2020-2021学年人教版八年级下册数学18.2.2 菱形的性质课件（第一课时，共38张PPT）

(共38张PPT)
数
学
人教˙八年级（下册）
18
平行四边形
18.2.2
菱形
第一课时
菱形的性质
课时目标
1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系。
2.探索并证明菱形的性质定理。
3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题。
情景导入
探究新知
菱形的性质
平行
四边形
矩形
前面我们学行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时,就成为了矩形.
有一个角是直角
平行四边形
菱形
邻边相等
探究新知
思考
如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢?
探究新知
定义：有一组邻边相等的平行四边形.
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
归纳总结
探究新知
活动1
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
活动2
在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形(如图），并回答以下问题:
探究新知
猜想1
菱形的四条边都相等.
猜想2
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
是，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
问题1
菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴.
问题2
根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上有什么关系?菱形的两对角线有什么关系?
探究新知
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证:(1)AB
=
BC
=
CD
=AD；
(2)AC⊥BD；
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB
=
CD，AD
=
BC（平行四边形的对边相等）.
又∵AB=AD,∴AB
=
BC
=
CD
=AD.
A
B
C
O
D
探究新知
A
B
C
O
D
（2）∵AB
=
AD,
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB
=
OD
（平行四边形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中,
∵OB
=
OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
探究新知
对称性：是轴对称图形.
边：四条边都相等.
对角线：互相垂直，且每条对角线平分一组对角.
角：对角相等.
边：对边平行且相等.
对角线：相互平分.
菱形的特殊性质
平行四边形的性质
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
归纳总结
探究新知
例1
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝
AC，BO＝
BD.
∵AC＝6cm，BD＝12cm，
∴AO＝3cm，BO＝6cm.
在Rt△ABO中，由勾股定理得
∴菱形的周长＝4AB＝4×3
＝12
(cm)．
探究新知
例2
如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.
证明：连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BAD，
即∠BAC＝∠DAC.
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°.
又∵AC＝AC，∴△ACE≌△ACF.
∴AE＝AF.
菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角．
探究新知
例3
如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB.
A
B
C
D
O
E
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，AD=BA，
∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB
，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB，
∴∠ABC=∠DAE，?
∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.?
又∵AD＝BA
，
∴△AOD≌△BEA
，
∴AO＝BE
.
巩固练习
1.如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是(　　)
A.10
B.12
C.15
D.20
C
巩固练习
2.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为_______.
6cm
探究新知
菱形的面积
问题1
菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗?
A
B
C
D
思考
前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢?
能.过点A作AE⊥BC于点E,
则S菱形ABCD
=底×高
=BC·AE.
E
探究新知
问题2
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD=S△ABC
+S△ADC
=
AC·BO
+
AC·DO
=
AC(BO+DO)
=
AC·BD.
菱形的面积=
底×高
=对角线乘积的一半
探究新知
例4
如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.
探究新知
解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，
∴S△AOB＝
OA·OB＝
×5×12＝30，
∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
∵
又∵菱形两组对边的距离相等，
∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，
∴13h＝120，得h＝
.
探究新知
菱形的面积计算有如下方法：
(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；
(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；
(3)两条对角线长度乘积的一半．
探究新知
例5
如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2
）.
A　
B　
C　
D　
O　
探究新知
解：∵花坛ABCD是菱形，
A　
B　
C　
D　
O　
探究新知
【变式题】
如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．求：
（1）两条对角线的长度；
（2）菱形的面积．
∴AB=2cm，
∴OA=
AB=1cm，AC=AB=2cm，
∴BD=2OB=
cm；
探究新知
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°.
∵∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，
∴∠ABC=
×180°=60°，
∴∠ABO=
×∠ABC=30°，
△ABC是等边三角形.
∵菱形ABCD的周长是8cm．
探究新知
（2）S菱形ABCD
=
AC?BD
=
×2×
=
（cm2）．
菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形，当菱形中有一个角是60°时，菱形被分为以60°为顶角的两个等边三角形.
巩固练习
如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（　　）
A.2.4cm
B.4.8cm
C.5cm
D.9.6cm
B
巩固练习
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（
）
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线互相垂直
D.对角线相等
C
2.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABD的周长等于（　
）
A.18
B.16
C.15
D.14
B
巩固练习
3.根据下图填一填：
（1）已知菱形ABCD的周长是12cm，那么它的边长是
______.
（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝120
°，则∠BAC＝_______.
（3）菱形ABCD的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是_______.
3cm
30°
A
B
C
O
D
5cm
巩固练习
(4)菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角线长为11cm，菱形的周长为______.
(5)菱形的面积为64cm2，两条对角线的比为1∶2
,那么菱形最短的那条对角线长为_______.
44cm
8cm2
A
B
C
O
D
巩固练习
D
B
C
A
E
4.如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对
角线BD长10cm.
求:(1)对角线AC的长度;
(2)菱形ABCD的面积.
解:(1)
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠AED=90°,
∴AC=2AE=2×12=24(cm).
巩固练习
(2)菱形ABCD的面积
D
B
C
A
E
巩固练习
5.如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．
求证：∠AFD=∠CBE．
A
D
C
B
F
E
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD，
CA平分∠BCD．
∴∠BCE=∠DCE．
又
CE=CE，
∴△BCE≌△DCE（SAS）．
∴∠CBE=∠CDE．
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠AFD=∠EDC.
∴∠AFD=∠CBE．
巩固练习
6.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5cm，OD＝3cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E.
(1)求OC的长；
(2)求四边形OBEC的面积．
巩固练习
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.
在RT△OCD中，由勾股定理得OC＝4cm；
(2)∵CE∥DB，BE∥AC，
∴四边形OBEC为平行四边形.
又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，
∴平行四边形OBEC为矩形.
∵OB＝OD＝3cm，
∴S矩形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12(cm2)．
课堂小结
菱形的性质
菱形的性质
有关计算
边
1.周长=边长的四倍
2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半
角
对角线
1.两组对边平行且相等；
2.四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补邻角互补
1.两条对角线互相垂直平分；
2.每一条对角线平分一组对角
谢谢观看