广东省东莞第四高级中学2020-2021学年高一下学期4月段考数学试题 Word版含答案

2020-2021东莞市第四高级中学高一年级4月段考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在给出的四个选项中，只有一项是符合要求.
1.下列命题中正确的是（ ）
A．若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合 B．模相等的两个向量是相等向量
C．若和都是单位向量,则= D．两个相等向量的模相等
2．已知向量， ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
3.下列命题正确的是（ ）
A．棱柱的每个面都是平行四边形 B．一个棱柱至少有五个面
C．棱柱有且只有两个面互相平行 D．棱柱的侧面都是矩形
4.我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（ ）
A． B． C． D．
5.在中，，的面积为，则外接圆面积为（ ）
A． B． C． D．
6.已知,，点是线段上的点，且，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7.已知水平放置的，按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，那么原的面积是( )
A． B． C． D．
8.在中，分别为的中点，为上的任意一点，实数满足，设的面积分别为，记，则取到最大值时，的值为（ ）
A. B.1 C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．设，为非零向量，则“”是“”的充要条件
B．设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角.
C．设，，为非零向量，则.
D．若点G为的重心，则.
10.已知是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四个向量中，能作为一组基底的是（ ）
A． B．
C． D．
11.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（ ）

A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为
C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2
12.如图，已知长方形中，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．对任意，不成立 D．的最小值为4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设向量与的夹角为，且，则=___________.
14．已知长方体的长宽高分别为，则该长方体外接球的表面积为__________．
15.圆台的底半径为1和2，母线长为3，则此圆台的体积为________.
16.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式（其中、、、为三角形的三边和面积）表示.在中，、、分别为角、、所对的边，若，且，则面积的最大值为___________.
四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.为绘制海底地貌图，测量海底两点，间的距离，海底探测仪沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内. 海底探测仪测得
同时测得海里．
（1）求AD的长度;
（2）求，之间的距离.
18.已知向量在同一平面上，且.
（1）若，且，求向量的坐标﹔
（2）若，且与垂直，求的值.
19．如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥，求
（1）截去的三棱锥的表面积；
（2）剩余的几何体的体积.
20.在中，角的对边分别为，若，且.
（1）求角的值；
（2）若，且的面积为，求边上的中线的长.
21.如图，在四边形ABCD中，，，，且， .
（1）求实数的值；
（2）若M，N是线段BC上的动点，且，求的最小值.
22.已知中，角所对的边分别为，满足．
（1）求的大小；
（2）如图，，在直线的右侧取点，使得．当角为何值时，四边形面积最大．
东莞市第四高级中学高一年级4月段考数学试题
参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D A B B C A B D AD ACD CD BCD
14. 15. 16.
8.【解析】由题意可得，是的中位线，
到的距离等于的边上的高的一半，可得.由此可得，当且仅当，即为的中点时，等号成立..由向量加法的四边形法则可得，，，两式相加，得.
，根据平面向量基本定理，得，从而得到.
16.【解析】，则，
可得，所以，.
当且仅当时，等号成立.因此，面积的最大值为.
.17.解析：（1）如图所示,在中
由正弦定理可得，，． ———— 5分
（2），
，
在中，由余弦定理得，
即（海里）．答：， ，间的距离为海里.———— 10分
18.解 （1），设
，即 ，则.
，
或.———— 6分
（2），
，，即
即则. ———— 12分
19.解 （1）由正方体的特点可知三棱锥中，是边长为的等边三角形，、、都是直角边为的等腰直角三角形，
所以截去的三棱锥的表面积
———— 6分
（2）正方体的体积为，
三棱锥的体积为，———— 9分
所以剩余的几何体的体积为. ———— 12分
20.解：由正弦定理边角互化得，
由于，∴，即，得.
又，，. ———— 6分
（2）由（1）知，若，故，则，
，（舍）
又在中，，
，∴.
———— 12分
21.解：（1）∵，∴，
∵，∴，
∴，
∴. ———— 5分
（2）过A作，垂足为O，
则，，，
以O为原点，以BC，OA所在直线为坐标轴建立平面坐标系如图所示：
则，设，，， ———— 7分
∴，，———— 9分
∴，∴当时，取得最小值.————12分
22.解: （1）（法一）：在中，由正弦定理得
，故． ———— 5分
（法二）在中，由余弦定理得
故． ————5分
（2）由（1）知，且，为等边三角形，
设，则在中，由余弦定理得，
四边形的面积
当即时，
所以当时，四边形的面积取得最大值． ———— 12分
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