2021年高三下学期期中考试数学试题及答案（共3套）Word含答案

×××学 校
2020-2021学年度下学期高三数学期中试卷
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U（M∪N）= （ ）
A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4}
2、复数是虚数单位的实部是 ( )
A． B． C． D．
3、已知命题，，则（ ）
A．， B．，
C.， D．，
4、函数的零点所在的区间是 ( )
A. B. C. D.
5、 对于任意实数，，定义 设函数，则函数的最大值是 （ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6、在中， 是 的 （ ）
A．充分而不必要条件 　　　　　　　 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 　　　　　 　　 D．既不充分也不必要条件
7、在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程的概率是
A． B． C． D．
8、已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ）
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9、若一个底面是正三角形的棱柱的三视图及其尺寸如下图所示（单位：cm），则该几何体的体积是 cm3.
10、设A(1,2)，B(3,－1)，C(3,4)，则 　．
11、若
12、曲线在点（1，1）处的切线方程为__________ ．
13、 已知变量x，y满足约速条件，则目标函数的最大值为 _____
14．已知二次函数，当依次取,,,,……,时，其图像在轴上所截得的线段的长度的总和为_____ _ _ 　．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15、（本小题满分13分）
已知函数f(x)=asinx+bcosx的图象经过点。
（Ⅰ）求实数a,b的值；
（Ⅱ）若x[0,]，求函数f(x)的最大值及此时x的值。
16、（本小题满分13分）
如图，在直三棱柱中，，点是的中点.
求证：（1）；
（2）平面.
17、（本题满分13分）
已知复数在复平面上对应的点为．
（Ⅰ）设集合，从集合中随机取一个数作为，从集合中随机取一个数作为，求复数为纯虚数的概率；
（Ⅱ）设，求点落在不等式组：所表示的平面区域内的概率
18、（本小题满分13分）
已知函数的图象过点，且在点处的切线斜率为8.
（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函数的单调区间；


19．（本题满分14分）

已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线交椭圆于不同的两点，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若，且，求的值（点为坐标原点）；
（Ⅲ）若坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值．
20、（本题满分14分）
对于函数，若存在实数，使成立，则称为 的不动点．
（1）当时，求的不动点；
（2）若对于任何实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；
（3）在(2)的条件下，若的图象上两点的横坐标是函数的不动点，且直线是线段的垂直平分线，求实数的取值范围．
×××学校2020-2021学年高三期中考试答案
DBCBBCAA
二、9、 10、-2 11、9 12、 13、9 14、
三、

又平面，平面，
∴平面
17、
∴ ，
又，
∴. ②
解由①②组成的方程组，可得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
令，可得；
令，可得．
∴函数的单调增区间为，减区间为.
19、
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意解得.
由，得.
所求椭圆方程为 　　　
（Ⅱ）.
设 ，其坐标满足方程消去并整理得
，
则，解得.
故.
，

.
（Ⅲ）由已知可得．
将代入椭圆方程，整理得.


.
当且仅当，即时等号成立．
经检验，满足式．
当时，.
综上可知.
当最大时，的面积取最大值.

20、解： ，
（1）当时，．
设为其不动点，即，则．
所以，即的不动点是.
（2）由得.
由已知，此方程有相异二实根，所以，
即对任意恒成立．
，．
（3）设，直线是线段的垂直平分线，．
记的中点，由(2)知．
在上，
化简得：，当时，等号成立．
即
2020-2021学年度第二学期高三期中练习
数 学（理科） 2010.3
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目等涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案．不能答在试卷上．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项．
1．设集合，，则
A． B． C． D．
2．若向量a=（1，—1），b=（—1，1），c=（5，1），则c+a+b=
A．a B． b C．c D．a+b
3．抛物线的准线方程是
A． B． C． D．
4．已知，复数，则“”是“为纯虚数”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
5．如图，是CCTV青年歌手大奖赛上某位选手得分的茎叶
图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方
差为
A． B．
C． D．
6．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧
棱AA1底面A1B1C1，主视图是边长为2的正方形，该
三棱柱的左视图面积为
A． B．
C． D．
7．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的
距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为
A． B． C． D．
8．如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒内，它从原点运动到(0,1)，然后接着按图所示在x轴，y
轴平行方向来回运动（即(0,0)(0,1)(1,1)(1,0) (2,0) ……），若每秒运动一个单位长度，那
么第2010秒时，这个粒子所在的位置为
A．（16,44） B．（15,44）．
C．（14,44） D．（13,44）
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
注意事项：用黑色签字笔将答案写在答题卡上规定的区域内．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
9．函数的最小正周期为 .
10．经过极点，圆心在极轴上，且半径为1的圆的极坐标
方程为 _.
11．如图，是计算的值的一个程序框
图，其中判断框内应填入的条件是 .
12．若函数，则
、、的大小关系是
_.
13．如图，圆O和圆相交于A，B两点，AC是圆的切线，AD是
圆O的切线，若BC＝2，AB＝4，则 _.
14．已知函数，若，，则函数的零
点个数为 ____.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共12分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）求在区间上的最大值与最小值．
16．（本小题满分14分）
如图，已知四棱锥S—ABCD的底面ABCD是矩形，M、N分别是CD、SC的中点，SA⊥底面ABCD，
SA=AD=1，AB=．
（I）求证：MN⊥平面ABN；
（II）求二面角A—BN—C的余弦值．
17．（本小题满分13分）
已知函数,且，求及函数的极大值与极小值．
18．（本小题满分13分）
甲、乙两人同时参加奥运志愿者选拔赛的考试，已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才能入选．
（I）求甲答对试题数的分布列及数学期望；
（II）求甲、乙两人至少有一人入选的概率．
19．（本小题满分14分）
已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率，一个焦点的坐标为．
（I）求椭圆C方程；
（II）设直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交轴于点T．当变化
时，求面积的最大值．
20．（本小题满分14分）
当均为正数时，称为的“均倒数”．已知数列的各项均为正数，且其前项的“均倒数”为．
（Ⅰ）试求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，试判断并说明的符号；
（Ⅲ）已知，记数列的前项和为，试求的值；
（Ⅳ）设函数，是否存在最大的实数，使当时，对于一切正整数，
都有恒成立？
?
2020-2021学年度第二学期高三数学期中练习
参考答案及评分标准(理科)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D A D B B C
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
9. 10. 11.
12. ＞＞ 13. 14.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.
15. （本小题共12分）
解：（Ⅰ）由题意
故所求定义域为 {} …………4分
（Ⅱ）
…………9分
， …………10分
∴当即时，；
当即时，． ……12分
16．（本小题满分14分）
解：（I）以A点为原点，AB为x轴，AD为y轴，AD为z轴的空间直角坐标系，如图所示. 则依题意可知相关各点的坐标分别是：A（0，0，0），B（，0，0），C（，1，0），D（0，1，0），S（0，0，1）(图略)
……………………2分
…………………………4分

∴MN⊥平面ABN.……………………………………………………………………7分
（II）设平面NBC的法向量且又易知

令a=1，则……………………………………………………11分
显然，就是平面ABN的法向量.

由图形知，二面角A—BN—C是钝角二面角…………………………………12分
……………………………………14分
17．（本小题满分13分）
解：由题设知 ………………2分
令 ……………………………4分
当时，随的变化，与的变化如下：

0


+ 0 - 0 +

极大
极小
，……………8分
当时，随的变化，与的变化如下：





- 0 + 0 -

极小
极大
，…………………12分
综上，当时，，；
当时，，.……………13分
18．（本小题满分13分）
解：（I）依题意，甲答对试题数的可能取值为0,1,2,3，…………………1分
则


………………………………………………… 5分
的分布列为
0 1 2 3
P



…………………… 6分
甲答对试题数的数学期望为
………………………………7分
（II）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则

………………………………9分
因为事件A、B相互独立，
甲、乙两人考试均不合格的概率为
………………………11分
甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为

答：甲、乙两人于少有一人考试合格的概率为 …………………13分
另解：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为

答：甲、乙两人于少有一人考试合格的概率为
19．（本小题满分14分）
解法一：（I）依题意，设椭圆C的方程为
…… …………3分
………………4分
椭圆C的方程是 ………………5分
（II）

设，AB中点为
………………11分
………………13分
，
当，即时，取得最大值为 ………………14分
解法二：（I）同解法一
（II）
设，AB中点为
… ……………8分
………………10分
的方程为
令，得， ………………9分
设AB交轴与点R,则
………………11分

………………13分
当，即时，取得最大值为…………14分
20．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ） ,
，
两式相减，得.
又，解得 ,
∴ . ………4分
（Ⅱ）∵,
,
∴， 即.?? ………7分
（Ⅲ）∵,
∴，
当时, ,; ………8分
当且时, ， .? ………10分 ?
? 综上得， ………11分
（Ⅳ）由（Ⅱ）知数列 是单调递增数列,是其的最小项，即．
假设存在最大实数,使当时,对于一切正整数,都有 恒成立，则?．只需，即．
解之得 或 ．于是,可取………14分
高三年级第二学期期中练习
数 学 （理科） 2011.4
选择题 （共40分）
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1、已知集合，，则
A. B.
C. D. R
2．已知数列为等差数列，是它的前项和.若，，则
A．10 B．16 C．20 D．24
3. 在极坐标系下，已知圆的方程为，则下列各点在圆上的是　　
A． B．
C． D．
4．执行如图所示的程序框图，若输出的值为23，则输入的值为
A． B．1 C． D．11
5．已知平面，是内不同于的直线，那么下列命题中
错误的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6. 已知非零向量满足０，向量的夹角为，且，则向量与的夹角为　　
A． B． C． D．
7.如果存在正整数和实数使得函数（，为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0）），那么的值为
A． B． C． 3 D. 4
8．已知抛物线：，圆：（其中为常数，）.过点（1，0）的直线交圆于、D两点，交抛物线于、两点，且满足的直线只有三条的必要条件是
A． B． C． D．
非选择题（共110分）
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.
9．复数 .
10.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为，，，则它们的大小关系为 . （用“”连接）
11．如图，A，B，C是⊙O上的三点，BE切⊙O于点B， D是与⊙O的交点.若，则______；若，，
则 .
12.已知平面区域，在区域内任取一点，则取到的点位于直线（）下方的概率为____________ .
13.若直线被圆所截的弦长不小于2，则在下列曲线中：
①　　② ③ 　　④
与直线一定有公共点的曲线的序号是 . （写出你认为正确的所有序号）
14．如图，线段=8，点在线段上，且=2，为线段上一动点，点绕点旋转后与点绕点旋转后重合于点.设=， 的面积为.则的定义域为 ； 的零点是 .
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15. （本小题共13分）
在中，内角A、B、C所对的边分别为，已知，，且.
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)求的面积.
16. （本小题共14分）
在如图的多面体中，⊥平面，,，，
，，，
是的中点．
(Ⅰ) 求证：平面；
(Ⅱ) 求证：；
(Ⅲ) 求二面角的余弦值.
17. （本小题共13分）
某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品.
(Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；
(Ⅱ)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为，求的分布列；
(Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.
18. （本小题共13分）
已知函数，
（Ⅰ）若，求函数的极值；
（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；
(Ⅲ)若在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围.
19. （本小题共14分）
已知椭圆 经过点其离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于A、B两点，以线段为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆上，为坐标原点.求的取值范围.
20. （本小题共13分）
已知每项均是正整数的数列：，其中等于的项有个，
设 ， .
（Ⅰ）设数列，求；
（Ⅱ）若数列满足，求函数的最小值.
高三年级第二学期期中练习
数 学（理）
答案及评分参考 2011．4
选择题 （共40分）
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A C D B B D
非选择题 （共110分）
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）
9. 10. >> 11. ； 3
12. 13. ① ③ 14.
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15.（共13分）
解：（I）因为，,, …………………1分
代入得到， . …………………3分
因为 , …………………4分
所以. …………………5分
（II）因为，由（I）结论可得： . …………………7分
因为，所以 . …………8分
所以. …………9分
由得， …………………11分
所以的面积为：. ………………13分
16. （共14分）
解：(Ⅰ)证明：∵，
∴.
又∵,是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴ . ……………2分
∵平面，平面，
∴平面. …………………4分
(Ⅱ) 解法1
证明：∵平面，平面，
∴，
又，平面，
∴平面. ………………………5分
过作交于，则平面.
∵平面， ∴. ………………………6分
∵，∴四边形平行四边形，
∴，
∴，又，
∴四边形为正方形，
∴， ………………………7分
又平面，平面,
∴⊥平面. ………………………8分
∵平面,
∴. ………………………9分
解法2
∵平面，平面，平面，∴，，
又,
∴两两垂直. ……………………5分
以点E为坐标原点，分别为轴建立如图的空间直角坐标系.
由已知得，（0，0，2），（2，0，0），
（2，4，0），（0，3，0），（0，2，2），
（2，2，0）. …………………………6分
∴，，………7分
∴, ………8分
∴. …………………………9分
(Ⅲ)由已知得是平面的法向量. …………………………10分
设平面的法向量为，∵，
∴，即，令,得. …………………………12分
设二面角的大小为，
则， …………………………13分
∴二面角的余弦值为 …………………………14分
17. （共13分）
解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为 …………………………1分
事件等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ……………2分
…………………………4分
(Ⅱ) 由题可知可能取值为0,1,2,3.
,,
,. ………………8分
0 1 2 3





… ……………9分

(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为 ……………10分
事件等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”
所以，. ……………13分
18. （共13分）
解：（Ⅰ）的定义域为， ………………………1分
当时，， ， ………………………2分

1
— 0 +

极小
………………………3分
所以在处取得极小值1. ………………………4分
（Ⅱ），
………………………6分
①当时，即时，在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增； ………………………7分
②当，即时，在上，
所以，函数在上单调递增. ………………………8分
（III）在上存在一点，使得成立，即
在上存在一点，使得，即
函数在上的最小值小于零. ………………………9分
由（Ⅱ）可知
①即，即时， 在上单调递减，
所以的最小值为，由可得，
因为，所以； ………………………10分
②当，即时， 在上单调递增，
所以最小值为，由可得； ………………………11分
③当，即时， 可得最小值为，
因为，所以，
故
此时，不成立. ………………………12分
综上讨论可得所求的范围是：或. ………………………13分
19. （共14分）
解：（Ⅰ）由已知可得，所以 ① ……………1分
又点在椭圆上，所以 ② ……………2分
由①②解之，得.
故椭圆的方程为. ……………5分
(Ⅱ) 当时，在椭圆上，解得，所以. ……6分
当时，则由
消化简整理得：，
③ ……………8分
设点的坐标分别为，则
. ……………9分
由于点在椭圆上，所以 . ……………10分
从而，化简得，经检验满足③式. ………11分
又

………………………12分
因为，得，有，
故. ………………………13分
综上，所求的取值范围是. ………………………14分
(Ⅱ)另解：设点的坐标分别为，
由在椭圆上，可得 ………………………6分
①—②整理得 ………………………7分
由已知可得，所以 ……………………8分
由已知当 ,即 ⑥ ………………………9分
把④⑤⑥代入③整理得 ………………………10分
与联立消整理得 ……………………11分
由得，
所以 ……………………12分
因为，得，有，
故. ………………………13分
所求的取值范围是. ………………………14分
20. （共13分）
解：（1）根据题设中有关字母的定义，



（2）一方面，，根据“数列含有项”及的含义知，
故，即 ① …………………7分
另一方面，设整数，则当时必有，
所以
所以的最小值为. …………………9分
下面计算的值：
…………………12分
∵ ， ∴
∴最小值为. …………………13分
说明：其它正确解法按相应步骤给分.