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第2课时 用数学归纳法证明不等式
1．贝努利不等式：如果x是实数且x＞－1，x≠0，n为大于1的自然数，则________________．
2．设α为有理数，x＞－1，如果0＜α＜1，则(1＋x)α____1＋αx；如果α＜0或α＞1，则(1＋x)α______1＋αx，当且仅当____________时，等号成立．
(1＋x)n＞1＋nx
≤
≥
x＝0
1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N
)第一步应验证( )
A．n＝1
B．n＝2
C．n＝3
D．n＝4
【答案】C
【解析】由题意知n≥3，∴应验证n＝3.
数学归纳法与不等式证明的基本方法
(1)数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；
(2)归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行适当变形，用上归纳假设后，通常进行合理放缩，以达到转化的目的．有时可以“套”用其他证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面．
【例2】 设x是实数且x＞－1，x≠0，n大于1的自然数，则(1＋x)n＞1＋nx.
【解题探究】 用数学归纳法证明，注意适当的放缩．
用数学归纳法证明贝努利不等式
【解析】①当n＝2时，由x≠0，知(1＋x)2＝1＋2x＋x2＞1＋2x，因此n＝2时不等式成立．
②假设n＝k(k≥2，k∈N
)时不等式成立，即(1＋x)k＞1＋kx.
当n＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)＞(1＋kx)(1＋x)＝1＋x＋kx＋kx2＞1＋x＋kx＝1＋(k＋1)x，
即当n＝k＋1时结论也成立．
由①，②可知，对一切大于1的正整数n均成立．
用数学归纳法解决数列问题
1．使用数学归纳法证明不等式，难点在于由n＝k时命题成立推出n＝k＋1时命题成立，为完成这步证明，不仅要正确使用归纳假设，还要灵活利用问题中的其他条件和相关知识．其中，比较法、分析法、综合法、放缩法等常被灵活地应用．
2．放缩法是把不等式中的某些部分的值放大或缩小，达到证明的目的．但要注意放大或缩小要适度．(共29张PPT)
第1课时 数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)证明当_____________时，命题成立；
(2)假设当___________________时，命题成立，证明当________时，命题也成立．
综上(1)，(2)知，对任意的正整数n≥n0，命题都成立．
这种证明方法称为____________．
n＝n0
n＝k(k≥n0，k∈N
)
n＝k＋1
数学归纳法
3．(2017年合肥期中)一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N
)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，则( )
A．一切正整数命题成立
B．一切正奇数命题成立
C．一切正偶数命题成立
D．以上都不对
【答案】B
【解析】可以推出对n＝1,3,5,7，…，命题都成立，即命题对一切正奇数成立．故选B．
用数学归纳法证明等式
【解题探究】 (1)这是一个与正整数有关的恒等式问题，用数学归纳法证明时，要严格按两步来证明，缺一不可．
(2)用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
(1)在本例证明过程中，步骤①考虑“n取第一个值的命题形式”时，需认真对待，一般情况是把第一个值代入通项，考察命题的真假；步骤②在由n＝k到n＝k＋1的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．
(2)在步骤②的证明过程中，突出了两个“凑”字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时，命题形式之间的区别和联系．
【例2】 用数学归纳法证明：(3n＋1)·7n－1(n∈N
)能被9整除．
【解题探究】 这是一个与整除有关的命题，用数学归纳法证明时，第一步应该证n＝1时命题成立，第二步要明确目标，即在假设(3k＋1)·7k－1能被9整除的前提下，证明[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1也能被9整除．
用数学归纳法证明整除问题
证明整除性问题的关键是“凑项”，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证．
2．用数学归纳法证明：(x＋1)n＋1＋(x＋2)2n－1
(n∈N
)能被x2＋3x＋3整除．
【证明】(1)当n＝1时，
(x＋1)1＋1＋(x＋2)2－1＝x2＋3x＋3，
显然命题成立．
(2)假设n＝k
(k∈N
，k≥1)时，命题成立，
即(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1能被x2＋3x＋3整除，
则当n＝k＋1时，(x＋1)k＋2＋(x＋2)2k＋1＝(x＋1)k＋2＋(x＋1)(x＋2)2k－1＋(x＋2)2k＋1－(x＋1)(x＋2)2k－1＝(x＋1)[(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1]＋(x＋2)2k－1(x2＋3x＋3)．
由假设可知上式可被x2＋3x＋3整除，
即n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)可知，原命题成立．
【例3】 平面内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且无三个圆交于一点，求证：这n个圆将平面分成n2－n＋2个部分．
【解题探究】 这是一个与几何有关的命题，用数学归纳法证明时，难点在于几何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少．
用数学归纳法证明几何问题
用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，可以先从有限个圆的情形中，归纳出所证几何量的增加量．在实在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．
1．用数学归纳法证明时，要严格按两步来证明，缺一不可．
2．数学归纳法证明的原理为无限自动递推，故证n＝k＋1时，须将假设结论作为条件，参与证明．
3．运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等．
4．数学归纳法证明的关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时，命题形式之间的区别和联系．
