2020-2021学年北师大版八年级数学下册3.3中心对称图形-同步提升训练(word版含答案)

2020-2021年度北师大版八年级数学下册《3.3中心对称图形》同步提升训练（附答案）
1．下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A．B．C．D．
3．点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是（　　）
A．（﹣2，1）
B．（﹣2，﹣1）
C．（﹣1，2）
D．（1，﹣2）
4．图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（　　）
A．区域①处
B．区域②处
C．区域③处
D．区域④处
5．点P（2a+1，4）与P'（1，3b﹣1）关于原点对称，则2a+b＝（　　）
A．3
B．﹣2
C．﹣3
D．2
6．若点A（a，b）和点B（m，n）关于原点对称，且a+b＝1，则下列说法正确的是（　　）
A．mn＝﹣1
B．m﹣n＝﹣1
C．m+n＝﹣1
D．＝﹣1
7．如图是用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，对其对称性表述，正确的是（　　）
A．轴对称图形
B．中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形
8．若点M1（3+a，8）关于原点对称的点是M2（﹣5，3b+1），则ab的值为　
　．
9．点A（4，n）和点B（m，3）关于原点对称，则m+n＝　
　．
10．已知A、B两点关于原点对称，若点A的坐标为（﹣1，2），则点B的坐标为　
　．
11．下列各点A（﹣5，0），B（0，2），C（2，﹣1），D（2，0），E（0，5），F（﹣2，1），G（﹣2，﹣1）中　
　和　
　关于原点O对称．
12．若两个图形关于某点成中心对称，则以下说法：
①这两个图形一定全等；
②对称点的连线一定经过对称中心；
③对称点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；
④一定存在某条直线，沿该直线折叠后的两个图形能互相重合，
其中正确的有　
　（只填所有正确答案的序号）
13．将5个边长都为1cm的正方形按如图所示的样子摆放，点A．B．C．D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影部分的面积的和为　
　cm2．
14．平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）关于点Q（1，0）成中心对称的点的坐标是　
　．
15．若点P（﹣1﹣2a，2a﹣4）关于原点对称的点在第一象限内，则a的整数解有　
　个．
16．在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为　
　．
17．在同一直角坐标系中，点A、B分别是函数y＝x﹣1与y＝﹣3x+5的图象上的点，且点A、B关于原点对称，则点A的横坐标为　
　．
18．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是　
　；
（2）若点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为　
　；
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
19．已知点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，点C（a+2，b）与点D关于原点对称．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）顺次联结点A、D、B、C，求所得图形的面积．
20．如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE．
（1）哪两个图形成中心对称？
（2）已知△ADC的面积为4，求△ABE的面积；
（3）已知AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
21．知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．
（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB　
　S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）；
（2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；
（3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分分割）．
22．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示．
（1）分别写出△ABC各个顶点的坐标；
（2）分别写出顶点A关于x轴对称的点A′的坐标、顶点B关于y轴对称的点B′的坐标及顶点C关于原点对称的点C′的坐标；
（3）求线段BC的长．
23．如图，由4个全等的正方形组成的L形图案，请按下列要求画图：
（1）在图案①中添加1个正方形，使它成轴对称图形（不能是中心对称图形）；
（2）在图案②中添加1个正方形，使它成中心对称图形（不能是轴对称图形）；
（3）在图案③中改变1个正方形的位置，从而得到一个新图形，使它既成中心对称图形，又成轴对称图形．
24．已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
25．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE＝AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
[感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）解决问题：受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
求证：BE+CF＞EF，若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．
参考答案
1．解：A、是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
2．解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
3．解：点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是（﹣2，1），
故选：A．
4．解：在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，
这个正方形应该添加区域②处，
故选：B．
5．解：∵点P（2a+1，4）与P'（1，3b﹣1）关于原点对称，
∴2a+1＝﹣1，3b﹣1＝﹣4，
解得：2a＝﹣2，b＝﹣1，
∴2a+b＝﹣2﹣1＝﹣3，
故选：C．
6．解：∵点A（a，b）和点B（m，n）关于原点对称，
∴m＝﹣a，n＝﹣b，
∵a+b＝1，
∴m+n＝﹣a﹣b＝﹣（a+b）＝﹣1．
故选：C．
7．解：“赵爽弦图”是中心对称图形，不是轴对称图形，
故选：B．
8．解：∵点M1（3+a，8）关于原点对称的点是M2（﹣5，3b+1），
∴3+a﹣5＝0，3b+1+8＝0，
解得a＝2，b＝﹣3，
所以，ab＝2﹣3＝．
故答案是：．
9．解：∵点A（4，n）和点B（m，3）关于原点对称，
∴m＝﹣4，n＝﹣3，
则m+n＝﹣4﹣3＝﹣7．
故答案为：﹣7．
10．解：∵A、B两点关于原点对称，点A的坐标为（﹣1，2），
∴点B的坐标为：（1，﹣2）．
故答案为：（1，﹣2）．
11．解：∵C（2，﹣1）和F（﹣2，1），
∴C和F关于原点O对称，
故答案为：C；F．
12．解：∵关于中心对称的两个图形是全等形，∴①正确；
∵关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，∴②正确；
∵如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称，对称点与旋转中心的连线所成的角是一个平角，正好是旋转角，∴③正确；
∵关于中心对称的两个图形不一定是关于一条直线对称的轴对称图形，∴④错误；
即正确的有①②③．
故答案是：①②③．
13．解：∵点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，
∴每一个阴影部分的面积等于正方形的，
∴四块阴影部分的面积的和＝12＝1cm2．
故答案为：1．
14．解：如图，设Q（1，0），连接PA并延长到点P′，使P′Q＝PQ，设P′（x，y），则x＜0，y＞0．
过P作PM⊥x轴于点M，过P′作PN⊥x轴于点N．
在△QP′N与△QPM中，
，
∴△QP′N≌△QPM（AAS），
∴QN＝QM，P′N＝PM，
∴1﹣x＝3﹣1，y＝2，
∴x＝﹣1，y＝2，
∴P′（﹣1，2）．
故答案为（﹣1，2）．
15．解：∵点P（﹣1﹣2a，2a﹣4）关于原点对称的点在第一象限内，
∴点P在第三象限，
∴，
解得：﹣＜a＜2，
∵a为整数，
∴a＝0或1，共2个，
故答案为：2．
16．解：∵点P（1，1），N（2，0），
∴由图形可知M（3，0），M1（1，2），N1（2，2），P1（3，1），
∵关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，
∴对称中心的坐标为（2，1），
故答案为：（2，1）．
17．解：∵点A在y＝x﹣1的图象上，
∴设点A的坐标为（a，a﹣1），
∵点A、B关于原点对称，
∴点B（﹣a，1﹣a），
∴﹣3×（﹣a）+5＝1﹣a，
解得a＝﹣1，
∴点A的横坐标为﹣1，
故答案为：﹣1．
18．解：（1）如图所示：△ABC的面积是：3×4﹣；
故答案为：4；
（2）点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为：（﹣4，﹣3）；
故答案为：（﹣4，﹣3）；
（3）∵P为x轴上一点，△ABP的面积为4，
∴BP＝8，
∴点P的横坐标为：2+8＝10或2﹣8＝﹣6，
故P点坐标为：（10，0）或（﹣6，0）．
19．解：（1）∵点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，
∴2b+1＝﹣1，3a﹣1＝2，
解得a＝1，b＝﹣1，
∴点A（﹣1，2），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣1），
∵点C（a+2，b）与点D关于原点对称，
∴点D（﹣3，1）；
（2）如图所示：
四边形ADBC的面积为：．
20．解：（1）图中△ADC和三角形EDB成中心对称；
（2）∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4，
∴△EDB的面积也为4，
∵D为BC的中点，
∴△ABD的面积也为4，
所以△ABE的面积为8；
（3）∵在△ABD和△ECD中，，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB＝EC，
∵△ACE中，AB﹣AC＜AE＜AC+AB，
∴2＜AE＜8，
∴1＜AD＜4．
21．解：（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB＝S四边形DEFC；
（2）如图所示：
（3）如图所示：
故答案为：＝．
22．解：（1）A（﹣4，3），C（﹣2，5），B（3，0）；
（2）如图所示：点A′的坐标为：（﹣4，﹣3），B′的坐标为：（﹣3，0），点C′的坐标为：（2，﹣5）；
（3）线段BC的长为：＝5．
23．解：如图所示．
（1）如图（1），图（2），图（3）所示；
（2）如图（4）所示；
（3）如图（5），图（6）所示．
24．（1）证明：∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，
∴△ABM≌△ACM，
∴AB＝AC，
又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称，
∴△ABE≌△DCE，
∴AB＝CD，
∴AC＝CD；
（2）解：∠F＝∠MCD．
理由：由（1）可得∠BAE＝∠CAE＝∠CDE，∠CMA＝∠BMA，
∵∠BAC＝2∠MPC，∠BMA＝∠PMF，
∴设∠MPC＝α，则∠BAE＝∠CAE＝∠CDE＝α，
设∠BMA＝β，则∠PMF＝∠CMA＝β，
∴∠F＝∠CPM﹣∠PMF＝α﹣β，
∠MCD＝∠CDE﹣∠DMC＝α﹣β，
∴∠F＝∠MCD．
25．解：（1）延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．
（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），
∴CF＝BG，DF＝DG，
∵DE⊥DF，
∴EF＝EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．
（2）若∠A＝90°，则∠EBC+∠FCB＝90°，
由（1）知∠FCD＝∠DBG，EF＝EG，
∴∠EBC+∠DBG＝90°，即∠EBG＝90°，
∴在Rt△EBG中，BE2+BG2＝EG2，
∴BE2+CF2＝EF2．