课时素养检测十八 复数的乘、除运算
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
1.(2020·全国Ⅰ卷)若z=1+i,则|z2-2z|=
( )
A.0
B.1
C.
D.2
【解析】选D.由z=1+i得,z2=2i,2z=2+2i,
所以|z2-2z|=|2i-(2+2i)|=2.
2.(2019·全国卷Ⅱ)设z=i(2+i),则=
( )
A.1+2i
B.-1+2i
C.1-2i
D.-1-2i
【解析】选D.由z=i(2+i)=-1+2i,则=-1-2i.
3.(2018·北京高考)在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选D.复数z==
===+i,
所以z的共轭复数=-i,
对应的点为,位于第四象限.
4.已知i为虚数单位,z=i2
019+i2
020的共轭复数为
( )
A.1+i
B.1-i
C.-1+i
D.-1-i
【解析】选A.因为z=i2
019+i2
020=i4×504+3+i4×505=i3+1=1-i,所以z的共轭复数为1+i.
5.设复数z的共轭复数是,若复数z1=3+4i,z2=t+i,且z1·是实数,则实数t等于
( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选A.因为z2=t+i,所以=t-i.z1·=(3+4i)(t-i)=3t+4+(4t-3)i,
又因为z1·∈R,所以4t-3=0,所以t=.
6.(多选题)对于非零复数a,b,以下四个命题一定为真的有
( )
A.a+≠0
B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.若|a|=|b|,则a=±b
D.若a2=ab,则a=b
【解析】选BD.对于A,取a=-i,则a+=0,A不正确;对于B,对于任意复数a,b,一定有(a+b)2=a2+2ab+b2,
B正确;对于C,取a=1,b=i,|a|=|b|,但a≠±b,C错误;对于D,由a2=ab及a≠0,得a=b,D正确.所以正确的命题是BD.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.(1+i)2-=________.?
【解析】(1+i)2-=2i-=-+i.
答案:-+i
8.(2018·江苏高考)若复数z满足i·z=1+2i,其中i是虚数单位,则z的实部为________.?
【解析】设z=a+bi,则i·(a+bi)
=ai+bi2=ai-b=1+2i,
故a=2,b=-1,故z=2-i,实部为2.
答案:2
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知复数z1=(-1+i)(1+bi),z2=,其中a,b∈R.若z1与z2互为共轭复数,求a,b的值.
【解析】z1=(-1+i)(1+bi)=-1-bi+i-b=(-b-1)+(1-b)i,
z2===
=+i.由于z1和z2互为共轭复数,所以有解得
10.若f(z)=2z+-3i,f(+i)=6-3i,求f(-z).
【解析】因为f(z)=2z+-3i,
所以f(+i)=2(+i)+()-3i
=2+2i+z-i-3i=2+z-2i.
又因为f(+i)=6-3i,所以2+z-2i=6-3i.
设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,
所以2(a-bi)+(a+bi)=6-i,即3a-bi=6-i.
由复数相等的定义,得
解得所以z=2+i,
故f(-z)=2(-2-i)+(-2+i)-3i=-6-4i.
(35分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
1.在复平面内,复数+(1+i)2对应的点位于
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选B.+(1+i)2=+i+(-2+2i)=-+i,对应点在第二象限.
2.设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是
( )
A.若|z1-z2|=0,则=
B.若z1=,则=z2
C.若|z1|=|z2|,则z1·=z2·
D.若|z1|=|z2|,则=
【解析】选D.A项,|z1-z2|=0?z1-z2=0?z1=z2?=,真命题;B项,z1=?=z2,真命题;
C项,|z1|=|z2|?|z1|2=|z2|2?z1·=z2·,真命题;
D项,当|z1|=|z2|时,可取z1=1,z2=i,显然=1,=-1,即≠,假命题.
3.(多选题)下列叙述正确的是
( )
A.方程3x2-2x+1=0的两个根互为共轭虚数
B.设i是虚数单位,则复数i3-=i
C.a=1是复数(a+i)(1-ai)为实数的充要条件
D.a=6是复数为纯虚数的充要条件
【解析】选ABD.方程3x2-2x+1=0的Δ<0,两个根为共轭虚数,选项A正确.
i3-=-i-=-i-=-i+2i=i,选项B正确.
因为复数(a+i)(1-ai)=2a+(1-a2)i为实数的充要条件是a=±1,
所以a=1是复数(a+i)(1-ai)为实数的充分不必要条件,选项C不正确.
因为=,
所以当a=6时,复数为纯虚数,反之成立,选项D正确.
4.已知集合M=,i是虚数单位,Z为整数集,则集合Z∩M中的元素个数是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.由已知得M={-1,-i,0,2},Z为整数集,
所以Z∩M={-1,0,2},即集合Z∩M中有3个元素.
二、填空题(每小题5分,共20分)
5.已知i为虚数单位,则=________.?
【解析】===-1.
答案:-1
6.已知i是虚数单位,z=,则|z|=________.?
【解析】因为==i,
所以z==·
=i1
009·=i4×252+1·=i·=-+i,
|z|=1.
答案:1
7.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应的点分别为A,B,C,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值是________.?
【解析】由已知得=(3,-4),=(-1,2),=(1,-1),根据=λ+μ,得(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ),
所以解得所以λ+μ=1.
答案:1
8.设x,y为实数,且+=,则x+y=________.?
【解析】+=可化为+=,即+i
=+i,由复数相等的充要条件知
所以所以x+y=4.
答案:4
三、解答题(每小题10分,共30分)
9.已知复数z满足|z|=5,且(3+4i)z是纯虚数,求z.
【解析】设z=x+yi(x,y∈R),因为|z|=5,
所以x2+y2=25,又(3+4i)z=(3+4i)(x+yi)
=(3x-4y)+(4x+3y)i是纯虚数,
所以解得或,
所以z=4+3i或z=-4-3i.
10.设z为虚数,求证:z+为实数的充要条件是|z|=1.
【证明】设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),于是z+=a+bi+=a+bi+
=+i,
所以b≠0,(z+)∈R?b-=0?a2+b2
=1?|z|=1.
11.若虚数z同时满足下列两个条件:
①z+是实数;②z+3的实部与虚部互为相反数.
这样的虚数是否存在?若存在,求出z;若不存在,请说明理由.
【解题指南】假设存在虚数满足题意,设虚数的代数形式,代入运算,看解方程组是否有解.
【解析】假设存在虚数z满足题意,设z=a+bi(a,b∈R且b≠0),z+=
a+bi+=a+bi+=+i.
因为z+是实数,所以b-=0.
又因为b≠0,所以a2+b2=5.①
又z+3=(a+3)+bi的实部与虚部互为相反数,
所以a+3+b=0.②
由①②得
解得或
故存在虚数z,z=-1-2i或z=-2-i.
PAGE课时素养检测十七 复数的加、减运算及其几何意义
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
1.已知z1=2+i,z2=1+2i,则复数z=z2-z1对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选B.z=z2-z1=(1+2i)-(2+i)=-1+i,实部小于零,虚部大于零,故位于第二象限.
2.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是
( )
A.-2
B.4
C.3
D.-4
【解析】选B.z=1-(3-4i)=-2+4i.
3.已知复数z1=1+2i,z2=3-4i,若z+z1=z2-z,则复数z=
( )
A.1+3i
B.1-3i
C.2-6i
D.3+4i
【解析】选B.设z=a+bi,a,b∈R,
由复数z1=1+2i,z2=3-4i,且z+z1=z2-z,
得a+bi+1+2i=3-4i-(a+bi),
得(a+1)+(b+2)i=(3-a)+(-4-b)i,
所以a+1=3-a,b+2=-4-b,
得a=1,b=-3,所以z=1-3i.
【一题多解】选B.因为复数z1=1+2i,z2=3-4i,且z+z1=z2-z,所以2z=z2-z1=3-4i-(1+2i)=2-6i,所以z=1-3i.
4.在复平面内,复数1+i和1+3i分别对应向量和,其中O为坐标原点,则||=( )
A.
B.2
C.
D.4
【解析】选B.由复数减法运算的几何意义知,
对应的复数为(1+3i)-(1+i)=2i,
所以||=2.
5.如图,设向量,,所对应的复数为z1,z2,z3,那么
( )
A.z1-z2-z3=0
B.z1+z2+z3=0
C.z2-z1-z3=0
D.z1+z2-z3=0
【解析】选D.由题图可知,+=0,
所以+-=0,所以z1+z2-z3=0.
6.(多选题)下列关于复数的叙述正确的是
( )
A.两个共轭复数的和是实数
B.两个共轭复数的差是虚数
C.两个共轭虚数的和是实数
D.两个共轭虚数的差是虚数
【解析】选ACD.设复数z=a+bi,a,b∈R,则共轭复数=a-bi,所以有z+=2a∈R,z-=2bi,当b=0时,z-是实数,当b≠0时,z-是虚数,A正确,B不正确.设虚数z=a+bi,a,b∈R,且b≠0,则共轭虚数=a-bi,所以有z+=2a∈R,z-=2bi是虚数,C正确,D正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.计算(1-3i)-(2-4i)+(3+5i)=________.?
【解析】(1-3i)-(2-4i)+(3+5i)
=(1-2+3)+(-3+4+5)i=2+6i.
答案:2+6i
8.已知|z|=,且z-2+4i为纯虚数,则z=________.?
【解析】设复数z=x+yi(x,y∈R),
则z-2+4i=(x-2)+(y+4)i.
由题意知 所以或
所以z=2±i.
答案:2±i
【补偿训练】
已知向量和向量对应的复数分别为3+4i和2-i,则向量对应的复数为__________.?
【解析】因为=-,所以对应复数为(2-i)-(3+4i)=-1-5i.
答案:-1-5i
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i所对应的点分别为A,B,C.若=x+y,求x+y的值.
【解析】由于复数z1=-1+2i,z2=1-i,
z3=3-2i所对应的点分别为A,B,C,
所以=-1+2i,=1-i,=3-2i,
因为=x+y,
所以3-2i=x(-1+2i)+y(1-i),
所以解得故x+y=5.
10.已知z1=-3+i,z2=2+6i对应的向量分别为和,以OZ1,OZ2为邻边作平行四边形OZ1CZ2.求向量,,对应的复数.
【解析】由复数加减法的几何意义知,向量对应的复数为z1+z2=(-3+i)+(2+6i)=-1+7i,
向量对应的复数z2-z1=(2+6i)-(-3+i)
=5+5i;
向量对应的复数z1-z2=-5-5i.
(35分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
1.复平面上三点A,B,C分别对应复数1,2i,5+2i,则由A,B,C所构成的三角形
是
( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
【解析】选A.|AB|=|2i-1|=,|AC|=|4+2i|=,|BC|=5,所以|BC|2=|AB|2+
|AC|2.故选A.
2.在复平面上复数-3-2i,-4+5i,2+i所对应的点分别是A,B,C,则平行四边形ABCD的对角线BD所对应的复数是
( )
A.5-9i
B.-5-3i
C.7-11i
D.-7+11i
【解析】选C.在复平面上复数-3-2i,-4+5i,2+i所对应的点分别是A,B,C,则=(-3,-2),=(-4,5),=(2,1),所以平行四边形ABCD的对角线BD满足=+=(-)+(-)=(7,-11),所对应的复数是7-11i.
3.(多选题)设z1,z2∈C,则下列关系正确的是
( )
A.|z1+z2|>|z1|
B.|z1-z2|<|z1|
C.|z1+z2|≤|z1|+|z2|
D.|z1-z2|≤|z1|+|z2|
【解析】选CD.若z2=0时,|z1+z2|=|z1|,|z1-z2|=|z1|,故A,B不正确.
设复数z1,z2对应平面向量,,
当与不共线时,|+|<||+||,当与方向相同时,
|+|=||+||,
故|+|≤||+||,
即|z1+z2|≤|z1|+|z2|,C正确.
当与不共线时,|-|<||+||,当与方向相反时,|-|=||+||,
故|-|≤||+||,
即|z1-z2|≤|z1|+|z2|,D正确.
4.复数z1=1+icos
θ,z2=sin
θ-i,则|z1-z2|的最大值为
( )
A.3-2
B.-1
C.3+2
D.+1
【解析】选D.|z1-z2|=|(1+icos
θ)-(sin
θ-i)|
=
=
=≤=+1.
二、填空题(每小题5分,共20分)
5.复平面内三点A,B,C,点A对应的复数为3-4i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-2i,则点C对应的复数为________.?
【解析】由点A对应的复数为3-4i,向量对应的复数为1+2i,向量对应复数为3-2i,得=+=+-=(3-4i)+(3-2i)-(1+2i)=5-8i,所以点C对应的复数为5-8i.
答案:5-8i
6.复数z=x+yi(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为________.?
【解析】由|z-4i|=|z+2|,得
|x+(y-4)i|=|x+2+yi|,
所以x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,
即x+2y=3,
所以2x+4y=2x+22y≥2=2=4,
当且仅当x=2y=时,2x+4y取得最小值4.
答案:4
7.已知复平面上△AOB的顶点A所对应的复数为1+2i,其重心G所对应的复数为1+i,则|+|=________.?
【解析】复平面上△AOB的顶点A所对应的复数为1+2i,其重心G所对应的复数为1+i,设AB的中点为D,则=,由向量加法的平行四边形法则,得+=2
=3=3+3i,故|+|=3.
答案:3
8.复平面内有A,B,C三点,点A对应的复数是3+i,向量对应的复数是-2-4i,向量对应的复数是-4-i,则B点对应的复数为________.?
【解析】因为表示的复数是2+4i,
表示的复数是4+i,
所以=-=(4+i)-(2+4i)=2-3i,
故=+=(3+i)+(2-3i)=5-2i,
所以B点对应的复数为zB=5-2i.
答案:5-2i
三、解答题(每小题10分,共30分)
9.已知复数z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i,(x,y∈R)
设z=z1-z2=14-11i,求z1+z2.
【解析】由z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R),z=z1-z2=14-11i,
得(5x-3y)+(x+4y)i=14-11i,
所以解得
所以z1=(3x+y)+(y-4x)i=-7i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i=-14+4i,z1+z2=-14-3i.
10.已知z1,z2∈C,|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,
求|z1-z2|.
【解析】方法一:设z1=a+bi,z2=c+di,
其中a,b,c,d∈R,则z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a-c)+(b-d)i,
由|z1|2=|z2|2=1,|z1+z2|2=3,
得a2+b2=1, ①
c2+d2=1,②
(a+c)2+(b+d)2=3,③
将①②代入③,得ac+bd=.
所以|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+b2+c2+d2-2(ac+bd)=1,
所以|z1-z2|=1.
方法二:由z1,z2∈C,|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,根据复数与向量的对应关系以及平行四边形法则可知,z1,z2,z1+z2所对应的点围成菱形ABCD,如图,在△ABC中,由余弦定理,
得cos∠ABC==-,
所以∠ABC=120°,∠BAD=60°,
所以△ABD是等边三角形,
所以=1,即=1.
11.已知平行四边形ABCD中,与对应的复数分别是3+2i与1+4i,两对角线AC与BD相交于P点.
(1)求对应的复数;
(2)求对应的复数;
(3)求△APB的面积.
【解析】(1)由于四边形ABCD是平行四边形,所以=+,于是=-,而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i,即对应的复数是-2+2i.
(2)由于=-,而(3+2i)-(-2+2i)=5,即对应的复数是5.
(3)由于==-=,
==,于是·=-,
而||=,||=,
所以··cos∠APB=-,
因此cos∠APB=-,故sin∠APB=,
故=||||sin∠APB=×××=.即△APB的面积为.
PAGE课时素养检测十六 复数的几何意义
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
1.已知复数z在复平面上对应的点为(1,-1),则( )
A.z=-1+i
B.z=1+i
C.z+i是实数
D.z+i是纯虚数
【解析】选C.因为复数z在复平面上对应的点为(1,-1),所以z=1-i.所以z+i=1-i+i=1,所以z+i是实数.
2.已知z1=5+3i,z2=5+4i,下列选项中正确的是
( )
A.z1>z2
B.z1
C.|z1|>|z2|
D.|z1|<|z2|
【解析】选D.因为复数不能比较大小,所以A,B不正确,又|z1|==
,|z2|==,
所以|z1|<|z2|,故C不正确,D正确.
3.向量对应的复数为z1=-3+2i,对应的复数为z2=1-i,则|+|为
( )
A.
B.
C.2
D.
【解析】选A.因为z1=-3+2i,z2=1-i,
所以=(-3,2),=(1,-1),
则+=(-2,1),
所以|+|==.
4.若i为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z,则等于( )
A.2+I
B.2-i
C.-2+i
D.-2-i
【解析】选B.点Z(2,1)对应复数z=2+i,与z互为共轭复数,对应的两点关于实轴对称,所以=2-i.
5.在复平面内,对应的复数是2+i,对应的复数是-1-3i,则对应的复数为
( )
A.1-2i
B.-1+2i
C.3+4i
D.-3-4i
【解析】选D.由题意知=(2,1),=(-1,-3).=+=(-1,-3)+(-2,-1)=
(-3,-4),所以对应的复数为-3-4i.
6.(多选题)下列关于复数z=a+bi,a,b∈R的说法正确的是
( )
A.=a-bi
B.若=z,则b=0
C.若|z|=0,则z=0
D.若|z|≠0,则ab≠0
【解析】选ABC.由复数z=a+bi,a,b∈R,得=a-bi,选项A正确;若=z,则a+bi
=a-bi,b=-b,所以b=0,选项B正确;若|z|=0,则a2+b2=0,所以a=b=0,z=0,选项C正确;若|z|≠0,则a2+b2≠0,所以a,b至少有一个不为0,选项D不正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知复平面内,点(2cos
300°,2sin
300°)对应的复数为z,则z=________,|z|=________.?
【解析】由点的坐标(2cos
300°,2sin
300°),
得(1,-),对应的复数为z=1-i,|z|=2.
答案:1-i 2
8.复平面上,实轴上的点A(3,0)与虚轴上的点B(0,-4),则向量对应的复数的实部为________,虚部为________.?
【解析】复平面上,实轴上的点A(3,0)与虚轴上的点B(0,-4),则=(-3,-4),对应的复数z=-3-4i的实部为-3,虚部为-4.
答案:-3 -4
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知z=x+yi,x,y∈R,若2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i.
(1)求实数x,y的值;
(2)求.
【解析】(1)因为x,y为实数,所以2x-1,y+1,x-y,-x-y都为实数,
由复数相等的充要条件得
解得
(2)=x-yi=3+2i.
10.已知复数z满足|z+1-i|=1,求|z|的最大值和最小值.
【解析】设复数z对应向量,复数z1=-1+i对应向量,由|z+1-i|=|z-(-1+i)|
=1,得|-|=||=1,所以动点Z的轨迹是以C(-1,1)为圆心,半径为1的圆,所以复数z对应的点的轨迹是以-1+i对应的点C为圆心,以1为半径的圆,画出方程|z+1-i|=1表示的轨迹,如图,
而|z|则表示该圆上的点到原点O的距离,由平面几何知识可知,使圆上的点到原点距离取最大(最小)值的点在直线OC与圆的交点处.
所以|z|最大值为|OC|+r=+1,
最小值为|OC|-r=-1.
(35分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
1.(多选题)设复数z=(2t2+5t-3)+(t2+2t+2)i,t∈R,则以下结论中正确的是( )
A.复数z对应的点在第一象限
B.复数z可能是纯虚数
C.复数z对应的点在实轴上方
D.复数z一定是实数
【解析】选BC.因为z的虚部t2+2t+2=(t+1)2+1恒为正,所以z对应的点在实轴上方,且z一定是虚数,排除D.
又z的实部2t2+5t-3=(t+3)(2t-1)可为正、为零、为负,所以选项A不正确.当t=-3或时B正确.
2.欧拉公式eix=cos
x+isin
x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,e-2i表示的复数在复平面中位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选C.e-2i=cos(-2)+isin(-2),对应点为(cos(-2),sin(-2)),由于-π<-2<-,因此cos(-2)<0,sin(-2)<0,所以点(cos(-2),sin(-2))在第三象限.
3.(多选题)复平面内,下列关于复数的叙述正确的是
( )
A.原点对应的复数是0
B.纯虚数对应的点在虚轴上
C.实轴上的点对应的复数是实数
D.虚轴上的点对应的复数是虚数
【解析】选ABC.复平面内,原点对应的复数是0,选项A正确.纯虚数对应的点在虚轴上,选项B正确.实轴上的点对应的复数是实数,选项C正确.虚轴上除原点以外的点对应的复数是虚数,选项D错误.
4.设复数z=m(3+i)-(2+i)(m∈R,i为虚数单位).在复平面内对应的点不可能位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选B.复数z=(3m-2)+(m-1)i在复平面内的对应点P(3m-2,m-1).
当m>1时P在第一象限;
当m<时P在第三象限;
当当m=时P在y轴上;
当m=1时P在x轴上.
【补偿训练】
设A,B为锐角三角形的两个内角,则复数z=(cos
B-tan
A)+itan
B对应的点位于复平面的
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选B.因为A,B为锐角三角形的两个内角,
所以A+B>,即A>-B,sin
A>cos
B.cos
B-tan
A
=cos
B-B-sin
A<0,
又tan
B>0,
所以点(cos
B-tan
A,tan
B)在第二象限.
二、填空题(每小题5分,共20分)
5.复平面内,点(2,3)对应的复数的共轭复数为______.?
【解析】复平面内,点(2,3)对应的复数z=2+3i,共轭复数为=2-3i.
答案:2-3i
6.复数z1=3与z2=2-i对应的两点间的距离为______.?
【解析】复数z1=3与z2=2-i对应的两点Z1(3,0),Z2(2,-)间的距离为|Z1Z2|==2.
答案:2
7.已知z-|z|=-1+i,则复数z=______.?
【解析】设z=x+yi(x,y∈R),
由题意得x+yi-=-1+i,
即(x-)+yi=-1+i,
所以
解得
所以z=i.
答案:i
8.已知复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点在虚轴上,且z≠0,则a的值为________.?
【解析】由题意,得a2-2a=0,
得a=0或a=2.
当a=2时z=0,与题意不符.
答案:0
三、解答题(每小题10分,共30分)
9.如果复数z=(m2+m-1)+(4m2-8m+3)i(m∈R)对应的点在第一象限,求实数m的取值范围.
【解析】因为复数z对应的点在第一象限.
所以
解得m<或m>.
所以实数m的取值范围为
∪.
10.已知两向量a,b对应的复数分别是z1=-3,z2=-+mi(m∈R),且a,b的夹角为60°,求m的值.
【解析】因为a,b对应的复数分别为z1=-3,z2=
-+mi(m∈R),所以a=(-3,0),b=.
又a,b的夹角为60°,
所以cos
60°=,
即=,解得m=±.
11.设复数z=(2x+a)+(2-x+a)i,x,a∈R,当x在内变化时,求|z|的最小值g(a).
【解析】|z|2=(2x+a)2+(2-x+a)2
=22x+2-2x+2a(2x+2-x)+2a2.
令t=2x+2-x,则t≥2,且22x+2-2x=t2-2.
从而|z|2=t2+2at+2a2-2=(t+a)2+a2-2,
当-a≥2,即a≤-2时,g(a)=;
当-a<2,即a>-2时,g(a)==|a+1|.
综上可知g(a)=
PAGE课时素养检测十五 数系的扩充和复数的概念
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
1.(1+)i的实部与虚部分别是
( )
A.1,
B.1+,0
C.0,1+
D.0,(1+)i
【解析】选C.(1+)i可看作0+(1+)i=a+bi,
所以实部a=0,虚部b=1+.
2.已知复数a2-4+(a+2)i为纯虚数,则实数a=( )
A.-2
B.2
C.±2
D.4
【解析】选B.由纯虚数的定义可知,
解得a=2.
3.已知x-2i=3+2yi(x,y∈R),则x+y=
( )
A.4
B.2
C.3
D.1
【解析】选B.由复数相等的充要条件可知,x=3,
y=-1,所以x+y=3-1=2.
4.复数4-3a-a2i与复数a2+4ai相等,则实数a的值为
( )
A.1
B.1或-4
C.-4
D.0或-4
【解析】选C.由复数相等的充要条件得解得:a=-4.
5.以复数z=3-4i的实部为虚部,虚部为实部的复数为
( )
A.3-4i
B.-3+4i
C.-4+3i
D.4-3i
【解析】选C.由于复数z=3-4i=3+(-4)i的实部为3,虚部为-4,所求复数为-4+3i.
6.(多选题)若i是虚数单位,则下列结论正确的是
( )
A.是分数
B.i是无理数
C.-i2不是虚数
D.若a∈R,则(a2+1)i是虚数
【解析】选CD.由于i是虚数单位,则,i都是虚数,A,B都不正确;-i2=1是实数,不是虚数,C正确;若a∈R,则a2+1≥1,所以(a2+1)i是虚数,D正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.若复数z=a2-3+2ai的实部与虚部互为相反数,则实数a的值为________.?
【解析】由条件知a2-3+2a=0,所以a=1或a=-3.
答案:1或-3
8.已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),若z<0,则k的值为________.?
【解析】因为复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),若z<0,则k2-5k+6=0,k2-3k<0,解得k1=2,k2=3(舍去).
答案:2
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知复数z=+i,(m∈R)是虚数,求实数m的取值范围.
【解析】因为复数z=+i,(m∈R)是虚数,所以,解得m<0或m>1且m≠-2.
所以实数m的取值范围是(-∞,-2)∪(-2,0)∪(1,+∞).
10.当实数m为何值时,复数z=+(m2-2m)i分别为:
(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?
【解析】(1)当即m=2时,复数z为实数.
(2)当即m≠0且m≠2时,复数z为虚数.
(3)当即m=-3时,复数z为纯虚数.
(35分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
1.复数z=2-i的实部与虚部的差为
( )
A.-1
B.1
C.2
D.3
【解析】选D.复数z=2-i=2+(-1)i的实部为2,虚部为-1,所以复数的实部与虚部的差为3.
2.如果C,R,I分别表示复数集、实数集和纯虚数集,其中C为全集,则
( )
A.C=R∪I
B.R∪I={0}
C.R=C∩I
D.R∩I=?
【解析】选D.复数包括实数和虚数,所以实数集与纯虚数集无交集.所以R∩I=?.故选D.
3.(多选题)下列命题中为真命题的是
( )
A.复数一定是虚数
B.实数一定是复数
C.复数的平方数一定是非负实数
D.实数的虚部为0,纯虚数的实部为0,虚部不为0
【解析】选BD.因为实数和虚数统称为复数,所以复数不一定是虚数,A是假命题;实数一定是复数,B是真命题;由于i2=-1,复数的平方数可以是负实数,C是假命题;实数的虚部为0,纯虚数的实部为0,虚部不为0,D是真命题.
4.若xi-i2=y+2i,x,y∈R,则复数x+yi=
( )
A.-2+i
B.2+i
C.1-2i
D.1+2i
【解析】选B.因为i2=-1得xi-i2=1+xi.
由题意得1+xi=y+2i,
所以x=2,y=1.故x+yi=2+i.
二、填空题(每小题5分,共20分)
5.方程(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0的实数解x=________.?
【解析】方程可化为解得x=2.
答案:2
6.复数2i,3-i,3-i2,i-1中,不同于另外三个的一个复数是______.?
【解析】复数2i,3-i,3-i2,i-1中,3-i2=4是实数,不同于其他三个虚数.
答案:3-i2
7.若a-2i=bi+1(a,b∈R),则b+ai=________.?
【解析】根据复数相等的充要条件,得
所以b+ai=-2+i.
答案:-2+i
8.若复数z=(a+1)+(1-a)i(a∈R)的实部与虚部都大于0,则实数a的取值范围是________.?
【解析】由a+1>0,1-a>0,解得-1答案:(-1,1)
三、解答题(每小题10分,共30分)
9.已知x是实数,y是纯虚数,且满足(3x-10)+i=y-3i,求x与y.
【解析】设y=bi(b∈R且b≠0),代入(3x-10)+i=y-3i,整理得(3x-10)+i=bi-3i,
由复数相等的充要条件得
解得所以x=,y=4i.
10.设复数z=(m2+2m-3)+(m-1)i,试求实数m取何值时,满足
(1)z是实数;
(2)z是纯虚数.
【解题指南】(1)复数为实数需满足虚部为零.(2)纯虚数需满足实部为零且虚部不为零.
【解析】(1)由m-1=0得m=1,即m=1时z是实数.
(2)由
解得m=-3,即m=-3时z是纯虚数.
11.定义运算=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=,求实数x,y的值.
【解析】由定义运算=ad-bc,
得=3x+2y+yi,
故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi.
因为x,y为实数,所以有
得
得x=-1,y=2.
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