第4章因式分解 单元综合提升-2020-2021学年北师大版八年级数学下册同步提升训练（word版含解析）

2020-2021年北师大版八年级数学下册《第4章因式分解》单元综合同步提升训练（附答案）
1．下列从左到右的变形，是分解因式的是（　　）
A．y2（x﹣1）＝xy2﹣y2
B．x2+x﹣5＝（x﹣2）（x+3）+1
C．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
D．a2﹣6a+9＝（a﹣3）2
2．已知三角形的三边a，b，c满足（b﹣a）（b2+c2）＝ba2﹣a3，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形
B．等腰直角三角形
C．等边三角形
D．等腰三角形或直角三角形
3．长为a，宽为b的长方形，它的周长为10，面积为5．则a2b+ab2的值为（　　）
A．25
B．50
C．75
D．100
4．下列多项式能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．x2﹣xy
B．x2+xy
C．4x2+y2
D．4x2﹣y2
5．已知a﹣2b＝10，ab＝5，则a2+4b2的值是（　　）
A．100
B．110
C．120
D．125
6．把多项式m2（a﹣2）﹣m（a﹣2）因式分解，结果正确的是（　　）
A．（a﹣2）（m2﹣m）
B．m（a﹣2）（m+1）
C．m（a﹣2）（m﹣1）
D．m（2﹣a）（m+1）
7．关于x的二次三项式x2+ax+36能直接用完全平方公式分解因式，则a的值是（　　）
A．﹣6
B．±6
C．12
D．±12
8．对于任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互相不同，且都不为零，将其任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n），则F（468）的值为（　　）
A．12
B．14
C．16
D．18
9．若x2﹣（a+1）x+36＝（x+6）2，则a值为（　　）
A．﹣13
B．﹣11或13
C．11或﹣13
D．11
10．已知x+y＝，xy＝，则x2y+xy2的值为（　　）
A．2
B．9
C．3
D．6
11．分解因式：（a+b）2﹣（a+b）＝　
　．
12．计算：20203﹣2019×2020×2021＝　
　．
13．分解因式：x2（x﹣3）﹣x+3＝　
　．
14．多项式a3﹣16a可因式分解为　
　．
15．分解因式5+5x2﹣10x＝　
　．
16．因式分解：a3b3+2a2b2+ab＝　
　．
17．分解因式：m4﹣2m2+1＝　
　．
18．若m3+m﹣1＝0，则m4+m3+m2﹣2＝　
　．
19．若实数a、b满足a+b＝5，a2b+ab2＝﹣15，则ab的值是　
　．
20．已知x2+x﹣2＝0，则代数式x3+2020x2+2017x+2＝　
　．
21．如果二次三项式x2+px﹣6可以分解为（x+q）（x﹣2），则（p﹣q）2＝　
　．
22．分解因式：6ab﹣9a2﹣b2＝　
　．
23．（1）计算：4（x+1）2﹣（2x﹣3）（2x+3）；
（2）分解因式：x2y﹣4y．
24．分解因式：
（1）（x﹣2）（x+1）﹣4；
（2）3a3﹣6a2b+3ab2．
25．（1）因式分解：3x2﹣12xy+12y2．
（2）计算：20202﹣2019×2021．
26．分解因式：
（1）﹣3a3m+6a2m﹣12am；
（2）（x2+4）2﹣16x2．
27．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，
∴，
解得：n＝﹣7，m＝﹣21，
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
（1）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值；
（2）已知二次三项式3x2+4ax+1有一个因式是（x+a），求另一个因式以及a的值．
28．如图，四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，AB＝a，DE＝b（a＞b）．
（1）观察图形，用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，可以得到公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），请写出这个公式的推导过程；
（2）如果正方形ABCD的边长比正方形DEFG的边长多16，它们的面积相差960，利用（1）中的公式，求a，b的值．
29．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则
原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．
再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝　
　；
（2）因式分解：（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81；
（3）求证，若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．
30．阅读理解：
材料1：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有很多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，但我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了：
x2﹣4y2﹣2x+4y
＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．
这种分解因式的方法叫分组分解法．
材料2：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n
＝x3﹣n2x﹣x+n
＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）
＝x（x+n）（x﹣n）﹣（x﹣n）
＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）
解决问题：（1）分解因式：①a2﹣4a﹣b2+4；
②x3﹣5x+2．
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
参考答案
1．解：A、y2（x﹣1）＝xy2﹣y2，从左到右的变形，是整式的乘法运算，故此选项不合题意；
B、x2+x﹣5＝（x﹣2）（x+3）+1，不符合题因式分解的定义，不合题意；
C、（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，从左到右的变形，是整式的乘法运算，故此选项不合题意；
D、a2﹣6a+9＝（a﹣3）2，从左到右的变形，是分解因式，故此选项符合题意；
故选：D．
2．解：（b﹣a）（b2+c2）＝ba2﹣a3，
（b﹣a）（b2+c2）＝a2（b﹣a），
（b﹣a）（b2+c2）﹣a2（b﹣a）＝0，
（b﹣a）（b2+c2﹣a2）＝0，
则b﹣a＝0或b2+c2﹣a2＝0，
则b＝a或b2+c2＝a2，
故△ABC是等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
3．解：∵长为a，宽为b的长方形，它的周长为10，面积为5．
∴ab＝5，2（a+b）＝10，
则a+b＝5，
则a2b+ab2＝ab（a+b）＝25．
故选：A．
4．解：A、原式＝x（x﹣y），不符合题意；
B、原式＝x（x+y），不符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式＝（2x+y）（2x﹣y），符合题意．
故选：D．
5．解：∵a﹣2b＝10，ab＝5，
∴a2+4b2＝（a﹣2b）2+4ab＝102+4×5＝120．
故选：C．
6．解：m2（a﹣2）﹣m（a﹣2）
＝m（a﹣2）（m﹣1）．
故选：C．
7．解：∵关于x的二次三项式x2+ax+36能直接用完全平方公式分解因式，
∴a＝±12．
故选：D．
8．解：n＝468，对调百位与十位上的数字得到648，对调百位与个位上的数字得到864，对调十位与个位上的数字得到486，
这三个新三位数的和为648+864+486＝1998，
1998÷111＝18，
所以F（468）＝18．
故选：D．
9．解：已知等式整理得：x2﹣（a+1）x+36＝（x+6）2＝x2+12x+36，
可得﹣（a+1）＝12，
解得：a＝﹣13，
故选：A．
10．解：∵x+y＝，xy＝，
∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝．
故选：C．
11．解：原式＝（a+b）（a+b﹣1）．
故答案为：（a+b）（a+b﹣1）．
12．解：原式＝2020×[20202﹣（2020﹣1）×（2020+1）]
＝2020×（20202﹣20202+1）
＝2020×1
＝2020．
故答案为：2020．
13．解：x2（x﹣3）﹣x+3
＝x2（x﹣3）﹣（x﹣3）
＝（x﹣3）（x2﹣1）
＝（x﹣3）（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（x﹣3）（x+1）（x﹣1）．
14．解：原式＝a（a2﹣16）＝a（a+4）（a﹣4），
故答案为：a（a+4）（a﹣4）．
15．解：5+5x2﹣10x＝5（1+x2﹣2x）
＝5（x﹣1）2．
故答案为：5（x﹣1）2．
16．解：a3b3+2a2b2+ab
＝ab（a2b2+2ab+1）
＝ab（ab+1）2．
故答案为：ab（ab+1）2．
17．解：原式＝（m2﹣1）2
＝（m+1）2（m﹣1）2．
故答案为：（m+1）2（m﹣1）2．
18．解：∵m3+m﹣1＝0，
∴m3+m＝1，
∴m4+m3+m2﹣2
＝m4+m2+m3﹣2
＝m（m3+m）+m3﹣2
＝m×1+m3﹣2
＝m+m3﹣2
＝1﹣2
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
19．解：∵a2b+ab2＝﹣15，
∴ab（a+b）＝﹣15，
又∵a+b＝5，
∴ab＝﹣3，
故答案为：﹣3．
20．解：∵x2+x﹣2＝0，
∴x2＝2﹣x，x2+x＝2，
∴x3+2020x2+2017x+2
＝x?x2+2020x2+2020x﹣3x+2
＝x（2﹣x）+2020（x2+x）﹣3x+2
＝2x﹣x2+2020×2﹣3x+2
＝﹣（x2+x）+4040+2
＝﹣2+4040+2
＝4040．
故答案为：4040．
21．解：∵（x+q）（x﹣2）＝x2+（q﹣2）x﹣2q，
∴p＝q﹣2，
﹣2q＝﹣6，
解得p＝1，q＝3，
∴（p﹣q）2＝（1﹣3）2＝4．
故答案是：4．
22．解：原式＝﹣（9a2﹣6ab+b2）
＝﹣（3a﹣b）2．
故答案为﹣（3a﹣b）2．
23．解：（1）原式＝4（x2+2x+1）﹣（4x2﹣9）＝4x2+8x+4﹣4x2+9＝8x+13；
（2）原式＝y（x2﹣4）＝y（x+2）（x﹣2）．
24．解：（1）（x﹣2）（x+1）﹣4＝（x2﹣x﹣2）﹣4＝x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）；
（2）3a3﹣6a2b+3ab2＝3a（a2﹣2ab+b2）＝3a（a﹣b）2．
25．解：（1）原式＝3（x2﹣4xy+4y2）＝3（x﹣2y）2；
（2）原式＝20202﹣（2020﹣1）（2020+1）
＝20202﹣（20202﹣1）＝20202﹣20202+1＝1．
26．解：（1）﹣3a3m+6a2m﹣12am
＝﹣3am（a2﹣2a+4）；
（2）（x2+4）2﹣16x2＝（x2+4+4x）（x2+4﹣4x）＝（x+2）2（x﹣2）2．
27．解：（1）设另一个因式是（x+b），则
（2x﹣5）（x+b）＝2x2+2bx﹣5x﹣5b＝2x2+（2b﹣5）x﹣5b＝2x2+3x﹣k，
则，
解得：，
则另一个因式是：x+4，k＝20．
（2）设另一个因式是（3x+m），则
（x+a）（3x+m）＝3x2+（m+3a）x+am＝3x2+4ax+1，
则，
解得，或，
另一个因式是3x﹣1或3x+1，
故另一个因式是3x+1，a＝1或3x﹣1，a＝﹣1．
28．解：（1）如图所示，AG＝a﹣b，图中阴影部分的面积＝a2﹣b2或图中阴影部分的面积＝a?（a﹣b）+b?（a﹣b）．
所以a2﹣b2＝a?（a﹣b）+b?（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），
即：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）由题意得：a﹣b＝16①，
a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝960，
∴a+b＝60②，
由
①、②方程组解得：a＝38，b＝22．
故a的长为38，b的长为22．
29．解：（1）1+2（x﹣y）+（x﹣y）2
＝（x﹣y+1）2；
（2）令A＝x2﹣6x，则原式变为A（A+18）+81＝A2+18A+81＝（A+9）2，
故（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81＝（A+9）2＝（x﹣3）4．
（3）（n+1）（n+2）（n2+3n）+1
＝（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1
＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1
＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1＝（n2+3n+1）2，
∵n为正整数，
∴n2+3n+1也为正整数，
∴代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．
30．解：（1）①a2﹣4a﹣b2+4
＝a2﹣4a+4﹣b2
＝（a﹣2）2﹣b2
＝（a+b﹣2）（a﹣b﹣2）；
②x3﹣5x+2
＝x3﹣4x﹣x+2
＝（x3﹣4x）﹣（x﹣2）
＝x（x2﹣4）﹣（x﹣2）
＝x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）
＝x（x﹣2）（x2+2x﹣1）；
（2）a2﹣ab﹣ac+bc＝0，
∴a2﹣ab﹣（ac﹣bc）＝0，
∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，
∴a﹣b＝0，或者a﹣c＝0，
即：a＝b，或者a＝c，
∴△ABC是等腰三角形