课时素养检测三十七 总体集中趋势的估计 总体离散程度的估计
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
1.一个样本a,3,5,7的平均数是b,且a,b是方程x2-5x+4=0的两根,则这个样本的方差是
( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】选C.x2-5x+4=0的两根是1,4.显然a=1,b=4.故方差s2=×[(1-4)2+
(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2]=5.
2.设样本数据x1,x2,…,x10的平均数和方差分别为1和4,若yi=xi+a(a为非零常数,i=1,2,…,10),则y1,y2,…,y10的平均数和方差分别为
( )
A.1+a,4
B.1+a,4+a
C.1,4
D.1,4+a
【解析】选A.因为x1,x2,…,x10的平均数=1,方差=4,且yi=xi+a(a为非零常数,i=1,2,…,10),所以y1,y2,…,y10的平均数=·(y1+y2+…+y10)=·(x1+x2
+…+x10+10a)=·(x1+x2+…+x10)+a=+a=1+a,其方差=·[(y1-)2+(y2-
)2+…+(y10-)2]=[(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2]==4.
3.某班有50名学生,在一次考试中统计出平均分数为70,方差为75,后来发现有2名学生的成绩统计有误,学生甲实际得分是80分却误记为60分,学生乙实际得分是70分却误记为90分,更正后的平均分数和方差分别是
( )
A.70和50
B.70和67
C.75和50
D.75和67
【解析】选B.设更正前甲、乙、……的成绩依次为a1,a2,…,a50,
则a1+a2+…+a50=50×70,即60+90+a3+…+a50=50×70,
(a1-70)2+(a2-70)2+…+(a50-70)2=50×75,即102+202+(a3-70)2+…+(a50-70)2=50×75,
更正后平均分为=×(80+70+a3+…+a50)=70;
方差为s2=×[(80-70)2+(70-70)2+(a3-70)2+…+(a50-70)2]
=×[100+(a3-70)2+…+(a50-70)2]=×(100+50×75-102-202)=67.
4.(多选题)有一笔统计资料,共有11个数据如下(不完全以大小排列):2,4,4,
5,5,6,7,8,9,11,x,已知这组数据的平均数为6,则下列说法正确的是
( )
A.x=5
B.这组数据的众数是4
C.这组数据的方差是6
D.这组数据的中位数是8
【解析】选AC.因为=×(2+4+4+5+5+6+7+8+9+11+x)=×(61+x)=6,所以x=5.
方差为s2===6.这组数据的众数是5
,中位数是5.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.一组数据的平均数是28,方差是4,若将这组数据中的每一个数据都加上20,得到一组新数据,则所得新数据的平均数是________,方差是________.?
【解析】设该组数据为x1,x2,…,xn;则新数据为x1+20,x2+20,…,xn+20;
因为==28,所以′=
=20+28=48.
因为s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2],
所以s′2={[x1+20-(+20)]2+[x2+20-(+20)]2+…+[xn+20-(+20)]2}=s2=4.
答案:48 4
【补偿训练】
在一组数据中,共有10个数,其中3出现2次,9出现4次,-3出现1次,5出现3次,则这组数据的平均数为________.?
【解析】3出现2次,其和为6,9出现4次,其和为36,-3出现1次,其和为-3,5出现3次,其和为15,则这10个数据之和为6+36-3+15=54,则这组数据的平均数==5.4.
答案:5.4
6.样本中共有五个个体,其值分别为a,0,1,2,3,若该样本平均数为1,则样本方差为________.?
【解析】因为样本的平均数为1,所以×(a+0+1+2+3)=1,解得a=-1.
所以样本的方差为×[(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=2.
答案:2
【补偿训练】
五个数1,2,3,4,a的平均数是3,则a=______,这五个数的标准差是______.?
【解析】由=3,得a=5;
由s2=[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=2,得标准差s=.
答案:5
三、解答题
7.(10分)(2019·全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液,每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到直方图如图:
记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.
(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值.
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
【解析】(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,
故a=0.35.b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.
(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.
【补偿训练】
从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:
质量指标值分组
[75,85)
[85,95)
[95,105)
[105,115)
[115,125]
频数
6
26
38
22
8
(1)在下图中作出这些数据的频率分布直方图:
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定?
【解析】(1)由频率分布表直接画出频率分布直方图:
(2)质量指标值的样本平均数为:
=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100.
质量指标值的样本方差为:
s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68.由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
1.某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9(x,y∈N),已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x-y|的值为
( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【解析】选A.由这组数据的平均数为10,方差为2,可得x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8,因为不要直接求出x,y,只要求出|x-y|,设x=10+t,y=10-t,
由(x-10)2+(y-10)2=8得t2=4,
所以|x-y|=2|t|=4.故选A.
【补偿训练】
样本101,98,102,100,99的标准差为
( )
A. B.0 C.1 D.2
【解析】选A.样本平均数=100,方差为s2=2,
所以标准差s=.
2.甲、乙两人在相同的条件下投篮5轮,每轮甲、乙各投篮10次,投篮命中次数的情况如图所示(实线为甲的折线图,虚线为乙的折线图),则以下说法错误的是
( )
A.甲投篮命中次数的众数比乙的小
B.甲投篮命中次数的平均数比乙的小
C.甲投篮命中次数的中位数比乙的大
D.甲投篮命中的成绩比乙的稳定
【解析】选B.由折线图可知,甲投篮5轮,命中的次数分别为5,8,6,8,8,
乙投篮5轮,命中的次数分别为3,7,9,5,9,
则甲投篮命中次数的众数为8,乙投篮命中次数的众数为9,所以A正确;
甲投篮命中次数的平均数为7,乙投篮命中次数的平均数为6.6,所以B不正确;
甲投篮命中次数的中位数为8,乙投篮命中次数的中位数为7,所以C正确;
甲投篮命中次数的数据集中在平均数的左右,方差较小,乙投篮命中次数的数据比较分散,方差较大,所以甲的成绩更稳定一些,所以D正确.
3.为了解某校一次期中考试数学成绩情况,抽取100位学生的数学成绩,得如图所示的频率分布直方图,其中成绩分组区间是[40,50),[50,60),[60,70),
[70,80),[80,90),[90,100]
,则估计该次数学成绩的中位数是
( )
A.71.5
B.71.8
C.72
D.75
【解析】选C.[40,50)的频率为:0.004×10=0.04;
[50,60)的频率为:a×10=10a;
[60,70)的频率为:0.03×10=0.3;
[70,80)的频率为:0.04×10=0.4;
[80,90)的频率为:0.01×10=0.1;
[90,100]的频率为:a×10=10a.
所以0.04+10a+0.3+0.4+0.1+10a=1,
得:a=0.008.
[40,50),[50,60),[60,70)的频率和为:0.04+0.08+0.3=0.42.
由=,得中位数为:70+×10=72.
【补偿训练】
如图是一个容量为100的样本的重量频率分布直方图,则由图可估计样本重量的中位数为________.
?
【解析】根据频率分布直方图,
得0.06×5=0.3<0.5,0.3+0.1×5>0.5,
令0.3+0.1x=0.5,解得x=2,所以中位数是10+2=12.
答案:12
4.(多选题)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则下列说法正确的是
( )
A.甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数
B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
【解析】选AC.甲的平均数:(4+5+6+7+8)=6,乙的平均数:(5×3+6+9)=6,甲的成绩的方差为2,乙的成绩的方差为2.4.甲、乙的极差均为4,故AC正确.由图知甲的中位数为6,乙的中位数为5,所以B错,甲的成绩的极差为8-4=4,乙的成绩的极差为9-5=4,甲乙的极差相等,所以D错.
二、填空题(每小题5分,共20分)
5.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是________.?
【解析】样本数据的平均数为5.1,所以方差为
s2=×[(4.7-5.1)2+(4.8-5.1)2+(5.1-5.1)2+(5.4-5.1)2+(5.5-5.1)2]
=×[(-0.4)2+(-0.3)2+02+0.32+0.42]
=×(0.16+0.09+0.09+0.16)=×0.5=0.1.
答案:0.1
6.若6个数的标准差为2,平均数为1,则这6个数的平方和为______.?
【解析】由
s==
即2=得++…+=30.
答案:30
7.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为________.?
【解析】设5个班级中参加的人数分别为x1,x2,x3,x4,x5,则由题意知=7,(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2=20,五个整数的平方和为20,则必为0+1+1+9+9=20,
由|x-7|=3可得x=10或x=4.由|x-7|=1可得x=8或x=6,由上可知参加的人数分别为4,6,7,8,10,故最大值为10.
答案:10
8.某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.
则:(1)平均命中环数为________;?
(2)命中环数的标准差为________.?
【解析】(1)=(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7.
(2)s2=[(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(4-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2+(4-7)2]=4,所以s=2.
答案:(1)7 (2)2
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.某中学举行电脑知识竞赛,现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组,绘制成如图所示的频率分布直方图,已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.
求:(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数;
(2)高一参赛学生的平均成绩.
【解析】(1)由图可知众数为65,因为第一个小矩形的面积为0.3,所以设中位数为60+x,则0.3+x×0.04=0.5,得x=5,所以中位数为60+5=65.
(2)依题意,平均成绩为55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67,故平均成绩约为67.
10.某纺织厂订购一批棉花,其各种长度的纤维所占的比例如表所示:
纤维长度/厘米
3
5
6
所占的比例(%)
25
40
35
(1)请估计这批棉花纤维的平均长度与方差;
(2)如果规定这批棉花纤维的平均长度为4.90厘米,方差不超过1.200平方厘米,两者允许误差均不超过0.10视为合格产品.请你估计这批棉花的质量是否合格?
【解析】(1)=3×25%+5×40%+6×35%=
4.85(厘米).
s2=(3-4.85)2×0.25+(5-4.85)2×0.4+(6-4.85)2×0.35=1.327
5(平方厘米).
由此估计这批棉花纤维的平均长度为4.85厘米,方差为1.327
5平方厘米.
(2)因为4.90-4.85=0.05<0.10,1.327
5-1.200=0.127
5>0.10,故棉花纤维长度的平均值达到标准,但方差超过标准,所以可认为这批产品不合格.
PAGE课时素养检测三十六 总体取值规律的估计 总体百分位数的估计
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
1.下面是两户居民家庭全年各项支出的统计图.
根据统计图,下列对两户教育支出占全年总支出的百分比作出的判断中,正确的是
( )
A.甲户比乙户大
B.乙户比甲户大
C.甲、乙两户一样大
D.无法确定哪一户大
【解析】选B.条形统计图反映具体数值,则由图甲可知,甲户教育支出占全年总支出的百分比为1
200÷(1
200+2
000+1
200+1
600)×100%=20%;从扇形统计图乙可知,乙户教育支出占全年总支出的百分比为25%.所以乙户比甲户大.
2.从一堆苹果中任取10个,称得它们的质量如下(单位:g):125 120 122 105 130 114 116 95 120 134,则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为
( )
A.0.2
B.0.3
C.0.4
D.0.5
【解析】选C.该题考查频率的计算公式.
在[114.5,124.5)范围内的频数m=4,样本容量n=10,所以所求频率为=0.4.
3.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精含量在
80
mg/100
mL以上(含80)时,属醉酒驾车.某地对涉嫌酒后驾车的28
800人进行血液检测,根据检测结果绘制的频率分布直方图如图.则这28
800人中属于醉酒驾车的人数约为
( )
A.8
640
B.5
760
C.4
320
D.2
880
【解析】选C.由题图可知,血液中酒精含量在80
mg/100
mL以上(含80)的频率为0.15,则人数为28
800×0.15=4
320.
4.(多选题)容量为100的样本数据分布在[2,18]中,分组列表后得到如下频率分布直方图.对于下列说法,正确的选项有
( )
A.样本数据分布在[6,10)的频率为0.32
B.样本数据分布在[10,14)的频数为40
C.样本数据分布在[2,10)的频数为40
D.估计总体数据大约有10%分布在[10,14)
【解析】选ABC.总体数据分布在[10,14)的频率为=40%.故D错.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.巴西世界杯足球赛门票面向全球发行时,某售票窗口在3月1日至8日的售票情况如图所示,由图可知,售票最多的日期是________;售票最少的日期是________;前4天共售票为________张.?
【解析】由题图可知,售票最多的日期是3月2日;最少的日期是3月3日与3月7日;前4天共售票8+14+7+12=41(张).
答案:3月2日 3月3日与3月7日 41
【补偿训练】
如图,在某路段检测点,对200辆汽车的车速进行检测,检测结果表示为如图频率分布直方图,则车速不小于90
km/h
的汽车约有______辆.
?
【解析】频率=×组距=(0.02+0.01)×10=0.3,频数=频率×样本总数=200×0.3=60.
答案:60
6.某电子商务公司对10
000名网络购物者某年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.
(1)直方图中的a=__________;
?
(2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为__________.
?
【解析】(1)由频率分布直方图及频率和等于1可得
0.2×0.1+0.8×0.1+1.5×0.1+2×0.1+2.5×0.1+a×0.1=1,解得a=3.
(2)消费金额在区间[0.5,0.9]内频率为0.2×0.1+0.8×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10
000=
6
000.
答案:(1)3 (2)6
000
【补偿训练】
为了解电视对生活的影响,一个社会调查机构就平均每天看电视的时间调查了某地10
000名居民,并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图所示).为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这10
000人中再用分层随机抽样方法抽出100人做进一步调查,则在[2.5,3)(h)时间段内应抽出的人数是
( )
A.25 B.30
C.50 D.75
【解析】选A.在[2.5,3)上频率为0.5×0.5=0.25,应抽100×0.25=25(人).
三、解答题
7.(10分)为了了解学生参加体育活动的情况,某校对学生进行了随机抽样调查,其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少”,共有4个选项可供选择:
A.1.5小时以上
B.1～1.5小时
C.0.5～1小时
D.0.5小时以下
如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图,请你根据统计图中提供的信息解答以下问题:
(1)本次一共调查了多少名学生?
(2)在图(1)中将选项B对应的部分补充完整;
(3)若该校有3
000名学生,你估计全校有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下?
【解析】(1)由题图(1)知,选A的人数为60,而题图(2)显示,选A的人数占总人数的30%,故本次调查的总人数为60÷30%=200.
(2)由题图(2)知,选B的人数占总人数的50%,因此其人数为200×50%=100,题图(1)补充如图所示:
(3)根据题图(2)知:平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下的人数占统计人数的5%,以此估计得3
000×5%=150(人).
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
1.从某批零件中随机抽出40个检查,发现合格产品有36个,则该批产品的合格率为
( )
A.36% B.72% C.90% D.25%
【解析】选C.用样本的合格率近似代替总体的合格率为×100%=90%.
【补偿训练】
一个容量为20的样本数据,分组及各组的频数如下:[10,20),2;[20,30),
3;[30,40),4;[40,50),5;[50,60),4;[60,70],2,则样本在区间[20,60)上的频率是
( )
A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8
【解析】选D.频率====0.8.
2.如图是60名学生参加数学竞赛的成绩(均为整数)的频率分布直方图,估计这次数学竞赛的及格率(60分及以上为及格)是
( )
A.0.9
B.0.75
C.0.8
D.0.7
【解析】选B.大于或等于60分的共四组,它们是:[59.5,69.5),[69.5,79.5),
[79.5,89.5),[89.5,99.5].分别计算出这四组的频率,如[79.5,89.5)这一组的矩形的高为0.025.
直方图中的各个矩形的面积代表了频率,
则[79.5,89.5)这一组的频率=0.025×10=0.25.
同样可得,60分及以上的频率=(0.015+0.03+0.025+0.005)×10=0.75.
估计这次数学竞赛的及格率(大于或等于60分为及格)为0.75.
3.某大学对1
000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计,得到样本频率分布直方图(如图),则这1
000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于70分的学生数是
( )
A.300
B.400
C.500
D.600
【解析】选D.依题意得,题中的1
000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于70分的学生数是1
000×(0.035+0.015+0.010)×10=600.
【补偿训练】
某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分成6组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为
( )
A.588 B.480 C.450 D.120
【解析】选B.不少于60分的学生的频率为(0.030+0.025+0.015+0.010)×10=0.8,所以该模块测试成绩不少于60分的学生人数应为600×0.8=480.
4.(多选题)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论正确的是
( )
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
【解析】选BCD.由题图可知2014年8月到9月的月接待游客量在减少,故A错误.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.将容量为n的样本中的数据分成5组,绘制频率分布直方图,若第1至第5个长方形的面积之比为3∶3∶6∶2∶1,且最后两组数据的频数之和等于20,则n的值等于________.?
【解析】由题意,得=,即n=100.
答案:100
6.为了解某校高三学生的身体状况,用分层随机抽样的方法抽取部分男生和女生的体重,将男生体重数据整理后,画出了频率分布直方图,已知图中从左到右前三个小组频率之比为1∶2∶3,第二小组频数为12,若全校男、女生比例为3∶2,则全校抽取学生数为________.?
【解析】第四组与第五组的频率和为(0.012
5+0.037
5)×5=0.25,
因为从左到右前三个小组频率之比为1∶2∶3,第二小组频数为12,
所以前三个小组的频数为36,从而男生有=48(人).
因为全校男、女生比例为3∶2,所以全校抽取学生数为48×=80.
答案:80
【补偿训练】
某公司为了改善职工的出行条件,随机抽取100名职工,调查了他们的居住地与公司间的距离d(单位:km).由其数据绘制的频率分布直方图如图所示,则样本中职工居住地与公司间的距离不超过4
km的人数为______.?
【解析】不超过4
km的频率为(0.1+0.14)×2=0.48,故样本中职工居住地与公司间的距离不超过4
km的人数有0.48×100=48(人).
答案:48
三、解答题
7.(10分)某高校在2019年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如表所示:
组号
分组
频数
频率
第1组
[160,165)
5
0.05
第2组
[165,170)
①
0.35
第3组
[170,175)
30
②
第4组
[175,180)
20
0.20
第5组
[180,185]
10
0.10
合计
100
1.00
(1)请先求出频率分布表中①②处应填写的数据,并完成如图所示的频率分布直方图;
(2)为了选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层随机抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试,求第3,4,5组每组各应抽取多少名学生进入第二轮面试.
【解析】(1)由题意可知,第2组的频数为0.35×100=35,第3组的频率为=0.30,故①处填35,②处填0.30.
频率分布直方图如图所示.
(2)因为第3,4,5组共有60名学生,
所以利用分层随机抽样在60名学生中抽取6名学生,抽样比为=,
故第3组应抽取30×=3(名)学生,
第4组应抽取20×=2(名)学生,
第5组应抽取10×=1(名)学生,
所以第3,4,5组应抽取的学生人数分别为3,2,1.
【补偿训练】
对某班50人进行智力测验,其得分如下:
48,64,52,86,71,48,64,41,86,79,71,68,82,
84,68,64,62,68,81,57,90,52,74,73,56,78,
47,66,55,64,56,88,69,40,73,97,68,56,67,
59,70,52,79,44,55,69,62,58,32,58.
(1)这次测试成绩的最大值和最小值各是多少?
(2)将[30,100)平分成7个小区间,试画出该班学生智力测验成绩的频数分布图.
(3)分析这个频数分布图,你能得出什么结论?
【解析】
(1)最小值是32,最大值是97.
(2)7个区间分别是[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),
[80,90),[90,100],每个小区间的长度是10,统计出各小区间内的数据频数,列表如下:
区间
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100)
频数
1
6
12
14
9
6
2
频数分布图如图所示.
(3)可以看出,该班智力测验成绩大体上呈两头小、中间大、左右对称的钟形状态,说明该班学生智力特别好或特别差的是极少数,而智力一般的是多数,这是一种最常见的分布.
PAGE课时素养检测三十五 分层随机抽样
(20分钟 45分)
一、选择题(每小题5分,共25分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
1.某城市有大型、中型与小型超市共1
500个,它们的个数之比为1∶5∶9,为调查超市每日的零售额情况,需通过分层随机抽样抽取30个超市进行调查,那么抽取的小型超市个数为
( )
A.5 B.9 C.18 D.20
【解析】选C.小型超市的总个数占超市总数的=,则抽取的小型超市的个数占样本容量的,故抽取的小型超市的个数为30×=18.
2.某单位共有老、中、青职工430人,其中有青年职工160人,中年职工人数是老年职工人数的2倍.为了解职工身体状况,现采用分层随机抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工32人,则该样本中的老年职工人数为
( )
A.9
B.18
C.27
D.36
【解析】选B.设该单位老年职工有x人,则160+3x=430?x=90,即老年职工有90人,设样本中的老年职工人数为y,则=?y=18.
【补偿训练】
某单位有职工161人,其中业务员有104人,管理人员33人,后勤服务人员24人,现用分层随机抽样法从中抽取一个容量为20的样本,则抽取管理人员
( )
A.3人 B.4人 C.5人 D.13人
【解析】选B.由于=8,故从管理人员中剔除1人,从而抽样比为,则抽取的管理人员为32×=4(人).
3.某企业有3个分厂生产同一种电子产品,第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1,用分层随机抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试,由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980
h,1
020
h,1
032
h,则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为
( )
A.1
011
h
B.1
012
h
C.1
013
h
D.1
014
h
【解析】选C.利用分层随机抽样可知,从3个分厂抽出的100个电子产品中,每个厂中的产品个数比也为1∶2∶1,故分别有25,50,25个.再由三个厂算出的平均值可得抽取的100件产品的总的平均寿命为=
1
013(h).
4.在120个零件中,一级品24个,二级品36个,三级品60个,用分层随机抽样方法从中抽取样本量为20的样本,则每个个体被抽取的可能性是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.在分层随机抽样方法中,每个个体被抽取的可能性都相等,且为,所以每个个体被抽取的可能性是=.
5.(多选题)一个单位有职工800人,其中具有高级职称的160人,具有中级职称的320人,具有初级职称的200人,其余人员120人,为了解职工收入情况,决定采用分层随机抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则下列抽取正确的是
( )
A.高级职称抽取8人
B.中级职称抽取16人
C.初级职称抽取10人
D.其余人员抽取6人
【解析】选ABCD.抽样比例为=,故各层中依次抽取的人数为160×=8(人),
320×=16(人),200×=10(人),120×=6(人).
二、填空题(每小题5分,共10分)
6.国家全面实施“二孩”政策后,某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动.已知该中学所在的城镇符合“二孩”政策的已婚女性中,30岁以下的约2
400人,30岁至40岁的约3
600人,40岁以上的约6
000人.为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异,该社团用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为N的样本进行调查,已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60,则N=______.
?
【解析】由题意可得=,解得N=200.
答案:200
7.某公司生产三种型号的轿车,产量分别是1
200辆,6
000辆和2
000辆,为检验该公司的产品质量,现用分层随机抽样的方法抽取46辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取______辆、______辆、______辆.?
【解析】三种型号的轿车共9
200辆,抽取样本为46辆,则按=的比例抽样,所以依次应抽取1
200×=6(辆),6
000×=30(辆),2
000×=10(辆).
答案:6 30 10
三、解答题
8.(10分)某学校高一年级有x名学生,高二年级有300名学生,高三年级有y名学生,采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为45的样本,高一年级被抽取20人,高三年级被抽取10人,问:这个学校共有高中学生多少人?高一、高三年级各有多少人?
【解析】由条件知,高二年级被抽取45-20-10=15(人),设这个学校共有高中学生N人,高一年级有x人,高三年级有y人,
则300×=15,解得N=900.
因此,x=20,y=10,即x=400,y=200.
故全校共有高中学生900人,高一年级有400人,高三年级有200人.
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
1.某校高一年级有900名学生,其中女生400名.按男女比例用分层随机抽样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为
( )
A.15 B.20 C.25 D.30
【解析】选C.设应抽取的男生人数为x,
则=,解得x=25.
【补偿训练】
某医学院有四个饲养房,分别养有18,54,24,48只白鼠供实验用.某项实验需抽取24只,你认为最合适的抽样方法为
( )
A.在每个饲养房各抽取6只
B.把所有白鼠都加上编有不同号码的颈圈,用随机抽样法确定24只
C.在四个饲养房分别随手提出3,9,4,8只
D.先确定在这四个饲养房应分别抽取3,9,4,8只,再由各饲养房自己加号码颈圈,用简单随机抽样法确定各自抽取的对象
【解析】选D.A中对四个饲养房抽取的白鼠平均分,但由于各饲养房所养数量不一,反而造成了各个个体入选的可能性不相等,是错误的方法.
B中保证了各个个体入选的可能性相等,但由于没有注意到处在四个不同环境会产生不同差异,不如采用分层随机抽样可靠性高,且统一编号、统一选择加大了工作量.
C中总体采用了分层随机抽样,但在每个层次中抽取时有一定的主观性,貌似随机,实则各个个体被抽到的可能性无法保证相等.
2.某校有1
700名高一学生,1
400名高二学生,1
100名高三学生,高一数学兴趣小组欲采用分层随机抽样的方法在全校抽取42名学生进行某项调查,则下列说法正确的是
( )
A.高一学生被抽到的概率最大
B.高三学生被抽到的概率最大
C.高三学生被抽到的概率最小
D.每名学生被抽到的概率相等
【解析】选D.无论采用哪种抽样,每个个体被抽到的概率相等,故每位学生被抽到的概率相等.故选D.
3.分层随机抽样是将总体分成若干个互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,组成一个样本的抽样方法.在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”其译文为:今有甲持560钱,乙持350钱,丙持180钱,甲、乙、丙三人一起出关,关税共100钱,要按照个人带多少钱的比例进行交税,问三人各应付多少税?则下列说法错误的是( )
A.甲应付51钱
B.乙应付32钱
C.丙应付16钱
D.三者中甲付的钱最多,丙付的钱最少
【解析】选B.由分层随机抽样方法可知,抽样比为=,
则甲应付×560=51(钱);
乙应付×350=32(钱);
丙应付×180=16(钱).故选B.
【补偿训练】
为了了解A,B,C三个贫困县60岁以上老年人的身体状况,现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为1
200的样本,A,B,C三个县60岁以上老年人数之比依次为k∶5∶3,已知从A县60岁以上老年人中抽取了240人,则在C县的60岁以上的老年人中应抽取人数为
( )
A.280 B.300 C.360 D.420
【解析】选C.因为在A县60岁以上的老年人中抽取240人,即抽样比为=,所以=,解得k=2.故应从C县60岁以上老年人中抽取1
200×=
360(人).
4.(多选题)某单位有职工100人,不到35岁的有45人,35岁到49岁的有25人,剩下的为50岁以上(包括50岁)的人,用分层随机抽样的方法从中抽20人,下列说法正确的有
( )
A.不到35岁的抽9人
B.35岁到49岁的抽7人
C.50岁以上(包括50岁)的抽6人
D.三层的抽样比可以不同,每一层必须等可能抽样
【解析】选AC.三层的抽样比必须相同.
由于样本容量与总体个体数之比为=,
故各年龄段抽取的人数依次为45×=9(人),
25×=5(人),20-9-5=6(人).
二、填空题(每小题5分,共20分)
5.一工厂生产了16
800件某种产品,它们分别来自甲、乙、丙3条生产线.为检查这批产品的质量,决定采用分层随机抽样的方法进行抽样,已知从甲、乙、丙3条生产线抽取的产品个数分别是a,b,c,且2b=a+c,则乙生产线生产了________件产品.?
【解析】设甲、乙、丙3条生产线各生产了T甲,T乙,T丙件产品,则a∶b∶c=T甲∶
T乙∶T丙,即==.又2b=a+c,所以
所以T乙==5
600.
答案:5
600
6.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如表(每名同学只参加一个小组)(单位:人).
篮球组
书画组
乐器组
高一
45
30
a
高二
15
10
20
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查,按小组分层随机抽样的方法,从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人,结果篮球组被抽出12人,则a的值为______.?
【解析】由题意知=,
解得a=30.
答案:30
【补偿训练】
某校对全校男女学生共1
600名进行健康调查,选用分层随机抽样法抽取一个容量为200的样本.已知女生比男生少抽了10人,则该校的女生人数应是________.
?
【解析】由已知得男生抽了105人,女生抽了95人,设女生人数为x,则有=,所以x=760.
答案:760
7.某企业三月中旬生产A,B,C三种产品共3
000件,根据分层随机抽样的结果,该企业统计员制作了如下的统计表:
由于疏忽,表格中A,C产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10.根据以上信息,可得C产品有________件.
?
【解析】设C产品的数量为x,则A产品的数量为(1
700-x),C产品的样本容量为a,则A产品的样本容量为(10+a),由分层随机抽样的定义可知==,解得x=800.
答案:800
8.经问卷调查,某班学生对摄影分别执“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度,其中执“一般”态度的比“不喜欢”的多12人,按分层随机抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影,如果选出的是5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学,那全班学生中“喜欢”摄影的______人,全班共有________人.?
【解析】设班里“喜欢”的有y人,“一般”的有x人,“不喜欢”的有(x-12)人,则=,解得x=18.
因为=,所以y=30.所以全班共有30+18+6=54(人).
答案:30 54
三、解答题
9.(10分)山东某高中针对学生发展要求,开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团,已知报名参加这两个社团的学生共有800人,按照要求每人只能参加一个社团,各年级参加社团的人数情况如表:
高一年级
高二年级
高三年级
泥塑
a
b
c
剪纸
x
y
z
其中x∶y∶z=5∶3∶2,且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的,为了了解学生对两个社团活动的满意程度,从中抽取一个50人的样本进行调查,则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取多少人.
【解析】方法一:因为“泥塑”社团的人数占总人数的,故“剪纸”社团的人数占总人数的,所以“剪纸”社团的人数为800×=320.因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为==,所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×=96.
由题意知,抽样比为=,所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为96×=6.
方法二:因为“泥塑”社团的人数占总人数的,故“剪纸”社团的人数占总人数的,所以抽取的50人的样本中,“剪纸”社团中的人数为50×=20.
又“剪纸”社团中高二年级人数比例为==,所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为20×=6.
PAGE课时素养检测三十四 简单随机抽样
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
1.在“世界读书日”前夕,为了了解某地5
000名居民某天的阅读时间,从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析,则在这个问题中,5
000名居民的阅读时间的全体是
( )
A.总体
B.个体
C.样本量
D.从总体中抽取的一个样本
【解析】选A.由题目条件可知,5
000名居民的阅读时间的全体是总体,其中1名居民的阅读时间是个体,从5
000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本,样本量是200.故选A.
2.为了了解全校240名高一学生的身高情况,从中抽取40名学生进行测量.下列说法正确的是
( )
A.总体是240名
B.个体是每一个学生
C.样本是40名学生
D.样本容量是40
【解析】选D.在这个问题中,总体是240名学生的身高,个体是每个学生的身高,样本是40名学生的身高,样本容量是40.
3.某校为了解学生的课外阅读情况,通过简单随机抽样抽取了40名学生,对他们一周的读书时间进行了统计,统计数据如表所示:
读书时间(小时)
7
8
9
10
11
学生人数
6
10
9
8
7
则该校学生一周读书时间的平均数
( )
A.一定为9小时
B.高于9小时
C.低于9小时
D.约为9小时
【解析】选D.因为抽取的40名学生一周读书时间的平均数为=9(小时),所以该校学生一周读书时间的平均数约为9小时.
4.在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的概率
( )
A.与第几次抽样有关,第一次被抽到的概率最大
B.与第几次抽样有关,第一次被抽到的概率最小
C.与第几次抽样无关,每一次被抽到的概率相等
D.与第几次抽样无关,与抽取几个样本有关
【解析】选C.在简单随机抽样中,总体中的每个个体在每次抽取时被抽到的概率相等.
5.(多选题)关于简单随机抽样,下列说法正确的是
( )
A.它要求被抽取样本的总体的个数有限
B.它是从总体中逐个地进行抽取
C.它是一种不放回抽样
D.它是一种等可能性抽样
【解析】选AD.从总体中一次性批量抽取与从总体中逐个地进行抽取是等价的,故B不正确,简单随机抽样分为放回简单随机抽样与不放回简单随机抽样,故C不正确,AD正确.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.一个布袋中有6个同样质地的小球,从中不放回地抽取3个小球,则某一特定小球被抽到的可能性是________;第三次抽取时,剩余小球中的某一特定小球被抽到的可能性是________.?
【解析】因为此简单随机抽样中每个个体被抽到的可能性为=,所以某一特定小球被抽到的可能性是.因为此抽样是不放回抽样,所以第一次抽样时,每个小球被抽到的可能性均为;第二次抽取时,剩余5个小球中每个小球被抽到的可能性均为;第三次抽取时,剩余4个小球中每个小球被抽到的可能性均为.
答案:
7.某地有2
000人参加自学考试,为了了解他们的成绩,从中抽取一个样本,若每个考生被抽到的概率都是0.04,则这个样本的容量是________.?
【解析】设样本容量为n,根据简单随机抽样,得=0.04,解得n=80.
答案:80
8.为了了解参加运动会的2
000名运动员的年龄情况,从中抽取20名运动员的年龄进行统计分析.就这个问题,下列说法中正确的有________.?
①2
000名运动员是总体;
②每个运动员是个体;
③所抽取的20名运动员是一个样本;
④样本容量为20;
⑤这个抽样方法可采用随机数法抽样;
⑥每个运动员被抽到的机会相等.
【解析】①2
000名运动员不是总体,2
000名运动员的年龄才是总体;②每个运动员的年龄是个体;③20名运动员的年龄是一个样本.故①②③均错误,正确说法是④⑤⑥.
答案:④⑤⑥
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.下面的抽样方法是简单随机抽样吗?为什么?
(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本;
(2)质量监督部门从180种儿童玩具中选出18种玩具进行质量检验,在抽样操作过程中,从中任取一种玩具检验后再放回;
(3)国家跳水队挑出最优秀的10名跳水队员,备战奥运会;
(4)一彩民选号,从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签.
【解析】(1)不是简单随机抽样,因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的.
(3)不是简单随机抽样,因为这10名跳水队员是挑选出来的最优秀的,每个个体被抽到的可能性不同,不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求.
(2)(4)是简单随机抽样,因为总体中的个体数是有限的,并且是从总体中逐个进行抽取的,是等可能的抽样.
10.某电视台举行颁奖典礼,邀请20名港台、内地艺人演出,其中从30名内地艺人中随机挑选出10人,从18名香港艺人中随机挑选出6人,从10名台湾艺人中随机挑选出4人.试用抽签法确定选中的艺人,并确定他们的表演顺序.
【解析】第一步:先确定内地艺人:(1)将30名内地艺人从1到30编号,然后用相同的纸条做成30个号签,在每个号签上写上这些编号,然后放入一个不透明小筒中摇匀,从中抽出10个号签,则相应编号的内地艺人参加演出;
(2)运用相同的办法分别从10名台湾艺人中抽取4人,从18名香港艺人中抽取6人.
第二步
:确定演出顺序:确定了演出人员后,再用相同的纸条做成20个号签,上面写上1到20,这20个数字代表演出的顺序,让每个演员抽一张,每人抽到的号签上的数字就是这位演员的演出顺序,再汇总即可.
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
1.从总体容量为300的总体中用简单随机抽样的方法抽取一个容量为60的样本,则每个个体入样的可能性是
( )
A.0.2
B.
0.4
C.
0.1
D.60
【解析】选A.每个个体入样的可能性是=0.2.
2.在容量为100的总体中用随机数法抽取5个样本,总体编号为1,2,3,4,…,100,给出下列几组号码:(1)1,2,3,4,5;(2)10,30,50,70,90;(3)49,17,46,19,62;
(4)11,22,33,44,55,则可能成为所得样本编号的是
( )
A.只可能为(3)
B.只可能为(3)(4)
C.只可能为(2)(3)(4)
D.(1)(2)(3)(4)均有可能
【解析】选D.用随机抽样方法抽样,每个个体都有可能被抽到且各个个体被抽到的可能性相等.故选D.
3.从一群游戏的小孩中随机抽出k人,一人分一个苹果,让他们返回继续游戏.过了一会儿,再从中任取m人,发现其中有n个小孩曾分过苹果,估计参加游戏的小孩的人数为
( )
A.
B.k+m-n
C.
D.不能估计
【解析】选C.设参加游戏的小孩有x人,则=,x=.
4.(多选题)下面的抽样方法是简单随机抽样的是
( )
A.从无数张高考试卷中抽取50张试卷作为样本
B.从80台笔记本电脑中一次性抽取6台电脑进行质量检查
C.一福彩彩民买30选7彩票时,从装有30个大小、形状都相同的乒乓球的盒子(不透明)中逐个无放回地摸出7个有标号的乒乓球,作为购买彩票的号码
D.用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验
【解析】选BCD.A中样本总体数目不确定,不是简单随机抽样;BCD符合简单随机抽样的特点,是简单随机抽样.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.某住宅小区有居民2万户,从中随机抽取200户,调查是否已安装光纤宽带,调查结果如下表所示:
光纤宽带
动迁户
原住户
已安装
65
30
未安装
40
65
则该小区已安装光纤宽带的住户估计有______户.
?
【解析】由表知安装光纤宽带的住户所占的比例为,则该小区已安装光纤宽带的住户估计有
20
000×=9
500(户).
答案:9
500
6.用简单随机抽样的方法从含有6个个体的总体中,抽取一个容量为2的样本,某一个体a“第一次被抽取”的可能性是______.“第二次被抽到”的可能性是______.?
【解析】简单随机抽样中每个个体每次被抽到的机会均等.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.某班共有60名学生,现领到10张听取学术报告的入场券,用抽签法和随机数法把10张入场券分发下去,试写出过程.
【解析】(1)抽签法:
①先将60名学生编号为1,2,…,60;
②把号码写在形状、大小均相同的号签上;
③将这些号签放在同一个箱子里进行均匀搅拌,抽签时每次从中抽出一个号签,连续抽取10次,根据抽到的10个号码对应10名同学,10张入场券就分发给了10名同学.
(2)随机数法:
①先将60名学生编号为1,2,…,60;
②准备10个大小、质地一样的小球,小球上分别写上数字0,1,2,…,9,把它们放入一个不透明的袋子中.
③从袋子中有放回摸取2次,每次摸取前充分搅拌,并把第1,2次摸到球的数字分别作为十位、个位,这样就生成了一个两位随机数.如果这个数在1～60之间,就记录下来,否则舍弃,如果有重复舍去,直到得到10个不同编号.
④与这10个编号对应的学生组成样本,10张入场券就分发给10名被抽到的同学.
8.为了适应新高考改革,尽快推行不分文理科教学,对比目前文理科学生考试情况进行分析,决定从80名文科同学中抽取10人,从300名理科同学中抽取50人进行分析.由于本题涉及文科生和理科生的混合抽取,你能选择合适的方法设计抽样方案吗?试一试.
【解析】文科生抽样用抽签法,理科生抽样用随机数法,抽样过程如下:
(1)先抽取10名文科同学:
①将80名文科同学依次编号为1,2,3,…,80;
②将号码分别写在形状、大小均相同的纸片上,制成号签;
③把80个号签放入一个不透明的容器中,搅拌均匀,每次从中不放回地抽取一个号签,连续抽取10次;
④与号签上号码相对应的10名同学的考试情况就构成一个容量为10的样本.
(2)再抽取50名理科同学:
①将300名理科同学依次编号为1,2,…,300;
②在电子表格软件的任一单元格中,输入“=RANDBETWEEN(1,300)”,生成一个1～300范围内的整数随机数,再利用电子表格软件的自动填充功能得到50个没有重复的随机数;
③这50个号码所对应的同学的考试情况就构成一个容量为50的样本.
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