第3章
不等式
[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
三个二次间的关系
【例1】 设关于x的一元二次方程ax2＋x＋1＝0(a>0)有两个实根x1，x2，求证：x1<－1且x2<－1．
[证明] 令f(x)＝ax2＋x＋1(a>0)，
由Δ＝1－4a≥0，得0<2a≤，
∴－≤－2<－1，
∴抛物线f(x)的对称轴x＝－在直线x＝－1的左侧，
∴函数f(x)的图像与x轴交点中左侧的一个在直线x＝－1的左侧．又f(－1)＝a－1＋1＝a>0，
∴交点中右侧的那个也在直线x＝－1的左侧．
而函数f(x)与x轴交点的横坐标分别为方程ax2＋x＋1＝0的两根x1，x2，∴x1<－1且x2<－1．
对于一元二次不等式的求解，要善于联想两个方面的问题：①相应的二次函数图像及与x轴的交点，②相应的一元二次方程的实根；反之，对于二次函数?二次方程?的问题的求解，也要善于联想相应的一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的实根?相应的二次函数的图像及与x轴的交点?.
1．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝
．
2 [因为ax2－6x2＋a2<0的解集是(1，m)，所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，
且m>1??]
不等式的恒成立问题
【例2】 已知不等式mx2－mx－1<0．
(1)若x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若x∈[1,3]时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若满足|m|≤2的一切m的值能使不等式恒成立，求实数x的取值范围．
[解] (1)①若m＝0，原不等式可化为－1<0，显然恒成立；
②若m≠0，则不等式mx2－mx－1<0
恒成立?解得－4
综上可知，实数m的取值范围是(－4,0]．
(2)令f(x)＝mx2－mx－1，
①当m＝0时，f(x)＝－1<0显然恒成立；
②当m>0时，若对于x∈[1,3]不等式恒成立，只需即可，
∴解得m<，
∴0③当m<0时，函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝，若x∈[1,3]时不等式恒成立，结合函数图象(图略)知只需f(1)<0即可，解得m∈R，∴m<0符合题意．
综上所述，实数m的取值范围是．
(3)令g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，
若对满足|m|≤2的一切m的值不等式恒成立，则只需
即
解得∴实数x的取值范围是．
对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种
?1?变更主元法：
根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元.
?2?分离参数法：
若f?a?若f?a?>g?x?恒成立，则f?a?>g?x?max.
?3?数形结合法：
利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图像直观化.
2．(1)已知f(x)＝不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2)
B．(－∞，0)
C．(0,2)
D．(－2,0)
(2)若函数f(x)＝的定义域为R，则实数k的取值范围是
．
(1)A [因为f(x)为R上的减函数，故f(x＋a)>f(2a－x)?x＋a<2a－x，从而2x(2)[0,1] [由题意知，
kx2－6kx＋(k＋8)≥0的解集为R．
①当k＝0时，8≥0成立．
②当k≠0时，上述不等式成立的充要条件是
解得0综上，k的取值范围是[0,1]．]
简单线性规划问题
【例3】 两类药片有效成分如下表所示，若要求至少提供12毫克阿司匹林，70毫克小苏打，28毫克可待因，问两类药片最小总数是多少？怎样搭配价格最低？
成分种类
阿司匹林
小苏打
可待因
每片价格(元)
A(毫克/片)
2
5
1
0．1
B(毫克/片)
1
7
6
0．2
[解] 设A，B两种药品分别为x片和y片(x，y∈N)，
则有两类药片的总数为z＝x＋y，两类药片的价格和为k＝0．1x＋0．2y．
如图所示，作直线l：x＋y＝0，
将直线l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上一点A，且与原点最近．
解方程组
得交点A坐标．
由于A不是整点，因此不是z的最优解，结合图形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是x＋y＝11，经过的整点是(1,10)，(2,9)，(3,8)，因此z的最小值为11．药片最小总数为11片．同理可得，当x＝3，y＝8时，k取最小值1．9，因此当A类药品3片、B类药品8片时，药品价格最低．
解线性规划问题的一般步骤
?1?列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数.
?2?画：画出线性约束条件所表示的可行域.
?3?移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线.
?4?求：通过解方程组求出最优解.
?5?答：作出答案.
3．已知－1≤x＋y≤4且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是
(答案用区间表示)．
[3,8] [作出不等式组
表示的可行域，如图中阴影部分所示．
在可行域内平移直线2x－3y＝0，
当直线经过x－y＝2与x＋y＝4的交点A(3,1)时，目标函数有最小值zmin＝2×3－3×1＝3；
当直线经过x＋y＝－1与x－y＝3的交点B(1，－2)时，目标函数有最大值zmax＝2×1＋3×2＝8，所以z∈[3,8]．]
利用基本不等式求最值
[探究问题]
1．利用不等式≥求最值的条件是什么？
[提示] 一正：即a＞0，b＞0；二定：a＋b为定值，ab有最大值；ab为定值，a＋b有最小值；三相等：当且仅当a＝b时等号成立，三者缺一不可．
2．设x＞0，y＞0，x＋y＝1，求xy的最大值，你有几种思路解决这个问题？
[提示] 法一(直接应用不等式)：xy≤＝，
当x＝y＝时等号成立．
法二(消元法)：由x＋y＝1得y＝1－x，
则xy＝x(1－x)≤＝，当x＝时等号成立．
法三(函数法)：由x＋y＝1得y＝1－x，
则xy＝x(1－x)＝－x2＋x＝－＋≥，
当x＝时等号成立．
【例4】 已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )
A．3
B．4
C．
D．
思路探究：法一：通过分解因式，配凑出含x＋1与2y＋1的积的定值，利用基本不等式求解．
法二：利用条件，用x表示y代入x＋2y，配凑出积的定值，利用基本不等式求解．
法三：在条件x＋2y＋2xy＝8中配凑出双变量x与2y，利用基本不等式消去2xy，然后解二次不等式可解．
B [法一：依题意得，x＋1＞1,2y＋1＞1，易知(x＋1)·(2y＋1)＝9，则(x＋1)＋(2y＋1)≥2＝2＝6，当且仅当x＋1＝2y＋1＝3，即x＝2，y＝1时，等号成立，因此有x＋2y≥4，所以x＋2y的最小值为4．
法二：由题意得，x＝＝＝－1＋，
∴x＋2y＝－1＋＋2y＝－1＋＋2y＋1－1≥2－2＝4，
当且仅当2y＋1＝3，
即y＝1时，等号成立．
法三：由x＋2y＋2xy＝8得
x＋2y＋(x＋2y)2≥x＋2y＋2xy＝8，
即(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，
所以[(x＋2y)＋8][(x＋2y－4)]≥0，
因为x＞0，y＞0，
所以x＋2y－4≥0，即x＋2y≥4，当且仅当x＝2，y＝1时等号成立．]
1．(变结论)例4的条件不变，求xy的最大值．
[解] 因为x＋2y≥2，且x＋2y＋2xy＝8，
所以2＋2xy≤8，
即()2＋－4≤0
故(＋2)(－)≤0，
又＞0，故－≤0．
所以xy≤2，当且仅当x＝2y，即x＝2，y＝1时等号成立．即xy的最大值为2．
2．(变条件)例4的条件变为：已知x＞0，y＞0，x＋2y－xy＝0，求x＋2y的最小值．
[解] 由x＋2y－xy＝0得x＋2y＝xy，＋＝1，
故x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8，
当且仅当＝，即x＝4，y＝2时等号成立．
利用基本不等式求最值的方法
?1?知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”.但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立.
?2?知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件.
?3?构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解.
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-
1
-4．3 简单线性规划的应用
学
习
目
标
核
心
素
养
1．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．(重点)2．培养学生应用线性规划的有关知识解决实际问题的意识．3．能够找出实际问题的约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．(难点)
1．通过解决简单线性划的应用题，提升数学建模素养．2．通过求解实际问题的最优解，培养数学运算素养．
简单线性规划的实际应用
阅读教材P105～P107“练习”以上部分，完成下列问题．
(1)简单线性规划应用问题的求解步骤：
①设：设出变量x、y，写出约束条件及目标函数．
②作：作出可行域．
③移：作一条直线l，平移l，找最优解．
④解：联立方程组求最优解，并代入目标函数，求出最值．
⑤答：写出答案．
总之，求解线性规划问题的基本程序是作可行域，画平行线，解方程组，求最值．
(2)若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解时，应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点．
思考：(1)线性规划的实际应用问题中，整点最优解是唯一的吗？
[提示] 不是唯一的，可能有多个整点最优解．
(2)解决线性规划实际应用问题最关键的是什么？
[提示] 最关键的是认真审题，列出约束条件，写出目标函数．
1．4枝玫瑰花与5枝茶花的价格之和不小于22元，而6枝玫瑰花与3枝茶花的价格之和不大于24元．设每枝玫瑰花的价格为x元，每枝茶花的价格为y元，则x，y满足的约束条件为( )
A．
B．
C．
D．
[答案] A
2．A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．设生产A产品x件，生产B产品y件，列出满足生产条件的约束条件为
．
[由题意知]
3．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件则z＝10x＋10y的最大值是
．
90 [该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x，y∈N＋，计算区域内与最近的点为(5,4)，故当x＝5，y＝4时，z取得最大值为90．
]
与最大值有关的实际问题
【例1】 某公司计划同时出售电子琴和洗衣机，由于两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力等)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大，已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于两种产品的有关数据如下表
电于琴(架)
洗衣机(台)
月供应量
成本(百元)
30
20
300
劳动力
5
10
110
单位利润(百元)
6
8
/
试问：怎样确定两种货的供应量，才能使总利润最大，最大利润是多少？
[解] 设电子琴和洗衣机月供应量分别为x架、y台，总利润为z百元，则根据题意，
有
且z＝6x＋8y，作出不等式组所表示的平面区域，如图中所示的阴影部分．
令z＝0，作直线l0：6x＋8y＝0，即3x＋4y＝0．
当移动直线l0平移至过图中的A点时，z＝6x＋8y取得最大值．
解方程组得A(4,9)，
代入z＝6x＋8y得zmax＝6×4＋8×9＝96．
所以当供应量为电子琴4架、洗衣机9台时，公司可获得最大利润，最大利润是96百元．
解答线性规划应用题的一般步骤
?1?审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些.由于线性规划应用题中的变量比较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺.
?2?转化——设元.写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题.
?3?求解——解这个纯数学的线性规划问题.
?4?作答——就应用题提出的问题作出回答.
1．某养鸡场有1万只鸡，用动物饲料和谷物饲料混合喂养．每天每只鸡平均吃混合饲料0．5
kg，其中动物饲料不能少于谷物饲料的．动物饲料每千克0．9元，谷物饲料每千克0．28元，饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50
000
kg，问饲料怎样混合才使成本最低．
[解] 设每周需用谷物饲料x
kg，动物饲料y
kg，每周总的饲料费用为z元，
由题意得
而z＝0．28x＋0．9y．
如图所示，作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，
作一组平行直线0．28x＋0．9y＝z，其中经过可行域内的点且和原点最近的直线经过直线x＋y＝35
000和直线y＝x的交点A，即x＝，y＝时，饲料费用最低．
所以，谷物饲料和动物饲料应按5∶1的比例混合，此时成本最低．
求最小值的实际应用
【例2】 某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1
600
元/辆和2
400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为多少？
[解] 设需A型车x辆，B型车y辆，则
?
由目标函数z＝1
600x＋2
400y，得y＝－x＋，表示直线在y轴上的截距，要z最小，则直线在y轴上的截距最小，画出可行域(如图)，
平移直线l：y＝－x到l0过点A(5,12)时，
zmin＝5×1
600＋2
400×12＝36
800．
故租金最少为36
800元．
解答线性规划应用题的技巧
?1?在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此要认真审题，并把信息用表格加以整理.
?2?线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断.
?3?结合实际问题，分析未知数x，y等是否有限制，如x，y为正整数、非负数等.
2．某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3
m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2
m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使得总用料面积最小．
[解] 设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个，
由题意可得
所用原料的总面积为z＝3x＋2y，
作出可行域如图．
平移直线l0：3x＋2y＝0，经过可行域内的直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点A(2,1)z最小，
∴最优解为x＝2，y＝1．
∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．
整数最优解问题
[探究问题]
1．采取什么方法能比较容易的从已知条件中列出线性约束条件？
[提示] 通过列表的方法把问题中的已知条件和各种数据进行整理．
2．怎样求线性规划中的最优整数解问题？
[提示] 先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优值、最后筛选出最优解．
【例3】 某矿山车队有4辆载重量为10
t的甲型卡车和7辆载重量为6
t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360
t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元．问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低？
思路探究：弄清题意，设出与运输成本有关的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解．
[解] 设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么
目标函数z＝252x＋160y，
作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图．
作出直线l0：252x＋160y＝0，把直线l0向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小，观察图形，可见当直线252x＋160y＝t经过点(2,5)时，满足上述要求．此时，z＝252x＋160y取得最小值，即x＝2，y＝5时，zmin＝252×2＋160×5＝1
304(元)．
即每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低．
1．(变结论)例3的条件不变，问每天派出甲型车与乙型车各多少辆时，车队所花费成本最高？
[解] 由例3的解答，作出直线l0：252x＋160y＝0，把直线l0向上方平移，使其经过可行域上的整点，且在y轴上的截距最大，观察图形，可见当直线252x＋160y＝t经过点(4,5)时，满足上述要求，此时，z＝252x＋160y取得最大值，即x＝4，y＝5时，zmax＝252×4＋160×5＝1
808(元)，即每天派出甲型车4辆，乙型车5辆，车队所用成本费最高．
2．(变条件)把例3的条件换为下表所示：
数量(单位：辆)
载重量(单位：t)
每天可往返次数
每辆每天的成本费(单位：元)
甲型卡车
8
6
4
320
乙型卡车
4
10
3
504
现有10名驾驶员，车队每天至少要运送180
t矿石至冶炼厂．
试确定每天派出甲型卡车与乙型卡车的数量，使车队所花费的成本费最低．
[解] 设矿山车队每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，每天花费的成本是z元，则z＝320x＋504y，其中x，y满足约束条件
作可行域如图(阴影内的整点)所示．
作直线l0：320x＋504y＝0．
在可行域内的整点中，直线经过(8,0)时，zmin＝8×320＝2
560(元)．
所以每天派出甲型卡车8辆就能完成任务，且花费成本最低．
寻找整点最优解的三种方法
?1?平移找解法：先打网络，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解.
?2?小范围搜寻法：即在求出的非整点最优解附近的整点都求出来，代入目标函数，直接求出目标函数的最大?小?值.
?3?调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再调整最优值，最后筛选出整点最优解.
1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图中操作尽可能规范．
2．解答线性规划实际应用题的步骤
(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．
(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．
(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)线性规划实际问题中的可行域可能是有界的，也可能是无界的．
( )
(2)线性目标函数的最优整数解可能不唯一．
( )
(3)线性目标函数的整点最优解是离非整点最优解最近的整点．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
[提示] (1)(2)正确，(3)错误，二者不一定距离最近，要根据具体的题目条件确定．
2．有5辆6
t的汽车，4辆4
t的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为( )
A．z＝6x＋4y
B．z＝5x＋4y
C．z＝x＋y
D．z＝4x＋5y
A [由题意可知z＝6x＋4y为目标函数．]
3．某学校用800元购买A、B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A、B两种用品应各买的件数为( )
A．2件，4件
B．3件，3件
C．4件，2件
D．不确定
B [设买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，则
求z＝800－100x－160y取得最小值时的整数解(x，y)，用图解法求得整数解为(3,3)．]
4．某厂用甲、乙两种原料生产A、B两种产品，已知生产1
t
A产品，1
t
B产品分别需要的甲、乙原料数，可获得的利润数及该厂现有原料数如下表所示．
问：在现有原料下，A、B产品应各生产多少才能使利润总额最大？
[解] 设生产A、B两种产品分别为x
t、y
t，其利润总额为z万元，根据题意，可得约束条件为
目标函数z＝4x＋3y，作出可行域如图：
作直线l0：4x＋3y＝0，再作一组平行于l0的直线l：4x＋3y＝z，当直线l经过点P时z＝4x＋3y取得最大值，
由解得交点P．
所以有zmax＝4×＋3×1＝13(万元)．
所以生产A产品2．5
t，B产品1
t时，总利润最大，为13万元．
PAGE
-
11
-4．2 简单线性规划
学
习
目
标
核
心
素
养
1．了解目标函数、约束条件、二元线性规划问题、可行解、可行域、最优解等基本概念．(重点)2．掌握二元线性规划问题的求解过程，特别是确定最优解的方法．(重点、难点)
1．通过学习与线性规划有关的概念，培养数学抽象素养．2．通过研究最优解的方法，提升数学运算能力．
简单线性规划
阅读教材P100～P101“例6”以上部分，完成下列问题
(1)线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
关于变量x，y的一次不等式(组)
线性约束条件
关于x，y的一次不等式(组)
目标函数
欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式
线性目标函数
关于变量x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
由所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
(2)线性规划问题
①目标函数的最值
线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－x＋，在y轴上的截距是，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线．
当b＞0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；
当b＜0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值．
②解决简单线性规划问题的一般步骤
在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即
(ⅰ)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．
(ⅱ)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．
(ⅲ)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．
(ⅳ)答：写出答案．
思考：(1)在线性约束条件下，最优解唯一吗？
[提示] 可能唯一，也可能不唯一．
(2)若将目标函数z＝3x＋y看成直线方程时，z具有怎样的几何意义？
[提示] 由z＝3x＋y得y＝－3x＋z，z是直线在y轴上的截距．
1．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为( )
A．－4
B．0
C．
D．4
D [作出可行域，如图所示．
联立解得
当目标函数z＝3x－y移到(2,2)时，z＝3x－y有最大值4．]
2．若实数x，y满足则s＝x＋y的最小值为
．
2 [如图所示阴影部分为可行域，由s＝x＋y得y＝－x＋s，由图可知，
当直线y＝－x＋s与直线x＋y－2＝0重合时，s最小，即x＝4，y＝－2时，s的最小值为4－2＝2．]
3．如图，点(x，y)在四边形ABCD的内部和边界上运动，那么z＝2x－y的最小值为
．
1 [法一：目标函数z＝2x－y可变形为y＝2x－z，所以当直线y＝2x－z在y轴上的截距最大时，z的值最小．移动直线2x－y＝0，当直线移动到经过点A时，直线在y轴上的截距最大，即z的值最小，为2×1－1＝1．
法二：将点A，B，C，D的坐标分别代入目标函数，求出相应的z值，比较大小，得在A点处取得最小值为1．]
4．已知点P(x，y)的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于
，最大值等于
．
[画出约束条件对应的可行域，如图阴影部分所示，因为|PO|表示可行域上的点到原点的距离，从而使|PO|取得最小值的最优解为点A(1,1)；使|PO|取得最大值的最优解为点B(1,3)，所以|PO|min＝，|PO|max＝．
]
线性目标函数的最值问题
【例1】 若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为
．
[由题意画出可行域(如图所示)，
其中A(－2，－1)，B，C(0,1)，由z＝x＋y知y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z经过B时，z取最大值．]
用图解法解决线性规划问题的关键和注意点,图解法是解决线性规划问题的有效方法.其关键在于平移目标函数对应的直线ax＋by＝0，看它经过哪个点?或哪些点?时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取最大值还是最小值.
1．若x，y满足约束条件则z＝x－2y的最小值为
．
－5 [画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x＝3与直线x－y＋1＝0的交点(3,4)处取得，代入目标函数z＝x－2y得到－5．]
线性规划问题中的参数问题
【例2】 已知变量x，y满足的约束条件为若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，求a的取值范围．
[解] 依据约束条件，画出可行域．
∵直线x＋2y－3＝0的斜率k1＝－，
目标函数z＝ax＋y(a＞0)对应直线的斜率k2＝－a，
若符合题意，则需k1＞k2．即－＞－a，得a＞．
含参数的线性目标函数问题的求解策略
?1?约束条件中含有参数：此时可行域是可变的，应分情况作出可行域，结合条件求出不同情况下的参数值.
?2?目标函数中含有参数：此时目标函数对应的直线是可变的，如果斜率一定，则对直线作平移变换；如果斜率可变，则要利用斜率与倾斜角间的大小关系分情况确定最优解的位置，从而求出参数的值.
2．(1)已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝( )
A．3
B．2
C．－2
D．－3
(2)已知x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )
A．或1
B．2或
C．2或1
D．2或－1
(1)B (2)D [(1)画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．
因为目标函数z＝ax＋y的最大值为4，即目标函数对应直线与可行域有公共点时，在y轴上的截距的最大值为4，作出过点D(0,4)的直线，由图可知，目标函数在点B(2,0)处取得最大值，故有2a＋0＝4，解得a＝2．
(2)作出可行域，如图中阴影部分所示．
由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1．]
非线性目标函数的最值问题
[探究问题]
1．(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离是什么？
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，直线AB的斜率是什么？
[提示] (1)|AB|＝．
(2)kAB＝．
2．(1)代数式的几何意义是什么？
(2)代数式的几何意义是什么？
(3)代数式的几何意义是什么？
[提示] (1)点(x，y)与(－2,0)间的距离．
(2)点(x，y)与(2，－3)连线的斜率．
(3)点(x，y)到直线x－2y＋1＝0的距离．
【例3】 设实数x，y满足约束条件求
(1)x2＋y2的最小值；
(2)的最大值．
[解] 如图，画出不等式组表示的平面区域ABC，
(1)令u＝x2＋y2，其几何意义是可行域ABC内任一点(x，y)与原点的距离的平方．
过原点向直线x＋2y－4＝0作垂线y＝2x，则垂足为的解，
即，
又由得C，所以垂足在线段AC的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC|＝eq
\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))))＝，所以，x2＋y2的最小值为．
(2)令v＝，其几何意义是可行域ABC内任一点(x，y)与原点相连的直线l的斜率为v，即v＝．
由图形可知，当直线l经过可行域内点C时，v最大，由(1)知C，
所以vmax＝，所以的最大值为．
1．(变结论)例3的条件不变，求x2＋(y＋1)2的最大值．
[解] 令z＝x2＋(y＋1)2，其几何意义是可行域ABC内任一点(x，y)与(0，－1)的距离的平方，由解得点B的坐标为，由例3的解答可知，点B与(0，－1)间的距离的平方最大，zmax＝＋＝．
2．(变条件)把例3的线性约束条件换为求z＝x2＋y2的最小值．
[解] 实数x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方，故zmin＝＝．
非线性目标函数的最值的求解策略
?1?z＝?x－a?2＋?y－b?2型的目标函数可转化为点?x，y?与点?a，b?距离的平方；特别地，z＝x2＋y2型的目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方.
?2?z＝型的目标函数可转化为点?x，y?与点?a，b?连线的斜率.
?3?z＝|Ax＋By＋C|可转化为点?x，y?到直线Ax＋By＋C＝0的距离的倍.
1．用图解法求线性目标函数的最值时，要清楚z的含义，z一般与直线在y轴上的截距有关．
2．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)只有当可行域是封闭的图形时，目标函数才有最优解．
( )
(2)最优解指的是使目标函数取得最大值的变量x或y的值．
( )
(3)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
[提示] (1)错误，可行域不是封闭的图形，目标函数也有最优解；
(2)错误，最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解；
(3)错误，由ax＋by－z＝0得y＝－x＋，知z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上截距的b倍．
2．目标函数z＝－3x＋5y，将其看成直线方程时，z的意义是( )
A．该直线在y轴上的截距
B．该直线在y轴上的截距的5倍
C．该直线在x轴上的截距
D．该直线在x轴上的截距的5倍
B [将目标函数z＝－3x＋5y变形得y＝x＋，所以z的意义是该直线在y轴上的截距的5倍，故选B．]
3．若实数x，y满足则z＝3x＋2y的最小值是
．
1 [不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，
设t＝x＋2y，
则y＝－x＋，
当x＝0，y＝0时，
t最小＝0．
z＝3x＋2y的最小值为1．]
4．若实数x，y满足不等式组且x＋y的最大值为9，求实数m的值．
[解] 作出满足题设条件的可行域如图所示(阴影部分)，设x＋y＝9，
显然只有在x＋y＝9与直线2x－y－3＝0的交点处满足要求．
联立方程组解得
即点A(4,5)在直线x－my＋1＝0上，
所以4－5m＋1＝0，得m＝1．
PAGE
-
10
-§4 简单线性规划
4．1 二元一次不等式(组)与平面区域
学
习
目
标
核
心
素
养
1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式(组)．(重点)2．了解二元一次不等式的几何意义．(重点)3．能用平面区域表示二元一次不等式(组)．(重点)
1．通过实际情境中抽象出二元一次不等式(组)，提升数学抽象素养．2．利用平面区域表示二元一次不等式组，培养数学建模素养．
二元一次不等式(组)与平面区域
阅读教材P96～P98“练习1”以上部分，完成下列问题．
(1)一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三部分．
①直线l上的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＝0；
②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＞0；
③直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＜0．
(2)在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从ax0＋by0＋c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．
(3)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
(4)一般地，把直线l：ax＋by＋c＝0画成实线，表示平面区域包括这一边界直线；若把直线画成虚线，则表示平面区域不包括这一边界直线．
(5)由于对直线ax＋by＋c＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入ax＋by＋c，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，从ax0＋by0＋c的符号即可判断ax＋by＋c＞0(＜0)表示直线哪一侧的平面区域．当c≠0时，常取坐标原点作为特殊点．
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面点集的交集，因而是各个不等式所表示平面区域的公共部分．
思考：(1)不等式ax＋by＋c＞0表示的平面区域在直线ax＋by＋c＝0的上方，ax＋by＋c＜0表示的平面区域在直线ax＋by＋c＝0的下方，这种说法正确吗？
[提示] 不正确，不等式2x－y－2＞0就表示直线2x－y－2＝0下方的平面区域，而不等式2x－y＋2＜0表示直线2x－y＋2＝0上方的平面区域．
(2)任何一个不等式组都能表示平面内的一个平面区域，这种说法正确吗？
[提示] 不正确，如不等式组就不表示任何平面区域．
1．下列不是二元一次不等式的是( )
A．－x－y＋2<0
B．2x＋y－1>0
C．y2≥2x
D．x＋2y>1－3x－y
[答案] C
2．不等式组表示的平面区域是( )
A B
C D
D [用特殊点(0,0)验证即可．]
3．若点(－2,1)在不等式x＋3y＋a≥0表示的平面区域内，则实数a的取值范围是
．
[－1，＋∞) [由题意知－2＋3×1＋a≥0，故a≥－1．]
4．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则实数t的取值范围是
．
[据题意得不等式2×(－2)－3t＋6<0，
解得t>，
故t的取值范围是．]
二元一次不等式表示的平面区域
【例1】 (1)画出不等式3x－4y－12≥0表示的平面区域；
(2)画出不等式3x＋2y＜0表示的平面区域．
[解] (1)先画直线3x－4y－12＝0，取原点(0,0)，代入3x－4y－12得－12＜0，
所以原点在3x－4y－12＜0表示的平面区域内，
所以不等式3x－4y－12≥0表示的平面区域如图①阴影部分所示．
(2)先画直线3x＋2y＝0(画成虚线)．
因为点(1,0)在3x＋2y＞0表示的平面区域内，
所以不等式3x＋2y＜0表示的平面区域如图②阴影部分所示．
图① 图②
二元一次不等式表示平面区域的判定方法：
第一步：直线定界.画出直线ax＋by＝0，不等式为ax＋by＋c＞0?＜0?时直线画虚线，不等式为ax＋by＋c≥0?≤0?时画成实线；
第二步：特殊点定域.在平面内取一个特殊点，当c≠0时，常取原点?0，0?.若原点?0，0?满足不等式，则原点所在的一侧即为不等式表示的平面区域；若原点不满足不等式，则原点不在的一侧即为不等式表示的平面区域.当c＝0时，可取?1，0?或?0，1?作为测试点.,简记为：直线定界，特殊点定域.
1．画出下列不等式所表示的平面区域：
(1)x－2y＋4≥0；(2)y＞2x．
[解] (1)先画直线x－2y＋4＝0，取原点(0,0)代入x－2y＋4，得4＞0，
所以原点在x－2y＋4＞0表示的平面区域内．
所以不等式x－2y＋4≥0表示的平面区域如图①阴影部分表示．
(2)先画直线y－2x＝0(画成虚线)，因为点(1,0)不在y－2x＞0表示的平面区域内，所以不等式y＞2x表示的平面区域如图②阴影部分所示．
图① 图②
二元一次不等式组表示的平面区域
【例2】 画出不等式组所表示的平面区域．
[解] 先画出直线2x＋y－4＝0，由于含有等号，所以画成实线．
取直线2x＋y－4＝0左下方的区域的点(0,0)，由于2×0＋0－4＜0，所以不等式2x＋y－4≤0表示直线2x＋y－4＝0及其左下方的区域．
同理对另外两个不等式选取合适的测试点，可得不等式x＞2y表示直线x＝2y右下方的区域，不等式y≥0表示x轴及其上方的区域．取三个区域的公共部分，就是上述不等式组所表示的平面区域，如图所示．
二元一次不等式表示平面区域的画法
?1?不等式组的解集是各个不等式解集的交集，所以不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
?2?在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可.其步骤：①画线；②定侧；③求“交”；④表示.但要注意是否包括边界.
2．不等式组表示的平面区域是( )
A B
C D
C [取特殊点坐标(如：(0，－1)，(－1,0)等)代入不等式组检验可得C符合．]
不等式组表示平面区域的应用
[探究问题]
1．已知直线x＋y－3＝0上两点A(1,2)，B(0,3)，又点C的坐标为(4,5)，则△ABC的面积是什么？
[提示] |AB|＝，又点C(4,5)到直线x＋y－3＝0的距离为d＝＝3．
故S△ABC＝××3＝3．
2．(1)直线方程x＋y－a＝0中，实数a的几何意义是什么？
(2)直线l1：x＋y－2＝0，l2：x＋y－1＝0的位置关系如何？
[提示] (1)直线x＋y－a＝0在y轴上的截距．
(2)直线l1与l2平行．
【例3】 (1)不等式组所表示的平面区域的面积是
．
(2)若不等式组表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是( )
A．a≥
B．0＜a≤1
C．1≤a≤
D．0＜a≤1或a≥
思路探究：(1)画出不等式组表示的平面区域，确定其形状并求面积．
(2)首先画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线x＋y＝a，根据平面区域的形状确定a的取值范围．
(1)6 (2)D [(1)如图所示，其中的阴影部分便是不等式组所表示的平面区域．由
得A(1,3)．
同理得B(－1,1)，C(3，－1)．
∴|AC|＝＝2，
而点B到直线2x＋y－5＝0的距离为
d＝＝，
∴S△ABC＝|AC|·d＝×2×＝6．
(2)作出不等式组
表示的平面区域(如图中阴影部分)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1，l2之间(包括l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)．]
1．(变条件)把例3(1)中的不等式组换为，
求其表示平面区域的面积．
[解] 如图所示，阴影部分为不等式组表示的平面区域
由，得A(8，－2)，
所以面积S＝×2×2＋×2×2＝4．
2．(变条件)把例3(2)中的不等式组换为
若其仍然表示一个三角形，求实数a的取值范围．
[解] 如图所示，当直线y＝a介于直线y＝5(含该直线)与直线y＝7(不含该直线)之间时，不等式组表示的平面区域是一个三角形，所以5≤a＜7．
1．求平面区域面积的方法
求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积，若画出的图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则的，可采用分割的方法，将平面区域分为几个规则图形后求解．
2．已知平面区域的形状求参数取值范围的注意点
(1)要首先画出不含参数的不等式所表示的平面区域，注意直线的虚实．
(2)理解字母的几何意义，根据字母值的变化变动直线，查看满足题目条件时字母的值，确定其取值范围．
1．一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0在平面直角坐标系内表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域．
2．在画二元一次不等式表示的平面区域时，应用“直线定边界，特殊点定区域”的方法来画区域，取点时，若直线不过原点，一般用“原点定区域”；若直线过原点，则取点(1,0)即可，总之，尽量减少运算量．
3．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)点(2,4)在不等式x＋2y＜1表示的平面区域内．( )
(2)由于不等式2x－1＞0不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一区域．( )
(3)不等式Ax＋By＋C＞0与Ax＋By＋C≥0表示的平面区域是相同的．( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
[提示] (1)错误，由于2＋2×4＝10＞1，所以点(2,4)不在不等式x＋2y＜1表示的平面区域内．
(2)错误，不等式2x－1＞0表示直线x＝右侧的平面区域．
(3)错误，不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域不包含直线Ax＋By＋C＝0上的一点，而Ax＋By＋C≥0表示的平面区域则包含直线Ax＋By＋C＝0上的点．
2．不等式x－2y＋6≤0表示的区域在直线x－2y＋6＝0的( )
A．右上方
B．右下方
C．左上方
D．左下方
C [如图，作出直线x－2y＋6＝0，又(0,0)不满足x－2y＋6＜0，故其表示的平面区域在直线x－2y＋6＝0的左上方．]
3．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是
．
9 [平面区域如图阴影部分所示，平面区域是△ABC，且A(－2,2)，B(1,5)，C(1，－1)，则BC边上的高h＝3，|BC|＝6，所以平面区域的面积是S＝×3×6＝9．
]
4．画出不等式组表示的平面区域．
[解] 不等式x＋y≤5表示直线x＋y－5＝0及左下方(包括直线)的区域．
不等式x－2y＞3表示直线x－2y－3＝0右下方(不包括直线)的区域．
不等式x＋2y≥0表示直线x＋2y＝0及右上方(包括直线)的区域．
所以不等式组表示的平面区域如图．
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10
-3．2 基本不等式与最大(小)值
学
习
目
标
核
心
素
养
1．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(重点)2．会用基本不等式解决实际问题．(重点、难点)
1．通过利用基本不等式求解最值问题，提升学生的逻辑素养．2．利用基本不等式解决实际问题，提升学生的数学建模素养．
不等式与最大(小)值
阅读教材P90～P91“例2”以上部分，完成下列问题．
当x，y都为正数时，下面的命题成立
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值；
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2．
思考：(1)
函数y＝x＋的最小值是2吗？
[提示] 不是，只有当x＞0时，才有x＋≥2，当x＜0时，没有最小值．
(2)设a＞0,2a＋取得最小值时，a的值是什么？
[提示] 2a＋≥2＝2，当且仅当2a＝，即a＝时，取得最小值．
1．下列函数中，最小值为4的函数是( )
A．y＝x＋
B．y＝sin
x＋(0＜x＜π)
C．y＝ex＋4e－x
D．y＝log3x＋logx81
C [A中x＝－1时，y＝－5＜4，B中y＝4时，sin
x＝2，D中x与1的关系不确定，选C．]
2．当x<0时，x＋的最大值为
．
－6 [因为x<0，所以x＋＝－(－x)＋≤－2＝－6，当且仅当(－x)＝，即x＝－3时等号成立．]
3．当x∈(0,1)时，x(1－x)的最大值为
．
[因为x∈(0,1)，
所以1－x＞0，
故x(1－x)≤＝，
当x＝1－x，即x＝时等号成立．]
4．若点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为
．
8 [由已知点A在直线mx＋ny＋1＝0上
所以2m＋n＝1，
所以＋＝＋＝4＋≥8．]
利用基本不等式求最值
【例1】 (1)已知x>2，则y＝x＋的最小值为
．
(2)若0．
(1)6 (2) [(1)因为x>2，所以x－2>0，
所以y＝x＋＝x－2＋＋2
≥2＋2＝6，
当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．
所以y＝x＋的最小值为6．
(2)因为00，
所以y＝x·(1－2x)＝×2x×(1－2x)≤2＝×＝，当且仅当2x＝1－2x，即当x＝时，ymax＝．]
在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值?恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧?；三是考虑等号成立的条件.
1．(1)已知t>0，则函数y＝的最小值为
．
(2)设0．
(1)－2 (2)2 [(1)依题意得y＝t＋－4≥2－4＝－2，等号成立时t＝1，即函数y＝(t>0)的最小值是－2．
(2)因为00，
故?(x)＝＝
＝·≤×＝2，
当且仅当2x＝8－2x，即x＝2时取等号，
所以当x＝2时，?(x)＝的最大值为2．]
利用基本不等式解实际应用题
【例2】 如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18
000
cm2，四周空白的宽度为10
cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5
cm．怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？
[解] 法一：设矩形广告牌的高为x
cm，宽为y
cm，则每栏的高和宽分别为(x－20)
cm，cm，其中x>20，y>25，则两栏面积之和为2(x－20)×＝18
000，由此得y＝＋25，
所以广告牌的面积S＝xy＝x＝＋25x，
整理得S＝＋25(x－20)＋18
500．
因为x－20>0，
所以S≥2＋18
500＝24
500．
当且仅当＝25(x－20)时等号成立，
此时有(x－20)2＝14
400，解得x＝140，
代入y＝＋25，得y＝175．
即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24
500．
故当广告牌的高为140
cm，宽为175
cm时，可使矩形广告牌的面积最小．
法二：设矩形栏目的高为a
cm，宽为b
cm，则ab＝9
000，其中a>0，b>0．
易知广告牌的高为(a＋20)
cm，宽为(2b＋25)cm．
广告牌的面积S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500＝18
500＋25a＋40b≥18
500＋2＝24
500，当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b＝a，
代入ab＝9
000得a＝120，b＝75．
即当a＝120，b＝75时，S取得最小值24
500．
故当广告牌的高为140
cm，宽为175
cm时，可使矩形广告牌的面积最小．
在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：
?1?先理解题意，设变量时一般把要求最值的变量定为函数；
?2?建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；
?3?在定义域内，求出函数的最值；
?4?写出正确答案.
2．(1)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N＋)，则当每台机器运转
年时，年平均利润最大，最大值是
万元．
(2)用一段长为36
m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
(1)5 8 [每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，且x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．]
(2)[解] 设矩形菜园的长为x
m、宽为y
m，则2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜园的面积为xy
m2．
由≤＝＝9，可得xy≤81，当且仅当x＝y，
即x＝y＝9时，等号成立．
因此，这个矩形的长、宽都为9
m时，菜园的面积最大，最大面积为81
m2．
基本不等式的综合应用
[探究问题]
1．(1)当x＞0时，有最大值，还是最小值？
(2)当x＞0时，有最大值，还是最小值？
[提示] (1)当x＞0时，＝x＋≥2＝2，
当x＝1时等号成立，即有最小值2．
(2)当x＞0时，＝，因为x＋≥2，所以≤，故有最大值．
2．(1)设a＞0，b＞0，(a＋b)的最小值是什么？
(2)设a＞0，b＞0，且a＋b＝1，＋的最小值是什么？
[提示] (1)(a＋b)＝3＋＋≥3＋2，当b＝a时等号成立；
(2)由于a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)·≥2＋3，
当b＝a，即a＝－1，b＝2－时，＋的最小值为3＋2．
【例3】 (1)若对任意的x＞0，≤a恒成立，求a的取值范围．
(2)设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，求＋的最小值．
思路探究：(1)在中，分子、分母同时除以x，求得的最大值，可得a的范围．
(2)由条件求得a与b的关系式，可求＋的最小值．
[解] (1)设f(x)＝＝，
∵x＞0，∴x＋≥2，
∴f(x)≤，即f(x)max＝，∴a≥．
(2)由题意得，3a·3b＝()2，即a＋b＝1，
∴＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立．
1．(变条件)(1)在例3(2)中，若3是3a与3b的等比中项，求＋的最小值．
(2)在例3(2)中，把条件换为“和的等差中项是”，求2a＋b的最小值．
[解] (1)由3是3a与3b的等比中项，得3a＋b＝32，即a＋b＝2，故(a＋b)＝1，所以＋＝(a＋b)
＝≥＝2，
当a＝b＝1时等号成立．
(2)由于和的等差中项是，则＋＝1，
故2a＋b＝(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9．
当a＝b＝3时等号成立．
2．(变条件)把例3(2)的条件换为“a＞0，b＞0，且a＋b＋ab＝1”，求a＋b的最小值．
[解] a＋b＋ab＝1，得b＝＞0，故0＜a＜1，
故a＋b＝a＋＝a＋
＝a＋－1＝a＋1＋－2
≥2－2＝2－2，
当a＋1＝，即a＝－1时等号成立．
最值法解答恒成立问题
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有：
?1?f?x?＞a恒成立?a＜f?x?min.
?2?f?x?＜a恒成立?a＞f?x?max.)
1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．
2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．
3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个正数的积为定值，它们的和一定能在两个数相等时取得最小值．
( )
(2)函数y＝sin
x＋的最小值为2．
( )
(3)函数y＝＋的最小值为2．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
[提示] (1)错误，这两个数可能不相等，如当x∈(0，π)时，sin
x与的积为定值，但sin
x≠；
(2)错误，sin
x＜0时，函数不存在最小值．
(3)错误，因为只有＝，即x2＋4＝1，x2＝－3时才能取到最小值，但x2＝－3不成立，故(3)错．
2．若x>0，y>0且x＋y＝18，则的最大值为( )
A．9
B．18
C．36
D．81
A [≤＝9，
当且仅当x＝y＝9时，等号成立．]
3．一批货物随17列货车从A市以v千米/时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要
小时．
8 [设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则t＝eq
\f(400＋16\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v,20))),v)＝＋≥2＝8(小时)，
当且仅当＝，即v＝100时，等号成立，此时t＝8小时．]
4．求函数f(x)＝的最大值．
[解] 当x＝0时，f(x)＝0，当x>0时，f(x)＝＝，
因为＋≥2＝2，当x＝1时等号成立，所以f(x)≤．
综上得，f(x)的最大值是．
PAGE
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1
-§3 基本不等式
3．1 基本不等式
学
习
目
标
核
心
素
养
1．了解基本不等式的证明过程及其几何解释．(难点)2．了解算术平均数，几何平均数的定义．(重点)3．会用基本不等式推出与基本不等式有关的简单不等式．(重点)
1．通过基本不等式的推导，培养逻辑数学素养．2．通过基本不等式的应用，提升数学运算素养．
1．基本不等式
阅读教材P88～P89阅读材料以上部分，完成下列问题．
(1)基本不等式
如果a，b都是非负数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立，称上述不等式为基本不等式，其中称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数，该不等式又被称为均值不等式．
(2)基本不等式的文字叙述
两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
(3)意义
①几何意义：半径不小于半弦．
②数列意义：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．
思考：(1)不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)成立吗？如何证明？
[提示] 成立，证明如下：由a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，知a2＋b2≥2ab．
(2)当x，y满足什么条件时，≥？
[提示] 当lg
x≥0，且lg
y≥0，即x≥1，且y≥1时，不等式成立．
2．基本不等式的证明
一般地，对于任意实数a，b，我们有a2＋b2≥2ab，
当且仅当a＝b时，等号成立．
特别地，如果a>0，b>0，我们用，分别代替a，b可得a＋b≥2，
通常我们把上式写作≤(a>0，b>0)．
下面我们来证明一下：
要证 ≥，
①
只要证 a＋b≥2，
②
要证②只要证a＋b－2≥0，
③
要证③只要证(－)2≥0，
④
显然④成立，当且仅当a＝b时④中的等号成立．
1．给出下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0，其中能使＋≥2成立的条件有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
C [当，均为正数时，＋≥2，故只须a、b同号即可，∴①③④均可以．]
2．不等式x＋4≥4(x＞0)中等号成立的条件是
．
x＝4 [由a＋b≥2(a＞0，b＞0)中等号成立的条件是a＝b知x＝4．]
3．比较大小：
x．
≥ [在不等式≥ab中令a＝x，b＝，可得≥x，当x＝时等号成立．]
4．设常数a>0，若9x＋≥a＋1对一切正实数x成立，则a的取值范围是
．
[由题意知，当x>0时，?(x)＝9x＋≥2＝6a≥a＋1?a≥．]
利用基本不等式比较大小
【例1】 已知0[解] 因为a>0，b>0，所以a＋b≥2，a2＋b2≥2ab，所以四个数中最大数应为a＋b或a2＋b2．
又因为0所以a2＋b2－(a＋b)＝a2－a＋b2－b＝a(a－1)＋b(b－1)<0，
所以a2＋b2应用基本不等式的注意事项
?1?在应用基本不等式时，一定要注意是否满足条件，即a≥0，b≥0.
?2?若问题中一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用基本不等式试试看，基本不等式是建立“和式”与“积式”不等关系的重要桥梁.
1．设a>0，b>0，试比较，，，的大小，并说明理由．
[解] 因为a>0，b>0，所以＋≥；
即≥(当且仅当a＝b时取等号)，
又＝
≤＝，
所以≤(当且仅当a＝b时等号成立)，
而≤，故≥≥≥(当且仅当a＝b时等号成立)．
用基本不等式证明不等式
【例2】 已知x，y都是正数．
求证：(1)＋≥2；
(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3．
[证明] (1)∵x，y都是正数，
∴＞0，＞0，
∴＋≥2＝2，即＋≥2，
当且仅当x＝y时，等号成立．
(2)∵x，y都是正数，∴x＋y≥2＞0，
x2＋y2≥2＞0，x3＋y3≥2＞0．
∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2·2·2＝8x3y3，
即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，
当且仅当x＝y时，等号成立．
利用基本不等式证明不等式的注意点
?1?在利用基本不等式证明时，要注意查看基本不等式成立的条件是否满足，若所证明的不等式中含有等号，还要注意等号是否能成立.
?2?在证明过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项，或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便利用基本不等式.
2．已知a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，
证明：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc．
[证明] (1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)≥2·2·2＝8abc．
当且仅当b＝c＝a＝时，等号成立．
基本不等式≥的几何解释
[探究问题]
1．如何用a，b表示PQ、OP的长度？
[提示] 由射影定理可知PQ＝，而OP＝AB＝．
2．通过OP与PQ的大小关系，你能得出怎样的不等式？
如图所示，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点Q作PQ垂直AB于Q，连结AP，PB．你能利用这个图形得出基本不等式≥的几何解释吗？
[提示] 半径OP＝，显然，它大于或等于PQ，即≥，其中当且仅当点Q与圆心O重合．
【例3】 已知a，b，c＞0，求证：a＋b＋c≥＋＋．
思路探究：利用基本不等式及不等式的性质证明．
[证明] ∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴a＋b≥2，
b＋c≥2，
a＋c≥2，
∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)，
即a＋b＋c≥＋＋，当且仅当a＝b＝c时等号成立．
1．(变结论)例3的条件不变，求证：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc．
[证明] 因为a＞0，b＞0，c＞0，所以a＋b≥2＞0，b＋c≥2＞0，a＋c≥2＞0，
所以(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2×2×2＝8abc，即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，
当且仅当a＝b＝c时等号成立．
2．(变条件)例3的条件中添加“＋＋＝1”，试比较a＋b＋c与9的大小关系．
[解] 因为＋＋＝1，所以a＋b＋c＝(a＋b＋c)＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝3＋2＋2＋2＝9．
当且仅当a＝b＝c＝3时等号成立，
即a＋b＋c≥9．
利用基本不等式证明不等式的技巧
?1?证明不等式时要对其进行合理的拆分，如例3中把a＋b＋c拆分为a＋b，b＋c和c＋a，以便应用基本不等式得出不等关系.
?2?证明不等式时要注意应用不等式的性质，如不等式的可加性、可乘性等.
1．在利用基本不等式时要注意等号成立的条件，特别是连续应用基本不等式时要注意各不等式等号成立的条件是否一致．
2．在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理拆分或适当恒等变形，以便于利用基本不等式．
3．由基本不等式变形得到的常见的结论
(1)ab≤≤(a，b∈R)；
(2)≤≤(a，b∈R＋)；
(3)＋≥2(a，b同号)；
(4)(a＋b)≥4(a，b∈R＋)；
(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a，b∈R，则≥．
( )
(2)不等式a2＋b2≥2ab中等号成立的条件是a＝b．
( )
(3)≥ab成立的条件是a≥0，b≥0．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
[提示] (1)错误，当a＞0，b＞0时，不等式才能成立；(2)正确；(3)错误，由－ab＝－ab＝＝(a－b)2≥0可知，≥ab对任意的a，b∈R都成立．
2．下列不等式恒成立的是( )
A．a2＋b2≤2ab
B．a2＋b2≥－2ab
C．a＋b≥－2
D．a＋b≤2
B [由(a＋b)2≥0，得a2＋b2≥－2ab.]
3．若a∈R时，下列不等式成立的是
．
①a2＋≥a；②a(1－a)≤；③＋a≥2；④a2＋≥2．
①②④ [由基本不等式知，①④正确，②显然正确，③只有当a＞0时才成立．]
4．设a＞0，b＞0，c＞0，且ab＋bc＋ac＝1，求证a2＋b2＋c2≥1．
[证明] a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，
相加可得(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(a2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac．
即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac＝1．
当且仅当a＝b＝c时等号成立．
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7
-2．2 一元二次不等式的应用
学
习
目
标
核
心
素
养
1．会解简单的分式不等式和简单的高次不等式．(重点)2．会求解方程根的存在性问题和不等式恒成立问题．(重点、难点)
1．通过学习分式不等式与高次不等式，培养数学运算素养．2．通过一元二次不等式的实际应用，提升数学建模素养．
1．分式不等式的解法
阅读教材P82“例10”以上部分，完成下列问题．
(1)＞0与f(x)·g(x)＞0同解．
(2)＜0与f(x)·g(x)＜0同解．
(3)≥0与f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0同解．
(4)≤0与f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0同解．
思考：(1)不等式≥0与f(x)·g(x)＞0或f(x)＝0同解吗？
[提示] 同解．
(2)解分式不等式的主导思想是什么？
[提示] 化分式不等式为整式不等式．
2．高次不等式的解法
阅读教材P82“例10”以下至P83“练习1”以上部分，完成下列问题．
如果把函数f(x)图像与x轴的交点形象地看成“针眼”，函数f(x)的图像看成“线”，那么这种求解不等式的方法，我们形象地把它称为穿针引线法．
思考：(1)解一元二次不等式可以用穿针引线法吗？
[提示] 可以．
(2)应用穿针引线法解高次不等式f(x)＞0，对f(x)的最高次项的系数有什么要求吗？
[提示] 把f(x)最高次项的系数化为正数．
1．不等式>0的解集是( )
A．
B．
C．
D．
A [>0?(4x＋2)(3x－1)>0?x>或x<－，此不等式的解集为．]
2．函数f(x)＝的定义域是
．
(－∞，0)∪[1，＋∞) [由题意得≥0，即x(x－1)≥0且x≠0，解之得x≥1或x＜0，故其定义域是(－∞，0)∪[1，＋∞)．]
3．不等式(x－1)(x＋2)(x－3)＜0的解集为
．
(－∞，－2)∪(1,3) [如图所示：
由图知原不等式的解集为(－∞，－2)∪(1,3)．]
4．不等式＞0的解集为
．
{x|－4＜x＜－3或x＞－1} [原式可转化为(x＋1)(x＋2)2(x＋3)(x＋4)＞0，
根据穿针引线法，解集为－4＜x＜－3或x＞－1．]
分式不等式和高次不等式的解法
【例1】 解下列不等式：
(1)＜0；(2)≤2；(3)(6x2－17x＋12)(2x2－5x＋2)＞0．
[解] (1)由＜0，得＞0，此不等式等价于(x＋4)(x－3)＞0，
∴原不等式的解集为{x|x＜－4或x＞3}．
(2)法一：移项得－2≤0，左边通分并化简有≤0，即≥0，
同解不等式为∴x＜2或x≥5．∴原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}．
法二：原不等式可化为≥0，此不等式等价于
①
或②
解①得x≥5，解②得x＜2，
∴原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}．
(3)原不等式可化为(2x－3)(3x－4)(2x－1)(x－2)＞0，
进一步化为
(x－2)＞0，
如图所示，得原不等式的解集为
．
1．分式不等式的解法：先通过移项、通分整理成标准型＞0(<0)或≥0(≤0)，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母也可．
2．一元高次不等式f(x)＞0用穿针引线法求解，其步骤是：
(1)将f(x)最高次项的系数化为正数；
(2)将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；
(3)将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；
(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集．
1．解下列不等式：(1)≥1；(2)x4－2x3－3x2＜0．
(3)<0．
[解] (1)移项得－1≥0，即≥0，同解不等式为，∴＜x≤4，故原不等式的解集为．
(2)原不等式可化为x2(x－3)(x＋1)＜0，
当x≠0时，x2＞0，由(x－3)(x＋1)＜0，
得－1＜x＜3；
当x＝0时，原不等式为0＜0，无解．
∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜3，且x≠0}．
(3)∵sin
x－2<0，∴原不等式可化为x2－2x－8>0，
解得x>4，或x<－2，
∴原不等式的解集为{x|x>4，或x<－2}．
一元二次不等式在生活中的应用
【例2】 某地区上年度电价为0．8元/千瓦时，年用电量为a千瓦时．本年度计划将电价降价到0．55元/千瓦时至0．75元/千瓦时之间，而用户期望电价为0．4元/千瓦时．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0．3元/千瓦时．
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；
(2)设k＝0．2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?
[解] (1)设下调后的电价为x元/千瓦时，依题意知，用电量增至＋a，电力部门的收益为y＝(x－0．3)(0．55≤x≤0．75)．
(2)依题意，有
整理，得
解此不等式组，得0．60≤x≤0．75．
所以当电价最低定为0．60元/千瓦时时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%．
解不等式应用题的步骤
2．某校园内有一块长为800
m，宽为600
m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，如图，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．
[解] 设花卉带宽度为x
m，则草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m，根据题意，得(800－2x)(600－2x)≥×800×600，
整理，得x2－700x＋60
000≥0，
解得x≥600(舍去)或x≤100，
由题意知x>0，所以0即当花卉带的宽度在(0,100]内取值时，草坪的面积不小于总面积的一半．
不等式恒成立与有解问题
[探究问题]
1．设f(x)＝mx2＋2x＋1，若f(x)＞0对任意的x∈R恒成立，f(x)的图像如何？求m的范围．
[提示] 由条件知m＞0，即f(x)的图像开口向上，且和x轴没有交点，
故解之得m＞1．
2．设f(x)的值域是[1,2]，
(1)若f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；
[提示] a≤1．
(2)若f(x)≥a有解，求a的取值范围．
[提示] a≤2．
【例3】 设函数f(x)＝mx2－mx－1．
(1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于任意x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
思路探究：(1)讨论m的符号，结合函数f(x)的图像求解．
(2)求f(x)的最大值，使其最大值小于－m＋5；或分离参数m后，转化为求函数的最值问题．
[解] (1)要使mx2－mx－1＜0恒成立，
若m＝0，显然－1＜0，满足题意；
若m≠0，?－4＜m＜0．
∴－4＜m≤0．
(2)法一：要使f(x)＜－m＋5在x∈[1,3]上恒成立．
就要使m2＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．
令g(x)＝m＋m－6，x∈[1,3]．
当m＞0时，g(x)在[1,3]上是增函数，
∴g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0，∴0＜m＜；
当m＝0时，－6＜0恒成立；
当m＜0时，g(x)是减函数，
∴g(x)max＝g(1)＝m－6＜0，得m＜6，∴m＜0．
综上所述：m＜．
法二：当x∈[1,3]时，f(x)＜－m＋5恒成立，
即当x∈[1,3]时，m(x2－x＋1)－6＜0恒成立．
∵x2－x＋1＝＋＞0，
又m(x2－x＋1)－6＜0，∴m＜．
∵函数y＝＝eq
\f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＋\f(3,4))在[1,3]上的最小值为，∴只需m＜即可．
1．(变条件)把例3中的函数换为：f(x)＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)，若f(x)＞0对任意的x∈R都成立，求实数a的取值范围．
[解] 由题意可知，f(x)的图像开口向上，故要使f(x)＞0恒成立，只需Δ＜0即可，即(a－4)2－4(5－2a)＜0，解得－2＜a＜2．
2．(变结论)例3的条件不变，若存在x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
[解] 不等式f(x)＜－m＋5可化为mx2－mx－1＜－m＋5，即m(x2－x＋1)＜6，由于x2－x＋1＝＋＞0，故原不等式等价于m＜．
当x∈[1,3]时，x2－x＋1∈[1,7]，故∈，由题意可知m＜6．
有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常有两种处理方法
(1)考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参变量的不等式．
(2)若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次函数、二次函数)，并结合图像建立参变量的不等式求解．
1．解高次不等式的一般方法是穿针引线法，先将不等式化为标准型，即右边为零，左边分解成几个因式的积，使每个因式的x系数全为1，再把各根依次从小到大标在数轴上后，要从右上方开始往左穿，若有重根，则奇次重根一次穿过，偶次重根要折回，然后根据x轴上方为正，下方为负的原则，由不等式的类型写出解集．注意分式不等式分母不为零．对分式不等式一般不去分母，若要去分母，需对分母的正负进行讨论．
2．一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不等式＞2与3x＋5＞2(x＋1)同解．
( )
(2)≤0与(x－1)(x＋2)≤0同解．
( )
(3)应用穿针引线法解不等式(x＋2)2(x－3)＞0，可得其解集为(2,3)．
( )
[答案] (1)× (2)× (2)×
[提示] (1)错误，不等式＞2与＞0同解；
(2)错误，≤0与(x－1)(x＋2)≤0且x＋2≠0同解；
(3)错误，(x＋2)2(x－3)＞0的解集为(3，＋∞)．
2．对任意的x∈R，x2－ax＋1＞0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－2,2)
B．(－∞，2)∪(2，＋∞)
C．[－2,2]
D．(－∞，2]∪[2，＋∞)
A [由题意可知Δ＝a2－4＜0，解得－2＜a＜2．]
3．不等式≤－2的解集为
．
[原不等式可化为≤0，故(4x＋5)(x＋3)≤0且x≠－3，故解集为．]
4．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？
[解] 设每盏台灯售价x元，则x≥15，并且日销售收入为x[30－2(x－15)]，由题意知，当x≥15时，有x[30－2(x－15)]＞400，解得：15≤x＜20．
所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，
应当制定这批台灯的销售价格为x∈[15,20)．
PAGE
-
4
-§2 一元二次不等式
2．1 一元二次不等式的解法
学
习
目
标
核
心
素
养
1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．(难点)2．通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程的联系，会解一元二次不等式．(重点、难点)
1．通过学习一元二次不等式的解法，培养数学运算素养．2．通过研究“三个二次”之间的关系，提升逻辑推理素养．
1．一元二次不等式的有关概念
阅读教材P76例1以上，完成下列问题．
含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的不等式叫作一元二次不等式．
一元二次不等式
形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的不等式(其中a≠0)，叫作一元二次不等式
一元二次不等式的解
使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解
一元二次不等式的解集
一元二次不等式的所有解组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集
思考：(1)“2x2－3y＋1＞0”是一元二次不等式吗？
[提示] 不是，因为不等式2x2－3y＋1＞0中含有两个未知数x和y．
(2)“3ax2＋3x＋2≤0”是一元二次不等式吗？
[提示] 不一定，当a＝0时，不是一元二次不等式；
当a≠0时，是一元二次不等式．
2．一元二次函数，一元二次方程，一元二次不等式之间的关系
阅读教材P76例1以下至P79小资料以上部分，完成下列问题．
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图像
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两个不等的实根x1、2＝(x1＜x2)
有两相等实根x1＝x2＝－
没有实根
不等式的解集
f(x)
＞0
{x|x＜x1或x＞x2}
R
f(x)＜0
{x|x1＜x＜x2}
?
?
思考：(1)若不等式ax2＋2x＋b＞0的解集为(x1，x2)，那么a的符号如何？
[提示] a＜0
(2)若不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集为(x1，x2)，那么函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点是什么？方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是什么？
[提示] 函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点是(x1,0)，(x2,0)，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是x1和x2．
1．已知集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{－4,1,3,5}，则A∩B＝( )
A．{－4,1} B．{1,5} C．{3,5} D．{1,3}
D [由x2－3x－4<0，得－12．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7．
3 [由题知－7，－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两根．
∴a＝3．]
3．不等式2x2＋5x－3＞0的解集是
．
[2x2＋5x－3＝(2x－1)(x＋3)＞0，
解得x＞或x＜－3，
故解集为．]
4．设M＝{x|－x2－2x＋15>0}，N＝{x|(1＋x)(6－x)<－8}，求M∩N，M∪N．
[解] 由－x2－2x＋15>0，
得x2＋2x－15<0，
∴－5由(1＋x)(6－x)<－8，
得6＋5x－x2<－8，
即x2－5x－14<0，
∴－2∴M∩N＝{x|－2一元二次不等式的解法
【例1】 解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3＜0；(2)－3x2＋6x≤2；
(3)4x2－4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10＞0．
[解] (1)Δ＝49>0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝，作出函数y＝2x2＋5x－3的图像，如图所示，用阴影部分描出原不等式的解，由图可得原不等式的解集为
．
(2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0．Δ＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2＝，作出函数y＝3x2－6x＋2的图像，如图所示，
由图可得原不等式的解集为
．
(3)因为Δ＝0，所以方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝．作出函数y＝4x2－4x＋1的图像如图所示．
由图可得原不等式的解集为．
(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，因为Δ＝－4<0，
所以方程x2－6x＋10＝0无实根，所以原不等式的解集为?．
解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零．
(2)计算对应方程的判别式．
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．
(4)根据函数图像与x轴的相关位置写出不等式的解集．
1．(1)不等式(x＋1)(2－x)≤0的解集为( )
A．[－2,1]
B．[－1,2]
C．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
(2)解不等式：－2(1)C [由(x＋1)(2－x)≤0，得(x＋1)(x－2)≥0，
方程(x＋1)(x－2)＝0的解为x＝－1，x2＝2，函数y＝(x＋1)(x－2)的图像是开口向上的抛物线，与x轴的交点为(－1,0)和(2,0)．
观察图像可得，不等式的解集为{x|x≤－1或x≥2}．]
(2)[解] 原不等式等价于不等式组
不等式①可化为x2－3x＋2>0，解得x>2或x<1．
不等式②可化为x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5．
故原不等式的解集为[－2,1)∪(2,5]．
三个二次之间的关系
【例2】 若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
[解] 由题意知所以
代入不等式cx2－bx＋a>0中得
ax2＋ax＋a>0(a<0)．
即x2＋x＋1<0，化简得x2＋5x＋6<0，
所以所求不等式的解集为{x|－3三个“二次”问题的解法
?1?已知一元二次方程的根，可以写出相应不等式的解集.反之，已知不等式的解集也可以写出相应二次方程的根，进一步可求得方程中的系数或得到系数之间的关系.
?2?解决此类问题，要注意隐含条件的提取，如本例借助不等式及其解集的对应关系得出“a＜0”这一关键信息，并由此得c＜0，从而解得不等式cx2＋bx＋a＜0.
2．已知不等式ax2＋bx＋2＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求a，b的值．
[解] 法一：由题意知x1＝1，x2＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根，故，解得a＝1，b＝－3．
法二：由题意知x1＝1，x2＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根，由根与系数的关系得，解得a＝1，b＝－3．
含参数的一元二次不等式的解法
[探究问题]
1．不等式(x－a)(x－a－1)＞0的解集是什么？
[提示] {x|x＜a或x＞a＋1}．
2．不等式x(ax－1)＜0(其中a≠0)的解集是什么？
[提示] 当a＞0时，解集为；
当a＜0时，解集为．
3．如何判断方程x2＋ax＋1＝0是否有根？
[提示] 当Δ＝a2－4≥0，即a≥2或a≤－2时，方程x2＋ax＋1＝0有根，
当Δ＝a2－4＜0，即－2＜a＜2时，方程x2＋ax＋1＝0无根．
4．不等式x2＋ax＋1＜0的解集是吗？
[提示] 当Δ＝a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时，不等式的解集是
；
当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，不等式的解集是?．
【例3】 解关于x的不等式：ax2－(a－1)x－1＜0(a∈R)．
[解] 原不等式可化为(ax＋1)(x－1)＜0，
当a＝0时，x＜1；
当a＞0时，(x－1)＜0，
∴－＜x＜1；当a＝－1时，x≠1；
当－1＜a＜0时，(x－1)＞0，
∴x＞－或x＜1；
当a＜－1时，－＜1，∴x＞1或x＜－．
综上，
当a＝0时，原不等式的解集是{x|x＜1}；
当a＞0时，原不等式的解集是
；
当a＝－1时，原不等式的解集是{x|x≠1}；
当－1＜a＜0时，原不等式的解集是．
1．(变条件)把例3中的不等式换为：ax2－x－1＜0(a∈R)，解此不等式．
[解] 当a＝0时，不等式化为－x－1＜0，解得x＞－1，
当a＞0时，方程ax2－x－1＝0的Δ＝1＋4a＞0，则该方程有两个根，x1＝，x2＝，且x1＜x2，故不等式的解为＜x＜，
当a＜0时，方程ax2－x－1＝0的Δ＝1＋4a，
若Δ＝1＋4a＞0，即－＜a＜0时，方程ax2－x－1＝0
有两个根：x1＝，x2＝，且x1＞x2故不等式的解为x＜或x＞；
若Δ＝1＋4a＝0，即a＝－时，不等式化为x2＋4x＋4＞0，不等式的解为x∈R且x≠－2，
若Δ＝1＋4a＜0，即a＜－时，方程ax2－x－1＝0无解，则不等式ax2－x－1＜0的解集为R．
综上所述：
当a＞0时，原不等式解集为
，
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＞－1}，
当－＜a＜0时，原不等式的解集为
，
当a＝－时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠－2}，
当a＜－时，原不等式的解集为R．
2．(变条件)把例3中的不等式换为：x2－(a＋a2)x＋a3＞0，解此不等式．
[解] 原不等式可化为(x－a)(x－a2)＞0，讨论a与a2的大小
(1)当a2＞a即a＞1或a＜0时，x＞a2或x＜a．
(2)当a2＝a即a＝0或a＝1时，x≠a．
(3)当a2＜a即0＜a＜1时，x＞a或x＜a2．
综上，当a＜0或a＞1时，解集为{x|x＞a2或x＜a}，
当a＝0或1时，解集为{x|x≠a}，
当0＜a＜1时，解集为{x|x＞a或x＜a2}．
1．若一元二次不等式中的系数是含有字母的代数式，则需对参数进行分类讨论．一般从以下三个方面进行分类讨论：
(1)以二次项系数与零的大小关系作为分类标准；
(2)以判别式与零的大小关系作为分类标准；
(3)若判别式大于零，但两根的大小不能确定，则再以两根的大小关系作为分类标准．
2．含参数的一元二次不等式的解题步骤为：①将二次项系数转化为正数．②判断相应方程是否有根．③根据根的情况写出相应的解集，若方程有两个相异根，为了正确写出解集还要确定两根的大小．
1．解一元二次不等式应注意，当二次项系数为负数时，一般先化成正数再求解，一元二次不等式的解集是一个集合，要写成集合的形式．
2．解一元二次不等式要密切联系其所对应的一元二次方程以及二次函数的图像．一元二次方程的根就是二次函数图像与x轴交点的横坐标，对应不等式的解集，而方程的根就是不等式解集区间的端点．
3．解不等式ax2＋bx＋c>0(或ax2＋bx＋c<0)时要注意对参数分类讨论，讨论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数a>0，a＝0，a<0；第二层次是有没有实数根的讨论，即根的判别式Δ>0，Δ＝0，Δ<0；第三层次是根的大小的讨论．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)设一元二次方程f(x)＝0的两解为x1，x2，则一元二次不等式f(x)＞0的解集不可能为{x|x1＜x＜x2}．
( )
(2)不等式f(x)＝ax2＋bx＋c≥0(a≠0)的解集为空集，则f(x)＝0无零点．
( )
(3)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像在x轴上方时点的横坐标x的集合．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
[提示] (1)错误．当f(x)二次项系数小于0时，f(x)＞0的解集是{x|x1＜x＜x2}，(2)(3)正确．
2．(2x－1)(3x＋1)>0的解集为( )
A．
B．
C．
D．
A [由(2x－1)(3x＋1)>0，得x>，或x<－．]
3．若不等式ax2－x＋b＜0的解集为{x|2＜x＜3}，则a＋b＝
．
[由题意知x1＝2，x2＝3是方程ax2－x＋b＝0的根，由根与系数的关系得，解得a＝，b＝，故a＋b＝．]
4．解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a≤0．(a∈R)
[解] 不等式x2－(a＋1)x＋a≤0可化为(x－1)(x－a)≤0，
当a＞1时，不等式的解集为{x|1≤x≤a}；
当a＝1时，不等式的解集为{x|x＝1}，
当a＜1时，不等式的解集为{x|a≤x≤1}．
PAGE
-
1
-第3章
不等式
§1 不等关系
1．1 不等关系
1．2 不等关系与不等式
学
习
目
标
核
心
素
养
1．了解现实世界和日常生活中的不等关系．2．了解不等式(组)的实际背景．(难点)3．能用作差法比较大小．(重点)
1．通过认识不等关系及不等符号，培养数学抽象素养．2．通过对两数(式)比较大小，提升逻辑推理素养．
1．不等式中的数字符号
阅读教材P69～P71“练习”以上部分，完成下列问题．
两个数或代数式常用以下数学符号连接：“＝”“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”．
文字语言
数学符号
文字语言
数学符号
大于
＞
至多
≤
小于
＜
至少
≥
大于等于
≥
不少于
≥
小于等于
≤
不多于
≤
思考：(1)限速40
km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40
km/h，用不等式如何表示？
[提示] v≤40
km/h．
(2)如何用不等式表示“a与b的差是非负数”？
[提示] a－b≥0．
2．比较大小
阅读教材P72～P73“练习”以上部分，完成下列问题．
(1)作差法比较两实数大小
依据
如果a－b＞0，那么a＞b．如果a－b＜0，那么a＜b．如果a－b＝0，那么a＝b
结论
确定任意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的差a－b与0的大小关系
(2)不等式的性质
①对称性：若a＞b，则b＜a；若b＜a，则a＞b．
②传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
③同向可加性：若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d．
④乘法法则：若a>b，c>0，则ac>bc；若a>b，c<0，则ac⑤同向的可乘性：若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd．
⑥乘方法则：若a＞b＞0，则an＞bn(n∈N＋，且n≥2)．
⑦开方法则：若a＞b＞0，则＞(n∈N＋，且n≥2)．
⑧同号取倒数反序性：若a＞b，ab＞0，则＜．
思考：(1)“若a＞b，c＞d，那么ac＞bd”成立吗？
[提示] 不成立，如a＝－2，b＝－3，c＝1，d＝0，则ac＜bd．
(2)“若an＞bn，(n∈N＋，且n≥2)，则a＞b”一定成立吗？
[提示] 不一定，如(－4)2＞(－2)2，但－4＜－2．
1．如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的是( )
A．＜
B．＜
C．a2＜b2
D．|a|＞|b|
A [A正确，B、C、D可举反例排除，如对B、C，设a＝－9，b＝1，对D，设a＝－1，b＝2即可．]
2．当x＞2时，x2与2x的大小关系为
．
x2＞2x [x2－2x＝x(x－2)，因为x＞2，故x(x－2)＞0，即x2＞2x．]
3．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则b2－4ac的值的符号为
．
正 [因为a＋b＋c＝0，
所以b＝－(a＋c)，
所以b2＝a2＋c2＋2ac．
所以b2－4ac＝a2＋c2－2ac＝(a－c)2．
因为a>c，
所以(a－c)2>0．
所以b2－4ac>0，
即b2－4ac的符号为正．]
4．已知a>b>c，则＋＋的值为
(填“正数”“非正数”“非负数”)．
正数 [因为a>b>c，所以a－b>0，b－c>0，a－c>b－c>0．所以>0，>0，<，所以＋－>0，所以＋＋为正数．]
用不等式(组)表示不等关系
【例1】 配制A，B两种药剂，需要甲，乙两种原料．已知配一剂A种药需甲料3克，乙料5克；配一剂B种药需甲料5克，乙料4克．今有甲料20克，乙料25克，若A，B两种药至少各配一剂，设A，B两种药分别配x，y剂(x，y∈N＋)，请写出x，y所满足的不等关系．
[解] 根据题意可得
?1?将不等关系表示成不等式?组?的思路
①读懂题意，找准不等关系所联系的量；
②用适当的不等号连接；,③若有多个不等关系，根据情况用不等式组表示.
?2?用不等式?组?表示不等关系时应注意的问题,在用不等式?组?表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个?或几个?量之间不能用不等式?组?来表示.
1．b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再加入m克糖(m>0)，则糖水更甜了，试根据这个事实写出一个不等式．
解：由题意得>．
比较两个数(式)的大小
【例2】 比较下列各式的大小：
(1)当x≤1时，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
(2)当x，y，z∈R时，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．
[解] (1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．
因为x≤1，所以x－1≤0，而3x2＋1>0．所以(3x2＋1)(x－1)≤0，所以3x3≤3x2－x＋1．
(2)因为5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，所以5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当x＝y＝且z＝1时取到等号．
比较大小的方法
?1?作差法：比较两个代数式的大小，可以根据它们的差的符号进行判断，一方面注意题目本身提供的字母的取值范围，另一方面通常将两代数式的差进行因式分解转化为多个因式相乘，或通过配方转化为几个非负实数之和，然后判断正负.,作差法的一般步骤：
作差——变形——判号——定论.
?2?作商法：作商比较通常适用于两代数式同号的情形，然后比较它们的商与1的大小.,作商法的一般步骤：
作商——变形——与1比较大小——定论.
?3?单调性法：利用函数单调性比较大小，通常先构造一个函数，再利用单调性进行判断.
2．已知a>b>0，试比较aabb与abba的大小．
[解] 因为＝aa－b·bb－a＝，
因为a>b>0，
所以a－b>0，>1，
所以>1，
故aabb>abba．
不等式的性质及应用
[探究问题]
1．“若a＞0，b＞0，则ab＞0，a＋b＞0”成立吗？反之成立吗？
[提示] 成立，反之也成立，即“若ab＞0，a＋b＞0，则a＞0，b＞0”．
2．“若a＞1，b＞1，则ab＞1，a＋b＞2”成立吗？反之成立吗？
[提示] 成立，但反之不成立，即“若ab＞1，a＋b＞2，则a＞1，b＞1”不成立，反例：a＝4，b＝，满足ab＞1，a＋b＞2，但不满足a＞1，b＞1．
3．如何用a＋b和a－b表示2a－3b?
[提示] 设2a－3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，
即2a－3b＝(x＋y)a＋(x－y)b，
所以，
解得
故2a－3b＝－(a＋b)＋(a－b)．
【例3】 设f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．
思路探究：用f(－1)，f(1)表示f(－2)，再利用f(－1)，f(1)的取值范围求f(－2)的取值范围．
[解] 由f(x)＝ax2＋bx得，
f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，f(－2)＝4a－2b，
设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，
则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，
于是有
解得
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．
又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
即5≤f(－2)≤10，
∴f(－2)的取值范围是[5,10]．
(变结论)例3的条件不变，求f(2)的取值范围．
[解] 由例3的解答可知f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，
又f(2)＝4a＋2b，设4a＋2b＝x(a－b)＋y(a＋b)，
即4a＋2b＝(x＋y)a＋(y－x)b，则
解得
则4a＋2b＝(a－b)＋3(a＋b)，
即f(2)＝f(－1)＋3f(1)，
由1≤f(－1)≤2,6≤3f(1)≤12，
两式相加得7≤f(－1)＋3f(1)≤14．
即f(2)的取值范围是[7,14]．
利用性质求范围问题的基本要求
?1?利用不等式性质时，要特别注意性质成立的条件，如同向不等式相加，不等号方向不变，两边都是正数的同向不等式才能相乘等.
?2?要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性.
[提醒] 本例中如果由1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4得到a，b的取值范围，再求f?－2?的取值范围，那么得到的结果不是正确答案.这是因为求得的a，b的取值范围与已知条件不是等价关系.
1．比较两个实数的大小，只要研究它们的差就可以了．a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a2．不等式的性质
(1)注意不等式性质的使用条件，例如，只有同向不等式才可以相加．
(2)不等式的性质是解(证)不等式的基础，对不等式变形时要依据不等式的性质进行．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a＞b，则ac＞bc．
( )
(2)a2一定大于a．
( )
(3)若a＞b，则＜．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
[提示] (1)错误，当c＝0时，ac＝bc；当c＜0时，ac＜bc；
(2)错误，当0≤a≤1时，a2≤a；
(3)错误，反例2＞－1，但＞－1．
2．已知a，b，c，d∈R且ab>0，－>－，则( )
A．bcB．bc>ad
C．＞
D．<
A [∵ab>0，∴在－＞－两侧乘ab不变号，即－bc>－ad，即bc3．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系为
．
M＞N [M－N＝x2－(－x－1)＝x2＋x＋1＝＋＞0，故M＞N．]
4．已知2＜a＜4,3＜b＜8，求a－b，的取值范围．
[解] ∵3＜b＜8，
∴－8＜－b＜－3．
又2＜a＜4，∴－6＜a－b＜1．
∵3＜b＜8，
∴＜＜．
又2∴<<．
综上，－6PAGE
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