第3章图形的平移与旋转 单元综合提升-2020-2021学年北师大版八年级数学下册同步提升训练（word版含解析）

2021年北师大版八年级数学下册《第3章图形的平移与旋转》单元综合同步训练（附答案）
1．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，使点B的对应点E恰好落在边BC的中点上，点C的对应点F在BC的延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是（　　）
A．∠B＝∠F
B．AC⊥DE
C．BC＝DF
D．AC平分DE
2．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A'B'C'，再将△A'B'C'绕点A'逆时针旋转一定角度后，点B'恰好与点C重合，则平移的距离为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
3．在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B顺时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC＝6，BD＝5，则以下五个结论：
①△BDE是等边三角形；
②AE∥BC；
③△ADE的周长是11；
④∠ADE＝∠BDC；
⑤∠AED＝∠ABD．
其中正确的个数是（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
4．如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转50°，得到Rt△AB′C′，点C恰好落在边AB上的点C'处，连接BB'，则∠BB′A的度数为（　　）
A．50°
B．55°
C．60°
D．65°
5．如图，在△ABC中，∠B＝40°，把△ABC绕着点A逆时针旋转，得到△AB'C'，点C的对应点C'落在BC边上，且B′A∥BC，则∠BAC′的度数为（　　）
A．28°
B．30°
C．32°
D．40°
6．如图，是4×4的网格图，将图中①、②、③、④中的一个小正方形涂灰，使所有的灰色图形构成中心对称图形，则涂灰的正方形是（　　）
A．①
B．②
C．③
D．④
7．如图，已知点A（2，1），点B（3，﹣1），平移线段AB，使点A落在A1（﹣2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为（　　）
A．（﹣1，﹣1）
B．（﹣1，0）
C．（1，0）
D．（3，0）
8．如图，把△ABC绕着点A顺时针方向旋转角度α（0°＜α＜90°），得到△AB'C'，若B'，C，C'三点在同一条直线上，∠B'CB＝46°，则α的度数是　
　．
9．如图，将△ABC绕顶点A顺时针旋转60°后得到△AB1C1，且C1为BC的中点，AB与B1C1相交于D，若AC＝2，则线段B1D的长度为　
　．
10．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠ACB＝75°，BC＝5，将△ABC绕点C旋转得到△A'B'C，且点B'恰好落在AB边上，则BB'的长为　
　．
11．若点P（3m﹣1，2+m）关于原点的对称点P′在第四象限，则m的取值范围是　
　．
12．已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），将线段AB平移至A′B′，点A′与点A对应，若点A′的坐标为（1，﹣3），则点B′的坐标为　
　．
13．如图，在△ADE中，∠DAE＝80°，将△ADE绕点A顺时针旋转α得△ABC，若AC平分∠DAE，则α＝　
　；若AC平分∠BAE，则α＝　
　．
14．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，以直角顶点C为旋转中心，将三角形ABC逆时针旋转到△A'B'C'的位置，其中A'、B'分别是A、B的对应点，且∠ACD＝2∠A′CB，则∠ACB′＝　
　．
15．把一副三角板如图1放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6，CD＝8把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到三角形D1CE（如图2），此时AB与CD1交于点H，则线段AD1的长度为　
　．
16．如图，在同一平面内，将△ABC绕A点逆时针旋转得到△ADE，若AC⊥DE，∠ADB＝53°，以下选项正确的是　
　．（多选）
A．∠E＝16°
B．∠ABD＝53°
C．∠BAD＝90°
D．∠EAC＝53°
17．如图，在等边△ABC中，AB＝8cm，D为BC中点．将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE，则△ADE的周长为　
　cm．
18．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度后，得到△ADE，且点B的对应点D恰好落在BC边上，若∠B＝70°，则∠CAE的度数是　
　度．
19．如图，两个直角三角板ABC与CDE按如图所示的方式摆放，其中∠B＝∠D＝30°，∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝CE＝，且A、C、D共线，将△DCE沿DC方向平移得到△D'C'E'，若点E'落在AB上，则平移的距离为　
　．
20．如图，在△ABC中，∠BAC＝105°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′．若点B恰好落在BC边上，且AB′＝CB′，则∠C′的度数为　
　°．
21．如图，在12×12正方形网格中建立直角坐标系，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点A（0，2），B（3，5），C（2，2）．
（1）将△ABC以点A为旋转中心旋转180°，得到△AB1C1，点B、C的对应点分别是点B1，C1，请在网格图中画出△AB1C1．
（2）将△ABC平移至△A2B2C2，其中点A，B，C的对应点分别为点A2，B2，C2，且点C2的坐标为（2，﹣4），请在图中画出平移后的△A2B2C2．
（3）在第（1）、（2）小题基础上，若将△AB1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，则旋转中心点P的坐标为　
　．（直接写出答案）
22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标别为A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣1，0）．
（1）将△ABC先向右平移3个单位，再向下平移4个单位，则得到△A1B1C1，请在图中画出△A1B1C1；
（2）请直接写点B1的坐标　
　；
（3）求出△ABC的面积．
23．在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，4），C（5，1）．
（1）请在图1中画出△ABC关于坐标原点O成中心对称的图形△A1B1C1，并直接写出点C1的坐标；
（2）将△ABC绕着点C按逆时针方向旋转90°后得到△A2B2C2，请在图2中画出△A2B2C2，并直接写出点B2的坐标；
（3）将△ABC先向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A3B3C3．
①请在图3中画出△A3B3C3；
②若将△A3B3C3看成是由△ABC经过一次平移得到的，则这一平移的距离是　
　个单位长度．
24．已知△ABC的三个顶点位置分别是A（1，0），B（﹣3，0），C（x，y）．
（1）若x＝﹣2，y＝3，求△ABC的面积；
（2）如图，若顶点C（x，y）位于第二象限，且CB∥y轴，AC与y轴相交于点E（0，1），当△ABC沿x正半轴方向平移，得到△DOF，且△DOF与原△ABC重叠部分为△AOE，求阴影部分的面积S；
（3）若点C到y轴的距离为4，点P（0，5），当S△ABC＝2S△ABP，求点C的坐标．
25．将一副三角板如图①放置，点B、A、E在同一条直线上，点D在AC上，CA⊥BE，点A为垂足，∠BCA＝30°，∠AED＝45°．
（1）如图①，∠ADE的度数为　
　，∠ABC的度数为　
　；
（2）若将三角板ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜90°）．
①如图②，当旋转角α等于45°时，试问DE∥BA吗？请说明理由；
②如图③，当AD⊥BC于点F时，请求出旋转角α的度数．
26．如图1，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于点F，AD交CE于点H．
（1）求出∠ACE的度数；
（2）请在图1中找出一对全等的三角形，并说明全等的理由；
（3）若将△CDE绕C点转动到如图2所示的位置，其余条件不变，（2）中的结论是否还成立，试说明理由．
27．南湖公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米．
（1）如图1，阴影部分为1米宽的小路，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地，则草地的面积为　
　；
（2）如图2，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），求草地的面积．
（3）如图3，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，所走的路线（图中虚线）长为　
　．
参考答案
1．解：∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF，使点B的对应点E恰好落在边BC的中点上，
∴∠B＝∠DEF，BE＝CF＝CE＝AD，AD∥BC，DF＝AC，
只有当∠BAC＝90°时，AC⊥DE；
只有当BC＝2AC时，DF＝AC＝BE，所以A、B、C选项的结论不一定正确；
设AC交DE于O点，如图，
∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCE，∠ODA＝∠OEC，
而AD＝CE，
∴△AOD≌△COE（ASA），
∴OD＝OE，即AC平分DE，所以D选项的结论正确．
故选：D．
2．解：∵将△A'B'C'绕点A'逆时针旋转一定角度后，点B'恰好与点C重合，
∴B'C＝A'C，
∵将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A'B'C'，
∴AB＝A'B'＝5，∠B＝∠A'B'C＝60°，
∴△A'B'C是等边三角形，
∴A'B'＝B'C＝5，
∴BB'＝3，
∴平移的距离为3，
故选：B．
3．解：∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴BD＝BE，∠DBE＝60°，
∴△BDE是等边三角形，所以①正确；
∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，
∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴∠BAE＝∠BCD＝60°，∠BCD＝∠BAE＝60°，
∴∠BAE＝∠ABC，
∴AE∥BC，所以②正确；
∴∠BDE＝60°，
∵∠BDC＝∠BAC+∠ABD＞60°，
∴∠ADE≠∠BDC，所以④错误；
∵△BDE是等边三角形，
∴DE＝BD＝5，
而△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴AE＝CD，
∴△AED的周长＝AE+AD+DE＝CD+AD+DE＝AC+5＝6+5＝11，所以③正确．
∵∠EAB＝∠EDB＝60°，
∴∠AED＝∠ABD．
故⑤正确．
故选：C．
4．解：∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转50°得到Rt△AB′C′，
∴AB'＝AB，∠BAB'＝50°，∠ACB＝∠AC'B'＝90°
∴∠BB'A＝∠ABB'＝65°．
故选：D．
5．解：由旋转的性质得：∠B'＝∠B＝40°，∠AC'B'＝∠C，AC'＝AC，
∴∠AC'C＝∠C＝∠AC'B'，
∵B'A∥BC，
∴∠B'+∠B'C'C＝180°，
∴∠B'C'C＝180°﹣40°＝140°，
∴∠AC'C＝∠C＝∠AC'B'＝×140°＝70°，
∴∠BAC'＝∠AC'C﹣∠B＝70°﹣40°＝30°；
故选：B．
6．解：根据中心对称的性质可知：
使所有的灰色图形构成中心对称图形，则涂灰的正方形是③．
故选：C．
7．解：观察图像可知，B1（﹣1，0）．
故选：B．
8．解：由题意可得：AC＝AC′，∠C'＝∠ACB，
∴∠ACC'＝∠C'，
∵把△ABC绕着点A顺时针方向旋转α，得到△AB′C′，点C刚好落在边B′C′上，
∴∠B'CB+∠ACB＝∠C'+∠CAC′，
∠B'CB＝∠CAC'＝46°．
故答案为：46°．
9．解：根据旋转的性质可知：AC＝AC1，∠AC1B1＝∠C＝60°，
∵旋转角是60°，即∠C1AC＝60°，
∴△ACC1为等边三角形，
∴BC1＝CC1＝AC＝2，
∵C1为BC的中点，
∴BC1＝AC1＝2＝AC1，
∴∠B＝∠C1AB＝30°，
∴∠BDC1＝∠C1AB+∠AC1B1＝90°，
∴BC1＝2C1D，
∴C1D＝1
∴BC＝B1C1＝BC1+CC1＝4，
∴B1D＝3，
故答案为：3．
10．解：∵△ABC中，∠A＝45°，∠ACB＝75°，
∴∠B＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
由旋转的性质得：CB'＝CB，
∴△BCB'是等边三角形，
∴BB'＝BC＝5；
故答案为：5．
11．解：∵点P（3m﹣1，2+m）关于原点的对称点P′（﹣3m+1，﹣2﹣m）在第四象限，
∴，
解得：﹣2＜m＜．
故答案为：﹣2＜m＜．
12．解：∵A（﹣1，0）平移后对应点A′的坐标为（1，﹣3），
∴A点的平移方法是：先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，
∴B点的平移方法与A点的平移方法是相同的，
∴B（1，2）平移后B′的坐标是：（3，﹣1）．
?故答案为（3，﹣1）．
13．解：由旋转的性质得：∠BAC＝∠DAE＝80°，
∴∠1＝∠2＝α，
若AC平分∠DAE，
则α＝∠2＝∠DAE＝40°；
若AC平分∠BAE，
则AC与AD重合，α＝∠DAE＝80°；
故答案为：40°；80°．
14．解：∵∠ACB＝90°，∠ACD＝2∠A′CB，
∴∠ACD＝60°，∠A′CB＝30°，
∵以直角顶点C为旋转中心，将三角形ABC逆时针旋转到△A'B'C'的位置，其中A'、B'分别是A、B的对应点，
∴∠BCB′＝∠DCA＝60°，
∴∠ACB′＝∠ACB+∠BCB′＝90°+60°＝150°，
故答案为：150°．
15．解：如图，AB于CD1交于点H，
∵∠ACB＝∠DEC＝90°，∠BAC＝45°，∠CDE＝30°，斜边AB＝6，CD＝8，
∴AC＝BC＝3，∠DCE＝60°，∠ABC＝∠BAC＝45°，
∵将三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到三角形D1CE，
∴∠D1CB＝45°，CD1＝CD＝8，
∴AB⊥CD1，
∴AH＝CH＝3，
∴D1H＝5，
∴AD1＝＝＝，
故答案为：．
16．解：∵将△ABC绕A点逆时针旋转到△ADE的位置．
∴AB＝AD，∠E＝∠C，∠BAD＝∠EAC，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝53°，故B选项正确；
∴∠BAD＝180°﹣53°﹣53°＝74°＝∠EAC，故C选项错误，选项D错误；
∵AC⊥DE，
∴∠CAD+∠ADE＝90°，
∵∠E＝180°﹣∠EAC﹣∠CAD﹣∠EDA，
∴∠E＝16°＝∠ACB，故A选项正确，
正确选项的是A，B．
故答案为A，B．
17．解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝8cm，∠BAC＝60°，
∵D为BC中点，
∵BD＝DC＝4cm，AD⊥BC，
∴AD＝＝＝4（cm），
∵△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，
∴∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AD＝AE＝4cm，
∴△ADE的周长为12cm，
故答案为：12．
18．解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度后，得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，
∴∠B＝∠ADB＝70°，
∴∠BAD＝40°＝∠CAE，
故答案为：40．
19．解：∵将△DCE沿DC方向平移得到△D'C'E'，
∴C′E′＝，
∵∠B＝∠D＝30°，∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠E′C′A＝90°，∠A＝60°，
∴∠AE′C′＝30°，
设AC′＝x，则AE′＝2x，
∵AE′2＝AC′2+C′E′2，
∴（2x）2＝x2+（）2，
∴x＝1，
∴平移的距离CC′＝AC﹣AC′＝﹣1，
故答案为：﹣1．
20．解：∵∠BAC＝105°，
∴∠B+∠C＝75°，
∵AB′＝CB′，
∴∠C＝∠CAB'，
∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，
∴AB＝AB'，
∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，
∴∠C＝25°，
故答案为：25．
21．解：（1）如图，△AB1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）旋转中心点P的坐标为（0，﹣1）．
故答案为：（0，﹣1）．
22．解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）点B1的坐标为（﹣1，﹣2）；
（3）△ABC的面积＝3×4﹣×2×3﹣×1×4﹣×2×2＝5．
故答案为（﹣1，﹣2）．
23．解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点C1的坐标为（﹣5，﹣1）；
（2）如图，△A2B2C2为所作，点B2的坐标为（2，0）；
（3）①如图，△A3B3C3为所作；
②BB3＝＝，
所以平移的距离是个单位长度．
故答案为．
24．解：（1）∵A
（1，0），B（﹣3，0），C（﹣2，3），
∴△ABC的面积＝×4×3＝6；
（2）由题意得，∵E（0，1），
∴OE＝OA＝1，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∵CB∥y轴，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BC＝AB＝4，
∴y＝4，
S阴影＝S梯形BOEC＝（4+1）＝×4+＝；
（3）由题意得，2S△ABP＝2×＝20，
当C在y轴的左侧时，设C（﹣4，y），
S△ABC＝4×|y|＝20，
解得：y＝±10，
此时，C（﹣4，10）或C（﹣4，﹣10）；
当C在y轴的右侧时，设C（4，y），
S△ABC＝4×|y|＝20，
解得：y＝±10，
此时，C（4，10）或C（4，﹣10）；
综上所述，C（﹣4，10）或C（﹣4，﹣10）或C（4，10）或C（4，﹣10）．
25．解：（1）∠ADE的度数为45°，∠ABC的度数为60°，
故答案为：45°，60°；
（2）①当旋转角α等于45°时，
∴∠BAC＝90°，
又∠α＝45°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠α＝45°，
又∠ADE＝45°
∴∠BAD＝∠ADE，
∴DE∥BA；
②当AD⊥BC于点F时，
∴∠AFC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠α＝180°﹣∠AFC﹣∠C＝180°﹣90°﹣30°＝60°．
26．解：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ECD＝60°，
∵点B、C、D在同一条直线上，
∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠ECD＝180°﹣60°﹣60°＝60°；
（2）△BCE≌△ACD．
理由：∵△ABC和△CED都是等边三角形，
∠BCA＝∠DCE＝60°，BC＝AC，CE＝CD，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS）；
（3）（2）中的结论还成立．
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ECD＝60°，AC＝BC，EC＝DC．
∴∠BCE＝∠ACD，
∴△BCE≌△ACD（SAS）．
27．解：（1）将小路往左平移，直到E、F与A、B重合，则平移后的四边形EFF1E1是一个矩形，并且EF＝AB＝30，FF1＝EE1＝1，
则草地的面积为：50×30﹣1×30＝1470（平方米）；
故答案为：1470平方米；
（2）小路往AB、AD边平移，直到小路与草地的边重合，
则草地的面积为：（50﹣1）×（30﹣1）＝1421（平方米）；
（3）将小路往AB、AD、DC边平移，直到小路与草地的边重合，
则所走的路线（图中虚线）长为：30﹣1+50+30﹣1＝108（米）．
故答案为：108米