高一下学期物理期中复习导学案（二）
----万有引力定律
【基础再现】
一、开普勒行星运动定律
1．开普勒第一定律
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．
2．开普勒第二定律
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积．
3．开普勒第三定律
所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，表达式：＝K.
二、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比．
2．公式：F＝G，其中G＝6.67×10－11
N·m2/kg2.
3．适用条件：严格地说，公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．均匀的球体可视为质点，其中r是两球心间的距离．一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r为球心到质点间的距离．
三、三种宇宙速度
宇宙速度
数值(km/s)
意义
第一宇宙速度(环绕速度)
7.9
是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度．
第二宇宙速度(脱离速度)
11.2
使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度.
第三宇宙速度(逃逸速度)
16.7
使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.
特别提示：三种宇宙速度均指的是发射速度，不是运行速度．
四、经典力学的时空观和相对论时空观
1．相对论时空观
同一过程的位移和时间的测量与参考系有关，在不同的参考系中不同．
2．狭义相对论的两个基本假设
狭义相对性原理：
光速不变原理：
3．经典力学的适用范围
只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界．
【基础自测】单选题
1.火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运动速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同的时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
2.关于万有引力公式F＝G，以下说法中正确的是( )
A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体
B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大
C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律
D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的
3.我国已具备火星探测能力，假设我国欲发射一颗探测火星的卫星，其发射速度v应为( )
A．7.9
km/s
B．7.9
km/s＜v＜11.2
km/s
C．11.2
km/s＜v＜16.7
km/s
D．v≥16.7
km/s
4．在日常生活中我们并没有发现物体的质量随物体的运动的变化而变化，其原因是( )
A．物体运动无法称质量
B．物体的速度远小于光速，质量变化极小
C．物体质量太大
D．物体的质量不随速度变化而变化
【典例透析】
【典例1】(1)开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即＝k，k是一个对所有行星都相同的常量．将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式．已知引力常量为G，太阳的质量为M太．
(2)开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立．经测定月地距离为3.84×108
m，月球绕地球运动的周期为2.36×106
s，试计算地球的质量M地．(G＝6.67×10－11
N·m2/kg2，结果保留一位有效数字)
[思路点拨] (1)行星绕太阳做圆周运动所需向心力是由什么力提供的？
(2)月球绕地球做圆周运动所需向心力是由什么力提供的？
【训练1】2013年11月26日，中国探月工程副总指挥李本正在国防科工局举行的嫦娥三号任务首场发布会上宣布，我国首辆月球车——嫦娥三号月球探测器的巡视器全球征名活动结束，月球车得名“玉兔”号．图示是嫦娥三号巡视器和着陆器，月球半径为R0，月球表面处重力加速度为g0.地球和月球的半径之比为＝4，表面重力加速度之比为＝6，地球和月球的密度之比为( )
A．
B．
C．4
D．6
【典例2】2013年6月13日13时18分，“天宫一号”目标飞行器与“神舟十号”飞船成功实现自动交会对接．这是“天宫一号”自2011年9月发射入轨以来，第3次与神舟飞船成功实现交会对接．如图所示，圆形轨道Ⅰ为“天宫一号”运行轨道，圆形轨道Ⅱ为“神舟十号”运行轨道，在实现交会对接前，“神舟十号”要进行多次变轨，则( )
A．“天宫一号”的运行速率大于“神舟十号”在轨道Ⅱ上的运行速率
B．“神舟十号”变轨前比变轨后的机械能要大
C．“神舟十号”可以通过减速而使轨道半径变大
D．“天宫一号”和“神舟十号”对接瞬间的向心加速度相同
【训练2】若两颗人造地球卫星的周期之比为T1∶T2＝2∶1，则它们的轨道半径之比R1∶R2＝________，向心加速度之比a1∶a2＝________．
【典例3】关于在轨卫星，下列说法正确的是( )
A．周期T＝24
h的卫星都是同步卫星
B．同步卫星相对地面静止，则它的速度等于赤道上物体的速度
C．近地卫星的速度、加速度都大于同步卫星的速度、加速度
D．所有极地卫星的周期都相同
【训练3】北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统(CNSS)，建成后的北斗卫星导航系统包括5颗同步卫星和30颗一般轨道卫星．对于5颗同步卫星，下列说法中不正确的是( )
A．一定位于空间同一轨道上
B．它们运行的加速度大小一定相同
C．它们运行的线速度一定小于7.9
km/s
D．若某一卫星减速，其轨道半径将增大
【典例4】2012年6月18日，“神舟九号”飞船经过5次变轨追上了“天宫一号”．如果“神舟九号”飞船的五次变轨简化为如图所示的二次变轨：由轨道Ⅰ变至轨道Ⅱ，再变至轨道Ⅲ.下列关于“神舟九号”飞船的说法不正确的是( )
A．沿轨道Ⅱ运动周期比沿轨道Ⅰ的运动周期短
B．沿轨道Ⅱ从P向Q的运动过程中速度逐渐变小
C．沿轨道Ⅲ运动的机械能比沿轨道Ⅰ运动的机械能大
D．沿轨道Ⅲ运动的加速度比沿轨道Ⅰ运动的加速度小
【训练4】2012年6月18日，神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343
km的近圆形轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接．对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气．下列说法正确的是( )
A．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
B．如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能减小
C．如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低
D．航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用
混淆同步卫星、近地卫星、地球赤道上的物体的运动特点
范例 (单选)如图所示，同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是( )
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
《万有引力》专项复习训练题
一、单项选择题：本题共11小题，每小题4分，共44分．每小题只有一个选项符合题意．选对的得4
分，错选或不答的得
0
分．
1．假设宇宙中有一颗未命名的星体，其质量为地球的6.4倍，一个在地球表面重力为50
N的物体，经测定在该未知星体表面的重力为80
N，则未知星体与地球的半径之比为( )
A．0.5
B．2
C．3.2
D．4
2．如图，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )
A．甲的向心加速度比乙的小
B．甲的运行周期比乙的小
C．甲的角速度比乙的大
D．甲的线速度比乙的大
3．美国在2013年3月19日成功发射了第2颗“天基红外系统”地球静止轨道卫星(SBIRS
GEO－2)．若该同步卫星在发射升空的过程中总质量不变，则下列有关该卫星的说法正确的是( )
A．当卫星到达它的运行轨道时，其内部的物体将不再受重力的作用
B．在卫星加速上升的过程中其机械能逐渐变小
C．该卫星的轨道能经过地球南北极的正上空
D．当卫星到达它的运行轨道时，其线速度必定小于7.9
km/s
4．星球上的物体脱离星球引力所需的最小速度称为第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝v1.已知某星球的半径为r，表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的，不计其它星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( )
A．
B．
C．
D．gr
5．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为( )
A．T
B．T
C．T
D．T
6.
如图所示，飞船从轨道1变轨至轨道2.若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的( )
A．动能大
B．向心加速度大
C．运行周期长
D．角速度大
7．第16颗北斗导航卫星是一颗地球静止轨道卫星，它与先期发射的15颗北斗导航卫星组网运行，形成区域服务能力．下列关于第16颗北斗导航卫星的说法正确的是( )
A．该卫星正常运行时一定处于赤道正上方，角速度小于地球自转角速度
B．该卫星正常运行时轨道也可以经过地球两极
C．该卫星的速度小于第一宇宙速度
D．如果知道该卫星的周期与轨道半径可以计算出其质量
8．2012年9月采用一箭双星的方式发射了该系统中的两颗轨道半径均为21
332
km的“北斗－M5”和“北斗－M6”卫星，其轨道如图所示．关于这两颗卫星，下列说法正确的是( )
A．两颗卫星的向心加速度大小相同
B．两颗卫星速度大小均大于7.9
km/s
C．北斗－M6的速率小于同步卫星的速率
D．北斗－M5的运行周期大于地球自转周期
9．冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O点运动的( )
A．轨道半径约为卡戎的
B．角速度大小约为卡戎的
C．线速度大小约为卡戎的7倍
D．向心力大小约为卡戎的7倍
10．设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆．已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足( )
A．GM＝
B．GM＝
C．GM＝
D．GM＝
11.
2011年8月，“嫦娥二号”成功进入了环绕“日地拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家．如图所示，该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上，一飞行器处于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，则此飞行器的( )
A．线速度大于地球的线速度
B．向心加速度小于地球的向心加速度
C．向心力仅由太阳的引力提供
D．向心力仅由地球的引力提供
二、非选择题：共5题，共56分．，其中第13~16题解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤，只写出最后答案的不能得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位．
12．（10分）宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动时处于完全失重状态，物体对支持面几乎没有压力，所以在这种环境中已无法用天平称量物体的质量．假设某同学在这种环境中设计了如右图所示的装置(图中O为光滑的小孔)来间接测量物体的质量：给待测量物体一个初速度，使它在桌面上做匀速圆周运动．设航天器中备有必要的基本测量工具．
(1)物体与桌面间的摩擦力_____________忽略不计(选填“可以”或“不能”)，原因是_____________；
(2)物体做匀速圆周运动的向心力数值上等于_________（选填“A．弹簧秤的拉力”或“B．物体的重力”，选填字母“A”或“B”）
(3)实验时需要测量的物理量是：圆周运动的周期T、弹簧秤示数F
、_________；（写出被测物理量的名称和字母）
(4)待测质量的表达式为m＝_________________．
13.（10分）一登月宇航员为估测月球的平均密度，该宇航员乘坐飞船在离月球表面高为h的圆轨道上飞行，并记下周期T，若已知月球的半径R和万有引力恒量G，该宇航员就可估测月球的平均密度ρ。有位同学帮他估测过程如下：
设月球质量为M，飞船质量为m.
由牛顿第二律知：① ?② 由密度公式知③
联立①②③得
你认为这位同学的结果是否正确，请作出结论“正确”或“错误”。若认为错误，请你写出正确的推断过程及结论。
14.
（12分）在宇宙探索中，科学家发现某颗行星的质量和半径均为地球的，宇航员登陆到该行星的表面时，将长度L=0.45m的细绳一端固定，另一端系质量m=0.1kg的金属球，并让金属球恰好能在竖直面内作圆周运动。已知地球表面重力加速度g=10m/s2。求：
（1）该行星表面的重力加速度g′；
（2）金属球通过最高点时线速度大小；
（3）若小球经过最低点的速度为3m/s，求金属球通过最低点时细绳拉力大小。
15．（12分）我国成功发射的神舟十号载人飞船绕地球的运行可看作是匀速圆周运动，宇航员测得自己绕地心做匀速圆周运动的周期为T、距地面的高度为H，已知地球半径为R，引力常量为G.
(1)求飞船的线速度大小；
(2)求地球的质量；
(3)能否求出飞船所需的向心力？若能，请写出计算过程和结果；若不能，请说明理由．
16.（12分）有一探测卫星在地球赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，已知地球质量为M，地球半径为R，万有引力常量为G，探测卫星绕地球运动的周期为T.求：
(1)探测卫星绕地球做匀速圆周运动时的轨道半径；
(2)探测卫星绕地球做匀速圆周运动时的速度大小；
(3)在距地球表面高度恰好等于地球半径时，探测卫星上的观测仪器某一时刻能观测到的地球表面赤道的最大弧长．(此探测器观测不受日照影响，不考虑空气对光的折射)高一下学期物理期中复习导学案（二）
----万有引力定律
【基础再现】
一、开普勒行星运动定律
1．开普勒第一定律
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．
2．开普勒第二定律
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积．
3．开普勒第三定律
所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，表达式：＝K.
二、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比．
2．公式：F＝G，其中G＝6.67×10－11
N·m2/kg2.
3．适用条件：严格地说，公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．均匀的球体可视为质点，其中r是两球心间的距离．一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r为球心到质点间的距离．
三、三种宇宙速度
宇宙速度
数值(km/s)
意义
第一宇宙速度(环绕速度)
7.9
是人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度．
第二宇宙速度(脱离速度)
11.2
使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度.
第三宇宙速度(逃逸速度)
16.7
使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.
特别提示：三种宇宙速度均指的是发射速度，不是运行速度．
四、经典力学的时空观和相对论时空观
1．相对论时空观
同一过程的位移和时间的测量与参考系有关，在不同的参考系中不同．
2．狭义相对论的两个基本假设
狭义相对性原理：
光速不变原理：
3．经典力学的适用范围
只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界．
【基础自测】单选题
1.火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运动速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同的时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
2.关于万有引力公式F＝G，以下说法中正确的是( )
A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体
B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大
C．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律
D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的
3.我国已具备火星探测能力，假设我国欲发射一颗探测火星的卫星，其发射速度v应为( )
A．7.9
km/s
B．7.9
km/s＜v＜11.2
km/s
C．11.2
km/s＜v＜16.7
km/s
D．v≥16.7
km/s
4．在日常生活中我们并没有发现物体的质量随物体的运动的变化而变化，其原因是( )
A．物体运动无法称质量
B．物体的速度远小于光速，质量变化极小
C．物体质量太大
D．物体的质量不随速度变化而变化
自我校对：1.C 2.C 3.C 4.B
【典例透析】
天体质量和密度的估算
1．利用天体表面的重力加速度g和天体半径R
由于G＝mg，故天体质量M＝，
天体密度ρ＝＝＝.
2．利用卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r
(1)由万有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝；
(2)若已知天体半径R，则天体的平均密度
ρ＝＝＝；
(3)若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
【典例1】(1)开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即＝k，k是一个对所有行星都相同的常量．将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式．已知引力常量为G，太阳的质量为M太．
(2)开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立．经测定月地距离为3.84×108
m，月球绕地球运动的周期为2.36×106
s，试计算地球的质量M地．(G＝6.67×10－11
N·m2/kg2，结果保留一位有效数字)
[思路点拨] (1)行星绕太阳做圆周运动所需向心力是由什么力提供的？
(2)月球绕地球做圆周运动所需向心力是由什么力提供的？
[解析] (1)因行星绕太阳做匀速圆周运动，于是轨道半长轴a即为轨道半径r，根据万有引力定律和牛顿第二定律有
G＝m行r①
于是有＝M太②
即k＝M太③
(2)在地月系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R，周期为T，由②式可得
＝M地④
解得M地＝6×1024
kg.⑤
[答案] 见解析
[方法总结] 求解天体质量的基本思路：
(1)建立模型
行星(卫星)绕中心天体的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型．
(2)选择公式
G＝m＝mω2r＝mr＝ma
mg＝(g为星体表面处的重力加速度)
【训练1】2013年11月26日，中国探月工程副总指挥李本正在国防科工局举行的嫦娥三号任务首场发布会上宣布，我国首辆月球车——嫦娥三号月球探测器的巡视器全球征名活动结束，月球车得名“玉兔”号．图示是嫦娥三号巡视器和着陆器，月球半径为R0，月球表面处重力加速度为g0.地球和月球的半径之比为＝4，表面重力加速度之比为＝6，地球和月球的密度之比为( )
A．
B．
C．4
D．6
解析：选B．设星球的密度为ρ，由G＝m′g得GM＝gR2，ρ＝＝，联立解得：ρ＝，设地球、月球的密度分别为ρ、ρ0，则：＝，将＝4，＝6代入上式，解得：＝，选项B正确．
卫星的运行参量的计算与比较
1．卫星的动力学规律
由万有引力提供向心力G＝ma向＝m＝mω2r＝m
2．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
3．卫星运动中的机械能
(1)只在万有引力作用下卫星绕中心天体做匀速圆周运动和沿椭圆轨道运动，机械能均守恒，这里的机械能包括卫星的动能、卫星(与中心天体)的引力势能．
(2)质量相同的卫星，圆轨道半径越大，动能越小，势能越大，机械能越大．
【典例2】2013年6月13日13时18分，“天宫一号”目标飞行器与“神舟十号”飞船成功实现自动交会对接．这是“天宫一号”自2011年9月发射入轨以来，第3次与神舟飞船成功实现交会对接．如图所示，圆形轨道Ⅰ为“天宫一号”运行轨道，圆形轨道Ⅱ为“神舟十号”运行轨道，在实现交会对接前，“神舟十号”要进行多次变轨，则( )
A．“天宫一号”的运行速率大于“神舟十号”在轨道Ⅱ上的运行速率
B．“神舟十号”变轨前比变轨后的机械能要小
C．“神舟十号”可以通过减速而使轨道半径变大
D．“天宫一号”和“神舟十号”对接瞬间的向心加速度相同
[解析] “天宫一号”的运行速率小于“神舟十号”在轨道Ⅱ上的运行速率，选项A错误.
“神舟十号”加速才能做离心运动，而使轨道半径变大，即外力要对飞船做正功，选项B错误，选项C错误；“天宫一号”和“神舟十号”对接瞬间轨道半径相同，向心加速度也相同，选项D正确．
[答案] D
[方法总结] 解决卫星运动参量问题必须明确两点：一是卫星绕地球做匀速圆周运动；二是卫星所需向心力是由地球对它的万有引力提供．
【训练2】若两颗人造地球卫星的周期之比为T1∶T2＝2∶1，则它们的轨道半径之比R1∶R2＝________，向心加速度之比a1∶a2＝________．
解析：由＝mR得＝eq
\f(\r(3,T),\r(3,T))＝
由＝ma得，＝eq
\f(R,R)＝eq
\f(\r(3,T),\r(3,T))＝
.
答案：∶1 1∶
三种特殊卫星
1．近地卫星
近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度v＝
＝，约为7.9
km/s，其运行周期T＝，约为84
min.
2．极地卫星
极地卫星运行时每圈都经过南北两极，轨道平面通过地心．由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．
3．同步卫星
(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合．
(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24
h＝86
400
s.
(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同．
(4)高度一定：据G＝mr得r＝＝4.24×104
km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)．
(5)速率一定：运动速度v＝2πr/T＝3.07
km/s(为恒量)．
(6)绕行方向一定：与地球自转的方向一致．
【典例3】关于在轨卫星，下列说法正确的是( )
A．周期T＝24
h的卫星都是同步卫星
B．同步卫星相对地面静止，则它的速度等于赤道上物体的速度
C．近地卫星的速度、加速度都大于同步卫星的速度、加速度
D．所有极地卫星的周期都相同
[解析] T＝24
h的卫星不一定在同步轨道上，故A错；同步卫星的角速度与地球自转的角速度相等，由v＝ω·r知同步卫星的速度大，故B错；近地卫星的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，所以近地卫星的速度、加速度大，故C正确；不同极地卫星的轨道半径不同，周期也不同，故D错．
[答案] C
【训练3】北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统(CNSS)，建成后的北斗卫星导航系统包括5颗同步卫星和30颗一般轨道卫星．对于5颗同步卫星，下列说法中不正确的是( )
A．一定位于空间同一轨道上
B．它们运行的加速度大小一定相同
C．它们运行的线速度一定小于7.9
km/s
D．若某一卫星减速，其轨道半径将增大
解析：选D．同步卫星定点与赤道正上方，到地心的距离为定值，选项A正确；根据G＝m＝ma可知，v＝，a＝，它们运行的加速度大小相同，选项B正确；由v＝可知，轨道半径越大，卫星运行线速度越小，选项C正确；由F＝m可知，当v减小时，向心力小于此时的万有引力，卫星做向心运动，轨道半径减小，选项D错误．
卫星(航天器)的变轨问题
当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行：
(1)当卫星的速度突然增加时，G＜m，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝
可知其运行速度比原轨道时减小．
(2)当卫星的速度突然减小时，G＞m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝
可知其运行速度比原轨道时增大；卫星的发射和回收就是利用这一原理．
【典例4】2012年6月18日，“神舟九号”飞船经过5次变轨追上了“天宫一号”．如果“神舟九号”飞船的五次变轨简化为如图所示的二次变轨：由轨道Ⅰ变至轨道Ⅱ，再变至轨道Ⅲ.下列关于“神舟九号”飞船的说法不正确的是( )
A．沿轨道Ⅱ运动周期比沿轨道Ⅰ的运动周期短
B．沿轨道Ⅱ从P向Q的运动过程中速度逐渐变小
C．沿轨道Ⅲ运动的机械能比沿轨道Ⅰ运动的机械能大
D．沿轨道Ⅲ运动的加速度比沿轨道Ⅰ运动的加速度小
[解析] 由开普勒第三定律得：eq
\f(r,T)＝eq
\f(r,T)，Ⅱ轨道r2大，T2也大，A错．近地点P的速度大于远地点Q的速度，B对．由a＝G得，轨迹Ⅲ的轨道半径大于轨道Ⅰ的轨道半径，所以沿轨道Ⅲ运动的加速度比沿轨道Ⅰ运动的加速度小，D对．由轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ需点火加速，由轨道Ⅱ变轨到Ⅲ时也需点火加速，所以沿轨道Ⅲ运动的机械能比沿轨道Ⅰ运动的机械能大，C对．
[答案] A
【训练4】2012年6月18日，神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343
km的近圆形轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接．对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气．下列说法正确的是( )
A．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
B．如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能减小
C．如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低
D．航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用
解析：选BC．第一宇宙速度和第二宇宙速度为发射速度，航天器运动的速度为环绕速度，均小于第一宇宙速度，选项A错误；天宫一号运动过程中由于大气阻力，速度减小，导致需要的向心力Fn＝减小，做向心运动，向心运动过程中，轨道高度降低，且万有引力做正功，势能减小，动能增加，选项B错误、C正确；
航天员在太空中受地球引力，地球引力全部提供航天员做圆周运动的向心力，选项D错误．
混淆同步卫星、近地卫星、地球赤道上的物体的运动特点
范例 (单选)如图所示，同步卫星与地心的距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列比值正确的是( )
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
[误区警示] 解本题时容易犯的错误是，不分青红皂白，对近地卫星、同步卫星、地球赤道上的物体均由G＝ma＝m分析得出结论，错选B．
[解析] 本题中涉及三个物体，其已知量排列如下：
地球同步卫星：轨道半径r，运行速率v1，加速度a1；
地球赤道上的物体：轨道半径R，随地球自转的向心加速度a2；
近地卫星：轨道半径R，运行速率v2.
对于卫星，其共同特点是万有引力提供向心力，有
G＝m，故＝.
对于同步卫星和地球赤道上的物体，其共同特点是角速度相等，有a＝ω2r，故＝.
[答案] A
[真知灼见] 卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，而赤道上的物体随地球自转，除受万有引力外，还受地面对它的支持力，即万有引力和支持力的合力提供物体做圆周运动的向心力，所以G＝ma对同步卫星和近地卫星是适用的，但对赤道上的物体并不适
《万有引力》专项复习训练题
一、单项选择题：本题共11小题，每小题4分，共44分．每小题只有一个选项符合题意．选对的得4
分，错选或不答的得
0
分．
1．假设宇宙中有一颗未命名的星体，其质量为地球的6.4倍，一个在地球表面重力为50
N的物体，经测定在该未知星体表面的重力为80
N，则未知星体与地球的半径之比为( )
A．0.5
B．2
C．3.2
D．4
解析：选B．设地球质量为M地，半径为R地，未知星体的质量为M，半径为R，则对于地球表面的物体：Geq
\f(M地m,R)＝mg＝50
N，对于处于未知星体表面的同一物体：G＝mg′＝80
N，其中M＝6.4M地，由以上两式相比得＝2，所以B正确．
2．(2013·高考广东卷)如图，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )
A．甲的向心加速度比乙的小
B．甲的运行周期比乙的小
C．甲的角速度比乙的大
D．甲的线速度比乙的大
解析：选A．根据G＝ma得a＝，故甲卫星的向心加速度小，选项A正确；根据G＝mr，得T＝2π，故甲的运行周期大，选项B错误；根据G＝mω2r，得ω＝，故甲运行的角速度小，选项C错误；根据G＝，得v＝
，故甲运行的线速度小，选项D错误．
3．美国在2013年3月19日成功发射了第2颗“天基红外系统”地球静止轨道卫星(SBIRS
GEO－2)．若该同步卫星在发射升空的过程中总质量不变，则下列有关该卫星的说法正确的是( )
A．当卫星到达它的运行轨道时，其内部的物体将不再受重力的作用
B．在卫星加速上升的过程中其机械能逐渐变小
C．该卫星的轨道能经过地球南北极的正上空
D．当卫星到达它的运行轨道时，其线速度必定小于7.9
km/s
解析：选D．卫星到达运行轨道时，仍受重力作用(即万有引力)，万有引力全部提供向心力，完全失重，A项错误；卫星加速过程中，反冲力对其做正功，机械能增加，B项错误；地球静止轨道卫星是同步卫星，它只能在赤道的正上空运行，C项错误；7.9
km/s是所有绕地球运行的卫星的最大在轨线速度，D项正确．
4．星球上的物体脱离星球引力所需的最小速度称为第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝v1.已知某星球的半径为r，表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的，不计其它星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( )
A．
B．
C．
D．gr
解析：选C．由第一宇宙速度公式可知，该星球的第一宇宙速度为v1＝
，结合v2＝v1可得v2＝
，C正确．
5．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为( )
A．T
B．T
C．T
D．T
解析：选B．设双星质量各为m1、m2，相距L，做圆周运动的半径分别为r1、r2，则
G＝m1
G＝m2
r1＋r2＝L
可得＝
T＝
所以T′＝T
故B正确，A、C、D错误．
6.
如图所示，飞船从轨道1变轨至轨道2.若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的( )
A．动能大
B．向心加速度大
C．运行周期长
D．角速度大
解析：选C．由万有引力提供向心力有：＝＝ma＝mω2R＝mR，得环绕速度v＝，可知v2＜v1，Ek2＜Ek1，A错误．由a＝，可知a2＜a1，B错误．由T＝2π
，可知T2＞T1，C正确．由ω＝，可知ω2＜ω1，D错误．
7．第16颗北斗导航卫星是一颗地球静止轨道卫星，它与先期发射的15颗北斗导航卫星组网运行，形成区域服务能力．下列关于第16颗北斗导航卫星的说法正确的是( )
A．该卫星正常运行时一定处于赤道正上方，角速度小于地球自转角速度
B．该卫星正常运行时轨道也可以经过地球两极
C．该卫星的速度小于第一宇宙速度
D．如果知道该卫星的周期与轨道半径可以计算出其质量
解析：选C．由题意知第16颗北斗导航卫星是一颗地球同步卫星，所以其轨道一定处于赤道正上方，角速度与地球自转角速度相同，选项A、B错误；该卫星高度很大，不是贴近地球表面运行，所以其速度远小于第一宇宙速度，选项C正确；如果知道该卫星的周期与轨道半径，根据G＝mr可以计算出地球质量M，但不能计算出卫星质量，选项D错误．
8．2012年9月采用一箭双星的方式发射了该系统中的两颗轨道半径均为21
332
km的“北斗－M5”和“北斗－M6”卫星，其轨道如图所示．关于这两颗卫星，下列说法正确的是( )
A．两颗卫星的向心加速度大小相同
B．两颗卫星速度大小均大于7.9
km/s
C．北斗－M6的速率小于同步卫星的速率
D．北斗－M5的运行周期大于地球自转周期
解析：选AC．由于两颗卫星的半径相同，根据F＝G＝ma，所以a＝G，即两颗卫星的向心加速度大小相同，选项A正确；卫星围绕地球做圆周运动的速度要小于第一宇
宙速度7.9
km/s，选项B错误；北斗卫星的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，因v＝，所以北斗－M6的速率大于同步卫星的速率，选项C错误；因T＝2π，所以北斗－M5的周期小于同步卫星的周期，即小于地球自转周期，选项D错误．
9．冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O点运动的( )
A．轨道半径约为卡戎的
B．角速度大小约为卡戎的
C．线速度大小约为卡戎的7倍
D．向心力大小约为卡戎的7倍
解析：选A．做双星运动的星体相互间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，即F万＝m1ω2r1＝m2ω2r2，得＝，故A正确．双星运动的角速度相同，故B错．由v＝ωr可知冥王星的线速度为卡戎的，故C错．两星的向心力为两者间的万有引力且等值反向，故D错．
10．设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆．已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足( )
A．GM＝
B．GM＝
C．GM＝
D．GM＝
答案：A
11.
2011年8月，“嫦娥二号”成功进入了环绕“日地拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家．如图所示，该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上，一飞行器处于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，则此飞行器的( )
A．线速度大于地球的线速度
B．向心加速度小于地球的向心加速度
C．向心力仅由太阳的引力提供
D．向心力仅由地球的引力提供
解析：选A．“嫦娥二号”在拉格朗日点时，太阳和地球对它的引力之和提供绕太阳做圆周运动的向心力，所以选项C、D均错．由于在拉格朗日点“嫦娥二号”与地球同步绕太阳做圆周运动，二者的角速度相等，但“嫦娥二号”的轨道半径大于地球的轨道半径，由v＝rω、a＝rω2可判断，此飞行器的线速度和向心加速度均比地球的大，所以选项A、B正确．
二、非选择题：共5题，共56分．，其中第13~16题解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤，只写出最后答案的不能得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位．
12．（10分）宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动时处于完全失重状态，物体对支持面几乎没有压力，所以在这种环境中已无法用天平称量物体的质量．假设某同学在这种环境中设计了如右图所示的装置(图中O为光滑的小孔)来间接测量物体的质量：给待测量物体一个初速度，使它在桌面上做匀速圆周运动．设航天器中备有必要的基本测量工具．
(1)物体与桌面间的摩擦力_____________忽略不计(选填“可以”或“不能”)，原因是_____________；
(2)物体做匀速圆周运动的向心力数值上等于_________（选填“A．弹簧秤的拉力”或“B．物体的重力”，选填字母“A”或“B”）
(3)实验时需要测量的物理量是：圆周运动的周期T、弹簧秤示数F
、_________；（写出被测物理量的名称和字母）
(4)待测质量的表达式为m＝_________________．
14、（1）可以
因为物体在飞船内处于完全失重，对桌面的压力为零，所以摩擦力为零（答出“完全失重”或“压力为零”，也给分）
（2）
A
（3）圆周运动的半径R
13.（10分）一登月宇航员为估测月球的平均密度，该宇航员乘坐飞船在离月球表面高为h的圆轨道上飞行，并记下周期T，若已知月球的半径R和万有引力恒量G，该宇航员就可估测月球的平均密度ρ。有位同学帮他估测过程如下：
设月球质量为M，飞船质量为m.
由牛顿第二律知：① ?② 由密度公式知③
联立①②③得
你认为这位同学的结果是否正确，请作出结论“正确”或“错误”。若认为错误，请你写出正确的推断过程及结论。
解析：
结论错误。正确的是 ???
(6分)
由牛顿第二定律知：① (5分)
球体体积②?????????
?(1分)
由密度公式知：③ ?????
(1分)
联立①②③得： (2分)
14.
（12分）在宇宙探索中，科学家发现某颗行星的质量和半径均为地球的，宇航员登陆到该行星的表面时，将长度L=0.45m的细绳一端固定，另一端系质量m=0.1kg的金属球，并让金属球恰好能在竖直面内作圆周运动。已知地球表面重力加速度g=10m/s2。求：
（1）该行星表面的重力加速度g′；
（2）金属球通过最高点时线速度大小；
（3）若小球经过最低点的速度为3m/s，求金属球通过最低点时细绳拉力大小。
14、（1）设地球半径为M，半径为R，在地球表面有
设行星半径为M′，半径为R′，在行星表面有
根据题意有M＝2M′，R＝2R′；
联立解得
g′＝2g＝20m/s2
（2）金属球通过最高点时，设其速度为v1，由于小球恰能经过最高点，因此此时只受重力mg′作用，根据牛顿第二定律有
得
（3）小球在最低点时合力提供向心力有
F－mg′=
得
F=12N
15．（12分）我国成功发射的神舟十号载人飞船绕地球的运行可看作是匀速圆周运动，宇航员测得自己绕地心做匀速圆周运动的周期为T、距地面的高度为H，已知地球半径为R，引力常量为G.
(1)求飞船的线速度大小；
(2)求地球的质量；
(3)能否求出飞船所需的向心力？若能，请写出计算过程和结果；若不能，请说明理由．
解析：(1)v＝，r＝R＋H
则：v＝.
(2)G＝m 则：M＝.
(3)不能算出飞船所需的向心力，因飞船质量未知．
答案：见解析
15.（12分）有一探测卫星在地球赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，已知地球质量为M，地球半径为R，万有引力常量为G，探测卫星绕地球运动的周期为T.求：
(1)探测卫星绕地球做匀速圆周运动时的轨道半径；
(2)探测卫星绕地球做匀速圆周运动时的速度大小；
(3)在距地球表面高度恰好等于地球半径时，探测卫星上的观测仪器某一时刻能观测到的地球表面赤道的最大弧长．(此探测器观测不受日照影响，不考虑空气对光的折射)
解析：(1)设探测卫星质量为m，轨道半径为r，根据万有引力定律和牛顿运动定律得：
G＝mr
解得r＝.
(2)设探测卫星绕地球做匀速圆周运动时的速度大小为v，
v＝＝.
(3)
设探测卫星在地球赤道上方A点处，距离地球中心为2R，探测卫星上的观测仪器能观测到赤道上的最大弧长是LBC，如图所示，
cos
α＝＝
则：α＝60°
探测卫星上的探测仪器观测到地球表面赤道的最大弧长LBC＝.
答案：(1)
(2)
(3)
