2020-2021学年北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明 单元综合提升训练（word版含答案）

2021年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元综合同步提升训练（附答案）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D，若AC＝9，则AE的值是（　　）
A．
B．
C．6
D．4
2．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE．若BD＝6，CD＝5，则△DCG的面积是（　　）
A．10
B．5
C．
D．
3．如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE，则∠A＝（　　）度．
A．30
B．36
C．45
D．50
4．如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且BD+AD＝BC，则点D在（　　）
A．AC的垂直平分线上
B．∠BAC的平分线上
C．BC的中点
D．AB的垂直平分线上
5．如图，在△ABC中，DE垂直平分BC交AB于点D，交BC于点E．若AB＝10cm，AC＝8cm，则△ACD的周长是（　　）
A．12cm
B．18cm
C．16cm
D．14cm
6．如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AIB＝α，则∠AOB的大小为（　　）
A．α
B．4α﹣360°
C．α+90°
D．180°﹣α
7．如图，平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（2，2），点N在x轴上，若△OMN是等腰三角形，则满足条件的点N共有（　　）个．
A．3
B．4
C．5
D．8
8．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果P也是图中的格点，且使得△ABP为等腰三角形，则点P的个数是（　　）
A．5
B．6
C．7
D．8
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E，若∠E＝37°，则∠BAC＝　
　．
10．△ABC中，D、E在BC上，且EA＝EB，DA＝DC，若∠EAD＝30°，则∠BAC＝　
　．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别为AB、AC上的点，∠BDE、∠CED的平分线分别交BC于点F、G，EG∥AB．若∠A＝38°，则∠BFD的度数为　
　．
12．如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，过点E作AM的垂线交AM于点F．若∠ACB＝28°，∠EBD＝25°，则∠AED＝　
　°．
13．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，且AC＝10，BC＝4，则△BCE的周长为　
　．
14．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝2，∠BAC的外角平分线交BC延长线于点E，BD⊥AE于D，若AE＝AC，则AD的长为　
　．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为　
　．
16．等腰三角形中两条边长分别为4和7，则该等腰三角形的周长等于　
　．
17．如图所示，AOB是一钢架，设∠AOB＝α，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都与OE相等，若最多能添加这样的钢管4根，则α的取值范围是　
　．
18．如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝6，CD＝2，则△ABD的面积是　
　．
19．如图，已知△ABC的面积为18，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是　
　．
20．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则此三角形顶角度数为　
　．
21．已知△ABC是等腰三角形，它的周长为20cm，一条边长6cm，那么腰长是　
　cm．
22．已知直线AB经过点A（﹣3，0），B（0，2），经过点D（0，4）并且与y轴垂直的直线CD与直线AB交于第一象限内点C．
（1）求直线AB的表达式；
（2）在x轴的正半轴上是否存在一点P，使得△OCP为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AE平分∠BAC，交CD于点F，EG⊥AB于点G，说明EG＝CF．
24．如图，点D是△ABC边AC上一点，AD＝AB，过B点作BE∥AC，且BE＝CD，连接CE交BD于点O，连接AO．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若∠ADB＝70°，求∠ABE的度数．
25．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，E为BC边上一点，以E为顶点作∠AEF，∠AEF的一边交AC于点F，使∠AEF＝∠B．
（1）如果∠ABC＝40°，则∠BAC＝　
　；
（2）判断∠BAE与∠CEF的大小关系，并说明理由；
（3）当△AEF为直角三角形时，求∠AEF与∠BAE的数量关系．
26．已知：如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B＝45°，点D是BC边上一点，且AD＝AC，过点C作CF⊥AD于点E，与AB交于点F．
（1）若∠CAD＝α，求：
①∠BCA的大小；
②∠BCF的大小；（用含α的式子表示）
（2）求证：AC＝FC．
27．如图，在△ABC中，点D、点E分别为AC，BC上的两点，连接BD，DE，使得DE∥AB，BD＝BC，DE平分∠BDC，
（1）求证：AD＝BC；
（2）若∠BED＝117°，求∠A的度数．
28．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．
（1）直接写出∠BAC的度数；
（2）求∠DAF的度数，并注明推导依据；
（3）若△DAF的周长为20，求BC的长．
参考答案
1．解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵ED垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠A＝∠ABE，
∴∠A＝∠ABE＝∠CBE＝×90°＝30°，
在Rt△ABC中，BC＝AC＝×9＝3，
在Rt△BCE中，CE＝BC＝×3＝3，
∴BE＝2CE＝6，
∴AE＝6．
故选：C．
2．解：∵CE是AB边上的中线，
∴AE＝BE，
∵CD＝AE＝5，
∴AB＝10，
根据勾股定理得：AD＝＝8，
∴△ABC的面积为，
∵CD是△ABC的中线，
∴S△BCE＝S△ACE＝22，
∵BD＝6，AD＝8，AD⊥BC，
∴，
∵DE是△ABD的中线，
∴S△BDE＝12，
∴S△DCE＝S△BCE﹣S△BDE＝10，
∵DE＝AE＝AB，DC＝AE，
∴DC＝DE，
∵DG⊥CE，
∴．
故选：B．
3．解：设∠EBD＝x，
∵DE＝BE，
∴∠AED＝2x，
又∵AD＝DE，
∴∠A＝2x，
∴∠BDC＝x+2x＝3x，
而BC＝BD，则∠C＝3x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝3x，
∴3x+3x+2x＝180°，
∴∠A＝2x＝45°．
故选：C．
4．解：∵BD+DC＝BC，BD+AD＝BC，
∴DC＝DA，
∴点D在AC的垂直平分线上，
故选：A．
5．解：∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴△ACD的周长＝AD+DC+AC＝AD+DB+AC＝AB+AC＝18（cm），
故选：B．
6．解：连接CO并延长至D，
∵∠AIB＝α，
∴∠IAB+∠IBA＝180°﹣α，
∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，
∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝360°﹣2α，
∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝2α﹣180°，
∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，
∴OA＝OC，OB＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，
∵∠AOD是△AOC的一个外角，
∴∠AOD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OCA，
同理，∠BOD＝2∠OCB，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠OCA+2∠OCB＝4α﹣360°，
故选：B．
7．解：如上图：满足条件的点N共有（﹣2，0）（2，0）（2，0）（4，0）．
故选：B．
8．解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：D．
9．解：∵AE∥BD，
∴∠DBC＝∠E＝37°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠DBC＝74°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝74°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝32°．
故答案为：32°．
10．解：∵∠EAD＝30°，
∴∠AED+∠ADE＝150°，
∵EA＝EB，DA＝DC，
∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAD，
∵∠AED+∠ADE＝∠B+∠BAE+∠C+∠CAD，
∴∠BAE+∠CAD＝75°，
∴∠BAC＝105°．
故答案为：105°．
11．解：∵AB＝AC，∠A＝38°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣38°）＝71°，
∵EG平分∠DEC，
∴∠CEG＝∠DEG，
∵EG∥AB，
∴∠CEG＝∠A，∠GED＝∠ADE，
∴∠A＝∠EDA＝38°，
∵FD平分∠BDE，
∴∠BDF＝∠FDE＝71°，
∴∠BFD＝180﹣71°﹣71°＝38°，
故答案为：38°．
12．解：连接CE，过E作ER⊥AC于R，CD交ER于Q，AE交BC于O，
∵DE是线段BC的中垂线，
∴∠EDC＝90°，CE＝BE，
∴∠ECB＝∠EBD，
∵∠EBD＝25°，
∴∠ECB＝25°，
∴∠DEB＝∠CED＝90°﹣25°＝65°，
∵ER⊥AC，ED⊥BC，
∴∠QRC＝∠QDE＝90°，
∴∠ACB+∠CQR＝90°，∠EQD+∠QED＝90°，
∵∠CQR＝∠EQD，
∴∠ACB＝∠QED，
∵∠ACB＝28°，
∴∠QED＝28°，
∵AE平分∠CAM，ER⊥AC，EF⊥AM，
∴ER＝EF，
在Rt△ERC和Rt△EFB中，
，
∴Rt△ERC≌Rt△EFB（HL），
∴∠EBF＝∠ACE＝∠ACB+∠ECD＝28°+25°＝53°，
∵∠EFB＝90°，
∴∠BEF＝90°﹣∠EBF＝90°﹣53°＝37°，
∴∠REF＝∠RED+∠BED+∠BEF＝28°+65°+37°＝130°，
∵∠ARE＝∠AFE＝90°，
∴∠CAM＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，
∵AE平分∠CAM，
∴∠CAE＝CAM＝25°，
∴∠DOE＝∠CAE+∠ACB＝25°+28°＝53°，
∵ED⊥BC，
∴∠EDB＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠DOE＝90°﹣53°＝37°，
故答案为：37．
13．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△BCE的周长＝EB+EC+BC＝EA+EC+BC＝AC+BC＝14，
故答案为：14．
14．解：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，延长BA至F，
∵BD垂直平分AG，
∴BA＝BG＝8，
∠BAG＝∠G
∵∠BAG＝∠EAF，∠BAC的外角平分线交BC延长线于点E，
∴∠EAF＝∠G，∠CAE＝∠EAF，
∴∠G＝∠CAE，
∴AC∥GB，
∴∠ACE＝∠GBE，
∵AE＝AC＝2，
∴∠ACE＝∠E，
∴∠GBE＝∠E，
∴GB＝GE＝8，
∵DG+d＝G﹣AE，
∴2AD＝6，
∴AD＝3．
故答案为3．
15．解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×120°＝60°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE＝∠EAB＝∠BAD＝×60°＝30°，
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝30°，
∴∠DAE＝∠F＝30°，
∴AD＝DF，
∵∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝AB＝×8＝4，
∴DF＝4，
故答案为：4．
16．解：①腰长为4时，符合三角形三边关系，则其周长＝4+4+7＝15；
②腰长为7时，符合三角形三边关系，则其周长＝7+7+4＝18．
所以三角形的周长为15或18．
故答案为：15或18．
17．解：∵OE＝EF，
∴∠EOF＝∠EFO＝α，
∴∠GEF＝∠EOF+∠EFO＝2α，
同理可得∠GFH＝3α，∠HGB＝4α，
∵最多能添加这样的钢管4根，
∴4α＜90°，5α≥90°，
∴18°≤α＜22.5°，
故答案为18°≤α＜22.5°．
18．解：∵AD平分∠BAC，CD⊥AC，
∴D点到AB的距离等于CD长度2．
所以△ABD面积＝×6×2＝6．
故答案为6．
19．解：如图，延长AP交BC于点D，
∵BP平分∠ABC
∴∠ABP＝∠DBP，且BP＝BP，∠APB＝∠DPB
∴△ABP≌△DBP（ASA）
∴AP＝PD，
∴S△ABP＝S△BPD，S△APC＝S△CDP，
∴S△PBC＝S△ABC＝9，
故答案为：9．
20．解：当△ABC是锐角三角形时，
∠ACD＝36°，∠ADC＝90°，
∴∠A＝54°，
当△ABC是钝角三角形时，
∴∠ACD＝36°，∠ADC＝90°，
∴∠BAC＝∠ADC+∠ACD＝126°
故答案为：54°或126°
21．解：∵等腰三角形的周长为20cm，
∴当腰长＝6cm时，底边＝20﹣6﹣6＝8cm，即6+6＞8，能构成三角形，
∴当底边＝6cm时，腰长＝＝7cm，即7+6＞7，能构成三角形，
∴腰长是6cm或7cm，
故答案为：6或7．
22．解：（1）设直线AB的表达式为：y＝kx+b，
把A（﹣3，0）、B（0，2）代入表达式得：，
解得：，
∴直线AB的表达式为：y＝x+2；
（2）∵经过点D（0，4）并且与y轴垂直的直线CD与直线AB交于第一象限内点C，
∴点C的纵坐标为：4，
∴4＝x+2，
解得：x＝3，
∴点C的坐标为：（3，4），
∴OC＝＝5，
分三种情况：如图，
①当OP＝PC时，
设点P的坐标为：（a，0），
则OP2＝PC2，
即a2＝（a﹣3）2+42，
解得：a＝，
∴点P的坐标为：（，0）；
②当OC＝OP＝5时，
点P的坐标为：（5，0）；
③当OC＝CP时，
由点C的横坐标为3，可得点P的横坐标为6，
∴点P的坐标为：（6，0）；
综上所述，△OCP为等腰三角形，点P的坐标为（，0）或（5，0）或（6，0）．
23．解：∵∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，EG⊥AB，
∴CE＝EG，∠CAE＝∠GAE，
∵CD⊥AB，
∴∠ADF＝90°，
∴∠AFD＝90°﹣∠FAD，∠AEC＝90°﹣∠CAE，
∴∠AFD＝∠AEC，
∵∠CFE＝∠AFD，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CF＝CE，
∴CF＝EG．
24．解：（1）∵BE∥AC，
∴∠E＝∠DCO，
在△BOE和△DOC中，，
∴△BOE≌△DOC（AAS），
∴BO＝OD，
∵AB＝AD，
∴AO平分∠BAC；
（2）∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝70°，
∴∠BAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵BE∥AC，
∴∠ABE＝∠BAD＝40°．
25．解：（1）∵在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC＝40°，
∴∠ACB＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
故答案为：100°．
（2）∠BAE＝∠FEC；
理由如下：
∵∠B+∠BAE＝∠AEC，∠AEF＝∠B，
∴∠BAE＝∠FEC；
（3）如图1，当∠AFE＝90°时，
∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF，
∠B＝∠AEF＝∠C，
∴∠BAE＝∠CEF，
∵∠C+∠CEF＝90°，
∴∠BAE+∠AEF＝90°，
即∠AEF与∠BAE的数量关系是互余；
如图2，当∠EAF＝90°时，
∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠1，
∠B＝∠AEF＝∠C，
∴∠BAE＝∠1，
∵∠C+∠1+∠AEF＝90°，
∴2∠AEF+∠1＝90°，
即2∠AEF与∠BAE的数量关系是互余．
26．（1）解：①∵AD＝AC，∠CAD＝α，
∴∠BCA＝（180°﹣α）＝90°﹣，
②过点A作AG⊥BC于点G，如图所示：
∴∠DAG+∠ADG＝90°，
∴∠CAG＝∠DAG＝∠CAD＝α，
∵CF⊥AD于点E，
∴∠DCE+∠ADG＝90°，
∴∠DCE＝∠DAG＝∠CAD＝α，
即∠BCF＝α；
（2）证明：∵∠B＝45°，AG⊥BC，
∴∠BAG＝45°，
∵∠BAC＝45°+∠CAG，∠AFC＝45°+∠DCE，∠DCE＝∠DAG，∠CAG＝∠DAG，
∴∠BAC＝∠AFC，
∴AC＝FC．
27．（1）证明：∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE＝∠CDE，
又∵DE∥AB，
∴∠BDE＝∠ABD，
∴∠BDE＝∠ABD＝∠CDE，
∵∠BDC＝∠ABD+∠A＝∠BDE+∠CDE，
∴∠CDE＝∠A，
∴AD＝BD＝BC；
（2）∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝2∠A，
∴∠BED＝∠C+∠EDC＝3∠A＝117°，
∴∠A＝39°．
28．解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°；
（2）∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠ABC＝30°，
同理可得，∠FAC＝∠ACB＝50°，
∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝100°﹣30°﹣50°＝20°；
（3）∵△DAF的周长为20，
∴DA+DF+FA＝20，
由（2）可知，DA＝DB，FA＝FC，
∴BC＝DB+DF+FC＝DA+DF+FA＝20