2020-2021高三下学期第一次月考数学理科试题Word含答案

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2020-2021学年度下学期高三第一次月考试题
数学（理）
满分100分，考试时间为120分钟。
一、本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．
1．设集合，，则下列关系中正确的（ ）
A． B．
C． D．
2．复数的虚部为 （ ）
A． B． C．― D．―
3．根据下列三视图（如下图所示），则它的体积是 （ ）
A． B． C． D．
4．函数的图象如图所示，为了得到的图像，可以将的图像 （ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
5．已知x，y满足不等式组的最小值为 （ ）
A． B．2 C．3 D．
6．右图是一个算法的程序框图，该算法所输出的结果是 （ ）
A． B． C． D．
7．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足=4:3:2，则曲线C的离心率等于 （　　）
A． B．或2
C．2 D．
8．已知抛物线的一条过焦点F的弦PQ，点R在直线
PQ上，且满足，R在抛物线准线上的射影为，设是中的两个锐角，则下列四个式子中不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分
（9-----13为必做题，14、15选一个作答，如果都选，按14题计分）
9．曲线所围成的封闭图形的面积为 （ ）
10．已知函数，若f（x）恒成立，则a的取值范围是 ；
11．在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为 ；
12．在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，，若，则与的夹角的余弦值等于 ；
13．在数列中，，为数列的前项和且，则 ;
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（几何证明选讲选做题）
如图，已知：内接于，点在
的延长线上，是⊙的切线，若，
，则的长为 。
15．（极坐标与参数方程选做题）
在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴
的直线的极坐标方程是 . (第14题图)
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分12分）
已知向量，，且
　　（1）求的取值范围；
　　（2）求函数的最小值，并求此时x的值
17．（本小题满分12分）
2011年深圳大运会，某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K和D两个动作，比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩。假设每个运动员完成每个系列中的两个动作的得分是相互独立的，根据赛前训练统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列的情况如下表：
甲系列：
动作 K D
得分 100 80 40 10
概率



乙系列：
动作 K D
得分 90 50 20 0
概率



现该运动员最后一个出场，其之前运动员的最高得分为118分。
（I）若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列，说明理由，并求其获得第一名的概率；
（II）若该运动员选择乙系列，求其成绩X的分布列及其数学期望EX。
18．（本小题满分14分）
一个四棱锥的三视图如图所示，E为侧棱PC上一动点。
（1）画出该四棱锥的直观图，并指出几何体的主要特征（高、底等）．
（2）点在何处时，面EBD，并求出此时二面角平面角的余弦值．
19．（本小题满分14分）
已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：
3 2 4

0 4
（Ⅰ）求的标准方程；
（Ⅱ）请问是否存在直线满足条件：①过的焦点；②与交不同两点且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。
20．（本小题满分14分） 已知函数，且函数是上的增函数。
（1）求的取值范围；
（2）若对任意的，都有（e是自然对数的底），求满足条件的最大整数的值。
21、已知等比数列的首项，公比，数列前n项和记为，前n
项积记为.
（Ⅰ）求数列的最大项和最小项；
（Ⅱ）判断与的大小， 并求为何值时，取得最大值；
（Ⅲ）证明中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为，证明:数列为等比数列。（参考数据）
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2020-2021学年度下学期高三第一次月考试题
数学（理）参考答案
一．选择题 B B． D；．B．D． C．A ；D；
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B D B D C A D
二．填空题
9、 10．（－∞，3）； 11．； 12．；
13. 选作 14. 4 15.
三．解答题
16．解析：（1）∵　　　∴　
　　∴　0≤≤2　　　　4分
（2）∵　　　∴　；…………6分
∵　
………………10分
∴　当，即或时，取最小值－。
……………………12分
17．解析：（I）若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择甲系列．……1分
理由如下：选择甲系列最高得分为100＋40＝140＞118，可能获得第一名；而选择乙系列最高得分为90＋20＝110＜118，不可能获得第一名． ……2分
记“该运动员完成K动作得100分”为事件A，“该运动员完成D动作得40分”为事件B，则P （A）＝，P （B）＝． …………4分
记“该运动员获得第一名”为事件C，依题意得
P （C）＝P （AB）＋＝＝．
该运动员获得第一名的概率为．…………6分
（II）若该运动员选择乙系列，X的可能取值是50，70，90，110， …………7分
则P （X＝50）＝＝，
P （X＝70）＝＝，P （X＝90）＝＝，
P （X＝110）＝＝． …………9分
X的分布列为：
X 50 70 90 110
P



∴＝50×＋70×＋90×＋110×＝104． ……12分
18．解析：
（1）直观图如下：………………3分
该四棱锥底面为菱形，边长为2，其中角A为60度，顶点A在底面内的射影为底面菱形的中心，四棱锥高为1。………………5分

（2）如图所示建立空间直角坐标系：
显然A、B、P．
令，得：、．
显然，
当．
所以当时，面BDE。………………9分
分别令和为平面PBC和平面ABE的法向量，
由，得
由，得
可得：，
显然二面角平面角为钝角，得其余弦值为。…………14分
19．解析：（Ⅰ）设抛物线，则有，据此验证个点知（3，）、（4，4）在抛物线上，易求 ………………3分
设：，把点（2，0）（，）代入得：
解得
∴方程为 ………………………………………………………………6分
（Ⅱ）法一：
假设存在这样的直线过抛物线焦点，设直线的方程为两交点坐标为，
由消去，得…………………………9分
∴ ①
② ………………………10分
由，即，得
将①②代入（*）式，得， 解得 …………………13分
所以假设成立，即存在直线满足条件，且的方程为：或…………………………………………………………………………………14分
法二：容易验证直线的斜率不存在时，不满足题意；……………………………7分
当直线斜率存在时，假设存在直线过抛物线焦点，设其方程为，与的交点坐标为
由消掉，得 ， …………9分
于是 ， ①
即 ② ………………………………11分
由，即，得
将①、②代入（*）式，得 ，解得；……13分
所以存在直线满足条件，且的方程为：或．………14分
20．解析：（1）设，所以，得到．所以的取值范围为………2分
（2）令，因为是上的增函数，且，所以是上的增函数。…………………………4分
由条件得到（两边取自然对数），猜测最大整数，现在证明对任意恒成立。…………6分
等价于，………………8分
设，
当时，，当时，，
所以对任意的都有，即对任意恒成立，
所以整数的最大值为2．……………………………………………………14分
21解：（Ⅰ）
当n是奇数时，, 单调递减，,
当n是偶数时，, 单调递增，；
综上，当n=1时，; 当n=2时，. ………………………4分
（Ⅱ），
，
，
则当时，；当时，，……7分
又，
的最大值是中的较大者.
，，
因此当n=12时，最大. ………………………9分
（Ⅲ）随n增大而减小，数列的奇数项均正数且递减，偶数项均负数且递增.
①当n是奇数时，调整为.则
，，
成等差数列； ………………………11分
②当n是偶数时，调整为；则
，，
成等差数列；
综上可知，数列中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列.……12分
①n是奇数时，公差；
②n是偶数时，公差.
无论n是奇数还是偶数，都有，则，
因此，数列是首项为，公比为的等比数列. ………………………14分
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