则sin
α＝＝－，cos
α＝＝，tan
α＝＝－.
(2)直线x＋y＝0，即y＝－x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，)，则r＝＝2，所以sin
α＝，cos
α＝－，tan
α＝－；
在第四象限取直线上的点
(1，－)，则r＝＝2，所以sin
α＝－，cos
α＝，tan
α＝－.
【答案】 (1)－ － (2)见解析
(1)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)不是单位圆上的点，则先求r＝(r表示点P到原点的距离)，sinα＝，cosα＝，tanα＝.
(2)在α的终边上任取一点，再利用三角函数的定义求解．
方法归纳
已知α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sin
α＝，cos
α＝.
已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．
(3)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
跟踪训练1 (1)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos
α＝( )
A.
B.
C．－
D．－
(2)已知角α的终边过点P(12，a)且tan
α＝，求sin
α＋cos
α的值．
解析：(1)∵r＝＝5，∴cos
α＝－，故选D.
(2)根据三角函数的定义，tan
α＝＝，∴a＝5，
∴P(12,5)．此时r＝13，
∴sin
α＝，cos
α＝，从而sin
α＋cos
α＝.
答案：(1)D (2)
先求r.再利用三角函数定义求解．
类型二 三角函数在各象限的符号
例2 若sin
αtan
α<0，且<0，则角α是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【解析】 由sin
αtan
α<0可知sin
α，tan
α异号，从而α是第二或第三象限角．
由<0可知cos
α，tan
α异号，从而α是第三或第四象限角．综上可知，α是第三象限角．
【答案】 C
分别由sinαtanα<0和<0确定角α是第几象限角→
二者的公共部分即所求
方法归纳
判断三角函数值正负的两个步骤
(1)定象限：确定角α所在的象限．
(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．
注意：若sin
α>0，则α的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在y轴的非负半轴上.
跟踪训练2 判断下列各式的符号：
(1)sin
145°cos(－210°)；
(2)sin
3·cos
4·tan
5.
解析：(1)∵145°角是第二象限角，∴sin
145°>0.
∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°角是第二象限角，
∴cos(－210°)<0，∴sin
145°cos(－210°)<0.
(2)∵<3<π<4<<5<2π，∴sin
3>0，cos
4<0，tan
5<0，∴sin
3·cos
4·tan
5>0.
→
→
类型三 诱导公式一的应用
例3 计算下列各式的值：
(1)sin(－1
395°)cos
1
110°＋cos(－1
020°)sin
750°；
(2)sin＋cos·tan
4π.
【解析】 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)
＝sin
45°cos
30°＋cos
60°sin
30°
＝×＋×＝＋＝.
(2)原式＝sin＋cos·tan(4π＋0)
＝sin＋cos×0＝.
(1)含有三角函数值的代数式的化简，要先利用诱导公式一把角的范围转化到0
～2π范围内，求出相应的三角函数值．
(2)准确记忆特殊角的三角函数值是三角函数化简求值的基础，此类问题易出现的错误就是对特殊角的三角函数值记忆不准确导致计算错误.
方法归纳
利用诱导公式一求值应注意：利用诱导公式一可把负角的三角函数转化为0～2π内的角的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数转化为0～2π内的角的三角函数，即实现了“负化正，大化小”，要注意记忆特殊角的三角函数值．
跟踪训练3 求下列各式的值：
(1)sin＋tan；
(2)sin
810°＋cos
360°－tan
1
125°.
解析：(1)sin＋tan
＝sin＋tan
＝sin＋tan
＝＋1.
(2)sin
810°＋cos
360°－tan
1
125°
＝sin(2×360°＋90°)＋cos(360°＋0°)－tan(3×360°＋45°)
＝sin
90°＋cos
0°－tan
45°
＝1＋1－1
＝1.
应用诱导公式一时，先将角转化到0
～2π范围内的角，再求值.
对于特殊角的三角函数值一定要熟记．
1.2.1.1
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则tan
α的值为( )
A．－
B．－
C．－
D．－
解析：由正切函数的定义可得，tan
α＝＝－.
答案：A
2．sin(－140°)cos
740°的值( )
A．大于0
B．小于0
C．等于0
D．不确定
解析：因为－140°为第三象限角，
故sin(－140°)<0.
因为740°＝2×360°＋20°，
所以740°为第一象限角，
故cos
740°>0，
所以sin(－140°)cos
740°<0.故选B.
答案：B
3．若cos
α＝－，且角α的终边经过点P(x,2)，则P点的横坐标x是( )
A．2
B．±2
C．－2
D．－2
解析：r＝，由题意得＝－，∴x＝－2.故选D.
答案：D
4．若sin
θcos
θ<0，则角θ是( )
A．第一或第二象限角
B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角
D．第二或第四象限角
解析：设角θ终边上一点的坐标为(x，y)，该点到原点的距离为r(r>0)，则sin
θcos
θ＝·<0，即xy<0，所以角θ终边上点的横、纵坐标异号，故角θ是第二或第四象限角．
答案：D
5．设a<0，角α的终边经过点P(－3a,4a)，则sin
α＋2cos
α＝( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：∵a<0，角α的终边经过点P(－3a,4a)，∴点P与原点的距离r＝－5a，sin
α＝－，cos
α＝，∴sin
α＋2cos
α＝.选A.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．sin(－1
380°)＝________.
解析：sin(－1
380°)＝sin[60°＋(－4)×360°]
＝sin
60°＝.
答案：
7．当α为第二象限角时，－的值是________．
解析：∵α为第二象限角，∴sin
α>0，cos
α<0.
∴－＝－＝2.
答案：2
8．已知角α的终边经过点P(3,4t)，且sin(2kπ＋α)＝－(k∈Z)，则t＝________.
解析：sin(2kπ＋α)＝sin
α＝－<0，则α的终边在第三或第四象限．又点P的横坐标是正数，所以α是第四象限角，所以t<0，又sin
α＝，所以＝－，所以t＝－.
答案：－
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知角α的终边为射线y＝－x(x≥0)，求角α的正弦、余弦和正切值．
解析：由得x2＋x2＝1，即25x2＝16，即x＝或x＝－.
∵x≥0，∴x＝，从而y＝－.
∴角α的终边与单位圆的交点坐标为(，－)．
∴sin
α＝y＝－，cos
α＝x＝，tan
α＝＝－.
10．判断下列各式的符号：
(1)sin
105°·cos
230°；
(2)cos
3·tan.
解析：(1)因为105°，230°分别为第二、第三象限角，所以sin
105°>0，cos
230°<0.于是sin
105°·cos
230°<0.
(2)因为<3<π，所以3是第二象限角，所以cos
3<0，又因为－是第三象限角，所以tan>0，所以cos
3·tan<0.
[能力提升](20分钟，40分)
11．若α是第一象限角，则－是( )
A．第一象限角
B．第四象限角
C．第二或第三象限角
D．第二或第四象限角
解析：方法一 由题意知k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，则k·180°＜＜k·180°＋45°，所以－k·180°－45°＜－＜－k·180°，k∈Z.
当k为偶数时，－为第四象限角；当k为奇数时，－为第二象限角．
方法二 由几何法易知为第一象限角或第三象限角，根据－与的终边关于x轴对称，知－为第四象限角或第二象限角．
答案：D
12．若角α的终边与直线y＝3x重合且sin
α<0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________.
解析：∵y＝3x，sin
α<0，∴点P(m，n)位于y＝3x在第三象限的图象上，
且m<0，n<0，n＝3m.
∴|OP|＝＝|m|＝－m＝.
∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.
答案：2
13．计算：
(1)sin
390°＋cos(－660°)＋3tan
405°－cos
540°；
(2)sin＋tan
π－2cos
0＋tan－sin.
解析：(1)原式＝sin(360°＋30°)＋cos(－2×360°＋60°)＋3tan(360°＋45°)－cos(360°＋180°)＝sin
30°＋cos
60°＋3tan
45°－cos
180°＝＋＋3×1－(－1)＝5.
(2)原式＝sin＋tan
π－2cos
0＋
tan－sin＝sin＋tan
π－2cos
0＋tan－sin＝1＋0－2＋1－＝－.
14．已知角α的终边过点(a,2a)(a≠0)，求角α的正弦、余弦和正切值．
解析：因为角α的终边过点(a,2a)(a≠0)，
所以r＝|a|，x＝a，y＝2a.
当a>0时，sin
α＝＝＝，cos
α＝＝＝，tan
α＝＝＝2；
当a<0时sin
α＝＝＝－，cos
α＝＝＝－，tan
α＝＝＝2.
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9
-1.1.2 弧度制
考试标准
课标要点
学考要求
高考要求
弧度制的概念
a
a
弧度与角度的互化
b
b
知识导图
学法指导
1.熟练掌握弧度制的定义，可以从六十进制与十进制区别角度制与弧度制．
2．由圆周角找出弧度制与角度制的联系，记住常见特殊角对应的弧度数．
3．记忆扇形的面积公式时可将扇形看作三角形来记忆，S＝底·高＝lR.
1.度量角的两种制度
角度制
定义
用度作为单位来度量角的单位制
1度的角
周角的为1度的角，记作1°
弧度制
定义
以弧度为单位来度量角的单位制
1弧度的角
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1
rad
正确理解弧度与角度的概念
区别
(1)定义不同；(2)单位不同：弧度制以“
弧度”为单位，角度制以“
度”为单位
联系
(1)不管以“
弧度”还是以“
度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值；(2)“
弧度”与“角度”之间可以相互转化
2．弧度数的计算
(1)正角：正角的弧度数是一个正数．
(2)负角：负角的弧度数是一个负数．
(3)零角：零角的弧度数是0.
(4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.
3．角度制与弧度制的换算
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π_rad
2π
rad＝360°
180°＝π_rad
π
rad＝180°
1°＝
rad≈0.017
45
rad
1
rad＝°≈57.30°
度数×＝弧度数
弧度数×°＝度数
角度制与弧度制换算公式的理解
(1)弧度制、角度制都是角的度量制，它们之间可以进行换算．
(2)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量度相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量度也不同．
4．扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝α·R.
(2)扇形面积公式：S＝lR＝α·R2.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确.
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1弧度的角等于1度的角．( )
(2)弧度的计算公式为α＝.( )
(3)直角的弧度数为.( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．下列各种说法中，错误的是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1
rad的角是周角的
C．根据弧度的定义，180°的角一定等于π
rad的角
D．利用弧度制度量角时，它与圆的半径长短有关
解析：角的大小只与角的始边和终边的位置有关，而与圆的半径大小无关，故选D.
答案：D
3．将864°化为弧度为( )
A. B.
C.
D.π
解析：864°＝864×＝，故选C.
答案：C
4．扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．
解析：216°＝216×＝，l＝α·r＝r＝30π，
∴r＝25.
答案：25
类型一 角度与弧度的换算
例1 (1)将下列各角进行角度与弧度的互化(角度精确到0.01)：
α1＝－π，α2＝π，α3＝9，
α4＝－855°.
(2)把下列各角化为2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式：，－315°，－.
(3)在0°～720°范围内，找出与π终边相同的角．
【解析】 (1)α1＝－π＝－×180°≈－282.86°；α2＝π＝×180°＝15
330°；
α3＝9＝9×°≈515.66°；α4＝－855°＝－855°×＝－π.
(2)＝4π＋；－315°＝－360°＋45°＝－2π＋；－＝－2π＋.
(3)∵＝×180°＝72°，∴终边与相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．
当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°.故在0°～720°范围内，与终边相同的角为72°，432°.
(1)180
°＝π
rad是进行“弧度”与“角度”换算的关键．
(2)表示成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，调整k使角在[0,2π)内．
(3)把弧度换算成角度，写出终边相同的角的集合，调整k使角在0
°～720
°内．
方法归纳
进行角度制与弧度制的互化的原则和方法
(1)原则：牢记180°＝π
rad，充分利用1°＝rad和1
rad＝°进行换算．
(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α
rad＝°；n°＝n·.
提醒：(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写．
(2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．
(3)度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
跟踪训练1 (1)将下列各角用弧度表示，并指出它们是第几象限角：α1＝510°，α2＝－750°；
(2)将下列各角用度表示，并在0°～360°范围内找出与它们终边相同的角：β1＝π，β2＝－π.
解析：(1)∵1°＝
rad，∴α1＝510°＝510×＝π，
则α1＝π＝2π＋π；
α2＝－750°＝－750×＝－π，则α2＝－π＝－3×2π＋π，∴α1是第二象限角，α2是第四象限角．
(2)β1＝π＝×＝144°，设θ1＝k·360°＋144°(k∈Z)．
∵0°≤θ1<360°，∴0°≤k·360°＋144°<360°(k∈Z)，∴k＝0.
∴在0°～360°内，与角β1终边相同的角是144°角；
β2＝－π＝－×＝－330°.
设θ2＝k·360°－330°(k∈Z)．
∵0°≤θ2<360°，∴0°≤k·360°－330°<360°(k∈Z)，∴k＝1.
∴在0°～360°内，与角β2终边相同的角是30°角．
角度与弧度的换算只要记住一个公式：＝.据此可推出n
°＝n·rad，α rad＝α· °.
类型二 用弧度制表示角的集合
例2 已知角α＝2
005°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角．
【解析】 (1)2
005°＝2
005×
rad＝
rad＝5×2π＋rad，又π<<，
∴角α与终边相同，是第三象限的角．
(2)与α终边相同的角为2kπ＋(k∈Z)，
由－5π≤2kπ＋<0，k∈Z知k＝－1，－2，－3.
∴在[－5π，0)内与α终边相同的角是－，－，－.
(1)用弧度数表示与角α终边相同的角连同角α在内的集合为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}．
(2)用弧度数表示区域角时，先把角度换算成弧度，再写出与区域角的终边相同的角的集合，最后用不等式表示出区域角的集合，对于能合并的应当合并．
方法归纳
用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．
跟踪训练2 用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
解析：对于题图(1)，225°角的终边可以看作是－135°角的终边，化为弧度，即－，60°角的终边即的终边，∴所求集合为.
对于题图(2)，同理可得，所求集合为α2kπ＋<α<2kπ＋，k∈Z∪α2kπ＋π＋<α<2kπ＋π＋，k∈Z＝.
本题考查区域角的表示，关键是要确定好区域的起止边界.
类型三 与扇形弧长、面积相关的问题
例3 (1)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为( )
A.
B.
C.
D．2
(2)一个扇形OAB的面积是1
cm2，它的周长是4
cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.
【解析】 (1)设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以r＝α·r，所以α＝.
(2)设扇形的半径为r
cm，弧长为l
cm，则解得
所以圆心角α＝＝2.
如图，过点O作OH⊥AB于点H，则∠AOH＝1
rad.
所以AH＝1·sin
1＝sin
1(cm)，所以AB＝2sin
1(cm)，
所以圆心角的弧度数为2，弦长AB为2sin
1
cm.
【答案】 (1)C (2)见解析
(1)圆的半径r与圆的内接正三角形的边长a的关系是a＝r，再求α.
(2)设出扇形的弧长和半径，列出方程组求解．
方法归纳
扇形的弧长和面积的求解策略
(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝lR＝αR2(其中l是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)．
(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
跟踪训练3 (1)已知扇形的圆心角为120°，半径为
cm，则此扇形的面积为________
cm2；
(2)已知扇形的周长为10
cm，面积为4
cm2，求扇形圆心角的弧度数．
解析： (1)设扇形弧长为l，
因为120°＝120×
rad＝(rad)，
所以l＝αR＝×＝(cm)．
所以S＝lR＝××＝π(cm2)．
故填π.
(2)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为R，
依题意有
①代入②得R2－5R＋4＝0，解之得R1＝1，R2＝4.
当R＝1时，l＝8(cm)，此时，θ＝8
rad>2π
rad舍去．
当R＝4时，l＝2(cm)，此时，θ＝＝(rad)．
综上可知，扇形圆心角的弧度数为rad.
答案：(1)π (2)见解析
求扇形面积的关键是求出扇形的圆心角、半径、弧长这三个量中的任意两个量．也可由扇形的面积结合其他条件，求扇形的圆心角、半径、弧长．解题时要注意公式的灵活变形及方程思想的运用．
1.1.2
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．1
920°的角化为弧度数为( )
A.
B.
C.π
D.π
解析：∵1°＝rad，∴1
920°＝1
920×rad＝π
rad.
答案：D
2．5弧度的角的终边所在的象限为( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：因为<5<2π，所以5弧度的角的终边在第四象限．
答案：D
3．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的值是( )
A．－π
B．－2π
C．π
D．－π
解析：∵－π＝－2π＋＝2×(－1)π＋.
∴θ＝－π.
答案：A
4．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：设扇形的圆心角的弧度数为θ，半径为R，由题意，得，解得θ＝3，故选C.
答案：C
5．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( )
A.
B.
C.
D．2
解析：如图，设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为R，所以圆弧长度为R的圆心角的弧度数α＝＝.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．下列四个角：1,60°，，－由大到小的排列为____________．
解析：只需把60°化成弧度数，因为60°＝60×＝，所以四个角为1，，，－.所以60°＝>1>－.
答案：60°＝>1>－
7．若三角形三内角之比为3?：4?：5，则三内角的弧度数分别是________．
解析：设三角形三内角弧度数分别为3k,4k,5k，则由3k＋4k＋5k＝π，得k＝，所以3k＝，4k＝，5k＝.
答案：，，
8．弧长为3π，圆心角为135°的扇形的半径为________，面积为________．
解析：135°＝＝，所以扇形的半径为＝4，
面积为×3π×4＝6π.
答案：4 6π
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．将下列角度与弧度进行互化：
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－.
解析：(1)20°＝π＝.
(2)－15°＝－π＝－.
(3)＝(×)°＝(×180)°＝105°.
(4)－＝(－×)°＝(－×180)°＝－396°.
10．如图，扇形OAB的面积是4
cm2，它的周长是8
cm，求扇形的圆心角及弦AB的长．
解析：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，
弧长为l
cm，半径为R
cm，
依题意有
由①②得R＝2，l＝4，∴θ＝＝2.
过O作OC⊥AB，则OC平分∠BOA，
又∠BOA＝2
rad，
∴∠BOC＝1
rad，
∴BC＝OB·sin
1＝2sin
1(cm)，
∴AB＝2BC＝4sin
1(cm)．
故所求扇形的圆心角为2
rad，弦AB的长为4sin
1
cm.
[能力提升](20分钟，40分)
11．集合中的角所表示的范围(如图中阴影部分所示)是( )
解析：当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z；当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z，故选C.
答案：C
12．如果一扇形的弧长变为原来的倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．
解析：由于S＝lR，若l′＝l，R′＝R，
则S′＝l′R′＝×l×R＝S.
答案：
13．已知α＝－800°.
(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α的终边在第几象限；
(2)求γ角，使γ与α的终边相同，且γ∈.
解析：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，
又280°＝，∴α＝＋(－3)×2π，
∴α与的终边相同，
∴角α的终边在第四象限．
(2)∵与α角终边相同的角可以表示为2kπ＋α，k∈Z，
又α与的终边相同，
∴γ∈.
又∵γ∈，
∴－<2kπ＋<，
易知当且仅当k＝－1时，不等式成立，
∴γ＝－2π＋＝－.
14．已知一扇形的圆心角为α(α>0)，所在圆的半径为R.
(1)若α＝60°，R＝10
cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
(2)若扇形的周长为20
cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解析：(1)设弧长为l，弓形面积为S，则α＝60°＝，
R＝10
cm，l＝×10＝(cm)，
S＝S扇－S△＝××10－×102＝cm2.
(2)设扇形的弧长为l，
则l＋2R＝20，即l＝20－2R(0∴扇形的面积S＝lR＝(20－2R)R＝－R2＋10R＝－(R－5)2＋25.
∴当R＝5
cm时，S有最大值25
cm2，
此时l＝10
cm，α＝＝2
rad.
因此，当α＝2
rad时，这个扇形的面积最大．
PAGE
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7
-1.1.1 任意角
考试标准
课标要点
学考要求
高考要求
任意角的概念
a
a
终边相同的角的表示
b
b
象限角的概念
b
b
注：“a”表示“了解”，“b”表示“理解”，“c”表示“掌握”．
知识导图
学法指导
1.结合实例明确任意角的概念．
2．本节的重点是理解并掌握正角、负角、零角的概念，掌握用集合的形式表示终边相同的角，并会判断角的终边所在的象限.
1.角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
2．角的表示
顶点：用O表示；
始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置；
终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置．
(1)在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向．
(2)为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记成“α”．
3．角的分类
类型
定义
图示
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角
4.象限角
在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
5．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
(1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏．
(2)k·360
°与α中间用“＋”连接，k·360
°－α可理解成k·360
°＋(－α)．
(3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360
°的整数倍．终边不同则表示的角一定不同．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确.
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)角的始边、终边是确定的，角的大小是确定的．( )
(2)第一象限的角一定是锐角．( )
(3)终边相同的角是相等的角．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：结合正角、负角和零角的概念可知，126°，99°是正角，－60°，－63°是负角，0°是零角，故选B.
答案：B
3．与30°角终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}
C．{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}
D．{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}
解析：由终边相同的角的定义可知与30°角终边相同的角的集合是{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}．
答案：A
4．2019°是第( )象限角( )
A．一
B．二
C．三
D．四
解析：2019°＝360°×5＋219°，180°<219°<270°，
∴2019°是第三象限角．
答案：C
类型一 任意角的概念及应用
例1 (1)若角的顶点在原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，给出下列四个命题：
①0°角是第一象限角；②相等的角的终边一定相同；③终边相同的角有无限多个；④与－30°角终边相同的角都是第四象限角．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(2)时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________．
【解析】 (1)①错误，0°角是象限界角；②③④正确．
(2)分针按顺时针方向转动，则转过的角度是负角为－360°×2＝－960°.
【答案】 (1)C (2)－960°
按照象限分类，角可以分为象限角和象限界角；角的正负是由终边的旋转方向决定的．
分针1个小时转过的角度的绝对值是360
°.
方法归纳
与角的概念有关问题的解决方法
正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
跟踪训练1 在下列说法中：
①0°～90°的角是第一象限角；②第二象限角大于第一象限角；③钝角都是第二象限角；④小于90°的角都是锐角．
其中错误说法的序号为________．
解析：①0°～90°的角是指[0°，90°)，0°角不属于任何象限，所以①不正确．
②120°是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以②不正确．
③钝角的范围是(90°，180°)，显然是第二象限角，所以③正确．
④锐角的范围是(0°，90°)，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确．
答案：①②④
类型二 终边相同的角
例2 写出与75°角终边相同的角的集合，并求在360°～1
080°范围内与75°角终边相同的角．
【解析】 与75°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋75°，k∈Z}．
当360°≤β<1
080°，即360°≤k·360°＋75°<1
080°时，解得≤k<2.又k∈Z，所以k＝1或k＝2.
当k＝1时，β＝435°；当k＝2时，β＝795°.综上所述，与75°角终边相同且在360°～1
080°范围内的角为435°角和795°角.
根据与角α终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360
°＋α，k∈Z}，写出与75
°角终边相同的角的集合，再取适当的k值，求出360
°～1
080
°范围内的角．
方法归纳
(1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤
①写出在[0°，360°)内相应的角；②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；③根据条件能合并一定合并，使结果简洁．
(2)终边相同角常用的三个结论
①终边相同的角之间相差360°的整数倍；②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
跟踪训练2 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足－360°≤α<720°的元素写出来．
(1)α＝60°；
(2)α＝－210°；
(3)α＝364°13′.
解析：(1)S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．
当k＝－1时，α＝－300°；当k＝0时，α＝60°；当k＝1时，α＝420°.
∴S中满足－360°≤α<720°的元素是－300°，60°，420°.
(2)S＝{α|α＝－210°＋k·360°，k∈Z}．
当k＝0时，α＝－210°；当k＝1时，α＝150°；当k＝2时，α＝510°.
∴S中满足－360°≤α<720°的元素是－210°，150°，510°.
(3)S＝{α|α＝364°13′＋k·360°，k∈Z}．
当k＝－2时，α＝－355°47′；当k＝－1时，α＝4°13′；当k＝0时，α＝364°13′.
∴S中满足－360°≤α<720°的元素是－355°47′，4°13′，364°13′.
求与已知角α终边相同的角时，首先将这样的角表示成k·360
°＋α(k∈Z)的形式，然后采用赋值法求解相应不等式，确定k的值，求出满足条件的角．
类型三 象限角与区间角的表示
例3 (1)若α是第四象限角，则－α一定在( )
A.第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．
【解析】 (1)因为α是第四象限角，所以k·360°－90°<α所以－k·360°<－α<－k·360°＋90°，k∈Z，
由此可知－α是第一象限角．
(2)若角α的终边落在OA上，则α＝30°＋360°·k，k∈Z.
若角α的终边落在OB上，则α＝135°＋360°·k，k∈Z.
所以，角α的终边落在图中阴影区域内时，
30°＋360°·k≤α≤135°＋360°·k，k∈Z.
故角α的取值集合为{α|30°＋360°·k≤α≤135°＋360°·k，k∈Z}．
【答案】 (1)A (2)见解析
依题意写出α的范围，再求－α的范围．
由图写出终边OA表示的角，终边OB表示的角，再求阴影的范围.
方法归纳
象限角的判定方法
(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．
(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．
跟踪训练3 已知α是第二象限角，则180°－α是( )
A.第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
解析：由α是第二象限角可得，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)．
所以180°－(90°＋k·360°)>180°－α>180°－(180°＋k·360°)(k∈Z)，
即90°－k·360°>180°－α>－k·360°(k∈Z)，所以180°－α为第一象限角．
答案：A
定α的范围→
定180
°－α的范围→
定180
°－α是第几象限角
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列角中，终边在y轴非负半轴上的是( )
A．45°
B．90°
C．180°
D．270°
解析：根据角的概念可知，90°角是以x轴的非负半轴为始边，逆时针旋转了90°，故其终边在y轴的非负半轴上．
答案：B
2．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )
A．120°
B．－120°
C．240°
D．－240°
解析：一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是－240°，故选D.
答案：D
3．与－457°角终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
解析：263°＝－457°＋360°×2，所以263°角与－457°角的终边相同，所以与－457°角终边相同的角可写作α＝k·360°＋263°，k∈Z.
答案：C
4．若α为锐角，则下列各角中一定为第四象限角的是( )
A．90°－α
B．90°＋α
C．360°－α
D．180°＋α
解析：∵0°<α<90°，∴270°<360°－α<360°，故选C.
答案：C
5．若角α与角β的终边关于y轴对称，则必有( )
A．α＋β＝90°
B．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)
C．α＋β＝k·360°(k∈Z)
D．α＋β＝(2k＋1)180°(k∈Z)
解析：α与β的终边关于y轴对称，则α与180°－β终边相同，故α＝180°－β＋360°·k，即α＋β＝(2k＋1)·180°，k∈Z.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________.
解析：图(1)中的角是一个正角，α＝390°.图(2)中的角是一个负角、一个正角，β＝－150°，γ＝60°.
答案：390° －150° 60°
7．已知角α与2α的终边相同，且α∈[0°，360°)，则角α＝________.
解析：由条件知，2α＝α＋k·360°，所以α＝k·360°(k∈Z)，
因为α∈[0°，360°)，所以α＝0°.
答案：0°
8．如图，终边在阴影部分内的角的集合为________________________．
解析：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．
答案：{α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：
(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.
解析：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．
(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．
(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°.因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．
10．如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：
(1)终边落在射线OM上；
(2)终边落在直线OM上；
(3)终边落在阴影区域内(含边界)．
解析：(1)终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}．
(2)由(1)得终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B＝{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}，
则终边落在直线OM上的角的集合为
A∪B＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．
(3)终边落在直线ON上的角的集合为
C＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}，
则终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为
S＝{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．
|能力提升|(20分钟，40分)
11．若角α与65°角的终边相同，角β与－115°角的终边相同，那么α与β之间的关系是( )
A．α＋β＝－50°
B．α－β＝180°
C．α＋β＝k·360°＋180°(k∈Z)
D．α－β＝k·360°＋180°(k∈Z)
解析：由题意可知，α＝k1·360°＋65°(k1∈Z)，β＝k2·360°－115°(k2∈Z)，所以α－β＝(k1－k2)·360°＋180°，记k＝k1－k2∈Z，故α－β＝k·360°＋180°(k∈Z)．
答案：D
12．若角α的终边与75°角的终边关于直线y＝0对称，且0°<α<360°，则角α的值为________．
解析：
如图，设75°角的终边为射线OA，射线OA关于直线y＝0对称的射线为OB，则以射线OB为终边的一个角为－75°，所以以射线OB为终边的角的集合为{α|α＝k·360°－75°，k∈Z}．又0°<α<360°，令k＝1，得α＝285°.
答案：285°
13．如图，写出终边在直线y＝x上的角的集合．
解析：方法一 终边在y＝x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}；终边在y＝x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}．
综上，终边在直线y＝x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．
方法二 如图，观察图形可知，终边在直线y＝x上的最小正角为60°，其终边每旋转180°便与直线重合，∴终边在y＝x上的角的集合为S＝{α|α＝60°＋k·180°，k∈Z}．
14．已知α是第四象限角，则2α，各是第几象限角？
解析：由题意知k·360°＋270°<α因此2k·360°＋540°<2α<2k·360°＋720°(k∈Z)，
即(2k＋1)360°＋180°<2α<(2k＋1)360°＋360°(k∈Z)，
故2α是第三象限角或第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角．
又k·180°＋135°<当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，则n·360°＋135°<当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，则n·360°＋315°<因此是第二象限角或第四象限角．
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