(共26张PPT)
第5课时 放缩法
1．放缩法：在证明不等式的过程中，有时利用不等式的________，通过对不等式的某些部分作适当的____________，达到证明的目的．
2．放缩法的实质是_______________，放缩没有____________________，需按题意适当放缩，否则达不到目的．
传递性
放大或缩小
非等价转化
一定的准则和程序
1．lg
9·lg
11与1的大小关系是( )
A．lg
9·lg
11＝1
B．lg
9·lg
11＜1
C．lg
9·lg
11＞1
D．不能确定
【答案】B
数列不等式的放缩
此类问题通常有两类：一类是先求和，后放缩；另一类是先放缩，后求和．从而达到证明的目的．
含根式不等式的放缩
放缩法证不等式主要是根据不等式的传递性进行变换，即欲证a＞b，可换成证a＞c，且c＞b，同时注意放缩要适当．
含分式不等式的缩放
分式型放缩可改变分子或分母，或分子、分母同时改变，达到放缩的目的．
1．放缩法的具体措施：
(1)舍掉式中的一些正项或负项．
(2)将和式中各项或某项换以较大或较小的数．
(3)在分式中放大或缩小分子、分母，或分子分母同时放大或缩小．
(4)利用基本不等式放缩．(共20张PPT)
第4课时 反证法
1．用反证法证明，就是从____________出发，要求结论否定的情况只有有限多种，然后证明这有限种否定都是不可能的，是与__________、___________或___________________相矛盾．
2．凡涉及的不等式为________命题、________命题或是含“________”“_________”等字句时，可考虑使用反证法．
结论的否定
已知条件
已知事实
已证明过的定理
否定性
唯一性
至多
至少
1．用反证法证明“若x＋y≤0，则x≤0或y≤0”时，应假设( )
A．x＞0或y＞0
B．x＞0且y＞0
C．xy＞0
D．x＋y＜0
【答案】B
【解析】假设结论不成立，则x＞0且y＞0(p∨q的否定是?p∧?q)．
4．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，求证：a＋b≥0.
【例1】 若三个互不相等的正数a，b，c成等差数列，求证：a，b，c不可能成等比数列．
【解题探究】 利用反证法，由等比数列的性质推出与已知矛盾．
否定型命题的证明
当证明的结论中含有“不是”“不都”“不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体．可依据题设条件导出互相矛盾的结果．
1．(2017年宣城期中)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a，b，c三边的倒数成等差数列，求证：B不可能是钝角．
用反证法证明不等式
“至多”和“至少”型命题的证明
涉及否定词“至少”的命题直接求证有困难，宜用反证法．难点是发现f(1)＋f(3)－2f(2)＝2.
3．若a＋b＋c≥0且abc≤0，求证：a，b，c三个实数中至多有一个小于0.
【证明】假设a，b，c三个实数中至少有两个小于0.
不妨令a＜0，b＜0，∴c≥－(a＋b)＞0，
∴abc＞0，与abc≤0相矛盾．
∴假设不成立．
∴a，b，c三个实数中至多有一个小于0.
1．反证法证明不等式M＞N步骤：
(1)先否定结论M＞N，假设M≤N成立；
(2)由题设，或其他性质，或假设等导出矛盾；
(3)假设不成立，从而原不等式成立．
2．导出的矛盾可与已知条件相矛盾，可与假设相矛盾，可与定理、公理相违背，或与已知的事实相矛盾等．
3．反证法必须利用结论的否定，否则就不是反证法．(共21张PPT)
第3课时 分析法
1．分析法：从______________出发，逐步寻求使它成立的__________，直至所需条件为____________或_______________________________(______________________等)，从而得出要证的命题成立．
2．分析法的实质是__________的思考方法和证明方法．
要证的结论
充分条件
已知条件
一个明显成立的事实定义、公理
或已证明的定理、性质
执果索因
作差分析
当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或很难发现条件与结论之间的关系时，可用分析法寻找证明途径．
代数式的取值范围
根据所证不等式的特征，灵活选择证明方法．难点是将3(a＋b)＜4两边同乘(a＋b)后，再将右边(a＋b)换成a2＋ab＋b2.
含根式不等式的证明
类似这样的无理式通常利用分析法进行证明，注意两边平方时不等号的方向．
1．分析法证明A＞B的格式和步骤：B＜B1＜B2＜…＜Bn＜A．
2．表达时注意恰当使用“要证”“需证”“即证”“只要证”等．
3．当证题不知从何入手时，通常运用分析法．
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Q前探索
师讲堂(共21张PPT)
第2课时 综合法
1．综合法：在不等式的证明中，从___________和____________及____________出发，通过正确的________，推导出所要证明的结论．
2．综合法的实质是一种_____________________________的思考方法和证明方法．
已知条件
不等式的性质
基本不等式
逻辑推理
由因导果(顺推证法或由因导果法)
1．下列命题为假命题的是( )
A．?a，b∈R，a2＋b2≥2ab
B．?a，b∈R，a2＋b2＝2ab
C．?x∈R，x2－2x＋1≥0
D．?x∈R，x2＋1＜0
【答案】D
不等式两边都是和式
两边都是项数相等的和式，通常是利用基本不等式，先证A1＞B1，A2＞B2，A3＞B3，然后相加得到A1＋A2＋A3＞B1＋B2＋B3，从而得到原不等式成立．如果两边是积的结构，往往先证A1＞B1＞0，A2＞B2＞0，A3＞B3＞0，从而A1·A2·A3＞B1·B2·B3，从而原不等式成立．
1．(2016年晋中期中)设a，b，c∈R，证明：a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bC．
和式与积式的转化
本题的关键是将(1－x)(1－y)(1－z)化为(y＋z)(z＋x)(x＋y)，后利用基本不等式达到证明的目的．
和式与和式的转化
1．用综合法证明A＞B的逻辑关系是：A＞B1＞B2＞…＞Bn＞B.
2．运用不等式的性质和定理或已证明过的不等式时，要注意它们各自成立的条件，这样才能使推理正确，结论无误．
3．常用的定理或结论有：
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(共22张PPT)
第1课时 比较法
a－b＞0
a－b＞0
a＞b
b＞0
1．已知下列不等式：
(1)x2＋3＞2x(x∈R)；(2)a2＋b2≥2(a－b－1)(a，b∈R)；(3)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．
其中正确的个数为( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．0个
【答案】C
2．log23与log34的大小关系是( )
A．log23＞log34
B．log23＜log34
C．log23＝log34
D．无法确定
【答案】A
3．已知b千克盐水中含盐a千克(b＞a)，现再加盐m(m＞0)千克，若加盐前盐水的浓度为M，加盐后盐水的浓度为N，则M，N大小关系是__________________．
【答案】M＜N
【例1】 设A＝1＋2x4，B＝2x3＋x2，x∈R，比较A，B的大小．
【解题探究】 注意到A，B都是多项式，比较其大小宜用作差比较法．
多项式大小的比较
【解析】∵A－B＝1＋2x4－(2x3＋x2)
＝2x3(x－1)－(x2－1)＝(x－1)(2x3－x－1)
＝(x－1)(x3－1＋x3－x)＝(x－1)2(2x2＋2x＋1)
＝(x－1)2[x2＋(x＋1)2]≥0，
∴A≥B.
作差比较的关键是变形，一般来说变形要“到位”，同时尽可能是积的结构或一次因式的形式．
1．已知a>0，b>0，a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.
【证明】(作差法)a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－ab(a＋b)＝(a＋b)(a2－2ab＋b2)＝(a＋b)(a－b)2.
∵a，b∈R＋，a≠b，∴a＋b＞0，(a－b)2＞0.
∴(a＋b)(a－b)2＞0，即a3＋b3＞(a2b＋ab2)．
【例2】 已知a＞2，求证：loga(a－1)＜log(a＋1)A．
【解题探究】 由于不等式两边对数的底数不同，故不宜采用作差比较法，适合用作商比较法．
作商比较法证明不等式
通常幂指型或不是同底的对数型宜用作商比较法．
【例3】 设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2(x＞0，x≠1)，试比较f(x)与g(x)的大小．
【解题探究】 注意到是同底的对数采用作差比较法．
作差比较法证明不等式
因对数的底数大小没有确定，所以要分类讨论．注意讨论要全面．
1．作差法证明不等式的关键是作差后变形，通常是通过配方、因式分解、通分或有理化等进行恒等变形，尽可能使得变形后结果是积的结构且是一次因式的形式，得到一个明显能确定其符号的代数式．
2．作商比较法即把不等式两边相除，转化为比较所得商式与1的大小关系．
