(共20张PPT)
第6课时 绝对值不等式的解法(二)
解|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型绝对值不等式的关键是，根据绝对值的定义去掉_____________，将绝对值不等式转化为______________．
绝对值符号
不等式组
1．不等式|x－1|＋|x－2|＞5的解集为( )
A．{x|x＜－1或x＞4}
B．{x|x≤－1或x≥2}
C．{x|x≤1}
D．{x|x≥2}
【答案】A
【解析】取x＝2代入验证，B、D不合题意，取x＝1代入验证C不合题意．
【例1】 解不等式|x－3|＋|x＋2|≥7.
【解题探究】 解含绝对值的不等式，关键是去掉绝对值，此类问题主要是分区求解．
解|x－a|＋|x－b|≥c型绝对值不等式
【解析】当x≤－2时，有－x＋3－x－2≥7，即x≤－3，所以x≤－3.
当－2＜x＜3时，有x＋2＋3－x≥7，即5≥7，
所以x∈?.
当x≥3时，有x－3＋x＋2≥7，即x≥4，所以x≥4.
综上，不等式的解集为(－∞，－3]∪[4，＋∞)．
合理分区，规范表达是做对做全的保证，该类问题还可以利用函数y＝|x－3|＋|x＋2|的图象及数轴等求解．
1．(2016年新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.
(1)在图中画出y＝f(x)的图象；
(2)求不等式|f(x)|＞1的解集．
【例2】 解不等式|x|＋|x－2|＜2.
【解题探究】 基本方法与例1相同，注意处理好端点．
【解析】当x≤0时，有－x－x＋2＜2，即x＞0，
所以x∈?.
当0＜x＜2时，有x＋2－x＜2，即2＜2，所以x∈?.
当x≥2时，有x＋x－2＜2，即x＜2，所以x∈?.
综上，不等式的解集为?.
解|x－a|＋|x－b|≤c型绝对值不等式
正确分区，规范表达，注意端点和方向．
2．解不等式|x＋1|＋|x－2|≤5.
【解析】|x＋1|＋|x－2|≤5
当x≤－1时，有－(x＋1)－(x－2)≤5，解得x≥－2，
即－2≤x≤－1；
当－1＜x＜2时，有(x＋1)－(x－2)≤5，即3≤5恒成立，
则－1＜x＜2；
当x≥2时，有(x＋1)＋(x－2)≤5，解得x≤3，即2≤x≤3.
综上，不等式的解集为[－2,3]．
【例3】 已知不等式|x＋2|－|x＋3|＞m.
(1)若不等式有解，求m的取值范围；
(2)若不等式的解集为R，求m的取值范围；
(3)若不等式的解集为?，求m的取值范围．
【解题探究】 关键是求出|x＋2|－|x＋3|的最大值和最小值，再分别写出三种情况下m的范围．
解含参数的绝对值不等式
【解析】∵||x＋2|－|x＋3||≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，
∴－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
(1)要使不等式有解，只需m＜1.
(2)要使不等式的解集为R，只需m＜－1.
(3)要使不等式的解集为?，只需m≥1.
问题(1)是存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式解集为R或为空集时，都属于恒成立问题．f(x)＜a恒成立?f(x)max＜a；f(x)＞a恒成立?f(x)min＞A．
3.(2018年南昌模拟)已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，a∈R.
(1)若不等式f(x)≤2－|x－1|有解，求实数a的取值范围；
(2)当a<2时，函数f(x)的最小值为3，求实数a的值.
解|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型绝对值不等式的方法及一般步骤：零点分段法．
第一步：令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根．
第二步：把这些根由小到大排序，把数轴分为若干个区间．
第三步：在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，解所得的不等式组，得到在这个区间上的解集．
第四步：这些解集的并集就是原不等式的解集．(共16张PPT)
第5课时 绝对值不等式的解法(一)
1．|ax＋b|≥c(c＞0)?___________或___________．
2．|ax＋b|≤c(c＞0)?________________.
ax＋b≥c
ax＋b≤－c
－c≤ax＋b≤c
1．设x∈R，则|x＋1|＜1是|x|＜2成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
2．不等式(1＋x)(1－|x|)＞0的解集是( )
A．{x|0≤x＜1}
B．{x|x＜0且x≠－1}
C．{x|－1＜x＜1}
D．{x|x＜1且x≠－1}
【答案】D
【解析】当x≥0时，有(1＋x)(1－x)＞0，
解得－1＜x＜1，所以0≤x＜1.
当x＜0时，有(1＋x)(1＋x)＞0，解得x≠－1，
所以x＜0且x≠－1.
故不等式的解集为{x|x＜1，且x≠－1}．
3．(2016年上海)设x∈R，则不等式|x－3|＜1的解集为______________．
【答案】(2,4)
【解析】由题意得－1＜x－3＜1，即2＜x＜4，故解集为(2,4)．
4．已知集合A＝{x||2－x|＜5}，B＝{x||x＋a|≥3}，且A∪B＝R，求a的取值范围．
【例1】 解不等式x2－4|x|－5＜0.
【解题探究】 不等式可看成关于|x|的一元二次不等式．
【解析】由x2－4|x|－5＜0得
|x|2－4|x|－5＜0，
解得－1＜|x|＜5.
又|x|≥0，所以－5＜x＜5.
故原不等式的解集为(－5,5)．
含绝对值的一元二次不等式
将所解不等式看成关于|x|的一元二次不等式，避免分类讨论，达到快速准确的目的．
1．若不等式2|x|－1＞a(x2－1)对满足－1≤a≤1的所有a都成立，求x的取值范围．
【例2】 解不等式|2x＋5|＞7＋x.
【解题探究】 关键是将绝对值不等式转化为有理不等式(或不等式组)．
【解析】由原不等式得2x＋5＞7＋x或2x＋5＜－7－x，
解得x＞2或x＜－4.
故原不等式的解集为(－∞，－4)∪(2，＋∞)．
解|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式
可以利用分类讨论去绝对值符号求解，但利用|f(x)|＞g(x)?f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)求解更直接．
2．解不等式x＋|2x＋3|＞2.
【例3】 解关于x的不等式|x2－a|＜A．
【解题探究】 含参问题要注意分类讨论，将绝对值不等式转化为有理不等式．
含参数的绝对值不等式
含参问题要注意分类讨论．解集与a的取值范围有关，结果要分开来写，不能用并集表示．
3．解关于x的不等式－|x＋3|＋a＞6.
【解析】不等式化为|x＋3|＜a－6.
①当a≤6时，a－6≤0，此时，解集为?；
②当a＞6时，|x＋3|＜a－6?6－a＜x＋3＜a－6?3－a＜x＜a－9.
综上，当a≤6时，解集为?；
当a＞6时，解集为(3－a，a－9)．
1．解含有绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号．
2．结果通常写成区间或集合的形式．
3．解不等式一定要同解变形．(共22张PPT)
第4课时 绝对值三角不等式
1．绝对值不等式：|a|－|b|≤________≤________.
2．几何意义：____________________________________
___________________________.
|a±b|
|a|＋|b|
三角形任意两边之差小于第三边，三角
形任意两边之和大于第三边
1．已知a，b∈R，且ab＞0，下面给出了四个不等式：
(1)|a＋b|＞|a|；(2)|a－b|＞|a|－|b|；(3)|a＋b|＞|a－b|；(4)|a|＋|b|＞|a＋b|；
其中正确的是( )
A．(1)和(2)
B．(1)和(3)
C．(1)和(4)
D．(3)和(4)
【答案】B
【解析】取a＝1，b＝1，则(1)、(3)成立，(2)、(4)不成立．
2．若|x－m|＜ε，|y－m|＜ε，下列不等式中一定成立的是( )
A．|x－y|＜ε
B．|x－y|＜2ε
C．|x－y|＞2ε
D．|x－y|＞ε
【答案】B
【解析】|x－y|＝|(x－m)－(y－m)|≤|x－m|＋|y－m|＜ε＋ε＝2ε.
3．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为__________．
【答案】5
【解析】因为|x－1|≤1，|y－2|≤1，
所以|x－2y＋1|＝|x－1－2(y－2)－2|
≤|x－1|＋2|y－2|＋|－2|≤1＋2＋2＝5.
4．若f(x)＝x2－x＋c(c为常数)，|x－a|＜1，求证：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)．
【解析】|f(x)－f(a)|＝|(x2－x＋c)－(a2－a＋c)|＝|x2－a2－(x－a)|＝|x－a||x＋a－1|，
因为|x－a|＜1，
所以|f(x)－f(a)|＜|x＋a－1|＝|x－a＋2a－1|≤|x－a|＋|2a|＋1＜1＋2|a|＋1，
即|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)．
【解题探究】 由于题设和结论相差很远，为了能整体运用上条件，应先对结论式子的左端进行配凑．
绝对值不等式的证明方法
在证明中关键是把|xy－ab|变形为|xy－ya＋ya－ab|＝|y(x－a)＋a(y－b)|，从而利用题设的条件，通常是利用“加减项”技巧．
【例2】 若不等式|x－1|＋|x＋3|≥a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．
【解题探究】 只需求出|x－1|＋|x＋3|的最小值，利用最值法．
绝对值不等式的恒成立问题
不等式f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a；f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a，使用不等式|a|＋|b|≥|a±b|求最值时通常使a＋b或a－b为定值．
绝对值不等式的最值问题
【解题探究】 证明(1)要充分利用条件M≥|f(1)|，M≥
|f(－1)|.
(2)的证明可以用推论|a1|＋|a2|＋|a3|≥|a1＋a2＋a3|.
(3)确定f(x)的解析式，关键是利用不等式取等号生成方程．
【解析】(1)∵|f(x)|≤M，
∴M≥|f(－1)|＝|1－a＋b|，
M≥|f(1)|＝|1＋a＋b|.
∴2M≥|1－a＋b|＋|1＋a＋b|
≥|(1－a＋b)＋(1＋a＋b)|
＝2|1＋b|，
即|1＋b|≤M.
证明含有绝对值的不等式常用途径有二：一是去掉绝对值符号；二是用绝对值不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|来证明．
3．(1)已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a，求a的值；
(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－y＋1|的最大值．
1．应用绝对值不等式求解基本问题时，要注意等号成立的条件：
(1)|a＋b|＝|a|＋|b|?ab≥0；
(2)|a－b|＝|a|＋|b|?ab≤0.
2．利用|a±b|≤|a|＋|b|求最值时，原则上是使a＋b或a－b为定值．
3．通常采取加、减项进行配凑，然后再利用绝对值不等式．(共22张PPT)
第3课时
三个正数的算术—几何平均不等式
3abc
a＝b＝c
a＝b＝c
2．若正实数x，y，z满足xyz＝8，则( )
A．x＋y＋z的最大值是6
B．x＋y＋z的最小值是6
C．x＋y＋z的最大值是8
D．x＋y＋z的最小值是8
【答案】B
3．设x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝6，则lg
x＋lg
y＋lg
z的取值范围是______________．
【答案】(－∞，3lg
2]
【例1】 已知x，y∈R＋且x2y＝4，试求x＋y的最小值及达到最小值时x，y的值．
【解题探究】 依据约束条件x2y＝4进行配凑，使用平均不等式即可获得所求．
用算术—几何平均不等式求最值
【例2】 一块正方形铁皮边长为a，从它的四个角各剪去一个边长为x的正方形，把它余下的铁皮做一个无盖水箱，则x为多少时，水箱的容积最大？
【解题探究】 根据已知条件建立关系式，再根据结构合理配凑，利用平均不等式．
用算术—几何平均不等式解决实际问题
2．如图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为2，高为1，将此钢板切割成等腰梯形的形状，记CD＝2x，梯形面积为S.求S的最大值．
【解析】建立如图所示的坐标系，设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)，
用算术—几何平均不等式证明不等式
要善于观察不等式的结构，合理配凑，加强目标意识，利用基本不等式进行证明．
利用基本不等式解决实际问题的步骤：
(1)理解题意，设出变量，一般设变量时，把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)回答实际问题．(共23张PPT)
第2课时 基本不等式
2ab
2．几何平均数，算术平均数
当a＞0，b＞0时，称______为两个正数a，b的算术平均数；称______为两个正数a，b的几何平均数；两个正数的____________不小于两个正数的______________．
算术平均数
几何平均数
3．若关于x的方程9x＋(4＋a)·3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围为______________．
【答案】(－∞，－8]
4．设x，y∈(0，＋∞)且xy－(x＋y)＝1，求xy的取值范围．
【例1】 若正数a，b满足ab＝3＋a＋b，求a＋b的取值范围．
【解题探究】 注意观察已知条件，涉及两个正数的和与积，可考虑用基本不等式．
用基本不等式求取值范围
二元最值问题可利用基本不等式，也可以通过代入消元将二元问题转化为一元求值问题．
1．若正数x，y满足3x＋2y＝12，求xy的取值范围．
用基本不等式求最值
2．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值．
用基本不等式解决恒成立问题
1．(1)学习时注意不等式左右两边的结构特征：平方和、积、和；利用基本不等式可以使“和式”和“积式”相互转化；
(2)创造应用均值不等式的条件，合理拆添项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的前提在于使等号能够成立．
2．“和定积最大，积定和最小”；应用时要注意三方面“一正、二定、三相等”．
