解三角形
[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
利用正、余弦定理解三角形
【例1】 在△ABC中，∠A＝60°，c＝a．
(1)求sin
C的值；
(2)若a＝7，求△ABC的面积．
[解] (1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝a，
所以由正弦定理得sin
C＝＝×＝．
(2)因为a＝7，
所以c＝a＝×7＝3，
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos
A得
72＝b2＋32－2b×3×，
解得b＝8或b＝－5(舍去)，
所以△ABC的面积S＝bcsin
A＝×8×3×＝6．
解三角形的四种类型
已知条件
应用定理
一般解法
一边和两角(如a，B，C)
正弦定理
由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c，在有解时只有一解
两边和夹角(如a，b，C)
余弦定理、正弦定理
由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出一边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角，在有解时只有一解
三边(a，b，c)
余弦定理
由余弦定理求出角A，B；再利用A＋B＋C＝180°求出角C，在有解时只有一解
两边和其中一边的对角(如a，b，A)
正弦定理、余弦定理
由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c，可有两解、一解或无解
1．(1)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos
A＝( )
A．
B．
C．－
D．－
(2)在△ABC中，若三边的长为连续整数，且最大角是最小角的二倍，求三边长．
(1)C [设△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得a＝csin＝c，则a＝c．
在△ABC中，由余弦定理可得
b2＝a2＋c2－ac＝c2＋c2－3c2＝c2，则b＝c．
由余弦定理，可得cos
A＝＝＝－．]
(2)[解] 设最小内角为θ，三边长为n－1，n，n＋1，
由正弦定理，得＝，
所以n－1＝，所以cos
θ＝．
由余弦定理的变形公式，得
cos
θ＝，
所以＝，解得n＝5．
所以△ABC的三边分别为4,5,6．
判断三角形的形状
【例2】 在△ABC中，若＝，试判断△ABC的形状．
[解] 由已知＝＝＝得＝，
以下可有两种解法：
法一：(利用正弦定理边化角)
由正弦定理得＝，∴＝，
即sin
Ccos
C＝sin
Bcos
B，即sin
2C＝sin
2B，
∵B、C均为△ABC的内角，
∴2C＝2B或2C＋2B＝180°．
∴B＝C或B＋C＝90°，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
法二：(利用余弦定理角化边)
由余弦定理得＝，
即a2(b2－c2)＝(b2＋c2)(b2－c2)，
解得a2＝b2＋c2或b2＝c2(即b＝c)，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
1．利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状的两种方法
法一：通过边之间的关系判断形状；
法二：通过角之间的关系判断形状．
利用正弦、余弦定理可以将已知条件中的边、角互化，把条件化为边的关系或化为角的关系．
2．判断三角形的形状时常用的结论
(1)在△ABC中，A＞B?a>b?sin
A>sin
B?cos
A
B．
(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，A＋B＝π－C，则cos(A＋B)＝－cos
C，sin(A＋B)＝sin
C．
(3)在△ABC中，a2＋b2＜c2?＜C＜π，a2＋b2＝c2?cos
C＝0?C＝，a2＋b2>c2?cos
C>0?02．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acos
B＋acos
C＝b＋c，试判断△ABC的形状．
[解] 由acos
B＋acos
C＝b＋c，
法一：得sin
Acos
B＋sin
Acos
C＝sin
B＋sin
C＝sin(A＋C)＋sin(A＋B)．
化简得，cos
A(sin
B＋sin
C)＝0，
又sin
B＋sin
C>0，
∴cos
A＝0，即A＝，∴△ABC为直角三角形．
法二：由acos
B＋acos
C＝b＋c，
得a×＋a×＝b＋c，
＋＝b＋c，
a2b＋a2c－b3－c3＝b2c＋bc2，
(b＋c)(a2－b2＋bc－c2)＝bc(b＋c)，
a2－b2＋bc－c2＝bc，
a2＝b2＋c2，
所以，△ABC是直角三角形．
三角形中的几何计算
【例3】 在四边形ABCD中，BC＝a，DC＝2a，且A∶∠ABC∶C∶∠ADC＝3∶7∶4∶10，求AB的长．
[解] 如图所示，连接BD．
∵A＋∠ABC＋C＋∠ADC＝360°，
∴A＝45°，∠ABC＝105°，C＝60°，
∠ADC＝150°，
在△BCD中，由余弦定理，得
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos
C
＝a2＋4a2－2a·2a·cos
60°＝3a2，
∴BD＝a．
∴BD2＋BC2＝CD2，
∴∠CBD＝90°，∴∠ABD＝15°，∴∠BDA＝120°．
在△ABD中，由＝，
得AB＝＝＝a．
解决三角形中的几何计算问题要注意把握三点：一是对几何图形中几何性质的挖掘，它往往是解题的切入点；二是根据条件或图形，找出已知、未知及求解中需要的三角形，合理利用正、余弦定理和三角恒等变换公式；三是要有应用方程思想解题的意识，同时还要有引入参数，突出主元，简化问题的解题意识.
3．如图所示，已知∠MON＝60°，Q是∠MON内一点，它到两边的距离分别为2和11，求OQ的长．
[解] 作QA⊥OM于A，QB⊥ON于B，连接AB，则QA＝2，QB＝11，且O，A，Q，B都在以OQ为直径的圆上．
∠AOB和∠AQB为同一弦AB所对的圆周角，且两角互补．
∵∠AOB＝60°，∴∠AQB＝120°．
在△AQB中，由余弦定理，
得AB2＝AQ2＋BQ2－2·AQ·BQ·cos∠AQB
＝22＋112－2×2×11×cos
120°＝147，
∴AB＝7．
连接OQ，在Rt△OBQ中，OQ＝＝．
又在△AOB中，＝，∴OQ＝＝14．
解三角形与平面向量的综合应用
【例4】 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若·＝·＝1．
(1)求证：A＝B；
(2)求边长c的值；
(3)若|＋|＝，求△ABC的面积．
[解] (1)证明：∵·＝·，
∴bccos
A＝accos
B，即bcos
A＝acos
B．
由正弦定理，得sin
Bcos
A＝sin
Acos
B，
∴sin(A－B)＝0．
∵－π(2)∵·＝1，∴bccos
A＝1．
由余弦定理，得bc×＝1，即b2＋c2－a2＝2．
∵由(1)，得a＝b，∴c2＝2，∴c＝．
(3)∵|＋|＝，
∴||2＋||2＋2·＝6，
即∵c2＋b2＋2＝6，∵c2＋b2＝4，∴c2＝2，∴b2＝2，b＝．
∴△ABC为正三角形．
∴S△ABC＝×××sin
60°＝．
在高考中解三角形问题常与平面向量知识?主要是数量积?结合在一起进行考查.判断三角形形状或结合正弦定理、余弦定理求值，这也是高考命题的新趋势.
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin
Bsin
C，且·＝4，求△ABC的面积S．
[解] 由已知得b2＋c2＝a2＋bc，
∴bc＝b2＋c2－a2＝2bccos
A，
∴cos
A＝，sin
A＝．
由·＝4，得bccos
A＝4，∴bc＝8．
∴S＝bcsin
A＝2．
与三角形有关的综合问题
[探究问题]
1．在△ABC中，由a2＋b2－c2＝－ab可得到什么？
[提示] 由a2＋b2－c2＝－ab得＝－，即cos
C＝－，故C＝120°．
2．在△ABC中，若A＋B＝，能否求出sin
A＋sin
B的范围？
[提示] 用角B表示角A得B＝－A，则sin
A＋sin
B＝sinA＋sin，化为一个角的三角函数可求其范围．
【例5】 在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A＝sin2B＋cos2C＋sin
Asin
B．
(1)求角C的大小；
(2)若c＝，求△ABC周长的取值范围．
思路探究：(1)利用正弦定理把角转化为边，然后利用余弦定理求角C；(2)利用正弦定理得到周长的表达式化为一个角的三角函数求范围．
[解] (1)由题意知1－sin2A＝sin2B＋1－sin2C＋sin
Asin
B，
即sin2A＋sin2B－sin2C＝－sin
Asin
B，
由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab，
由余弦定理得cos
C＝＝＝－，
又∵0(2)由正弦定理得＝＝＝2，∴a＝2sin
A，b＝2sin
B，
则△ABC的周长为L＝a＋b＋c＝2(sin
A＋sin
B)＋＝2＋＝2sin＋．
∵0∴∴2<2sin＋≤2＋，
∴△ABC周长的取值范围是(2，2＋]．
1．(变结论)例5的条件不变，若c＝2，a＝，求sin
2B的值．
[解] 由例5的解答可知C＝，由正弦定理＝，即sin
A＝＝＝，
由于c＞a，故A是锐角，cos
A＝＝，
所以sin
2A＝2sin
Acos
A＝，
cos
2A＝2cos2A－1＝－，
得sin
2B＝sin
2＝sin＝cos
2A＋sin
2A＝×＋×＝．
2．(变条件)把例5的条件换为“2ccos
B＝2a＋b”，求角C．
[解] 由正弦定理及2ccos
B＝2a＋b得
2sin
Ccos
B＝2sin
A＋sin
B，
因为A＋B＋C＝π，所以sin
A＝sin(B＋C)，
则2sin
Ccos
B＝2sin(B＋C)＋sin
B，
即2sin
Bcos
C＋sin
B＝0，
又0＜B＜π，所以sin
B＞0，
则cos
C＝－，又C∈(0，π)，故C＝．
与三角形有关的综合问题的解法,该类问题以三角形为载体，在已知条件中设计了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等.
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1
-§3 解三角形的实际应用举例
学
习
目
标
核
心
素
养
1．掌握测量距离、高度、角度等问题中正、余弦定理的应用．(重点)2．了解测量的方法和意义．(难点)3．提高应用数学知识解决实际问题的能力．(难点)
1．通过实际问题应用举例，提升数学建模素养．2．通过解三角形的实际应用，培养数学运算素养．
实际问题中的有关术语
阅读教材P58～P61“练习2”以上部分完成下列问题．
名称
定义
图示
仰角与俯角
在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角，如图
方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图，B点的方位角为α
方向角
从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°．如图，∠ABC为北偏东60°或东偏北30°
思考：(1)方位角的范围是什么？
[提示] [0°，360°)．
(2)若点B在点A的北偏东60°，则点A在点B的哪个方向？
[提示] 南偏西60°．
(3)若从点A看点B的仰角为30°，则从点B看点A的俯角是多少度？
提示：30°．
1．在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的( )
A．北偏西34°27′
B．北偏东55°33′
C．北偏西55°33′
D．南偏西34°27′
[答案] A
2．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东5°
B．北偏西10°
C．南偏东5°
D．南偏西10°
[答案] B
3．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50
m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )
A．50m
B．50m
C．25m
D．m
A [由正弦定理得＝，
又∵B＝30°，
∴AB＝＝＝50(m)．]
4．在A点观察一塔吊顶的仰角为45°，又A点距塔吊底部距离为45米，则塔吊的高是
米．
45 [如图所示，设塔吊为BC，由题意可知△ABC为等腰直角三角形，所以BC＝AB＝45(米)．]
测距离问题
【例1】 海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是
．
5海里 [如图，在△ABC中，C＝180°－(B＋A)＝45°，
由正弦定理，可得＝，
所以BC＝×10＝5(海里)．]
求距离问题时应注意的三点
?1?选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.
?2?确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.
?3?测量两个不可到达的点之间的距离问题.首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后在相关三角形中利用正弦定理计算其他边.
1．(1)为了测量水田两侧A，B两点间的距离(如图所示)，某观测者在A的同侧选定一点C，测得AC＝8
m，∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为
m．
(2)如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？
(1)8(－1) [根据正弦定理得＝，
所以AB＝
＝
＝＝8(－1)(m)，
即A，B间的距离为8(－1)m．]
(2)[解] 由正弦定理得
AC＝
＝＝
＝10(1＋)(米)，
BC＝
＝＝20(米)．
在△ABC中，由余弦定理得
AB＝＝10(米)．
所以A，B两点间的距离为10米．
测量高度问题
【例2】 如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600
m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝
m．
100 [在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，由正弦定理得＝，即＝，
所以BC＝300(m)．
在Rt△BCD中，
∠CBD＝30°，CD＝
BCtan∠CBD＝300·
tan
30°＝100(m)．]
求解高度问题应注意的三个问题
?1?在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角?它是在铅垂面上所成的角?、方向?位?角?它是在水平面上所成的角?是关键.
?2?在实际问题中，可能会遇到空间与平面?地面?同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.
?3?注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.
2．如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800
m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD．
[解] 由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，
所以CD＝AD．
因此只需在△ABD中求出AD即可，
在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，
由＝，得AD＝＝＝800(＋1)(m)．
即山的高度为800(＋1)
m．
与角度有关的实际问题
[探究问题]
1．方位角是怎样规定的？其范围是多少？
[提示] 方位角是从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角，其范围是[0,2π)．
2．方向角是怎样规定的？其范围是多少？
[提示] 正北或正南方向线与目标线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度，其范围是[0°，90°)．
3．若P在Q的北偏东60°，则Q在P的南偏西多少度？
[提示] 60°．
【例3】 如图所示，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．
思路探究：结合图形将实际问题转化为解三角形问题，应用正、余弦定理求解．
[解] 设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝10t海里，BD＝10t海里．
在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos
∠BAC＝(－1)2＋22－2(－1)·2·cos
120°＝6，
∴BC＝海里．
又∵＝，
∴sin∠ABC＝
＝＝，
∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°．
在△BCD中，由正弦定理，得
＝，
∴sin∠BCD＝
＝＝，
∴∠BCD＝30°，
∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶．
又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，
∴D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝，
∴t＝小时≈15分钟．
∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．
1．(变结论)假设在例3中，缉私船以最快的速度截获走私船(在D点)，把走私船带到海岸A处进行处理，求∠ADB的正弦值．
[解] 由例3解答可知CD＝3，CB＝BD＝，∠CBD＝120°，所以∠BCD＝∠BDC＝30°，又∠ACB＝15°，
则∠ACD＝45°，在△ACD中，由余弦定理得
AD2＝AC2＋CD2－2×AC×CD×cos
45°＝4＋18－2×2×3×＝10，故AD＝，
在△ABD中，由正弦定理得＝，
即＝，
解得sin∠ADB＝．
2．(变条件)把例3中条件“走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜”改为“走私船正以15海里/时的速度，从B处向正北方向逃窜”，则例3的结果应是什么？
[解] 由例3的解答可知BC＝，设缉私船沿CD方向，才能最快截获(在D点)走私船(如图所示)，
由题意知△CBD是直角三角形，
且CD＝10t，BD＝15
t，
所以sin∠BCD＝＝
＝，
故∠BCD＝60°，10tcos
60°＝，
所以t＝(小时)．
所以缉私船应沿北偏东30°的方向行驶，才能最快截获走私船，需要小时．
求解实际应用中的角度问题时，一般把求角的问题转化为解三角形的问题，基本方法是
?1?明确各个角的含义；
?2?分析题意，分析已知与所求，画出正确的示意图；
?3?将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形的边与角的关系，运用正弦定理求解.
1．测量距离问题：这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度．
2．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)俯角是铅垂线与视线所成角，其范围是
．
( )
(2)在O点测得点A在其北偏西30°，则在O点测得点A的方位角是30°．
( )
(3)方位角与方向角的实质一样，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
[提示] (1)错误，俯角是视线与水平线所成的角；
(2)错误，在O点测得点A的方位角应为330°．
(3)正确．
2．如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是( )
A．α，a，b
B．α，β，a
C．a，b，γ
D．α，β，b
A [选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB．选项C中可由余弦定理确定AB．选项D同B类似．]
3．我舰在岛A南偏西50°相距12海里的B处发现敌舰正从岛A沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度为
海里/小时．
14 [由题可得右图．
不妨设我舰追上敌舰时在C点．
则AC＝20，∠BAC＝120°，AB＝12，
∴BC2＝122＋202－2·12·20·cos
120°＝282，∴BC＝28，
∴速度v＝＝14(海里/小时)．]
4．2020年年初新冠肺炎肆虐全球，抗击新冠肺炎的有效措施之一是早发现、早隔离．现某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的四边形区域ABCD沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的隔离区．经测量，边界AB与AD的长都是200米，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°.
(1)若∠ADC＝105°，求BC的长(结果精确到米)；
(2)围成该区域至多需要多少米长度的板材？(不计损耗，结果精确到米)
[解] (1)连接BD，则在△BCD中BD＝200，∠BDC＝45°，
由＝，得
BC＝＝≈163，
所以BC的长约为163米．
(2)设∠CBD＝θ(0<θ<)，则∠BDC＝－θ，
在△BCD中，由＝＝，
得BC＝sin
，CD＝sin
θ，
所以BC＋CD＝＝sin
，
所以当θ＝时，BC＋CD取得最大值，
此时围成该施工区域所需的板材长度最长，为＋400米，约为631米．
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11
-§2 三角形中的几何计算
学
习
目
标
核
心
素
养
1．进一步理解正、余弦定理中所蕴含的边角之间的关系．(易混点)2．掌握通过正、余弦定理进行边角转化的方法，以及解决有关三角形中的几何度量问题．(重点)3．深刻体会数形结合思想、方程思想以及转化与化归思想在三角形度量问题中的应用．(难点)4．了解正弦定理与余弦定理在三角形中的重要作用，培养学生灵活运用知识的能力．
1．通过三角形中的几何计算，培养数学运算素养．2．通过三角形中的几何计算，培养逻辑推理素养．
三角形中的几何计算
阅读教材P54～P55“练习”以上部分完成下列问题．
(1)三角形中的几何计算主要涉及长度、角度、面积问题．
(2)在△ABC中，有以下常用结论：
①a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b；
②a＞b?A＞B?sin
A＞sin
B；
③A＋B＋C＝π，＝－；
④sin(A＋B)＝sin
C，cos(A＋B)＝－cos
C，sin＝cos，cos＝sin．
思考：(1)若角A是三角形ABC中最大的角，则角A的范围是什么？
[提示] ≤A＜π．
(2)在△ABC中，若A＝，则角B的取值范围是什么？
[提示] 0＜B＜．
1．在△ABC中，a＝2，A＝30°，则△ABC外接圆的半径为( )
A．4
B．2
C．2
D．
B [由正弦定理得2R＝＝＝4，故R＝2．]
2．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC的面积等于( )
A．12
B．
C．28
D．6
D [由余弦定理可得cos
A＝，A＝60°，所以S△ABC＝bcsin
A＝6．]
3．已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则( )
A．A＝30°
B．A＝60°
C．A＝30°或150°
D．A＝60°或120°
D [由S△ABC＝bcsin
A＝，
得sin
A＝，sin
A＝，
由0°4．在△ABC中，三边a，b，c与面积S的关系式为a2＋4S＝b2＋c2，则角A为
．
45° [因为a2＝b2＋c2－2bccos
A，又已知a2＋4S＝b2＋c2，故S＝bccos
A＝bcsin
A，从而sin
A＝cos
A，tan
A＝1，A＝45°．]
计算线段的长度和角度
【例1】 在△ABC中，已知B＝30°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6．
(1)求∠ADC的大小；
(2)求AB的长．
[解] (1)在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得
cos∠ADC＝
＝＝－，
∴∠ADC＝120°．
(2)由(1)知∠ADB＝60°，在△ABD中，
AD＝10，B＝30°，∠ADB＝60°，
由正弦定理得＝，
∴AB＝＝＝＝10．
求线段的长度与角度的方法
?1?求线段的长度往往归结为求三角形的边长，解决此类问题要恰当地选择或构造三角形，利用正、余弦定理求解；
?2?求角度时，把所求的角看作某个三角形的内角，利用正、余弦定理求解，或利用A＋B＋C＝π求解.
1．如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．
[解] 在△ABD中，由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，
设BD＝x，则有142＝102＋x2－2×10xcos
60°，
∴x2－10x－96＝0，
∴x1＝16，x2＝－6(舍去)，∴BD＝16．在△BCD中，由正弦定理知＝，
∴BC＝·sin
30°＝8．
三角形中与面积有关的问题
【例2】 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin
A＋cos
A＝0，a＝2，b＝2．
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
[解] (1)由已知可得tan
A＝－，所以A＝．
在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos，
即c2＋2c－24＝0．
解得c＝－6(舍去)，c＝4．
(2)由题设可得∠CAD＝，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝．
故△ABD面积与△ACD面积的比值为
＝1．
又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，
所以△ABD的面积为．
三角形面积公式的应用
?1?三角形面积公式的选取取决于三角形中哪个角的正弦值可求.
?2?在解决三角形问题时，面积公式S＝absin
C＝acsin
B＝bcsin
A最常用，因为公式中既有角又有边，容易和正弦定理、余弦定理联系起来应用.
2．在△ABC中，A，B，C是三角形的三内角，a，b，c是三内角对应的三边，已知b2＋c2－a2＝bc．若a＝，且△ABC的面积为3，求b＋c的值．
[解] cos
A＝＝＝，
又A为三角形内角，所以A＝．
由面积公式得：bcsin＝3，即bc＝12．
因为a＝，由余弦定理得：
b2＋c2－2bccos＝13，
即b2＋c2－bc＝13，
则b2＋c2＝25，所以(b＋c)2＝49，故b＋c＝7．
正、余弦定理与三角恒等变换的综合应用
[探究问题]
1．在△ABC中有哪些常用的结论？(试写出三条)
[提示] (1)sin(A＋B)＝sin
C；(2)sin＝cos；(3)cos(A＋B)＝－cos
C．
2．在△ABC中，如何用sin
A，cos
A，sin
B，cos
B表示sin
C?
[提示] sin
C＝sin(A＋B)＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B．
【例3】 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝．
(1)证明：sin
Asin
B＝sin
C；
(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan
B．
[解] (1)证明：根据正弦定理，可设
＝＝＝k(k＞0)，
则a＝ksin
A，b＝ksin
B，c＝ksin
C，
代入＋＝中，有
＋＝，变形可得
sin
Asin
B＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B＝sin(A＋B)．
在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin
C．所以sin
Asin
B＝sin
C．
(2)由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有
cos
A＝＝．
所以sin
A＝＝．
由(1)知，sin
Asin
B＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B，
所以sin
B＝cos
B＋sin
B．
故tan
B＝＝4．
1．(变结论)在例3中，若a＝2，求△ABC的面积．
[解] 由例3(2)解答可知sin
B＝cos
B＋sin
B，
即cos
B＝sin
B，
又sin2B＋cos2B＝1，解得sin
B＝，
由正弦定理得b＝＝，
则S△ABC＝absin
C＝absin
Asin
B＝×2×××＝．
2．(变条件)把例3的条件变为“cos
2C－cos
2A＝2sin·sin”，
(1)求角A的值；
(2)若a＝且b≥a，求2b－c的取值范围．
[解] (1)由已知得2sin2A－2sin2C
＝2，
化简得sin
A＝±，因为A为△ABC的内角，
所以sin
A＝，故A＝或．
(2)因为b≥a，所以A＝．
由正弦定理得＝＝＝2，
得b＝2sin
B，c＝2sin
C，
故2b－c＝4sin
B－2sin
C
＝4sin
B－2sin
＝3sin
B－cos
B
＝2sin．
因为b≥a，所以≤B＜，
则≤B－＜，
所以2b－c＝2sin∈[，2)．
正、余弦定理综合应用技巧
?1?理清题目所给条件，利用正、余弦定理沟通三角形中的边与角之间的数量关系；
?2?紧紧抓住正、余弦定理，依托三角恒等变换和代数恒等变换，将复杂的三角式或代数式转化为简单问题来计算或证明.
1．正弦定理、余弦定理主要用来解决三角形问题，有些平面几何问题通过转化变为解三角形问题，便需要用正弦定理、余弦定理解决．解决时抓住两点：①合理的运用题目中的三角形资源，②尽量将所有的条件集中到某个三角形之中，会使问题更容易解决．
2．三角形面积计算的解题思路
对于此类问题，一般要用公式S＝absin
C＝bcsin
A＝acsin
B进行求解，可分为以下两种情况：
(1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．
(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正弦、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若△ABC的外接圆半径为R，其三边长为a，b，c，则△ABC的面积S＝．
( )
(2)存在△ABC，使sin
A＋sin
B＜sin
C．
( )
(3)在△ABC中，cos
C＝2sin2－1．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
[提示] (1)，(3)正确，(2)错误．因为a＋b＞c，由正弦定理可得sin
A＋sin
B＞sin
C．
2．在△ABC中，周长为7．5
cm，且sin
A∶sin
B∶sin
C＝4∶5∶6，下列结论：
①a∶b∶c＝4∶5∶6；②a∶b∶c＝2∶∶；
③a＝2
cm，b＝2．5
cm，c＝3
cm；④A∶B∶C＝4∶5∶6．
其中成立的个数是( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
C [由正弦定理知a∶b∶c＝4∶5∶6，故①对，②错，④错；结合a＋b＋c＝7．5，知a＝2，b＝2．5，c＝3，∴③对，∴选C．]
3．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为( )
A．
B．
C．
D．9
C [设a＝2，b＝3，cos
C＝，则c2＝a2＋b2－2abcos
C＝4＋9－2×2×3×＝9，即c＝3，又由cos
C＝得sin
C＝，则2R＝＝＝，R＝．]
4．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，求AD的长度．
[解] 在△ABC中，由余弦定理，有
cos
C＝
＝＝，
则C＝30°．
在△ACD中，由正弦定理，有＝，
∴AD＝＝＝，
即AD的长度等于．
PAGE
-
1
-1．2 余弦定理
学
习
目
标
核
心
素
养
1．了解用向量数量积证明余弦定理的方法，体会向量工具在解决三角形度量问题中的作用．(难点)2．掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．(重点)
1．通过余弦定理的推导，提升逻辑推理素养．2．通过余弦定理在解三角形中的应用，提升数学运算素养．
1．余弦定理
阅读教材P49～P50例4以上部分，完成下列问题．
语言表述
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
符号表示
a2＝b2＋c2－2bccos
A；b2＝a2＋c2－2accos
B；c2＝a2＋b2－2abcos
C
推论
cos
A＝；cos
B＝；cos
C＝
作用
实现三角形边与角的互化
思考：(1)余弦定理和勾股定理有什么关系？
[提示] 余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．
(2)观察余弦定理的符号表示及推论，你认为余弦定理可用来解哪类三角形？
[提示] ①已知两边及其夹角，解三角形；
②已知三边，解三角形．
2．余弦定理的推导
如图，设＝a，＝b，＝c那么c＝a－b．
|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)
＝a·a＋b·b－2a·b
＝a2＋b2－2ab
cos
C
所以c2＝a2＋b2－2abcos
C．
同理可证：
a2＝b2＋c2－2bccos
A，
b2＝c2＋a2－2accos
B，
1．已知a，b，c是△ABC的三边，B＝60°，则a2－ac＋c2－b2的值是( )
A．大于0
B．小于0
C．等于0
D．不确定
C [由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos
60°＝a2＋c2－ac，所以，a2－ac＋c2－b2＝(a2－ac＋c2)－b2＝b2－b2＝0．]
2．在△ABC中，若已知a＝2，b＝3，c＝，则cos
A＝
．
[cos
A＝＝＝．]
3．在△ABC中，已知A＝60°，b＝2，c＝1，则a＝
．
[a2＝b2＋c2－2bccos
A＝4＋1－2×2×1×＝3，所以a＝．]
4．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，求a．
[解] 由余弦定理得，
c2＝a2＋b2－2abcos
C，
∴a2＋1＋a＝3，即a2＋a－2＝0
解得a＝1或a＝－2(舍去)．
已知两边及一角解三角形
【例1】 (1)已知△ABC中，cos
A＝，a＝4，b＝3，则c＝
．
(2)在△ABC中，已知a＝3，c＝2，B＝150°，则边b的长为
．
(1)5 (2)7 [(1)A为b，c的夹角，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos
A，
得16＝9＋c2－6×c，
整理得5c2－18c－35＝0．
解得c＝5或c＝－(舍去)．
(2)在△ABC中，由余弦定理得：
b2＝a2＋c2－2accos
B＝(3)2＋22－2×3×2×＝49．所以b＝7．]
?1?已知两边及其中一边的对角解三角形的方法
①先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，要注意判断解的情况；
②用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长.
?2?已知两边及其夹角解三角形的方法
方法一：首先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角.
方法二：首先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求出其他两角.
[提醒] 解三角形时，若已知两边和一边的对角时，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理.一般地，若只求角，则用正弦定理方便，若只求边，用余弦定理方便.
1．(1)在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝
．
(2)在△ABC中，已知A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求b，c．
(1) [由题意，得a＋b＝5，ab＝2．
所以c2＝a2＋b2－2abcos
C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，
所以c＝．]
(2)[解] 由余弦定理，
得a2＝b2＋c2－2bccos
A
＝(b＋c)2－2bc(1＋cos
A)，
所以49＝64－2bc，
即bc＝15，
由
解得或
已知三边(三边关系)解三角形
【例2】 (1)在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶∶2，求A，B，C．
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C,2b＝a，求cos
A．
[解] (1)由于a∶b∶c＝1∶∶2，
可设a＝x，b＝x，c＝2x．
由余弦定理的推论，得cos
A＝＝＝，
故A＝30°．
同理可求得cos
B＝，cos
C＝0，所以B＝60°，C＝90°．
(2)由B＝C,2b＝a，可得c＝b＝a．
所以cos
A＝＝
＝．
已知三角形的三边解三角形的方法
?1?先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角.
?2?利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角.
2．(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，则A＝( )
A．90°
B．60°
C．120°
D．150°
(2)在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．
(1)C [由(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)可得a2－c2＝b2＋bc，即a2＝c2＋b2＋bc．
根据余弦定理得cos
A＝＝＝－，
因为A为△ABC的内角，所以A＝120°．故选C．]
(2)[解] 由余弦定理的推论得：
cos
A＝＝＝，
设中线长为x，由余弦定理知：
x2＝＋AB2－2··ABcos
A＝42＋92－2×4×9×＝49，
则x＝7．
所以，所求中线长为7．
三角形形状的判断
[探究问题]
1．在△ABC中，sin
A＝sin
B，能够判定△ABC为等腰三角形吗？
[提示] 能．由正弦定理和sin
A＝sin
B知a＝b，故△ABC是等腰三角形．
2．在△ABC中，sin
2A＝sin
2B，能够判定△ABC为等腰三角形吗？
[提示] 不能．由sin
2A＝sin
2B得2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，故△ABC是等腰三角形或直角三角形．
3．在△ABC中，acos
A＝bcos
B，要判定三角形的形状，是把acos
A＝bcos
B中的边化为角，还是把角化为边？
[提示] 都可以，化角为边：由余弦定理得
a×＝b×，化简得
(a＋b)(a－b)(c2－a2－b2)＝0，故a＝b或c2＝a2＋b2，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形．
化边为角：由正弦定理得sin
Acos
A＝sin
Bcos
B，即sin
2A＝sin
2B，故2A＝2B或2A＋2B＝π，则A＝B或A＋B＝，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形．
4．判断三角形形状的基本思路是什么？
[提示] 思路一：从角的关系判定．
思路二：从边的关系判定．
【例3】 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos
Asin
B＝sin
C，确定△ABC的形状．
[解] 法一：由正弦定理得＝，由2cos
Asin
B＝sin
C，有cos
A＝＝．
又由余弦定理得cos
A＝，
所以＝，
即c2＝b2＋c2－a2，所以a2＝b2，所以a＝b．
又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3ab，所以4b2－c2＝3b2，
即b2＝c2，所以b＝c，所以a＝b＝c．所以△ABC为等边三角形．
法二：因为A＋B＋C＝180°，所以sin
C＝sin(A＋B)，又因为2cos
Asin
B＝sin
C，
所以2cos
Asin
B＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B，
所以sin(A－B)＝0．
又因为A与B均为△ABC的内角，所以A＝B．
又由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab得(a＋b)2－c2＝3ab，
所以a2＋b2－c2＋2ab＝3ab，即a2＋b2－c2＝ab．
由余弦定理，得cos
C＝＝＝，又0°＜C＜180°，所以C＝60°．所以△ABC为等边三角形．
1．(变条件)把例3的条件换为：b＝2ccos
A，c＝2bcos
A，判断△ABC的形状．
[解] 法一：由条件b＝2ccos
A，c＝2bcos
A得cos
A＝＝，即b＝c，把b＝c代入b＝2ccos
A得cos
A＝，所以A＝60°，所以△ABC是等边三角形．
法二：由正弦定理知sin
B＝2sin
Ccos
A，
sin
C＝2sin
Bcos
A，
即sin(A＋C)＝2sin
Ccos
A＝sin
Acos
C＋cos
Asin
C，
即sin
Ccos
A＝sin
Acos
C，所以sin(A－C)＝0，A＝C，
同理可得A＝B，所以三角形△ABC为等边三角形．
2．(变条件)把例3的条件换为：cos2＝，试判断△ABC的形状．
[解] 法一：∵cos2＝且cos2＝，
∴＝，即cos
A＝．
由正弦定理，得cos
A＝，
∴cos
Asin
C＝sin(A＋C)，
整理得sin
Acos
C＝0．
∵sin
A≠0，∴cos
C＝0，∴C＝．故△ABC为直角三角形．
法二：同法一得cos
A＝．由余弦定理得＝，整理得a2＋b2＝c2，
故△ABC为直角三角形．
判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要有以下两条途径：?1?利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系；?2?利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.
1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：
(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形．
(2)若已知两边和一边的对角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形，但用正弦定理时要注意不要漏解或多解．
2．判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系．若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若已知两边和一边所对的角，不能用余弦定理解三角形．
( )
(2)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则△ABC是锐角三角形．( )
(3)在△ABC中，若已知a∶b∶c＝1∶∶2，可以解三角形．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
[提示] (1)错误，如已知a，b和A，可利用公式a2＝b2＋c2－2bccos
A求c，进而可求角B和C．
(2)错误，由b2＋c2＞a2和cos
A＝可得cos
A＞0，则A是锐角，但角B或C可能是钝角，△ABC未必是锐角三角形．
(3)错误，已知△ABC三边的比值，可求其三角，但不能求出三角形的三边，即不能解三角形．
2．若△ABC的三边满足a∶b∶c＝2∶∶，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形
A [设a＝2k，b＝k，c＝k，则cos
A＝＝＝＞0，故A是锐角，且A＞B＞C，所以△ABC是锐角三角形．]
3．在△ABC中，b2＋a2＝c2＋ab，则角C＝
．
[由b2＋a2＝c2＋ab得＝，
即cos
C＝，又C∈(0，π)，故C＝．]
4．已知△ABC的边长满足等式＝1，求A．
[解] 由＝1，得b2＋c2－a2＝bc，
所以cos
A＝＝＝，又0＜A＜π，
所以A＝．
PAGE
-
9
-§1 正弦定理与余弦定理
1．1 正弦定理
学
习
目
标
核
心
素
养
1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法．(重点)2．能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的三角形问题．(重点、难点)
1．通过正弦定理的推导，提升逻辑推理的素养．2．通过利用正弦定理解三角形，培养数学运算素养．
1．正弦定理
阅读教材P45～P48问题3以上部分，完成下列问题．
语言表述
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
符号表示
＝＝
比值的含义
＝＝＝2R(其中R为△ABC的外接圆半径)
变形
(1)a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C(2)sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝(3)a∶b∶c＝sin
A∶sin
B∶sin
C
作用
揭示了三角形边、角之间的数量关系
正弦定理的推导：
当△ABC是锐角三角形时，设边AB的高是CD．根据三角函数的定义，
CD＝asin
B，
CD＝bsin
A，
所以asin
B＝bsin
A，
得到＝．
同理，在△ABC中＝．
从以上的讨论和探究可得
＝＝．
思考：(1)在△ABC中，若已知角A和角B，边b，能求△ABC的其它的角和边吗？
[提示] 能求，由C＝π－(A＋B)可求角C，由a＝，c＝，可求边a和c．
(2)在△ABC中，若已知a＞b，能否利用正弦定理得到sin
A＞sin
B?
[提示] 能得到，由a＞b，且a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，可得2Rsin
A＞2Rsin
B，即sin
A＞sin
B．
2．三角形面积公式
阅读教材P48问题3，完成下列问题．
三角形ABC的面积：S＝absin
C＝acsin
B＝bcsin
A．
思考：(1)在△ABC中，若已知边a，b和角B，能否确定△ABC的面积？
[提示] 不能，因为由条件不能得到角C，故不能求其面积．
(2)若已知△ABC的边a，c和角B，选择哪个公式求△ABC的面积？
[提示] S＝acsin
B．
1．在△ABC中，若角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列各式一定成立的是( )
A．＝
B．＝
C．asinB＝bcosA
D．acosB＝bsinA
B [在△ABC中，由正弦定理＝，得＝．]
2．在△ABC中，若＝，则B的值为
．
45° [根据正弦定理知＝，结合已知条件可得sin
B＝cos
B，又0°3．在△ABC中，a＝bsin
A，试判断△ABC的形状．
[解] 由题意有＝b＝，
则sin
B＝1，
又B∈(0，π)，
故B为直角，所以，△ABC是直角三角形．
利用正弦定理解三角形
【例1】 在△ABC中，
(1)若A＝45°，B＝30°，a＝2，求b，c与C；
(2)若B＝30°，b＝5，c＝5，求A，C与a．
[解] (1)由三角形内角和定理，得：
C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°．
由正弦定理＝＝，得b＝＝＝＝，
sin
105°＝sin(60°＋45°)＝，
c＝＝＝
＝＋1．
(2)∵b＝5，c＝5，B＝30°，∴c·sin
B∴△ABC有两解，
由正弦定理得：sin
C＝＝，∴C＝60°或120°．
当C＝60°时，A＝90°，易得a＝10；
当C＝120°时，A＝30°，此时a＝b＝5．
1．正弦定理的应用范围
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．
2．已知△ABC的两边a，b和角A，判断三角形解的个数，有以下三种方法
法一：作图判断．
作出已知角A，边长b，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，与射线AB的公共点(除去顶点A)的个数即为三角形解的个数．
法二：根据三角函数的性质来判断．
由正弦定理，得sin
B＝，当＞1时，无解；当＝1时，有一解；当＜1时，如果a≥b，即A≥B，则B一定为锐角，有一解；如果a＜b，即A＜B，有两解．
法三：应用三角形中“大边对大角”的性质及正弦函数的值域判断解的个数．
1．(1)在△ABC中，A＝，BC＝3，AB＝，则角C等于( )
A．或
B．
C．
D．
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos
A＝，sin
B＝，a＝1，则b＝
．
(1)C (2) [(1)由正弦定理，得sin
C＝＝．
因为BC>AB，所以A>C，则0(2)因为A为△ABC的内角，且cos
A＝，所以sin
A＝，又a＝1，sin
B＝，由正弦定理得b＝＝＝×＝．]
判断三角形的形状
【例2】 在△ABC中，已知acos
B＝bcos
A，试判断△ABC的形状．
[解] 由正弦定理，
得sin
A
cos
B＝sin
Bcos
A，
即sin
A
cos
B－cos
A
sin
B＝0，sin(A－B)＝0，
因为A，B为△ABC的内角，
故A－B＝0，A＝B，
即△ABC为等腰三角形．
判断三角形形状的方法
?1?判断三角形的形状，可以从考察三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或角与角的关系，从而进行判断.
?2?判断三角形的形状，主要看其是否为正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形等，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰或直角三角形”的区别.
2．在△ABC中，已知a2tan
B＝b2tan
A，试判断三角形的形状．
[解] 由已知得＝，
由正弦定理a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B(R为△ABC的外接圆半径)，得
＝，sin
Acos
A＝sin
Bcos
B，∴sin
2A＝sin
2B．
∴2A＋2B＝π或2A＝2B．∴A＋B＝或A－B＝0．
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
三角形的面积
[探究问题]
1．已知△ABC中的边a和b，角B，能否确定△ABC的面积？
[提示] 不一定，因为△ABC可能有一解或两解，也可能无解．
2．已知△ABC的边a和b，角C，能否确定△ABC的面积．
[提示] 能，可由公式S△ABC＝absin
C求得．
3．已知在△ABC中，cos∠BAC＝，AB＝2，AC＝3，求△ABC的面积．
[提示] 由cos∠BAC＝得sin∠BAC＝，则△ABC的面积为S＝×AB×AC×sin∠BAC＝×2×3×＝1．
【例3】 在△ABC中，若a＝2，C＝，cos＝，求△ABC的面积S．
思路探究：cos＝?sin
B?sin
A?求边c?△ABC的面积．
[解] ∵cos＝，
∴cos
B＝2cos2－1＝．
∴B∈，∴sin
B＝．
∵C＝，
∴sin
A＝sin(B＋C)
＝sin
Bcos
C＋cos
Bsin
C＝．
∵＝，
∴c＝＝×＝．
∴S＝acsin
B＝×2××＝．
1．(变条件)在例3中，把条件换为“已知b＝1，B＝30°，c＝”，求△ABC的面积．
[解] 由正弦定理＝得sin
C＝＝，
故C＝60°或120°，
当C＝60°时，A＝180°－30°－60°＝90°，
所以S△ABC＝bcsin
A＝×1××1＝；
当C＝120°时，A＝180°－30°－120°＝30°，所以S△ABC＝bcsin
A＝×1××＝．
综上所述△ABC的面积为或．
2．(变结论)在例3中，若已知D是△ABC的边AC上一点，且CD＝，求△ABD的面积．
[解] 法一：由例3的解答可知sin
B＝，sin
A＝，c＝，
由正弦定理b＝＝＝，
又CD＝，所以AD＝－＝，
所以S△ABD＝×AB×AD×sin
A＝×××＝．
法二：由例3的解答可知S△ABC＝，
又S△BCD＝×CB×CD×sin
C＝×2××＝1，
所以S△ABD＝S△ABC－S△BCD＝－1＝．
1．求三角形的面积是在已知两边及其夹角的情况下求得的，所以在解题中要有目的的为具备两边及其夹角的条件作准备．
2．三角形面积计算公式
(1)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha、hb、hc分别表示a，b，c边上的高)．
(2)S＝absin
C＝acsin
B＝bcsin
A＝．
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
(4)S＝(p是三角形周长的一半)．
1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：
(1)已知两角和任一边，求另外两边和一角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．
2．利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：
一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在△ABC中，若a＝2bcos
C，则这个三角形一定是等腰直角三角形．
( )
(2)在△ABC中，若sin
A＝，则A＝．
( )
(3)在△ABC中，a≥bsin
A一定成立．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
[提示] (1)错误，由正弦定理，a＝2bcos
C可化为sin
A＝2sin
Bcos
C，
所以sin
Bcos
C＋cos
Bsin
C＝2sin
B·cos
C，所以sin(B－C)＝0，
得B＝C，故△ABC是等腰三角形．
(2)错误，由sin
A＝得A＝或．
(3)正确．
2．在△ABC中，A＝60°，B＝45°，b＝2，则a等于( )
A．
B．
C．
D．3
C [由正弦定理得a＝＝＝．]
3．在△ABC中，A＝60°，b＝2，c＝3，则△ABC的面积等于
．
[S△ABC＝bcsin
A＝×2×3×＝．]
4．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知acos
C＝cos
A，求角A的大小．
[解] 在△ABC中，由正弦定理得sin
Acos
C＝cos
A，
即sin
Acos
C＝2sin
Bcos
A－sin
Ccos
A，
即sin
Acos
C＋sin
Ccos
A＝sin＝2sin
Bcos
A，又sin＝sin
B，
所以sin
B＝2sin
Bcos
A,0B≠0，
则cos
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