1.6 三角函数模型的简单应用
考试标准
课标要点
学考要求
高考要求
三角函数模型的实际应用
c
c
知识导图
学法指导
1.应用三角函数模型解决问题，首先要把实际问题抽象为数学问题，通过分析它的变化趋势，确定它的周期，从而建立适当的三角函数模型．
2．在建立三角函数模型时，要注意从数据的周而复始的特点以及数据的变化趋势这两个方面来考虑.
1.三角函数模型应用的步骤
三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．
步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．
这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．
2．三角函数模型的拟合应用
我们可以利用搜集到的数据，做出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．
解答三角函数应用题应注意四点
(1)三角函数应用题的语言形式多为“文字语言、图形语言、符号语言”并用，阅读理解中要读懂题目所要反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，列出等量或不等量的关系．
(2)在建立变量关系这一关键步骤上，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言并用的思维方式来打开思想解决问题．
(3)实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．
(4)实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算机或计算器．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确.
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)解答三角函数应用题的一般步骤：审题、建模、求解、检验、还原．( )
(2)在解决实际问题时，利用收集的数据作散点图，可精确估计函数模型．( )
(3)若函数y＝asin
x＋1在x∈[0,2π]上有两个不同零点，则实数a的取值范围是[－1,1]．( )
(4)已知某地区某一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]，则该地区在这一时段的温差为20
℃.( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )
A．[0,5] B．[5,10]
C．[10,15]
D．[15,20]
解析：由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]?[3π，5π]，故选C.
答案：C
3．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动，已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：
s1＝5sin，s2＝5cos.
则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是( )
A．s1>s2
B．s1
C．s1＝s2
D．不能确定
解析：当t＝时，s1＝－5，s2＝－5，所以s1＝s2.
答案：C
4．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将传播至( )
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
解析：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期，故选C.
答案：C
类型一 三角函数在物理中的应用
例1 已知弹簧上挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)与时间t(s)的函数关系式为：h＝3sin.
(1)求小球开始振动的位置；
(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间；
(3)经过多长时间小球往返振动一次？
(4)每秒内小球能往返振动多少次？
【解析】 (1)令t＝0，得h＝3sin＝，所以开始振动的位置为平衡位置上方距离平衡位置
cm处．
(2)由题意知，当h＝3时，t的最小值为，即小球第一次上升到最高点的时间为
s.
当h＝－3时，t的最小值为，即小球第一次下降到最低点的时间为
s.
(3)T＝＝π，即经过约π
s小球往返振动一次．
(4)f＝＝，即每秒内小球往返振动次.
令t＝0解?1?→令h＝±3解?2?→问题?3?即求周期T→问题?4?即求频率f?T的倒数?
方法归纳
处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
跟踪训练1 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”做出这个函数的简图，并回答下列问题：
(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？
(3)经过多长时间小球往复振动一次？
解析：列表如下，
t
－
2t＋
0
π
2π
sin
0
1
0
－1
0
s
0
4
0
－4
0
描点、连线，图象如图所示．
(1)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin＝2，所以小球开始振动时的位移是2
cm.
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4
cm和－4
cm.
(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是πs.
解决此类问题的关键在于明确各个参数的物理意义，易出现的问题是混淆彼此之间的对应关系．
类型二 三角函数在实际生活中的应用
例2 已知某海滨浴场的海浪高度是时间t(h)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据.
t(h)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(m)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos
ωt＋b.
(1)根据以上数据，求出函数y＝Acos
ωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8时到晚上20时之间，有多长时间可供冲浪者进行运动？
【解析】 (1)依题意，得T＝12，A＝＝0.5，
b＝＝1，所以ω＝＝，故y＝cost＋1.
(2)令y＝cost＋1>1，则2kπ－又因为8所以从9点到15点适合对冲浪爱好者开放，一共有6个小时.
根据已知数据，借助散点图草图，确定解析式，利用三角不等式求范围，确定时间．
方法归纳
解三角函数应用问题的基本步骤
跟踪训练2 如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时．请解答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y与时间t的函数关系式；
(2)当你第四次距离地面60.5米时，用了多少时间？
解析：(1)由已知可设y＝40.5－40cos
ωt(t≥0)，由已知周期为12分钟，可知ω＝，即ω＝.
所以y＝40.5－40cost(t≥0)．
(2)令y＝40.5－40cost＝60.5，得cost＝－，
所以t＝π或t＝π，解得t＝4或t＝8，故第四次距离地面60.5米时，用时为12＋8＝20(分钟)．
(1)由已知可得解析式．
(2)利用y＝60.5解t.
类型三 根据数据拟合函数
例3 某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据.
t/小时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
经长期观察，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Asin
ωt＋b的图象．
(1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?
【解析】 (1)由已知数据，描出曲线如图：
易知函数y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝3，b＝10，
∴ω＝＝，∴y＝3sint＋10.(0≤t≤24)
(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5米，
由y≥11.5，得3sint＋10≥11.5，∴sint≥.①
∵0≤t≤24，∴0≤t≤4π.②
由①②得≤t≤或≤t≤.化简得1≤t≤5或13≤t≤17.
∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港内最多可停留16小时.
由表格画出曲线图，由图可求A，b，由周期T可求ω，即求y＝Asinωt＋b.
方法归纳
在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤
(1)根据原始数据，绘出散点图；
(2)通过散点图，做出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；
(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．
跟踪训练3 已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(x)的图象可近似地看成是函数y＝Acos
ωt＋b的图象．
(1)根据以上数据，求其最小正周期、振幅及函数解析式；
(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
解析：(1)由表中数据可知，T＝12，所以ω＝.又t＝0时，y＝1.5，所以A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅A为，函数解析式为y＝cost＋1(0≤t≤24)．
(2)因为y>1时，才对冲浪爱好者开放，
所以y＝cost＋1>1，cost>0,2kπ－又0≤t≤24.所以0≤t<3或9即9根据表格，确立y＝A
cosωt＋b的模型，求出A，T，b，推出ω，利用t＝0时，y为1.5，t＝3，y＝1.0，求出b，即可求出拟合模型的解析式．
1.6
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝3sin
100πt，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的周期是( )
A.
B．50
C.
D．100
解析：T＝＝.
答案：A
2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．5
B．6
C．8
D．10
解析：由图可知－3＋k＝2，则k＝5，∴y＝3sin＋5，∴ymax＝3＋5＝8.
答案：C
3．某市某房地产中介对某楼群在今年的房价作了统计与预测，发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足y＝500sin(ωx＋φ)＋9
500(ω>0)，已知第1季度和第2季度的平均单价如下表所示.
x
1
2
y
10
000
9
500
则此楼群在第3季度的平均单价大约是( )
A．10
000元 B．9
500元
C．9
000元
D．8
500元
解析：因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9
500(ω>0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9
500＝10
000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9
500＝9
500，即
所以易得3ω＋φ＝－＋2kπ，k∈Z.
又当x＝3时，y＝500sin(3ω＋φ)＋9
500，所以y＝9
000.
答案：C
4．如图，单摆离开平衡位置O的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为s＝6sin，则单摆在摆动时，从最右边到最左边的时间为( )
A．2
s
B．1
s
C.
s
D.
s
解析：由题意，知周期T＝＝1(s)，从最右边到最左边的时间是半个周期，为
s.
答案：C
5．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N
)
B．f(x)＝9sin(1≤x≤12，x∈N
)
C．f(x)＝2sinx＋7(1≤x≤12，x∈N
)
D．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N
)
解析：令x＝3可排除D，令x＝7可排除B，由A＝＝2可排除C；或由题意，可得A＝＝2，b＝7，周期T＝＝2×(7－3)＝8，∴ω＝.
∴f(x)＝2sin＋7.
∵当x＝3时，y＝9，
∴2sin＋7＝9，
即sin＝1.
∵|φ|<，∴φ＝－.
∴f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N
)．
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)的血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．
解析：T＝＝(分)，f＝＝80(次/分)．
答案：80
7．有一小球从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数解析式是s＝Asin(ωt＋φ)，0<φ<，函数图象如图所示，则φ＝________.
解析：根据图象，知，两点的距离刚好是个周期，所以T＝－＝.
所以T＝1，则ω＝＝2π.
因为当t＝时，函数取得最大值，
所以2π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又0<φ<，所以φ＝.
答案：
8．某城市一年中12个月的月平均气温y与月份x的关系可近似地用函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示．已知6月份的月平均气温最高，为28
°C,12月份的月平均气温最低，为18
°C，则10月份的月平均气温为________
°C.
解析：根据题意得28＝a＋A,18＝a＋Acos＝a－A，解得a＝23，A＝5，所以函数y＝23＋5cos，令x＝10，得y＝23＋5cos＝23＋5cos＝20.5.
答案：20.5
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．弹簧振子以O为平衡位置，在B，C两点间做简谐运动，B，C相距20
cm，某时刻振子处在B点，经0.5
s振子首次到达C点，求：
(1)振动的振幅、周期和频率；
(2)弹簧振子在5
s内通过的路程及位移．
解析：(1)设振幅为A，则2A＝20
cm，
所以A＝10
cm.
设周期为T，则＝0.5
s，所以T＝1
s，所以f＝1
Hz.
(2)振子在1
s内通过的距离为4A，故在5
s内通过的路程s＝5×4A＝20A＝20×10＝200(cm)．
5
s末物体处在B点，所以它的位移为0
cm.
10．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin
(100πt＋)来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
解析：(1)当t＝0时，E＝110(V)，
即开始时的电压为110V.
(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02
s.
(3)电压的最大值为220V，
当100πt＋＝，即t＝
s时第一次取得最大值．
[能力提升](20分钟，40分)
11．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置为P(x，y)．若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t＝0)开始走时，点P的纵坐标y与时间t的函数解析式可以是( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
解析：由题意知，函数的周期为T＝60，∴|ω|＝＝.
设函数解析式为y＝sin.
∵初始位置为P0，∴t＝0时，y＝，∴sinφ＝，
∴φ可取，∴函数解析式可以是y＝sin.又由秒针顺时针转动可知，y的值从t＝0开始要先逐渐减小，故y＝sin，故选C.
答案：C
12．一半径为6米的水轮如图，水轮圆心O距离水面3米，已知水轮每分钟转动4圈，水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为________秒．
解析：过O作水平面的垂线，垂足为Q，如图所示
由已知可得OQ＝3，OP＝6，
则cos∠POQ＝，即∠POQ＝60°，
则水轮上点P从水中浮现时开始到其第一次达到最高点要旋转120°，即个周期，
又由水轮每分钟转动4圈，可知周期是15秒，
故水轮上点P从水中浮现时开始到第一次达到最高点的用时为5秒．
答案：5
13．心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80
mmHg为标准值，设某人的血压满足方程式P(t)＝115＋25sin(160πt)，其中P(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数P(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)画出函数P(t)的草图；
(4)求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较．
解析：(1)由于ω＝160π代入周期公式T＝，可得T＝＝(min)，
所以函数P(t)的周期为min.
(2)函数P(t)的频率f＝＝80(次/分)，即此人每分钟心跳的次数为80.
(3)列表：
t/min
0
P(t)/mmHg
115
140
115
90
115
描点、连线并左右扩展得到函数P(t)的简图如图所示．
(4)此人的收缩压为115＋25＝140(mmHg)，舒张压为115－25＝90(mmHg)，与标准值120/80
mmHg相比较，此人血压偏高．
14．某帆板集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性变化，每天t时刻的浪高数据的平均值如下表：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.0
1.4
1.0
0.6
1.0
1.4
0.9
0.5
1.0
(1)作散点图；
(2)从y＝at＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b；y＝Atan(ωt＋φ)中选一个合适的函数模型，并求出该模型的解析式；
(3)如果确定在一天内的7时到19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．
解析：(1)散点图如图所示，
(2)由(1)知，选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b较合适．
令A>0，ω>0，|φ|<π.
由图知，A＝0.4，b＝1，T＝12，所以ω＝＝.
把t＝0，y＝1代入y＝0.4sin＋1，得φ＝0.
故所求拟合模型的解析式为y＝0.4sint＋1(0≤t≤24)．
(3)由y＝0.4sint＋1≥0.8，得sint≥－，
则－＋2kπ≤t≤＋2kπ(k∈Z)，
即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，
注意到t∈[0,24]，所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24，
再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当．
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-
11
-1.5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
考试标准
课标要点
学考要求
高考要求
φ，ω，A对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
b
c
简谐运动y＝Asin(ωx＋φ)；x∈[0，＋∞)(ω>0，A>0)有关物理量
a
a
知识导图
学法指导
1.注意所有的变换是图象上的点在移动，是x或y在变化，而非ωx，故若x前面有系数要先提取出来．
2．用整体代换的思想，令ωx＋φ＝t，借助y＝sin
t的图象及性质求解应用．
3．继续加深理解五点法的应用，特别是非正常周期的特殊点：端点和对应五点.
1.A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响
(2)ω对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
(3)A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
(1)A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系．
(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系
.
(3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减”．
(4)由y＝sinx到y＝sin(x＋φ)的图象变换称为相位变换；由y＝sinx到y＝sinωx的图象变换称为周期变换；由y＝sinx到y＝Asinx的图象变换称为振幅变换．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中各参数的物理意义
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的有关性质
(1)定义域：R.
(2)值域：[－A，A]．
(3)周期性：T＝.
(4)对称性：对称中心，对称轴是直线x＝＋(k∈Z)．
(5)奇偶性：当φ＝0时是奇函数．
(6)单调性：通过整体代换可求出其单调区间．
研究函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的基本策略
(1)借助周期性：研究函数的单调区间、对称性等问题时，可以先研究在一个周期内的单调区间、对称性，再利用周期性推广到全体实数．
(2)整体思想：研究当x∈[α，β]时的函数的值域时，应将ωx＋φ看作一个整体θ，利用x∈[α，β]求出θ的范围，再结合y＝sinθ的图象求值域．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确.
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝sin的图象向左平移个单位得到函数y＝sin
x的图象．( )
(2)函数y＝sin的图象上点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝sin的图象．( )
(3)由函数y＝sin的图象到函数y＝2sin的图象，需要将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍．( )
答案：(1)× (2)× (3)√
2．利用“五点法”作函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象时，所取的五点的横坐标为( )
A．0，，π，，2π
B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π
D．0，，，，
解析：令x＝0，，π，，2π得，x＝0，π，2π，3π，4π.
答案：C
3．函数f(x)＝sin图象的一条对称轴方程为( )
A．x＝－ B．x＝
C．x＝
D．x＝π
解析：对于函数f(x)＝sin，
令x＋＝kπ＋，k∈Z，
求得x＝kπ＋，k∈Z，
可得它的图象的一条对称轴为x＝，故选B.
答案：B
4．将函数y＝sin
3x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)可得到函数________的图象．
解析：将函数y＝sin
3x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)可得，函数y＝sin(3×3x)＝sin
9x的图象．
答案：y＝sin
9x
类型一 “五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
例1 用“五点法”画函数y＝2sin的简图．
【解析】 先画函数在一个周期内的图象．令X＝3x＋，则x＝，列表：
X
0
π
π
2π
x
－
π
π
π
y
0
2
0
－2
0
描点作图，再将图象左右延伸即可．
利用五点法作图，先换元再列举、描点，最后用平滑的曲线连线．
方法归纳
五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)图象的步骤．
(1)列表，令ωx＋φ＝0，，π，，2π，依次得出相应的(x，y)值．
(2)描点．
(3)连线得函数在一个周期内的图象．
(4)左右平移得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象.
跟踪训练1 已知函数y＝2sin.
(1)试用“五点法”画出它的图象；
(2)求它的振幅、周期和初相．
解析：(1)令t＝＋，列表如下：
x
－
t
0
π
2π
y
0
2
0
－2
0
描点连线并向左右两边分别扩展，得到如图所示的函数图象：
(2)振幅A＝2，周期T＝4π，初相为.
→→
类型二 三角函数的图象变换
例2 由函数y＝sin
x的图象经过怎样的变换，可以得到函数y＝－2sin＋1的图象．
【解析】 方法一 y＝sin
x的图象
y＝2sin
x的图象y＝－2sin
x的图象y＝－2sin
2x的图象y＝－2sin的图象y＝－2sin＋1的图象．
方法二 y＝sin
x的图象y＝sin的图象y＝sin的图象y＝－sin2x－的图象y＝－2sin的图象y＝－2sin＋1的图象.
本题考查三角函数的图象变换问题，可以从先“平移变换”或先“伸缩变换”两种不同变换顺序的角度去考虑，得到答案．
方法归纳
解决三角函数图象变换问题的关键是明确左右平移的方向和平移量以及横纵坐标伸缩的量，在变换中平移变换与伸缩变换的顺序不同得到解析式也不同，这点应特别注意，否则就会出错．
跟踪训练2 由函数y＝cos
x的图象如何得到函数y＝－2cos2x＋＋2的图象．
解析：y＝－2cos＋2
＝2cos＋2
＝2cos＋2.
方法一 y＝cos
x
y＝cosx＋π
y＝cos
y＝2cos
y＝2cos＋2.
方法二 y＝cos
xy＝cos
2xy＝cos
y＝2cos2x＋π
y＝2cos＋2.
一种方法是先平移，后伸缩；另一种方法是先伸缩，后平移．两种变换方法中向右平移的单位长度是不同的，但得到的结果是一致的．
类型三 三角函数解析式
例3 如图所示，它是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<π)的图象，则该函数的解析式为________．
【解析】 解法一 (单调性法)由图象可知：
A＝2，T＝－＝3π＝，则ω＝.
∵点(π，0)在递减的那段图象上，
∴＋φ∈(k∈Z)，
则由sin＝0，得＋φ＝(2k＋1)π(k∈Z)．
∵－π<φ<π，∴φ＝.
∴该函数的解析式为y＝2sin.
解法二 (最值点法)由图象可得T＝3π，A＝2，则ω＝，将最高点坐标代入y＝2sin，得2sin＝2，
∴＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋(k∈Z)．
又－π<φ<π，∴φ＝.
∴该函数的解析式为y＝2sin.
解法三 (起始点法)由题图得T＝3π，A＝2，故ω＝，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x0正是由ωx0＋φ＝0解得的，故只要找出起始点的横坐标x0，就可以迅速求得角φ.由图象求得ω＝，x0＝－，φ＝－ωx0＝－×＝.∴该函数的解析式为y＝2sin.
解法四 (图象平移法)由图象知，将函数y＝2sinx的图象沿x轴向左平移个单位长度，就得到本题的图象，故所求函数的解析式为y＝2sin，即y＝2sin.
【答案】 y＝2sin
观察图象，求出A、ω、φ，解法一单调性法，解法二最值点法，解法三起始点法，解法四图象平移法．
方法归纳
根据三角函数的图象求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的解析式，一般先结合图形求得振幅和周期，从而求得A，ω；再利用特殊点、零点或最值点列出关于φ的方程求出φ值，函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的零点有上升零点和下降零点，一般取最靠近原点的上升零点x0，令ωx0＋φ＝2kπ；下降零点x0，使ωx0＋φ＝π＋2kπ，再根据φ的范围确定φ的值．特别注意，求φ值时最值点法优先．
跟踪训练3 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，－<φ<，x∈R的部分图象如图所示，则函数y＝f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝sin
B．f(x)＝sin
C．f(x)＝cos
D．f(x)＝cos
解析：由图象得A＝1，＝－＝，所以T＝2π，则ω＝1.将点代入函数f(x)解析式得sin＝1，又－<φ<，所以φ＝，因此函数f(x)＝sin.
答案：B
由图可知A＝1，由周期可求ω，代入最值点可求φ.
类型四 函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用
例4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A．f(x)的一个对称中心为
B．f(x)的图象关于直线x＝－π对称
C．f(x)在上是增函数
D．f(x)的周期为
【解析】 根据函数y＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分图象．
可得A＝3，＝＝－，所以ω＝2，再根据五点法作图可得2×＋φ＝π，所以φ＝，
所以y＝3sin，显然，它的周期为＝π，故排除D；
当x＝时，函数y＝f(x)＝3sin＝0，故函数的图象关于点对称，故A正确．
当x＝－π时，f(x)＝，不是最值，故f(x)的图象不关于直线x＝－π对称，故排除B；
在上，2x＋∈，y＝3sin2x＋不是增函数，故排除C.
【答案】 A
求出函数的解析式，分别利用函数的对称中心、对称轴、单调性，周期的公式判断．
方法归纳
1．与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧
(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin
z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．
2．求三角函数值域的常用方法
(1)求解形如y＝asin
x＋b(或y＝acos
x＋b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sin
x(或cos
x)≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．
(2)求解形如y＝asin2x＋bsin
x＋c(或y＝acos2x＋bcos
x＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin
x(或cos
x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域、最值即可．求解过程中要注意t＝sin
x(或cos
x)的有界性．
跟踪训练4 本例中，试求函数在上的值域．
解析：因为y＝3sin，
x∈，所以2x＋∈，所以sin∈，
所以函数的值域为.
由x的范围求出ωx＋φ的范围，最后求函数的值域．
1.5
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．函数y＝2sin的周期、振幅依次是( )
A．4π，－2
B．4π，2
C．π，2
D．π，－2
解析：在y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，T＝，A叫振幅(A>0)，故y＝2sin的周期T＝＝4π，振幅为2.
答案：B
2．将函数y＝sin
2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝f(x)的图象，则( )
A．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
B．f(x)的最小正周期为
C．y＝f(x)的图象关于点对称
D．f(x)在上单调递增
解析：函数y＝sin
2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，可得：y＝sin
x，即f(x)＝sin
x.
根据正弦函数的图象及性质，可知：对称轴x＝＋kπ，k∈Z，所以A不对．
周期T＝2π，所以B不对．
对称中心坐标为(kπ，0)，k∈Z，所以C不对．
单调递增区间为，k∈Z，所以f(x)在上单调递增．
答案：D
3．将函数y＝sin
x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A．y＝f(x)是奇函数
B．y＝f(x)的周期为π
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
D．y＝f(x)的图象关于点对称
解析：函数y＝sin
x的图象向左平移个单位长度后，得到函数f(x)＝sin＝cos
x的图象，f(x)＝cos
x为偶函数，周期为2π；又因为f＝cos＝0，所以f(x)＝cos
x的图象不关于直线x＝对称；又由f＝cos＝0，知f(x)＝cos
x的图象关于点对称．故选D.
答案：D
4．已知ω>0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：由题意得周期T＝2＝2π，
∴2π＝，即ω＝1，∴f(x)＝sin(x＋φ)，
∴f＝sin＝±1.
∵0<φ<π，∴<φ＋<，∴φ＋＝，∴φ＝.
答案：A
5．把函数f(x)＝sin的周期扩大为原来的2倍，再将其图象向右平移个单位长度，则所得图象的解析式为( )
A．y＝sin
B．y＝cos
C．y＝sin
D．y＝sin
解析：y＝siny＝siny＝sin＝sin.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．将函数y＝sin
x的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得到的图象的解析式为________．
解析：将函数y＝sin
x的图象向左平移个单位，得到的图象的解析式为y＝sin，再向上平移2个单位，得到的图象的解析式为y＝sin＋2.
答案：y＝sin＋2
7．在函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的一个周期上，当x＝时，有最大值2，当x＝时，有最小值－2，则ω＝________.
解析：依题意知＝－＝，所以T＝π，又T＝＝π，得ω＝2.
答案：2
8．如图所示的曲线是y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的一部分，则这个函数的解析式是________．
解析：由函数图象可知A＝2，T＝－＝π，即＝π，故ω＝2.
又点是五点法作图的最大值点，即
2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，则φ＝＋2kπ，k∈Z.故所求函数的解析式为y＝2sin.
答案：y＝2sin
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知f(x)＝2sin.
(1)在给定的坐标系内，用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的图象；
(2)写出f(x)的单调递增区间．
解析：(1)列表：
＋
0
π
2π
x
－
f(x)
0
2
0
－2
0
作图如图．
(2)由2kπ－≤＋≤2kπ＋，
得4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z.
所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
10．函数y＝5sin＋1的图象可由y＝sin
x的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解析：方法一 将函数y＝sin
x的图象依次进行如下变换：
(1)把函数y＝sin
x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象；
(2)把得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象；
(3)把得到的图象上各点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)，得到函数y＝5sin的图象；
(4)把得到的图象向上平移1个单位长度，得到函数y＝5sin＋1的图象．
经过上述变换，就得到函数y＝5sin＋1的图象．
方法二 将函数y＝sin
x的图象依次进行如下变换：
(1)把函数y＝sin
x的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin
2x的图象；
(2)把得到的图象向左平移个单位长度，
得到函数y＝sin的图象；
(3)把得到的图象上各点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)，得到函数y＝5sin的图象；
(4)把得到的图象向上平移1个单位长度，
得到函数y＝5sin＋1的图象．
经过上述变换，就得到函数y＝5sin＋1的图象．
[能力提升](20分钟，40分)
11．某函数部分图象如图所示，它的函数的解析式可能是( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝－cos
解析：＝－＝，于是＝，即ω＝，排除A，D，
不妨令该函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，由题图知A＝1，最小值点为，
于是·＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，
所以φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以φ可以是，故选C.
答案：C
12．已知函数f(x)＝sin
ωx(ω>0)的图象关于点对称，且在区间上单调递增，则ω的最大值为________．
解析：函数f(x)＝sin
ωx的图象关于点对称，且在上单调递增，
所以解得ω的最大值为6.
答案：6
13．已知函数f(x)＝sin＋.
(1)求f(x)的振幅、最小正周期及单调增区间；
(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；
(3)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合．
解析：(1)函数f(x)的振幅为，最小正周期T＝＝π，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
(2)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，则x＝＋(k∈Z)，
所以对称轴方程为x＝＋(k∈Z)；
令2x＋＝kπ(k∈Z)，则x＝－(k∈Z)，
所以对称中心为(k∈Z)．
(3)当sin＝－1，即2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，
x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值为，
此时x的取值集合是.
14．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象过点P，图象与P点最近的一个最高点坐标为.
(1)求该函数的一个解析式；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)求使y≤0的x的取值集合．
解析：(1)∵图象最高点的坐标为，∴A＝5.
∵＝－＝，∴T＝π，∴ω＝＝2.
∴y＝5sin(2x＋φ)．
代入点，得sin＝1.
∴π＋φ＝2kπ＋，k∈Z.
令k＝0，则φ＝－，∴y＝5sin.
(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴函数y＝5sin的单调递增区间为
kπ－，kπ＋(k∈Z)．
(3)∵5sin≤0，∴2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)．
∴kπ－π≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴x的取值集合是.
PAGE
-
14
-1.4.3 正切函数的性质与图象
考试标准
课标要点
学考要求
高考要求
正切函数性质
b
b
正切函数图象
b
b
知识导图
学法指导
1.学习本节内容时要重点关注正切函数的定义域，会用“三点两线法”画正切函数的图象．
2．从正切函数的几何画法体验直线x＝±为正切函数图象的两条“渐近线”，进一步体会正切函数的值域为(－∞，＋∞).
函数y＝tan
x的图象与性质
解析式
y＝tan
x
图象
定义域
值域
R
周期
π
奇偶性
奇函数
单调性
在开区间，k∈Z上都是增函数
如何作正切函数的图象
(1)几何法
就是利用单位圆中的正切线来做出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较烦琐．
(2)“三点两线”法
“三点”是指，(0,0)，；“两线”是指x＝－和x＝.
在“三点”确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切函数在上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确.
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝Atan(ωx＋φ)的周期公式为T＝.( )
(2)正切函数在R上是单调递增函数．( )
(3)正切函数是奇函数，原点是唯一的一个对称中心．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．下列说法正确的是( )
A．y＝tan
x是增函数
B．y＝tan
x在第一象限是增函数
C．y＝tan
x在某一区间上是减函数
D．y＝tan
x在区间(k∈Z)上是增函数
解析：由正切函数的图象可知D正确．
答案：D
3．函数y＝tan的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
解析：由x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠kπ＋，k∈Z.
答案：D
4．已知函数f(x)＝tan，则函数f(x)的最小正周期为( )
A.
B.
C．π
D．2π
解析：解法一 函数y＝tan(ωx＋φ)的周期T＝，可得T＝＝.
解法二 由诱导公式可得tan
＝tan＝tan，
所以f＝f(x)，所以周期为T＝.
答案：B
类型一 求函数的定义域
例1 求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝lg(－tan
x)．
【解析】 (1)要使函数y＝有意义，
需使
所以函数的定义域为
{x|x∈R且x≠kπ－，x≠kπ＋}，k∈Z.
(2)要使y＝lg(－tan
x)有意义，需使，
所以函数的定义域是.
求函数的定义域注意函数中分母不等于0，真数大于0，正切函数中的x≠kπ＋，k∈Z等问题．
方法归纳
求正切函数定义域的方法
求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan
x有意义即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．
跟踪训练1 (1)函数y＝的定义域为( )
A.{x|x≠0}
B．{x|x≠kπ，k∈Z}
C.
D.
(2)求函数y＝＋lg(1－tan
x)的定义域．
解析：(1)函数y＝有意义时，需使
所以函数的定义域为{x|x≠kπ＋，且x≠kπ，k∈Z}＝
{x|x≠，k∈Z}.
(2)由题意得即－1≤tan
x<1.
在内，满足上述不等式的x的取值范围是[－，).
又y＝tan
x的周期为π，所以所求函数的定义域是(k∈Z)．
(1)分母不等于0
(2)偶次根式被开方数大于等于0
(3)真数大于0
(4)正切函数x≠kπ＋，k∈Z
类型二 正切函数的单调性及其应用
例2 求函数y＝tan的单调区间．
【解析】 y＝tan＝－tan.
由－＋kπ<3x－<＋kπ(k∈Z)，得－＋所以函数y＝tan的单调递减区间为(－＋，＋)(k∈Z)．
先利用诱导公式将函数转化为y＝－tan，再由－＋kπ<3x－<＋kπ(k∈Z)解出x即可．
方法归纳
(1)运用正切函数单调性比较大小的方法
①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
②运用单调性比较大小关系．
(2)求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
①若ω>0，由于y＝tan
x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ②若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．
跟踪训练2 本例(2)函数变为y＝tan，求该函数的单调区间．
解析：y＝tan＝－tan，
由kπ－得2kπ－所以函数y＝tan的单调递减区间是(2kπ－，2kπ＋π)，k∈Z.
类型三 正切函数图象与性质的综合应用
例3 设函数f(x)＝tan.
(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心；
(2)求不等式－1≤f(x)≤的解集．
【解析】 (1)由－≠＋kπ(k∈Z)．
得x≠＋2kπ(k∈Z)．
所以f(x)的定义域是
{x|x≠＋2kπ}，k∈Z.
因为ω＝，所以最小正周期T＝＝＝2π.
由－＋kπ<－<＋kπ(k∈Z)，
得－＋2kπ所以函数f(x)的单调递增区间是
(k∈Z)．
由－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋π(k∈Z)，故函数f(x)的对称中心是，k∈Z.
(2)由－1≤tan≤，
得－＋kπ≤－≤＋kπ(k∈Z)，
解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．
所以不等式－1≤f(x)≤的解集是
{x|＋2kπ≤x≤＋2kπ}，k∈Z.
由此不等式确定函数的单调区间是关键一步，也是易误点．
由tan的范围确定－的范围是本题的难点．
方法归纳
解答正切函数图象与性质问题应注意的两点
(1)对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴．
(2)单调性：正切函数在每个(k∈Z)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的．
跟踪训练3 已知α∈，且1＋tan
α≥0，则角α的取值范围是________．
解析：1＋tan
α≥0，所以tan
α≥－1，
作出正切函数y＝tan
α，y＝－1的图象，由图象可得，
当α∈时，满足不等式的角α的范围是≤α<π，
即α的取值范围是.
答案：
对于不等式tanα≥a，作出正切函数的图象，作出y＝a的图象，借助图象观察已知范围内，满足不等式的角α的范围.
1.4.3
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．函数f(x)＝tan的最小正周期为( )
A.
B.
C．π
D．2π
解析：方法一 函数f(x)＝tan(ωx＋φ)的周期是T＝，直接利用公式，可得T＝＝.
方法二 由诱导公式可得tan＝tan＝tan，
所以f＝f(x)，所以周期T＝.
答案：A
2．函数y＝(－A．(－1,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(－1，＋∞)
解析：∵－x<1，∴∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故选B.
答案：B
3．已知a＝tan
2，b＝tan
3，c＝tan
5，不通过求值，判断下列大小关系正确的是( )
A．a>b>c
B．aC．b>a>c
D．b解析：tan
5＝tan[π＋(5－π)]＝tan(5－π)，由正切函数在上为增函数且π>3>2>5－π>可得tan
3>tan
2>tan(5－π)．
答案：C
4．函数y＝3tan
2x的对称中心为( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：令2x＝(k∈Z)，得x＝(k∈Z)，则函数y＝3tan
2x的对称中心为(k∈Z)，故选B.
答案：B
5．下列关于函数y＝tan的说法正确的是( )
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是π
C．图象关于点成中心对称
D．图象关于直线x＝成轴对称
解析：令kπ－答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．函数y＝tan的定义域为________．
解析：由＋6x≠kπ＋(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z)．
答案：
7．函数y＝3tan(π＋x)，－解析：函数y＝3tan(π＋x)＝3tan
x，因为正切函数在上是增函数，所以－3答案：(－3，]
8．比较大小：tan
135°________tan
138°.(填“>”或“<”)
解析：因为90°<135°<138°<270°，又函数y＝tan
x在区间上是增函数，所以tan
135°138°.
答案：<
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．画出函数y＝|tan
x|的图象，并根据图象判断其单调区间和奇偶性．
解析：由函数y＝|tan
x|得
y＝
根据正切函数图象的特点作出函数的图象，图象如图．
由图象可知，函数y＝|tan
x|是偶函数．
函数y＝|tan
x|的单调增区间为，k∈Z，单调减区间为，k∈Z.
10．不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：
(1)tan与tan；
(2)tan与tan.
解析：(1)因为tan＝tan，tan＝tan，
又0<<<，y＝tan
x在内单调递增，
所以tan(2)因为tan＝－tan，tan＝－tan，
又0<<<，y＝tan
x在内单调递增，
所以tan>tan，所以－tan<－tan，
即tan[能力提升](20分钟，40分)
11．如果函数y＝tan(x＋φ)的图象经过点，那么φ可能是( )
A．－
B．－
C.
D.
解析：∵y＝tan(x＋φ)的图象经过点，
∴tan＝0，即＋φ＝kπ，k∈Z，则φ＝kπ－，k∈Z，当k＝0时，φ＝－，故选A.
答案：A
12．已知函数y＝tan
ωx在内是单调减函数，则ω的取值范围是________．
解析：函数y＝tan
ωx在内是单调减函数，则有ω<0，且周期T≥－＝π，即≥π，故|ω|≤1，
∴－1≤ω<0.
答案：[－1,0)
13．(1)求y＝tan的单调区间；
(2)比较tanπ与tan的大小．
解析：(1)由题意，kπ－即kπ－所以2kπ－故单调增区间为(k∈Z)．
(2)tanπ＝tan＝tan，
tan＝－tanπ＝－tan
＝－tan＝tan，
因为－<<<，
y＝tan
x在上单调递增，
所以tan即tanπ>tan.
14．已知函数f(x)＝3tan.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)试比较f(π)与f的大小．
解析：(1)因为f(x)＝3tan＝－3tan，
所以T＝＝＝4π.
由kπ－<－得4kπ－因为y＝3tan
在(k∈Z)内单调递增，
所以f(x)＝－3tan，在
(k∈Z)内单调递减．故原函数的最小正周期为4π，单调递减区间为(k∈Z)．
(2)f(π)＝3tan＝3tan＝－3tan，
f＝3tan＝3tan＝－3tan，
因为0<<<，且y＝tan
x在上单调递增，
所以tanf.
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6
-第3课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
正、余弦函数的图象与性质
正弦函数
余弦函数
图象
值域
[－1,1]
[－1,1]
单调性
在(k∈Z)上递增，在(k∈Z)上递减
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上递增，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上递减
最值
x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1；x＝2kπ－(k∈Z)时，ymin＝－1
x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1
(1)正、余弦函数的单调性：
①求解或判断正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求与之相关的复合函数值域(最值)关键的一步；
②单调区间要在定义域内求解；
③确定含有正弦函数或余弦函数的复合函数的单调性时，要注意用复合函数法来判断．
(2)正、余弦函数的最值
①明确正、余弦函数的有界性，即|sinx|≤1,
|cosx|≤1；
②对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依赖函数的定义域来决定；
③形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数求最值时，通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asinz的形式求最值．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确.
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦函数y＝sin
x在R上是增函数．( )
(2)正弦函数y＝sin
x的一个增区间是[0，π]．( )
(3)当余弦函数y＝cos
x取最大值时，x＝π＋2kπ，k∈Z.( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．函数y＝sin，x∈R在( )
A.上是增函数
B．[0，π]上是减函数
C．[－π，0]上是减函数
D．[－π，π]上是减函数
解析：y＝sin＝cos
x，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数．
答案：B
3．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( )
A．y＝cos|x|
B．y＝cos|－x|
C．y＝sin
D．y＝－sin
解析：y＝cos|x|在上是减函数，排除A；y＝cos|－x|＝cos|x|，排除B；y＝sin＝－sin＝－cos
x是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y＝－sin在(0，π)上是单调递减的．
答案：C
4．函数y＝1－2cosx的最小值，最大值分别是( )
A．－1,3
B．－1,1
C．0,3
D．0,1
解析：∵－1≤cosx≤1，∴－1≤y≤3.
答案：A
类型一 正、余弦函数的单调性
例1 (1)函数f(x)＝sin的一个递减区间是( )
A.
B．[－π，0]
C.
D.
(2)函数y＝cos的单调递增区间是________．
【解析】 (1)由≤x≤π，可得≤x＋≤π.所以是函数的一个减区间．
(2)因为－π＋2kπ≤2x
－≤2kπ，k∈Z.所以kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
【答案】 (1)D (2)(k∈Z)
(1)由A，B，C，D中x的范围，求出x＋的范围，验证是否为减区间．
(2)将2x－代入到[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z中，解出x的范围，即可得增区间．
方法归纳
求与正、余弦函数有关的单调区间的策略及注意点
(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间同上．
(3)①ω<0时，一般用诱导公式转化为－ω>0后求解；②若A<0，则单调性相反．
跟踪训练1 (1)下列函数，在上是增函数的是( )
A.y＝sin
x
B．y＝cos
x
C．y＝sin
2x
D．y＝cos
2x
(2)求函数y＝2sin的单调递增区间．
解析：(1)因为y＝sin
x与y＝cos
x在上都是减函数，所以排除A，B.
因为≤x≤π，所以π≤2x≤2π.因为y＝sin
2x在2x∈[π，2π]内不具有单调性，所以排除C.
(2)由y＝2sin，得y＝－2sin.
∴要求函数y＝2sin的单调递增区间，只需求出函数y＝2sin的单调递减区间．
令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解之得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴函数的单调递增区间为(k∈Z)．
答案：(1)D (2)(k∈Z)
(1)逐个验证选项把不符合题意的排除．
(2)首先利用诱导公式化简函数为y＝－2sin，再利用性质求增区间．
类型二 比较三角函数值的大小
例2 比较下列各组数的大小：
(1)sin
250°与sin
260°；
(2)cos与cos.
【解析】 (1)∵函数y＝sin
x在上单调递减，且90°<250°<260°<270°，∴sin
250°>sin
260°.
(2)cos＝cos＝cos，cos＝cos2π－＝cos.
∵函数y＝cos
x在[0，π]上单调递减，且0<<<π，
∴cos>cos，∴cos>cos.
利用诱导公式，将角化到正弦函数或余弦函数的一个单调区间内，利用单调性判断大小．
方法归纳
比较三角函数值大小的方法
(1)利用诱导公式转化为求锐角三角函数值．
(2)不同名的函数化为同名函数．
(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间．
跟踪训练2 比较下列各组数的大小．
(1)sin与sinπ；
(2)cos
870°与sin
980°.
解析：(1)sin＝sin＝sin，sinπ＝sin＝sin，
因为y＝sin
x在上是增函数，所以sin(2)cos
870°＝cos(720°＋150°)＝cos
150°，sin
980°＝sin(720°＋260°)＝sin
260°＝sin(90°＋170°)＝cos
170°，
因为0°<150°<170°<180°，所以cos
150°>cos
170°，
即cos
870°>sin
980°.
首先利用诱导公式化成同名的三角函数，把角转化为同一单调区间，最后利用函数的单调性比较大小．
类型三 正、余弦函数的最值问题
例3 函数y＝2cos－1的最小值是______，此时x＝______.
【解析】 当2x＋＝π＋2kπ，k∈Z，x＝＋kπ，k∈Z时，
ymin＝－2－1＝－3.
【答案】 －3 ＋kπ，k∈Z
观察函数解析式特点，由y＝cos的最小值，求函数y＝2cos－1的最小值，并求x的取值．
方法归纳
求正、余弦函数最值问题的关注点
(1)形如y＝asin
x(或y＝acos
x)的函数的最值要注意对a的讨论．
(2)将函数式转化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式．
(3)换元后配方利用二次函数求最值．
跟踪训练3 求下列函数的值域：
(1)y＝cos，x∈；
(2)y＝2sin2x＋2sin
x－，x∈.
解析 (1)由y＝cos，x∈0，可得x＋∈，函数y＝cos
x在区间上单调递减，所以函数的值域为.
(2)令t＝sin
x，∴y＝2t2＋2t－＝22－1.
∵x∈，∴≤sin
x≤1，即≤t≤1，
∴1≤y≤，∴函数f(x)的值域为.
(1)先由x的范围求出x＋的范围，再求值域．
(2)先换元令t＝sin
x，再利用二次函数求值域．
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知函数y＝sin
x和y＝cos
x在区间M上都是增函数，那么区间M可以是( )
A.
B.
C.
D.
解析：y＝sin
x在和上是增函数，y＝cos
x在(π，2π)上是增函数，所以区间M可以是.
答案：D
2．函数y＝2－sin
x的最大值及取最大值时x的值为( )
A．ymax＝3，x＝－
B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
C．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
D．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
解析：当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，y＝sin
x有最小值－1，函数y＝2－sin
x有最大值3.
答案：C
3．符合以下三个条件：①上递减；②以2π为周期；③为奇函数．这样的函数是( )
A．y＝sin
x
B．y＝－sin
x
C．y＝cos
x
D．y＝－cos
x
解析：在上递减，可以排除A，是奇函数可以排除C，D.
答案：B
4．下列不等式中成立的是( )
A．sin>sin
B．sin
3>sin
2
C．sinπ>sin
D．sin
2>cos
1
解析：因为sin
2＝cos＝cos，且0<2－<1<π，所以cos>cos
1，即sin
2>cos
1.
答案：D
5．函数y＝2sin(x∈[－π，0])的单调递增区间是( )
A. B.
C.
D.
解析：方法一 y＝2sin，其单调递增区间为－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，则－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.
由于x∈[－π，0]，所以其单调递增区间为.
方法二 函数在取得最大值，且其最小正周期为2π，则其单调递增区间为，即，又x∈[－π，0]，所以其单调递增区间为.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．函数y＝cos的单调递减区间为________．
解析：y＝cos＝cos，
由2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数的单调减区间为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
7．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为________．
解析：当0≤x≤时，－≤2x－≤，因为函数y＝sin
x在上的函数值恒为正数，在上的函数值恒为负数，且在上为增函数，所以函数f(x)的最小值为f(0)＝－.
答案：－
8．sin________sin(填“>”或“<”)．
解析：sin＝sin＝sin，因为0<<<，y＝sin
x在上单调递增，所以sin答案：>
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求下列函数的单调区间：
(1)y＝cos
2x；(2)y＝2sin.
解析：(1)函数y＝cos
2x的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定：2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z,2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z.
∴kπ－≤x≤kπ，k∈Z，kπ≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴函数y＝cos
2x的单调递增区间为，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z.
(2)y＝2sin＝－2sin，函数y＝－2sinx－的单调递增、递减区间分别是函数y＝2sin的单调递减、递增区间．
令2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z.
即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，
即函数y＝2sin的单调递增区间为
，k∈Z.
令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z.
即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
即函数y＝2sin的单调递减区间为
，k∈Z.
10．求下列函数的最大值和最小值：
(1)y＝3＋2cos；
(2)y＝2sin.
解析：(1)∵－1≤cos≤1
∴当cos＝1时，ymax＝5；
当cos＝－1时，ymin＝1.
(2)∵－≤x≤，∴0≤2x＋≤，
∴0≤sin≤1.
∴当sin＝1时，ymax＝2；
当sin＝0时，ymin＝0.
[能力提升](20分钟，40分)
11．函数y＝2sin(ω>0)的周期为π，则其单调递增区间为( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：周期T＝π，∴＝π，∴ω＝2，∴y＝2sin.由－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－π≤x≤kπ＋，k∈Z.
答案：C
12．函数y＝cos
x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
解析：因为y＝cos
x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π答案：(－π，
0]
13．比较下列各组数的大小：
(1)cos与cos；
(2)sin
194°与cos
160°.
解析：(1)cos＝cos，
cos＝cos＝cos，
∵0<<<π，
函数y＝cosx在(0，π)上是减函数，
∴cos>cos，
即cos>cos.
(2)sin
194°＝sin(180°＋14°)＝－sin
14°，
cos
160°＝cos(180°－20°)＝－cos
20°＝－sin
70°.
∵0°<14°<70°<90°，∴sin
14°70°.
从而－sin
14°>－sin
70°，即sin
194°>cos
160°.
14．求函数y＝3－2sinx的最值及取到最值时的自变量x的集合．
解析：∵－1≤sinx≤1，
∴当sinx＝－1，x＝2kπ－，k∈Z，
即x＝4kπ－π，k∈Z时，ymax＝5，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ－π，k∈Z}；
当sinx＝1，x＝2kπ＋，k∈Z，
即x＝4kπ＋π，k∈Z时，ymin＝1，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}．
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1
-第2课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
1.周期函数
(1)周期函数.
条件
①对于函数f(x)，存在一个非零常数T
②当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)
结论
函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期
(2)最小正周期.
条件
周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数
结论
这个最小正数叫做f(x)的最小正周期
关于最小正周期
(1)并不是所有的周期函数都有最小正周期，如常数函数f(x)＝C，对于任意非零常数T，都有f(x＋T)＝f(x)，即任意常数T都是函数的周期，因此没有最小正周期．
(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B，y＝Acos(ωx＋φ)＋B，可以利用公式T＝求最小正周期．
2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
周期
2kπ(k∈Z且k≠0)
2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期
2π
2π
奇偶性
奇函数
偶函数
关于正、余弦函数的奇偶性
(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称．
(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
提醒：诱导公式三是正弦函数、余弦函数的奇偶性的另一种表示形式．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确.
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果存在常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T.( )
(2)如果存在非零常数T，使得定义域内存在一个值x，有f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T.( )
(3)函数y＝sin
x，x∈(－π，π]是奇函数．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．下列函数中，周期为的是( )
A．y＝sin
B．y＝sin
2x
C．y＝cos
D．y＝cos
4x
解析：对于A，T＝＝4π，对于B，T＝＝π，
对于C，T＝＝8π，对于D，T＝＝.
答案：D
3．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
解析：由于x∈R，且f(－x)＝sin
x＝－sin(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故选A.
答案：A
4．下列函数中是偶函数的是( )
A．y＝sin
2x
B．y＝－sin
x
C．y＝sin|x|
D．y＝sin
x＋1
解析：A、B是奇函数，D是非奇非偶函数，C符合f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，∴y＝sin|x|是偶函数．
答案：C
类型一 求三角函数的周期
例1 (1)下列函数中，不是周期函数的是( )
A.y＝|cos
x|
B．y＝cos|x|
C．y＝|sin
x|
D．y＝sin|x|
(2)函数y＝2sin的周期为________．
【解析】 (1)画出y＝sin|x|的图象，易知y＝sin|x|不是周期函数．
(2)方法一 因为2sin＝2sin，
即2sin＝2sin.
所以y＝2sin的最小正周期是6π.
方法二 函数的周期T＝＝＝6π.
【答案】 (1)D (2)6π
(1)作出函数的图象，根据周期的定义判断．
(2)利用周期的定义，需要满足f(x＋T)＝f(x)
；也可利用公式T＝计算周期．
方法归纳
求函数周期的方法
(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数．
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0)，可利用T＝来求．
(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．
跟踪训练1 求下列函数的周期．
(1)y＝2sin
2x；
(2)y＝cos.
解析：(1)方法一 因为2sin(2x＋2π)＝2sin
2x，即2sin
2(x＋π)＝2sin
2x.
由周期函数的定义，可知原函数的周期为π.
方法二 T＝＝π.
(2)方法一 因为cos＝cos，即cos＝cos.
由周期函数的定义，可知原函数的周期为4π.
方法二 T＝＝4π
(1)利用周期的定义求函数周期．
(2)利用公式T＝求函数周期．
类型二 正、余弦函数的奇偶性问题
例2 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝cos；
(2)f(x)＝sin(cos
x)．
【解析】 (1)函数的定义域为R.且f(x)＝cos＝－sin
2x.
因为f(－x)＝－sin(－2x)＝sin
2x＝－f(x)，所以函数f(x)＝cos是奇函数．
(2)函数的定义域为R.且f(－x)＝sin[cos(－x)]＝sin(cos
x)＝f(x)，
所以函数f(x)＝sin(cos
x)是偶函数.
先用诱导公式化简，再利用定义法判断函数的奇偶性．
方法归纳
利用定义判断函数奇偶性的三个步骤
注意：若函数f(x)的定义域不关于原点对称，无论f(－x)与f(x)有何关系，f(x)仍然是非奇非偶函数．
跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝|sin
x|＋cos
x；
(2)f(x)＝＋.
解析：(1)函数的定义域为R，
又f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sin
x|＋cos
x＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
(2)由1－cos
x≥0且cos
x－1≥0，
得cos
x＝1，从而x＝2kπ，k∈Z，此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．
(1)利用定义法判断函数的奇偶性．
(2)由偶次根式被开方数大于等于0求出cos
x的值以及x的值，最后判断函数的奇偶性．
类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
例3 定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin
x，求f的值．
【解析】 因为f(x)的最小正周期是π，
所以f＝f＝f，
因为f(x)是R上的偶函数，
所以f＝f＝sin＝.
利用周期性
f＝f
＝f，再利用奇偶性f＝f，最后代入求值．
方法归纳
三角函数周期性与奇偶性的解题策略
(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．
(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin
ωx(Aω≠0)或y＝Acos
ωx(Aω≠0)其中的一个．
跟踪训练3 若本例中函数的最小正周期变为，其他条件不变，求f的值．
解析：因为f(x)的最小正周期是，
所以f＝f＝f＝f＝sin＝
利用周期性f＝f＝f代入求值．
1.4.1-2.2
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．函数y＝－5cos(3x＋1)的最小正周期为( )
A.
B．3π
C.
D.
解析：该函数的最小正周期T＝＝.
答案：C
2．函数f(x)＝sin
2x的奇偶性为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
解析：因为f(x)的定义域是R，且f(－x)＝sin
2(－x)＝－sin
2x＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
答案：A
3．函数f(x)＝sin是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
解析：f(x)＝sin
＝sin
＝－sin＝－cos
2
010x，
f(x)定义域为R，
且f(－x)＝－cos(－2
010x)＝－cos
2
010x＝f(x)，
所以函数f(x)为偶函数．
答案：B
4．函数f(x)＝xsin( )
A．是奇函数
B．是非奇非偶函数
C．是偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
解析：由题，得函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(x)＝xsin＝xcos
x，所以f(－x)＝(－x)·cos(－x)＝－xcos
x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．
答案：A
5．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )
A．y＝cos|2x|
B．y＝|sin
x|
C．y＝sin
D．y＝cos
解析：y＝cos|2x|是偶函数；y＝|sin
x|是偶函数；
y＝sin＝cos
2x是偶函数；
y＝cos＝－sin
2x是奇函数，且其最小正周期T＝π.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．f(x)＝sin
xcos
x是________(填“奇”或“偶”)函数．
解析：x∈R时，f(－x)＝sin(－x)cos(－x)＝－sin
xcos
x＝－f(x)，即f(x)是奇函数．
答案：奇
7．函数y＝cos的最小正周期是________．
解析：∵y＝cos，∴T＝＝2π×＝4.
答案：4
8．函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝3，则f(8)＝________.
解析：∵f(x)的周期为2，
∴f(x＋2)＝f(x)，
∴f(8)＝f(2＋3×2)＝f(2)＝3.
答案：3
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求下列函数的最小正周期：
(1)y＝cos；(2)y＝|sin|.
解析：(1)利用公式T＝，可得函数
y＝cos的最小正周期为T＝＝π.
(2)易知函数y＝sin的最小正周期为T＝＝4π，而函数y＝的图象是由函数y＝sin的图象将在x轴下方部分翻折到上方后得到的，此时函数周期减半，即y＝的最小正周期为2π.
10．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝cos
2x；
(2)f(x)＝sin；
(3)f(x)＝x·cos
x.
解析：(1)因为x∈R，
f(－x)＝cos(－2x)＝cos
2x＝f(x)，
所以f(x)＝cos
2x是偶函数．
(2)因为x∈R，f(x)＝sin＝－cos，所以f(－x)＝－cos＝－cos＝f(x)，所以函数f(x)＝sin是偶函数．
(3)因为x∈R，f(－x)＝－x·cos(－x)＝－x·cos
x＝－f(x)，
所以f(x)＝xcos
x是奇函数．
[能力提升](20分钟，40分)
11．下列说法中正确的是( )
A．当x＝时，sin≠sin
x，所以不是f(x)＝sin
x的周期
B．当x＝时，sin＝sin
x，所以是f(x)＝sin
x的一个周期
C．因为sin(π－x)＝sin
x，所以π是y＝sin
x的一个周期
D．因为cos＝sin
x，所以是y＝cos
x的一个周期
解析：若T是f(x)的周期，则对于f(x)的定义域内任意x都有f(x＋T)＝f(x)成立，B，C，D错误．
答案：A
12．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为，且满足f(x)＝则f＝________.
解析：f＝f＝f＝sin＝.
答案：
13．已知函数y＝cos
x＋|cos
x|.
(1)画出函数的图象；
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．
解析：(1)y＝cos
x＋|cos
x|
＝
函数图象如图所示．
(2)由图象知这个函数是周期函数，且最小正周期是2π.
14．已知f(x)是R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)．
(1)求证：f(x)是以4为周期的函数；
(2)当0≤x≤1时，f(x)＝x，求f(7.5)的值．
解析：(1)证明：f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的函数．
(2)由(1)可知f(x＋4)＝f(x)，
所以f(7.5)＝f(3.5＋4)＝f(3.5)＝f(－0.5＋4)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.
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1
-1.4 三角函数的图象与性质
1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质
考试标准
课标要点
学考要求
高考要求
正弦函数、余弦函数的图象
b
c
周期函数的概念
a
a
正弦函数、余弦函数的性质
b
b
知识导图
学法指导
1.本节内容以三角函数的图象及其性质为主，因此在学习过程中应先学会作图，然后利用图象研究函数的性质．
2．深刻理解五点的取法，特别是非正常周期的五点．
3．注意所有的变换是图象上的点在移动，是x或y在变化而非ωx.
4．运用整体代换的思想，令ωx＋φ＝t，借助y＝sin
t，y＝cos
t的图象和性质研究函数y＝sin(ωx＋φ)，y＝cos(ωx＋φ)的图象和性质．
第1课时 正弦函数、余弦函数的图象
正弦曲线与余弦曲线及其画法
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
图象
图象画法
五点法
五点法
关键五点
(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)
(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)
1.关于正弦函数y＝sin
x的图象
(1)正弦函数y＝sinx，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z的图象与x∈[0,2π]上的图形一致，因为终边相同角的同名三角函数值相等．
(2)正弦函数的图象向左、右无限延伸，可以由y＝sinx，x∈[0,2π]图象向左右平移得到(每次平移2π个单位)．
2．“几何法”和“五点法”画正、余弦函数的比较
(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法.
该方法作图较精确，但较为烦琐．
(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法．
提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x轴、y轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确.
(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“五点法”作正、余弦函数的图象时的“五点”是指图象上的任意五点．( )
(2)正弦函数在和上的图象相同．( )
(3)正弦函数、余弦函数的图象分别向左、右无限延伸．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．以下对正弦函数y＝sin
x的图象描述不正确的是( )
A．在x∈[2kπ，2(k＋1)π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同
B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
解析：画出y＝sin
x的图象，根据图象可知A，B，D三项都正确．
答案：C
3．下列图象中，是y＝－sin
x在[0,2π]上的图象的是( )
解析：函数y＝－sin
x的图象与函数y＝sin
x的图象关于x轴对称，故选D.
答案：D
4．用“五点法”作函数y＝cos
2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是________________．
解析：令2x＝0，，π，和2π，得x＝0，，，π，π.
答案：0，，，π，π
类型一 用“五点法”作三角函数的图象
例1 用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝sin
x＋，x∈[0,2π]；
(2)y＝1－cos
x，x∈[0,2π]．
【解析】 (1)按五个关键点列表：
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
－1
0
＋sin
x
－
描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图)
(2)列表：
x
0
π
2π
cos
x
1
0
－1
0
1
1－cos
x
0
1
2
1
0
描点连线，其图象如图所示：
作函数图象需要先列表再描点，最后用平滑曲线连线．
方法归纳
作形如y＝asin
x＋b(或y＝acos
x＋b)，x∈[0,2π]的图象的三个步骤
跟踪训练1 画出函数y＝3＋2cos
x的简图．
解析：(1)列表，如下表所示
x
0
π
2π
y＝cos
x
1
0
－1
0
1
y＝3＋2cos
x
5
3
1
3
5
(2)描点，连线，如图所示：
利用五点作图法画简图．
类型二 正、余弦函数曲线的简单应用
例2 根据正弦曲线求满足sin
x≥－在[0,2π]上的x的取值范围．
【解析】 在同一坐标系内作出函数y＝sin
x与y＝－的图象，如图所示．
观察在一个闭区间[0,2π]内的情形，满足sin
x≥－的x∈∪，所以满足sin
x≥－在[0,2π]上的x的范围是{x0≤x≤π或≤x≤2π}.或∪
在同一坐标系内作y＝sin
x与y＝－的图象，利用图象求x的范围.
方法归纳
利用三角函数图象解sin
x>a(或cos
x>a)的三个步骤
(1)作出直线y＝a，y＝sin
x(或y＝cos
x)的图象．
(2)确定sin
x＝a(或cos
x＝a)的x值．
(3)确定sin
x>a(或cos
x>a)的解集．
[注意] 解三角不等式sin
x>a，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x∈[0,2π]范围内x的取值范围，然后根据终边相同角的同名三角函数值相等，写出原不等式的解集．
跟踪训练2 根据余弦曲线求满足cos
x≤的x的取值范围．
解析：作出余弦函数y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为[＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z.
在同一坐标内作y＝cos
x与y＝的图象，利用图象求x的范围.
1.4.1-2.1
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列对函数y＝cos
x的图象描述错误的是( )
A．在[0,2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同
B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴只有一个交点
解析：观察余弦函数的图象知：y＝cos
x关于y轴对称，故C错误．
答案：C
2．下列各点中，不在y＝sin
x图象上的是( )
A．(0,0)
B.
C.
D．(π，1)
解析：y＝sin
x图象上的点是(π，0)，而不是(π，1)．
答案：D
3．不等式sin
x>0，x∈[0,2π]的解集为( )
A．[0，π]
B．(0，π)
C.
D.
解析：由y＝sin
x在[0,2π]的图象可得．
答案：B
4．点M在函数y＝sin
x的图象上，则m等于( )
A．0
B．1
C．－1
D．2
解析：点M在y＝sin
x的图象上，代入得－m＝sin＝1，
∴m＝－1.
答案：C
5．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin
x，x∈[0,2π]与y＝sin
x，x∈[2π，4π]的图象( )
A．重合
B．形状相同，位置不同
C．关于y轴对称
D．形状不同，位置不同
解析：根据正弦曲线的作法过程，可知函数y＝sin
x，x∈[0,2π]与y＝sin
x，x∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同．
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．下列叙述正确的有________．
(1)y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；
(2)y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；
(3)正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．
解析：分别画出函数y＝sin
x，x∈[0,2π]和y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象，由图象观察可知(1)(2)(3)均正确．
答案：(1)(2)(3)
7．关于三角函数的图象，有下列说法：
(1)y＝sin|x|与y＝sin
x的图象关于y轴对称；
(2)y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同；
(3)y＝|sin
x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；
(4)y＝cos
x与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称．
其中正确的序号是________．
解析：对(2)，y＝cos(－x)＝cos
x，y＝cos|x|＝cos
x，故其图象相同；
对(4)，y＝cos(－x)＝cos
x，
故其图象关于y轴对称，由作图可知(1)(3)均不正确．
答案：(2)(4)
8．直线y＝与函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的交点坐标是________．
解析：令sin
x＝，则x＝2kπ＋或x＝2kπ＋π，又∵x∈[0,2π]，故x＝或π.
答案：，
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．利用“五点法”作出函数y＝1－sin
x(0≤x≤2π)的简图．
解析：(1)取值列表：
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
－1
0
1－sin
x
1
0
1
2
1
(2)
10．根据y＝cos
x的图象解不等式：－≤cos
x≤，x∈[0,2π]．
解析：函数y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象如图所示：
根据图象可得不等式的解集为.
[能力提升](20分钟，40分)
11．已知函数y＝2cos
x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为( )
A．4
B．8
C．2π
D．4π
解析：依题意，由余弦函数图象关于点和点成中心对称，可得y＝2cos
x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成的封闭图形的面积为2π×2＝4π.
答案：D
12．函数y＝的定义域是________．
解析：要使函数有意义，只需2cos
x－≥0，即cos
x≥.由余弦函数图象知(如图)，
所求定义域为，k∈Z.
答案：，k∈Z
13．利用“五点法”作出y＝sin的图象．
解析：列表如下：
x
π
2π
π
sin
0
1
0
－1
0
描点并用光滑的曲线连接起来．
14．利用图象变换作出下列函数的简图：
(1)y＝1－cos
x，x∈[0,2π]；
(2)y＝|sin
x|，x∈[0,4π]．
解析：(1)首先用“五点法”作出函数y＝cos
x，x∈[0,2π]的简图，再作出y＝cos
x，x∈[0,2π]的简图关于x轴对称的简图，即y＝－cos
x，x∈[0,2π]的简图，将y＝－cos
x，x∈[0,2π]的简图向上平移1个单位即可得到y＝1－cos
x，x∈[0,2π]的简图，如图所示．
(2)首先用“五点法”作出函数y＝sin
x，x∈[0,4π]的简图，再将该简图在x轴下方的部分翻折到x轴的上方，即得到y＝|sin
x|，x∈[0,4π]的简图，如图所示．
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