课时素养检测四十四 随
机
模
拟
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.用随机模拟方法估计概率时,其准确程度决定于
( )
A.产生的随机数的大小
B.产生的随机数的个数
C.随机数对应的结果
D.产生随机数的方法
【解析】选B.用随机模拟方法估计概率时,其准确程度决定于产生的随机数的个数.
2.数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米2
018石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得270粒内夹谷30粒,则这批米内夹谷约为
( )
A.222石
B.224石
C.230石
D.232石
【解析】选B.由题意,抽样取米一把,数得270粒米内夹谷30粒,即夹谷占有的概率为=,所以2
018石米中夹谷约为2
018×≈224(石).故选B.
3.假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中靶心,5,6,7,8,9,0表示未命中靶心;再以每两个随机数为一组,代表两次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:
93 28 12 45 85 69 68 34 31 25
73 93 02 75 56 48 87 30 11 35
据此估计,该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为
( )
A.0.50
B.0.45
C.0.40
D.0.35
【解析】选A.两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1,2,3,4中的一个.它们分别是93,28,45,25,73,93,02,48,30,35共10个,因此所求的概率为=0.50.
4.某种心脏手术,成功率为0.6,现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率:先利用计算器或计算机产生0～9之间取整数值的随机数,由于成功率是0.6,故我们用0,1,2,3表示手术不成功,4,5,6,7,8,9表示手术成功;再以每3个随机数为一组,作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数:
812,832,569,683,271,989,730,537,925,907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为( )
A.0.2
B.0.3
C.0.4
D.0.5
【解析】选A.由10组随机数知,4～9中恰有三个的随机数有569,989两组,故所求的概率为P==0.2.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.通过随机模拟试验产生了20组随机数:
6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884 2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725 6576 5929 9768 6071 9138 6754
如果恰有三个数在1,2,3,4,5,6中,则表示恰有三次击中目标,问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为________.?
【解析】因为表示三次击中目标分别是:3013,2604,5725,6576,6754,共5组随机数.随机数总共20组,所以所求的概率近似为=0.25.
答案:0.25
6.抛掷两枚均匀的正方体骰子,用随机模拟方法估计朝上面的点数的和是6的倍数的概率时,用1,2,3,4,5,6分别表示朝上面的点数是1,2,3,4,5,6.用计算器或计算机分别产生1到6的两组整数随机数各60个,每组第i个数组成一组,共组成60组数,其中有一组是16,这组数表示的结果是否满足朝上面的点数的和是6的倍数:________.(填“是”或“否”)?
【解析】16表示第1枚骰子向上的点数是1,第二枚骰子向上的点数是6,则朝上面的点数的和是1+6=7,不是6的倍数.
答案:否
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.小明与同学都想知道每6个人中有2个人生肖相同的概率,他们想设计一个模拟试验来估计6个人中恰有两个人生肖相同的概率,你能帮他们设计这个模拟方案吗?
【解析】用12个完全相同的小球分别编上号码1～12,代表12个生肖,放入一个不透明的袋中摇匀后,从中随机抽取一球,记下号码后放回,再摇匀后取出一球记下号码……连续取出6个球为一次试验,重复上述试验过程多次,统计试验中出现两个相同号码的次数除以总的试验次数,得到的试验频率可估计每6个人中恰有两个人生肖相同的概率.
8.某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少个,在不将袋中的球倒出来的情况下,分小组进行摸球试验,两人一组,共20组进行摸球试验.其中一位学生摸球,另一位学生记录所摸球的颜色,并将球放回袋中摇匀,每一组做400次试验,汇总起来后,摸到红球次数为
6
000次.
(1)估计从袋中任意摸出一个球,恰好是红球的概率;
(2)请你估计袋中红球的个数.
【解析】(1)因为20×400=8
000,所以摸到红球的频率为=0.75,
因为试验次数很大,大量试验时,频率接近于理论概率,所以估计从袋中任意摸出一个球,恰好是红球的概率是0.75.
(2)设袋中红球有x个,根据题意得:
=0.75,解得x=15,经检验x=15是原方程的解.所以估计袋中红球有15个.
PAGE课时素养检测四十三 频率的稳定性
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
1.(多选题)对下面的描述:①频率是反映事件发生的频繁程度,概率是反映事件发生的可能性的大小;②做n次随机试验,事件A发生m次,则事件A发生的频率就是事件A发生的概率;③频率是不能脱离具体的n次试验的试验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值;④频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.其中正确的说法有
( )
A.① B.② C.③ D.④
【解析】选ACD.频率是一个不确定的值,随试验次数的变化而变化,但具有相对的稳定性.而概率是一个确定的值,不随试验次数的变化而变化,但当试验次数无限增大时,频率趋向于概率.因此①③④是正确的.
2.某工厂生产的产品合格率是99.99%,这说明
( )
A.该厂生产的10
000件产品中不合格的产品一定有1件
B.该厂生产的10
000件产品中合格的产品一定有9
999件
C.合格率是99.99%,很高,说明该厂生产的10
000件产品中没有不合格产品
D.该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
【解析】选D.合格率是99.99%,是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小,即合格的概率.
3.在进行n次重复试验中,事件A发生的频率为,当n很大时,事件A发生的概率P(A)与的关系是
( )
A.P(A)≈
B.P(A)<
C.P(A)>
D.P(A)=
【解析】选A.对于给定的随机事件A,事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).即P(A)≈.
4.每道选择题有四个选项,其中只有一个选项是正确的.某次数学考试共有12道选择题,有位同学说:“每个选项正确的概率是,我每道题都选择第一个选项,则一定有3道题选择结果正确.”该同学的说法
( )
A.正确
B.错误
C.无法解释
D.以上均不正确
【解析】选B.解每一道选择题都可看成一次试验,每次试验的结果都是随机的,经过大量的试验其结果呈现出一定的规律,即随机选取一个选项选择正确的概率是.12道选择题做对3道题的可能性比较大,但并不能保证一定做对3道题,也有可能都选错,因此该同学的说法错误.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20
000部汽车的相关信息,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是________.?
【解析】P==0.03.
答案:0.03
6.对某厂生产的某种产品进行抽样检查,数据如下表所示:
抽查件数
50
100
200
300
500
合格件数
47
92
192
285
478
根据表中所提供的数据,若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品,大约需抽查________件产品.?
【解析】由表中数据知:抽查5次,产品合格的频率依次为0.94,0.92,0.96,
0.95,0.956,可见频率在0.95附近摆动,故可估计该厂生产的此种产品合格的概率约为0.95.设大约需抽查n件产品,则≈0.95,所以n≈1
000.
答案:1
000
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.街头有人玩一种游戏,方法是投掷两枚骰子,如果两枚骰子投一次点数之和是2,3,4,10,11,12这六种情况,红方胜,而当两枚骰子点数之和是5,6,7,8,9时,白方胜,这种游戏对双方公平吗?若不公平,请说明哪方占便宜?
【解析】两枚骰子点数之和如表:
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
其中点数之和是2,3,4,10,11,12这六种情况的共12种,概率是=,
两枚骰子点数之和是5,6,7,8,9的情况共24种,概率是=.所以这种游戏不公平,白方比较占便宜.
8.有人对甲、乙两名网球运动员训练中一发成功次数做了统计,结果如表:
一发次数n
10
20
50
100
200
500
甲一发成功次数
9
17
44
92
179
450
一发成功的频率
一发次数n
10
20
50
100
200
500
乙一发成功次数
8
19
44
93
177
453
一发成功的频率
请根据表格中的数据回答以下问题:
(1)分别计算出两位运动员一发成功的频率,完成表格;
(2)根据(1)中计算的结果估计两位运动员一发成功的概率.
【解析】(1)
一发次数n
10
20
50
100
200
500
甲一发成功次数
9
17
44
92
179
450
一发成功的频率
0.9
0.85
0.88
0.92
0.895
0.9
一发次数n
10
20
50
100
200
500
乙一发成功次数
8
19
44
93
177
453
一发成功的频率
0.8
0.95
0.88
0.93
0.885
0.906
(2)由(1)中的数据可知,随着一发次数的增多,两位运动员一发成功的频率都越来越集中在0.9附近,所以估计两人一发成功的概率均为0.9.
PAGE课时素养检测四十二 事件的相互独立性
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.若A与B是相互独立事件,则下列结论中正确的是
( )
A.A与B是对立事件
B.A与B是互斥事件
C.与不相互独立
D.A与是相互独立事件
【解析】选D.相互独立与互斥、对立没有必然联系.
2.一个电路上装有甲、乙两根保险丝,甲熔断的概率为0.85,乙熔断的概率为0.74,甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立,则两根保险丝都熔断的概率为
( )
A.1
B.0.629
C.0
D.0.74或0.85
【解析】选B.事件“两根保险丝都熔断”即事件“甲保险丝熔断”“乙保险丝熔断”同时发生,依题意得事件“两根保险丝都熔断”的概率为0.85×0.74=
0.629.
3.甲、乙两人各进行一次射击,如果两人击中目标的概率都是0.8,则其中恰有一人击中目标的概率为
( )
A.0.64
B.0.32
C.0.56
D.0.48
【解析】选B.设“甲击中目标”为事件A,“乙击中目标”为事件B,则“两人各射击一次,恰好有一人击中目标”包括两种情况:一种是甲击中、乙未击中(即A),另一种是甲未击中、乙击中(即B),根据题意,这两种情况在各射击一次时不可能同时发生,即事件A与B是互斥的,所以所求概率为P=P(A)+P(B)
=P(A)P()+P()P(B)=0.8×(1-0.8)+(1-0.8)×0.8=0.32.故选B.
4.甲、乙两人同时报考某一所大学,甲被录取的概率为0.6,乙被录取的概率为0.7,两人是否被录取互不影响,则其中至少有一人被录取的概率为
( )
A.0.12
B.0.42
C.0.46
D.0.88
【解析】选D.由题意知,甲、乙都不被录取的概率为(1-0.6)×(1-0.7)=0.12,故至少有一人被录取的概率为1-0.12=0.88.
5.某种开关在电路中闭合的概率为p,现将4只这种开关并联在某电路中(如图所示),若该电路为通路的概率为,则p=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为该电路为通路的概率为,所以该电路为不通路的概率为1-,只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路,所以1-=(1-p)4,解得p=或p=(舍去).故选B.
6.假日期间,甲去黄山的概率是,乙去黄山的概率是,假定两人的行动相互之间没有影响,那么在假日期间甲、乙两人至少有一人去黄山的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.设甲、乙去黄山分别为事件A,B,
则P(A)=,P(B)=,
所以甲、乙两人至少有一人去黄山的概率是P=1-P(
)=1-×=.
【补偿训练】
如图,已知电路中4个开关闭合的概率都是,且是相互独立的,灯亮的概率为
( )
A. B. C. D.
【解析】选C.记A,B,C,D这4个开关闭合分别为事件A,B,C,D,又记A与B至少有一个不闭合为事件,
则P()=P(A)+P(B)+P( )=,
则灯亮的概率为P=1-P(
)
=1-P()P()P()=1-=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为,,,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为________.?
【解析】加工出来的零件的正品率是××=,因此加工出来的零件的次品率为1-=.
答案:
8.甲、乙两人投球命中率分别为,,则甲、乙两人各投一次,恰好命中一次的概率为________.?
【解析】事件“甲投球一次命中”记为A,“乙投球一次命中”记为B,“甲、乙两人各投一次恰好命中一次”记为事件C,则C=A∪B且A与B互斥,P(C)=
P(A∪B)=P(A)P()+P()P(B)=×+×==.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.某班甲、乙、丙三名同学竞选班委,甲当选的概率为,乙当选的概率为,丙当选的概率为.
(1)求恰有一名同学当选的概率;
(2)求至多有两人当选的概率.
【解析】设甲、乙、丙当选的事件分别为A,B,C,
则有P(A)=,P(B)=,P(C)=.
(1)因为事件A,B,C相互独立,所以恰有一名同学当选的概率为P(A
)+
P(
B
)+P(
C)
=P(A)·P()·P()+P()·P(B)·P()+
P()·P()·P(C)
=××+××+××=.
(2)至多有两人当选的概率为1-P(ABC)=1-P(A)·P(B)·P(C)=1-××=.
10.某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题.竞赛规则规定:答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分,答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6,且各题答对与否相互之间没有影响.
(1)求这名同学得300分的概率;
(2)求这名同学至少得300分的概率.
【解析】记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=0.8,P(A2)=0.7,P(A3)=0.6.
(1)这名同学得300分的概率
P1=P(A1A3)+P(A2A3)=P(A1)P()P(A3)+P()P(A2)P(A3)=0.8×0.3×0.6+0.2×0.7×0.6=0.228.
(2)这名同学至少得300分的概率
P2=P1+P(A1A2A3)=0.228+P(A1)P(A2)P(A3)=0.228+0.8×0.7×0.6=0.564.
(35分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.问题等价为两类:第一类,第一局甲赢,其概率P1=;第二类,需比赛2局,第一局甲负,第二局甲赢,其概率P2=×=.
故甲队获得冠军的概率为P1+P2=.
2.抛掷一枚骰子一次,A表示事件“出现偶数点”,B表示事件“出现3点或6点”,则事件A与B的关系是( )
A.互斥事件
B.相互独立事件
C.既互斥又相互独立事件
D.既不互斥又不相互独立事件
【解析】选B.A={2,4,6},B={3,6},A∩B={6},所以P(A)=,P(B)=,P(AB)==×.
所以A与B是相互独立事件.
3.端午节放假,甲回老家过节的概率为,乙、丙回老家过节的概率分别为,.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人回老家过节的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.甲、乙、丙回老家过节分别记为事件A,B,C,则P(A)=,P(B)=,
P(C)=,所以P()=,P()=,P()=.由题知A,B,C为相互独立事件,所以三人都不回老家过节的概率P(
)=P()P()P()=××=,所以至少有1人回老家过节的概率P=1-=.
4.有一个电路,如图所示,A,B,C,D,E,F为6个开关,若其闭合的概率都是,且每个开关闭合与否是相互独立的,则灯亮的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.设事件T为开关A,B中至少有一个不闭合,事件R为开关E,F中至少有一个不闭合,则P(T)=P(R)=1-×=.
设事件M,N分别为开关C,D不闭合,
则P(M)=P(N)=.
所以灯不亮的概率为×××=.
所以灯亮的概率为1-=.
二、填空题(每小题5分,共20分)
5.事件A,B,C相互独立,如果P(AB)=,P(C)=,P(AB)=,则P(B)=________,
P(B)=________.?
【解析】由题意可得
解得P(A)=,P(B)=,P(C)=,
所以P(B)=P()·P(B)=×=.
答案:
6.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯,汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为,,,则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为________.?
【解析】分别记汽车在甲、乙、丙三处通行为事件A,B,C,则P(A)=,P(B)=,
P(C)=,停车一次为事件BC+AC+AB发生,故概率为××+××+××=.
答案:
7.台风在危害人类的同时,也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源,大大缓解了全球水荒,另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9,各卫星间相互独立,则在同一时刻至少有两颗预报准确的是________.?
【解析】设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A,B,C,不准确记为,,,
则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,P()=0.2,
P()=0.3,P()=0.1,
至少两颗预报准确的事件有AB,AC,BC,ABC,这四个事件两两互斥且独立.
所以至少两颗预报准确的概率为P=P(AB)+P(AC)+P(BC)+P(ABC)=0.8×
0.7×0.1+0.8×0.3×0.9+0.2×0.7×0.9+0.8×0.7×0.9=0.056+0.216+
0.126+0.504=0.902.
答案:0.902
8.本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多,某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算),有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为,,两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是,,两人租车时间都不会超过四小时.则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为________.?
【解析】由题意可知,甲、乙在三小时以上且不超过四个小时还车的概率分别为,,设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A,则P(A)=×+×+×=.
所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.
答案:
三、解答题(每小题10分,共30分)
9.在社会主义新农村建设中,某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目,据预测,三个项目成功的概率分别为,,,且三个项目是否成功互相独立.
(1)求恰有两个项目成功的概率;
(2)求至少有一个项目成功的概率.
【解析】(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为××=,
只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为××=,
只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为××=,
所以恰有两个项目成功的概率为++=.
(2)三个项目全部失败的概率为××=,所以至少有一个项目成功的概率为1-=.
10.在一个选拔项目中,每个选手都需要进行四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为,,,,且各轮问题能否正确回答互不影响.
(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率;
(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率.
【解析】记事件Ai(i=1,2,3,4)表示“该选手能正确回答第i轮问题”,由已知得P(A1)=,P(A2)=,
P(A3)=,P(A4)=.
(1)记事件B表示“该选手进入第三轮才被淘汰”,
则P(B)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)P()=××=.
(2)记事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”,
则P(C)=P(∪A1∪A1A2)
=P()+P(A1)+P(A1A2)
=+×+××=.
11.在女子十米跳台比赛中,已知甲、乙两名选手发挥正常的概率分别为0.9,0.85,求
(1)甲、乙两名选手发挥均正常的概率;
(2)甲、乙两名选手至多有一名发挥正常的概率;
(3)甲、乙两名选手均出现失误的概率.
【解析】令事件A,B分别表示甲、乙两名选手发挥正常,由题意可知,事件A,B相互独立,且P(A)=0.9,P(B)=0.85.
(1)两名选手发挥均正常的概率P=P(AB)
=P(A)P(B)=0.9×0.85=0.765.
(2)所求事件的对立事件为“甲、乙两名选手发挥均正常”,故所求事件的概率P=1-P(AB)=1-0.765=0.235.
(3)依题意可知,所求事件的概率P=P(
)
=P()P()=(1-P(A))(1-P(B))=(1-0.9)×(1-0.85)=0.015.
PAGE课时素养检测四十一 概率的基本性质
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
1.(多选题)给出以下结论:①互斥事件一定对立;②对立事件一定互斥;③互斥事件不一定对立;④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率;⑤事件A与B互斥,则有P(A)=1-P(B).
其中不正确的是
( )
A.① B.② C.③ D.④⑤
【解析】选AD.对立必互斥,互斥不一定对立,所以②③正确,①错;
又当A+B=A时,P(A+B)=P(A),所以④错;
只有A与B为对立事件时,才有P(A)=1-P(B),
所以⑤错.
2.掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率均为.事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A+发生的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由题意可知表示“大于或等于5的点数出现”,事件A与事件互斥.由概率的加法公式可得P(A+)=P(A)+P()=+==.
3.国际羽联规定,标准羽毛球的质量应在[4.74,5.50]内(单位:克).现从一批羽毛球产品中任取一个,已知其质量小于4.74的概率为0.1,质量大于5.50的概率为0.2,则其质量符合规定标准的概率是
( )
A.0.3
B.0.7
C.0.8
D.0.9
【解析】选B.因为事件“羽毛球的质量在[4.74,5.50]内”(质量符合规定标准)的对立事件为“质量小于4.74或质量大于5.50”,而“质量小于4.74”和“质量大于5.50”互斥,所以由互斥事件概率公式和对立事件概率公式可得质量符合规定标准的概率为1-(0.1+0.2)=0.7.
4.若事件A与B是互斥事件,且事件A∪B的概率是0.8,事件A的概率是事件B的概率的3倍,则事件A的概率为
( )
A.0.2
B.0.4
C.0.6
D.0.8
【解析】选C.由已知得P(A)+P(B)=0.8,又P(A)=3P(B),于是P(A)=0.6.
5.如图所示,靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成,射手命中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别为0.15,0.20,0.45,则不中靶的概率是
( )
A.0.20
B.0.25
C.0.15
D.0.30
【解析】选A.设射手“命中圆面Ⅰ”为事件A,“命中圆环Ⅱ”为事件B,“命中圆环Ⅲ”为事件C,“不中靶”为事件D,则A,B,C互斥,故射手中靶的概率为P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.15+0.20+0.45=0.80.因为中靶和不中靶是对立事件,故不中靶的概率为P(D)=1-P(A+B+C)=1-0.80=0.20.
6.在5件产品中,有3件一级品和2件二级品,从中任取2件,下列事件中概率为的是
( )
A.都是一级品
B.都是二级品
C.一级品和二级品各1件
D.至少有1件二级品
【解析】选D.设A1,A2,A3分别表示3件一级品,B1,B2分别表示2件二级品.任取2件,则样本空间Ω={A1A2,A1A3,A2A3,A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2},共10个样本点,每个样本点出现的可能性相等.
事件A表示“2件都是一级品”,包含3个样本点,则P(A)=,
事件B表示“2件都是二级品”,包含1个样本点,则P(B)=,
事件C表示“2件中一件一级品、一件二级品”,包含6个样本点,则P(C)==.
事件A,B,C互斥,P(B)+P(C)=,B∪C表示“至少有1件二级品”,故选D.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.在掷一枚质地均匀的骰子的试验中,事件A表示“出现不大于4的偶数点”,事件B表示“出现小于5的点数”,则事件A∪发生的概率为________.(表示B的对立事件)?
【解析】随机掷一枚质地均匀的骰子一次共有六种不同的结果,且每种结果发生的可能性是相等的.其中事件A“出现不大于4的偶数点”包括2,4两种结果,P(A)==.
事件B“出现小于5的点数”包括1,2,3,4四种结果,P(B)==,P()=.
且事件A和事件是互斥事件,
所以P(A∪)=+=.
答案:
8.袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,已知得到红球的概率是,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率也是,则得到黑球、黄球、绿球的概率分别是________,________,________.?
【解析】设事件A,B,C,D分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”,且事件A,B,C,D两两互斥,根据题意,得
解得P(B)=,P(C)=,P(D)=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.黄种人群中各种血型的人所占的比例如表所示.
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比例
0.28
0.29
0.08
0.35
已知同种血型的人互相可以输血,O型血可以输给任一种血型的人,其他不同血型的人不能互相输血.小明是B型血,若小明因病需要输血,则:
(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少?
(2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少?
【解析】(1)对任一个人,其血型为A,B,AB,O的事件分别为A′,B′,C′,D′,它们彼此互斥.由已知得P(A′)=0.28,P(B′)=0.29,P(C′)=0.08,P(D′)
=0.35.
由于B,O型血可以输给B型血的人,
因此“可以输血给小明的人”为事件B′+D′,
根据互斥事件的概率加法公式,得:
P(B′+D′)=P(B′)+P(D′)=0.29+0.35=0.64.
(2)由于A,AB型血不能输给B型血的人,
因此“不能输血给小明的人”为事件A′+C′,
所以P(A′+C′)=P(A′)+P(C′)=0.28+0.08=0.36.
【补偿训练】
某战士在一次射击训练中,击中环数大于7的概率为0.6,击中环数是6或7或8的概率为0.3,则该战士击中环数大于5的概率为0.6+0.3=0.9.上述说法是否正确?请说明理由.
【解析】不正确.因为该战士击中环数大于7和击中环数为6或7或8不是互斥事件,所以不能用互斥事件的概率加法公式计算.
10.甲、乙两人玩一种游戏,每次甲、乙各出1到5根手指头,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢.
(1)若事件A表示“和为6”,求P(A);
(2)现连玩三次,若事件B表示“甲至少赢一次”,事件C表示“乙至少赢两次”,试问B与C是否为互斥事件?为什么?
(3)这种游戏规则公平吗?试说明理由.
【解析】(1)易知样本点总数n=25,且每个样本点出现的可能性相等.
事件A包含的样本点共5个:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1).所以P(A)==.
(2)B与C不是互斥事件.因为事件B与C可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次.
(3)这种游戏规则不公平.
和为偶数的样本点有:(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),
(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5).共13个,所以甲赢的概率为,乙赢的概率为1-=,所以这种游戏规则不公平.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
1.(多选题)下列四个命题中的错误命题是
( )
A.对立事件一定是互斥事件
B.若A,B为两个事件,则P(A+B)=P(A)+P(B)
C.若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1
D.事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件
【解析】选BCD.对立事件首先是互斥事件,故A正确;只有互斥事件的和事件的概率才适合概率加法公式,故B不正确;概率加法公式可以适合多个互斥事件的和事件,但和事件不一定是必然事件,故C不正确;对立事件和的概率公式逆用不正确.比如在掷骰子试验中,设事件A={正面为奇数},B={正面为1,2,3},则P(A)+P(B)=1.而A,B不互斥,故D不正确.
2.某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛.甲、乙两队夺取冠军的概率分别是和,则该市球队夺得全省足球冠军的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.设事件A,B分别表示该市的甲、乙队夺取冠军,则P(A)=,P(B)=,且A,B互斥.该市球队夺得冠军即事件A∪B发生.于是P(A∪B)=P(A)+P(B)=
+=.
3.在第3,6,16路公共汽车的同一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车),有一位乘客需在5
min之内乘上公共汽车赶到厂里.他可乘3路或6路公共汽车到厂里,已知3路车、6路车在5
min之内到此车站的概率分别为0.20和0.60,则该乘客在5
min内能乘上所需车的概率为
( )
A.0.20
B.0.60
C.0.80
D.0.12
【解析】选C.因为乘客上3路车和上6路车这两个事件是彼此互斥的,所以所求的概率为0.20+0.60=0.80.
4.对一批产品的长度(单位:mm)进行抽样检测,如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间[20,25)上为一等品,在区间[15,20)和[25,30)上为二等品,在区间[10,15)和[30,35]上为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取1件,则其为二等品的概率是
( )
A.0.09
B.0.20
C.0.25
D.0.45
【解析】选D.用频率估计概率,由图可知,抽得一等品的概率为0.3,抽得三等品的概率为0.25,则抽得二等品的概率为1-0.3-0.25=0.45.
二、填空题(每小题5分,共20分)
5.在一次教师联欢会上,到会的女教师比男教师多12人,从这些教师中随机挑选一人表演节目,若选中男教师的概率为,则参加联欢会的教师共有________人.?
【解析】可设参加联欢会的教师共有n人,由于从这些教师中选一人,“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件,所以选中女教师的概率为1-=.再由题意,知n-n=12,解得n=120.
答案:120
6.从几个数中任取实数x,若x∈(-∞,-1]的概率是0.3,x是负数的概率是0.5,则x∈(-1,0)的概率是________.?
【解析】设“x∈(-∞,-1]”为事件A,“x是负数”为事件B,“x∈(-1,0)”为事件C,由题意知,A,C为互斥事件,B=A+C,所以P(B)=P(A)+P(C),P(C)=P(B)-P(A)
=0.5-0.3=0.2.
答案:0.2
7.某产品分甲、乙、丙三级,其中丙级为次品.若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则对该产品抽查一件抽到正品的概率为________.?
【解析】因为抽到次品的概率为0.01,所以抽到正品的概率是1-0.01=0.99.
答案:0.99
8.甲射击一次,中靶的概率是P1,乙射击一次,中靶的概率是P2,已知,是方程x2-5x+6=0的根,且P1满足方程x2-x+=0.则甲射击一次,不中靶的概率为________;乙射击一次,不中靶的概率为______.?
【解析】由P1满足方程x2-x+=0知,-P1+=0,解得P1=;
因为,是方程x2-5x+6=0的根,所以·=6,解得P2=.
因此甲射击一次,不中靶的概率为1-=,乙射击一次,不中靶的概率为1-=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为n,求n【解析】取球一切可能的结果(m,n)有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),
(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个,这16个结果出现的可能性是相等的.
又满足条件n≥m+2的有(1,3),(1,4),(2,4),共3个.
所以满足条件n≥m+2的事件的概率为,故满足条件n【补偿训练】
玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个,从中任取1球,设事件A为“取出1个红球”,事件B为“取出1个黑球”,事件C为“取出1个白球”,事件D为“取出1个绿球”.已知P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=.
(1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率.
(2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率.
【解析】方法一 (1)因为事件A,B,C,D彼此为互斥事件,所以“取出1个球为红球或黑球”的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.
(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=++=.
方法二 (1)“取出1个球为红球或黑球”的对立事件为“取出1个球为白球或绿球”,即A+B的对立事件为C+D,所以P(A+B)=1-P(C+D)=1-P(C)-P(D)=1--=,
即“取出1个球为红球或黑球”的概率为.
(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1个球为绿球”,即A+B+C的对立事件为D,所以P(A+B+C)=1-P(D)=1-=,即“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为.
10.某停车场临时停车按时段收费,收费标准如下:每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元,超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算).现有甲、乙两人在该地停车,两人停车都不超过4小时.
(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为,停车费多于14元的概率为,求甲的停车费为6元的概率;
(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙两人停车费之和为28元的概率.
【解析】(1)记“一次停车不超过1小时”为事件A,“一次停车超过1小时,不超过2小时”为事件B,“一次停车超过2小时,不超过3小时”为事件C,“一次停车超过3小时,不超过4小时”为事件D.
由已知得P(B)=,P(C+D)=.
又事件A,B,C,D互斥,
所以P(A)=1--=.
所以甲的停车费为6元的概率为.
(2)易知甲、乙停车时间的基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),
(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个,这16种情况发生的可能性是相等的;而“停车费之和为28元”的事件有(1,3),(2,2),(3,1),共3个.所以所求概率为.
PAGE课时素养检测四十 古
典
概
型
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
1.(多选题)下列试验是古典概型的为
( )
A.从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性大小相等
B.同时掷两颗骰子,点数和为6的概率
C.近三天中有一天降雨的概率
D.10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率
【解析】选ABD.A,B,D是古典概型,因为符合古典概型的定义和特点.C不是古典概型,因为不符合等可能性.
2.从集合{a,b,c,d,e}的所有子集中任取一个,则这个集合恰是集合{a,b,c}的子集的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.集合{a,b,c,d,e}共有25=32个子集,而集合{a,b,c}的子集有23=8个,所以所求概率为=.
3.某学校食堂推出两款优惠套餐,甲、乙、丙三位同学选择同一款套餐的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.设两款优惠套餐分别为A,B,列举样本点如图所示.
由图可知,共有8个样本点,这8个样本点发生的可能性是相等的.其中甲、乙、丙三位同学选择同一款套餐包括(A,A,A),(B,B,B),共2个样本点,故所求概率为P==.
4.在国庆阅兵中,某兵种A,B,C三个方阵按一定次序通过主席台,若先后次序是随机排定的,则B先于A,C通过的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.用(A,B,C)表示A,B,C通过主席台的次序,则样本空间Ω={(A,B,
C),(A,C,B),(B,A,C),(B,C,A),(C,A,B),(C,B,A)},所以n(Ω)=6,其中B先于A,C通过的样本点有:(B,C,A)和(B,A,C),共2个,故所求概率P==.
5.一袋中装有大小相同,且编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球,从中有放回地每次取一个球,共取2次,则取得两个球的编号之和不小于15的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.用(i,j)表示第一次取得球编号i,第二次取得球编号j的一个样本点(i,j=1,2,3,…8).则所有样本点的总数n=64,其中取得两个球的编号和不小于15的样本点有(7,8),(8,7),(8,8)共3个,故所求的概率P=.
6.从1,2,3,4这四个数字中,任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于30的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.从1、2、3、4中任取两个不同数字构成一个两位数的样本空间Ω={(12),(13),(14),(21),(23),(24),(31),(32),(34),(41),(42),(43)},所以n(Ω)=12,其中大于30的为31、32、34、41、42、43共6个,故P==.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.(2020·江苏高考)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是______.?
【解析】总事件数为6×6=36,满足条件的事件有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共4种,则点数和为5的概率为=.
答案:
8.一个三位自然数,百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等),若a,b,c∈{1,2,3,4},且a,b,c互不相同,则这个三位数为“有缘数”的概率是________.?
【解析】由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321,共6个;同理,由1,2,4组成的三位自然数为6个,由1,3,4组成的三位自然数为6个,由2,3,4组成的三位自然数为6个,共有24个,这24个数出现的可能性是相等的.由1,2,3或1,3,4组成的三位自然数为“有缘数”,共12个,所以这个三位数为“有缘数”的概率为=.
答案:
三、解答题
9.(10分)将一枚骰子先后抛掷两次,则:
(1)一共有几个样本点?
(2)“出现的点数之和大于8”包含几个样本点?
【解析】(树状图法):一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示.
如图所示:
(1)由图知,共36个样本点.
(2)“点数之和大于8”包含10个样本点(已用“√”标出).
【补偿训练】
抛掷两枚骰子求:
(1)点数之和是4的倍数的概率.
(2)点数之和大于5小于10的概率.
【解析】如图样本点与所描点一一对应,共36个.
(1)记“点数之和是4的倍数”的事件为A,从图中可以看出,事件A包含的样本点共有9个,即(1,3),(2,2),(2,6),(3,1),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(6,6).所以P(A)=.
(2)记“点数之和大于5小于10”的事件为B,从图中可以看出,事件B包含的样本点有20个,即(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),
(5,2),(6,1),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(3,6),(4,5),(5,4),(6,3).所以P(B)=.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.甲、乙二人玩猜数字游戏,先由甲任想一数字,记为a,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙猜出的数字记为b,且a,b∈{1,2,3,4},若|a-b|≤1,则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两个人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.两人分别从1,2,3,4四个数中任取一个,共有16个样本点,这16个样本点发生的可能性是相等的.其中满足|a-b|≤1的样本点有(1,1),(1,2),
(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),共10个,故他们“心有灵犀”的概率为=.
2.某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校大一学生中进行了抽样调查.已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,则至多有1人喜欢甜品的概率为
( )
A.0.3
B.0.4
C.0.6
D.0.7
【解析】选D.记2名喜欢甜品的学生分别为a1,a2,3名不喜欢甜品的学生分别为b1,b2,b3.
从这5名数学系学生中任取3人的所有可能结果共10个,分别为(a1,a2,b1),
(a1,a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b1,b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3),这10种结果发生的可能性是相等的.记事件A表示“至多有1人喜欢甜品”,则事件A所包含的样本点有(a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1,b2,b3),
(a2,b1,b2),(a2,b1,b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3),共7个.根据古典概型的概率计算公式,得至多有1人喜欢甜品的概率P(A)==0.7.
【补偿训练】
先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,
4,5,6),骰子朝上的面的点数分别为x,y,则log(2x)y=1的概率为
( )
A. B. C. D.
【解析】选C.所有样本点的个数为6×6=36.
由log(2x)y=1得2x=y,
其中x,y∈{1,2,3,4,5,6},
所以或或满足log(2x)y=1,故事件“log(2x)y=1”包含3个样本点,所以所求的概率为P==.
3.一个袋子中装有编号分别为1,2,3,4的4个小球,现有放回地摸球,规定每次只能摸一个球,若第一次摸到的球的编号为x,第二次摸到的球的编号为y,构成数对(x,y),则所有数对(x,y)中满足xy=4的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.由题意可知样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),
(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},所以n(Ω)=16.满足xy=4为事件A,则样本点为(1,4),(2,2),(4,1),所以n(A)=3.故所求事件的概率为.
4.古代“五行”学说认为:“物质分金、木、水、火、土五种属性,金克木、木克土、土克水、水克火、火克金.”从五种不同属性的物质中随机抽取两种,则抽取的两种物质不相克的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.试验的样本空间Ω={(金,木)、(金,水)、(金,火)、(金,土)、(木,水)、(木,火)、(木,土)、(水,火)、(水,土)、(火,土)},所以n(Ω)=10,两种物质不相克为事件A,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金,即相克的有5种,所以n(A)=5,所以抽取的两种物质不相克的概率为.
二、填空题(每小题5分,共20分)
5.甲、乙、丙三名奥运志愿者被随机分到A,B两个不同的岗位,且每个岗位至少1人,则甲、乙两人被分到同一岗位的概率为________.?
【解析】所有可能的分配方式如表:
A
甲、乙
甲、丙
乙、丙
甲
乙
丙
B
丙
乙
甲
乙、丙
甲、丙
甲、乙
则样本空间共有6个样本点,令事件M为“甲、乙两人被分到同一岗位”,则事件M包含2个样本点,
所以P(M)==.
答案:
6.一次掷两枚骰子,得到的点数为m和n,则关于x的方程x2+(m+n)x+4=0无实数根的概率是________.?
【解析】样本点共有36个.因为方程无实根,所以Δ=(m+n)2-16<0.即m+n<4,其中有:(1,1),(1,2),(2,1),共3个样本点.
所以所求概率为=.
答案:
7.有20张卡片,每张卡片上分别标有两个连续的自然数k,k+1,其中k=0,1,
2,…,19.从这20张卡片中任取一张,记事件“该卡片上两个数的各位数字之和(例如:若取到标有9,10的卡片,则卡片上两个数的各位数字之和为9+1+0=10)不小于14”为A,则P(A)=________.?
【解析】20张卡片任取一张,有20种取法,即样本点有20个,所以n(Ω)=20,其中两个数的各位数字之和不小于14的有(7,8),(8,9),(16,17),(17,18),(18,19),所以n(A)=5.
则P(A)==.
答案:
8.从集合A={2,3}中随机取一个元素m,从集合B={1,2,3}中随机取一个元素n,得到点P(m,n),则点P在圆x2+y2=9内部的概率为________.?
【解析】点P(m,n)的所有结果有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)共6种情况,所以n(Ω)=6,
每种结果等可能出现,属于古典概型,记“点P在圆x2+y2=9内部”为事件A,即m2+n2<9,则A包含的样本点有(2,1),(2,2),所以n(A)=2,
所以P(A)==.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数(不考虑指针落在分界线上的情况).设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:
①若xy≤3,则奖励玩具一个;
②若xy≥8,则奖励水杯一个;
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率;
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.
【解析】用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则样本空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.因为S中元素的个数是4×4=16,
所以样本点总数n=16,且这16个样本点发生的可能性是相等的.
(1)记“xy≤3”为事件A,则事件A包含的样本点共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).
所以P(A)=,即小亮获得玩具的概率为.
(2)记“xy≥8”为事件B,“3即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4),所以P(B)==.
事件C包含的样本点共5个,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1),
所以P(C)=.
因为>,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.
10.小李在做一份调查问卷,共有5道题,其中有两种题型,一种是选择题,共3道,另一种是填空题,共2道.
(1)小李从中任选2道题解答,每一次选1题(不放回),求所选的题不是同一种题型的概率;
(2)小李从中任选2道题解答,每一次选1题(有放回),求所选的题不是同一种题型的概率.
【解析】(1)将3道选择题依次编号为1,2,3;2道填空题依次编号为4,5.
从5道题中任选2道题解答,每一次选1题(不放回),样本空间Ω={(1,2),
(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},共20个样本点,这20个样本点发生的可能性是相等的.
设事件A为“所选的题不是同一种题型”,则事件A包含的样本点有(1,4),
(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),
共12个,所以P(A)==0.6.
(2)从5道题中任选2道题解答,每一次选1题(有放回),样本空间Ω={(1,1),
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),
(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),
(5,4),(5,5)},共25个样本点,这25个样本点发生的可能性是相等的.
设事件B为“所选的题不是同一种题型”,则事件B包含的样本点有(1,4),
(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),
共12个,所以P(B)==0.48.
PAGE课时素养检测三十九 事件的关系和运算
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.如果事件A,B互斥,那么
( )
A.A∪B是必然事件
B.∪是必然事件
C.与一定互斥
D.以上说法都不正确
【解析】选B.A,B互斥,不一定是对立事件,故A不正确;当A,B不是对立事件时,与不互斥,故C不正确;A、B互斥,∪一定是必然事件,故B正确.
2.把电影院的4张电影票随机地分发给甲、乙、丙、丁4人,每人分得1张,事件“甲分得4排1号”与事件“乙分得4排1号”是
( )
A.对立事件
B.不可能事件
C.互斥但不对立事件
D.以上答案都不对
【解析】选C.“甲分得4排1号”与“乙分得4排1号”是互斥事件但不对立.
3.抽查10件产品,设“至少抽到2件次品”为事件A,则A的对立事件是
( )
A.至多抽到2件次品
B.至多抽到2件正品
C.至少抽到2件正品
D.至多抽到1件次品
【解析】选D.因为“至少抽到2件次品”就是说抽查10件产品中次品的数目至少有2个,所以A的对立事件是抽查10件产品中次品的数目最多有1个.
4.在一次随机试验中,彼此互斥的事件A,B,C,D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是
( )
A.A+B与C是互斥事件,也是对立事件
B.B+C与D是互斥事件,也是对立事件
C.A+C与B+D是互斥事件,但不是对立事件
D.A与B+C+D是互斥事件,也是对立事件
【解析】选D.选项A,A+B与C是互斥事件,但不对立,因为P(A+B)+P(C)=0.7≠1,故A错误;选项B,B+C与D是互斥事件,但不对立,因为P(B+C)+P(D)=0.8≠1,故B错误;选项C,A+C与B+D是互斥事件,也是对立事件,因为P(A+C)+P(B+D)=1,故C错误;选项D,A与B+C+D是互斥事件,也是对立事件,因为P(A)+P(B+C+D)=1,故D正确.
5.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球,那么下列各对事件中,互斥而不对立的是
( )
A.至少有一个红球与都是红球
B.至少有一个红球与都是白球
C.至少有一个红球与至少有一个白球
D.恰有一个红球与恰有两个红球
【解析】选D.根据互斥事件与对立事件的定义判断.A中两事件不是互斥事件,事件“三个球都是红球”是两事件的交事件;B中两事件是对立事件;C中两事件能同时发生,如“恰有一个红球和两个白球”,故不是互斥事件;D中两事件是互斥而不对立事件.
6.向上抛掷两枚质地均匀的硬币,设A={两枚硬币都正面向上},B={两枚硬币都正面向下},C={恰有一枚硬币正面向上},D={至少有一枚硬币正面向上},下列关系不正确的是
( )
A.A?D
B.B∩D=?
C.A∪C=D
D.A∪B=B∪D
【解析】选D.“恰有一枚硬币正面向上”指第一枚硬币正面向上第二枚硬币正面向下或第一枚硬币正面向下第二枚硬币正面向上,“至少有一枚硬币正面向上”包含两种情况:一种是恰有一枚硬币正面向上,一种是两枚硬币都正面向上,所以A∪B≠B∪D.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.在掷骰子的试验中,可以得到以下事件:
A={出现1点};B={出现2点};C={出现3点};D={出现4点};E={出现5点};F={出现6点};G={出现的点数不大于1};H={出现的点数小于5};I={出现奇数点};
J={出现偶数点}.请根据这些事件,判断下列事件的关系:
(1)B________H;(2)D________J;(3)E________I;?
(4)A________G.?
【解析】当事件B发生时,H必然发生,故B?H;同理D?J,E?I,而事件A与G相等,即A=G.
答案:(1)? (2)? (3)? (4)=
8.盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A={3个球中有1个红球,2个白球},事件B={3个球中有2个红球,1个白球},事件C={3个球中至少有1个红球},事件E={3个红球},那么事件C与A,B,E的运算关系是________.?
【解析】由题意可知C=A∪B∪E.
答案:C=A∪B∪E
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.做试验“从0,1,2这3个数字中,不放回地取两次,每次取一个数字,构成有序数对(x,y),x为第1次取到的数字,y为第2次取到的数字”.
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)用集合A表示“第1次取出的数字是2”这一事件.写出事件A的对立事件B.
【解析】(1)这个试验的样本空间Ω={(0,1),(0,2),(1,0),(1,2),(2,0),
(2,1)}.
(2)A={(2,0),(2,1)},则B={(0,1),(0,2),(1,0),(1,2)}.
10.某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件A为“只订甲报纸”,事件B为“至少订一种报纸”,事件C为“至多订一种报纸”,事件D为“不订甲报纸”,事件E为“一种报纸也不订”.判断下列事件是否是互斥事件;如果是,判断它们是否是对立事件:
(1)A与C;(2)B与E;(3)B与D;(4)B与C;(5)C与E.
【解析】(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报纸”,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.
(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的,故事件B与E是互斥事件;又B∪E是必然事件,故B与E也是对立事件.
(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报纸”,即有可能“不订甲报纸”,也就是说事件B和事件D有可能同时发生,故B与D不是互斥事件.
(4)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订甲报纸”“只订乙报纸”“订甲、乙两种报纸”.事件C“至多订一种报纸”中包括“一种报纸也不订”“只订甲报纸”“只订乙报纸”.由于这两个事件可能同时发生,故B与C不是互斥事件.
(5)由上述分析,事件E“一种报纸也不订”仅仅是事件C中的一种可能情况,事件C与事件E可能同时发生,故C与E不是互斥事件.
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
1.(多选题)从1,2,3,…,9中任取两数,其中:
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;
②至少有一个是奇数和两个都是奇数;
③至少有一个是奇数和两个都是偶数;
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
上述各对事件中,不是对立事件的是
( )
A.①
B.②
C.③
D.④
【解析】选ABD.两数可能“全为偶数”“一偶数一奇数”或“全是奇数”,共三种情况,利用对立事件的定义可知①②④不是对立事件.
2.打靶3次,事件Ai表示“击中i发”,其中i=0,1,2,3.那么A=A1∪A2∪A3表示
( )
A.全部击中
B.至少击中1发
C.至少击中2发
D.以上均不正确
【解析】选B.A1∪A2∪A3所表示的含义是A1,A2,A3这三个事件中至少有一个发生,即可能击中1发、2发或3发.
3.已知100件产品中有5件次品,从这100件产品中任意取出3件,设E表示事件“3件产品全不是次品”,F表示事件“3件产品全是次品”,G表示事件“3件产品中至少有1件次品”,则下列结论正确的是
( )
A.F与G互斥
B.E与G互斥但不对立
C.E,F,G任意两个事件均互斥
D.E与G对立
【解析】选D.由题意得事件E与事件F不可能同时发生,是互斥事件;
事件E与事件G不可能同时发生,是互斥事件;
当事件F发生时,事件G一定发生,所以事件F与事件G不是互斥事件,故A,C错.事件E与事件G中必有一个发生,所以事件E与事件G对立,所以B错误,D正确.
4.抛掷一枚骰子,记事件A为“落地时向上的点数是奇数”,事件B为“落地时向上的点数是偶数”,事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”,事件D为“落地时向上的点数是6或4”,则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是
( )
A.A与B
B.B与C
C.A与D
D.C与D
【解析】选C.A与B互斥且对立;B与C有可能同时发生,即出现6,从而不互斥;A与D不会同时发生,从而A与D互斥,又因为还可能出现2,故A与D不对立;C与D有可能同时发生,从而不互斥.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.给出四对事件:①某人射击1次,“射中7环”与“射中8环”;②甲、乙两人各射击1次,“甲射中7环”与“乙射中8环”;③甲、乙两人各射击1次,“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”;④甲、乙两人各射击1次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标,但乙未射中目标”.其中是互斥事件的有________对.?
【解析】某人射击1次,“射中7环”与“射中8环”这两个事件不可能同时发生,故①是互斥事件;甲、乙两人各射击1次,“甲射中7环”与“乙射中8环”可能同时发生,故②不是互斥事件;甲、乙两人各射击1次,“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”这两个事件不可能同时发生,故③是互斥事件;甲、乙两人各射击1次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标,但乙未射中目标”,前者包含后者,故④不是互斥事件.综上可知,①③是互斥事件,故共有2对事件是互斥事件.
答案:2
6.一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件,现给出以下四个事件:
事件A:恰有一件次品.
事件B:至少有两件次品.
事件C:至少有一件次品.
事件D:至多有一件次品.
并给出以下结论:①A∪B=C;②D∪B是必然事件;
③A∩B=C;④A∩D=C.
其中正确结论的序号是__________.?
【解析】事件A∪B:至少有一件次品,即事件C,
所以①正确;事件A∩B=?,③不正确;
事件D∪B:至少有两件次品或至多有一件次品,包括了所有情况,所以②正确;事件A∩D:恰有一件次品,即事件A,所以④不正确.
答案:①②
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次,其底面落于桌面上,记第一次朝下面的数字为x,第二次朝下面的数字为y,用(x,y)表示一个样本点.
(1)请写出所有的样本点;
(2)满足条件“为整数”这一事件包含哪几个样本点?
【解析】(1)先后抛掷两次正四面体的样本点:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),
(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个样本点.
(2)用A表示满足条件“为整数”的事件,则A包含的样本点有:(1,1),(2,1),
(2,2),(3,1),(3,3),(4,1),(4,2),(4,4),共8个样本点.
8.玻璃盒子中装有大小相同的球5个,其中2红(标号为1和2)、2黑(标号为3和4)、1白(标号为5),从盒子中不放回地依次随机取出2球,设事件A=“第一次取出红球”,B=“第二次取出黑球”,C=“两次都取出红球”,D=“两次都取出黑球”,E=“取出的2个球的颜色相同”,F=“取出的2个球的颜色不同”.
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件;
(2)事件A与C,C与D,E与F之间各有什么关系?
(3)事件C与事件D的并事件与事件E有什么关系?
【解析】(1)用数组(x1,x2)表示可能的结果,x1是第一次摸到球的标号,x2是第二次摸到球的标号,则试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),
(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),
(5,1),(5,2),(5,3)(5,4)}.
事件A={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4)(2,5)}.
事件B={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),(4,3),(5,3)(5,4)}.
事件C={(1,2),(2,1)}.
事件D={(3,4),(4,3)}.
事件E={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)}.
事件F={(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,5),
(4,1),(4,2),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)}.
(2)因为C?A,所以事件A包含事件C.
因为C∩D=?,所以事件C与事件D互斥.
因为E∪F=Ω,E∩F=?,所以事件E与事件F互为对立事件.
(3)因为C∪D=E.所以事件E是事件C与事件D的并事件.
PAGE课时素养检测三十八 有限样本空间与随机事件
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
1.(多选题)已知集合A是集合B的真子集,下列关于非空集合A,B的四个命题:
①若任取x∈A,则x∈B是必然事件.
②若任取x?A,则x∈B是不可能事件.
③若任取x∈B,则x∈A是随机事件.
④若任取x?B,则x?A是必然事件.
其中正确的命题是
( )
A.① B.② C.③ D.④
【解析】选ACD.因为集合A是集合B的真子集,所以A中的任意一个元素都是B中的元素,而B中至少有一个元素不在A中,因此①正确,②错误,③正确,④正确.
2.掷两枚骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验结果是
( )
A.一枚是3点,一枚是1点
B.一枚是3点,一枚是1点或两枚都是2点
C.两枚都是4点
D.两枚都是2点
【解析】选B.掷两枚骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验结果是一枚是3点,一枚是1点或两枚都是2点.故选B.
3.袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个,现在有放回地随机摸3次,每次摸取一个,观察摸出球的颜色,则此随机试验的样本点个数为
( )
A.5
B.6
C.7
D.8
【解析】选D.因为是有放回地随机摸3次,所以随机试验的样本空间为Ω={(红,红,红),(红,红,黑),(红,黑,红),(红,黑,黑),(黑,红,红),(黑,红,黑),(黑,黑,红),(黑,黑,黑)}.共8个.
4.在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同,现从中随机取出2个小球,则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样本点个数为
( )
A.2
B.4
C.6
D.8
【解析】选B.从5个小球中任取2个,其中数字之差的绝对值为2或4的事件包含(1,3),(1,5),(2,4),(3,5)4个样本点,选B.
5.下列事件中,必然事件是
( )
A.10人中至少有2人生日在同一个月
B.11人中至少有2人生日在同一个月
C.12人中至少有2人生日在同一个月
D.13人中至少有2人生日在同一个月
【解析】选D.一年有12个月,因此无论10、11、12个人都有不在同一月生日的可能,只有13个人时,肯定至少有2人在同一月生日.
6.下列事件是必然事件的是
( )
A.明天太阳从西边升起
B.篮球队员在罚球线上投篮一次,未投中
C.实心铁球会沉入水底
D.抛掷一枚骰子,得到6点
【解析】选C.A是不可能事件,B是随机事件,C是必然事件,D是随机事件.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.将一枚骰子掷两次,若先后出现的点数分别为b,c,则方程x2+bx+c=0有实数根的样本点个数为______.?
【解析】一枚骰子掷两次,先后出现的点数构成的样本点共36个.其中方程有实根的充要条件为b2≥4ac,共有1+2+4+6+6=19个样本点.
b
1
2
3
4
5
6
b2≥4ac样本点个数
0
1
2
4
6
6
答案:19
【补偿训练】
从1,2,3,…30中任意选一个数,这个试验的样本空间为________,“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为________.?
【解析】 这个试验的样本空间为Ω={1,2,3,…,30},是偶数的样本点有2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,共15个.
答案:Ω={1,2,3,…,30} 15
8.同样抛三枚均匀的硬币,则样本点的总个数和恰有2个正面朝上的样本点个数分别为________.?
【解析】由题意,样本点的总个数为23=8,恰好有2个正面朝上的样本点为正正反、正反正、反正正,共3个.
答案:8,3
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.做试验“从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中,不放回地取两次小球,每次取一个,构成有序数对(x,y),x为第一次取到的小球上的数字,y为第二次取到的小球上的数字”.
(1)求这个试验样本点的个数;
(2)写出“第一次取出的小球上的数字是2”这一事件.
【解析】(1)当x=1时,y=2,3,4;当x=2时,y=1,3,4;同理当x=3,4时,也各有3个不同的有序数对,所以共有12个不同的有序数对.故这个试验结果样本点的个数为12.
(2)记“第一次取出的小球上的数字是2”为事件A,则A={(2,1),(2,3),(2,4)}.
10.设有一列北上的火车,已知停靠的站由南至北分别为S1,S2,…,S10站.若甲在S3站买票,乙在S6站买票,设事件样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站,令A表示甲可能到达的站的集合,B表示乙可能到达的站的集合.
(1)写出该事件的样本空间Ω;
(2)写出事件A、事件B;
(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票?
【解析】(1)Ω={S1,S2,S3,S4,S5,S6,S7,S8,S9,S10}.
(2)A={S4,S5,S6,S7,S8,S9,S10}.
B={S7,S8,S9,S10}.
(3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种,从S2站发车的车票共计8种,……,从S9站发车的车票1种,合计9+8+…+2+1=45(种).
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