2020-2021年北师大版九年级数学下册
第
3
章《圆》
经典题型单元测试题
一．选择题（每小题3分，共10小题）
1.下列结论中正确的是（ ）
A.
长度相等的两条弧相等
B.
相等的弦所对的弧相等
C.
半圆是弧
D.
平分弦的直径垂直于弦
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等弧的定义、确定圆的条件、圆周角定理及垂径定理的知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A，等弧是同圆或等圆中，能互相重合的两段弧，它们不仅长度相等，而且度数相等，故A错误；
B，在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧对应相等，故B错误；
C，半圆是弧，故C正确；
D,平分弦(不是直径)直径垂直于弦，要强调被平分的弦不是直径.故D错误；
故选C.
【点睛】本题主要考查垂径定理，圆的认识，熟悉掌握是关键.
2.⊙O的半径为6，一条弦长，以3为半径的同心圆与这条弦的关系是(
)
A.
相切
B.
相交
C.
相离
D.
相切或相交
【答案】A
【解析】
【分析】
此题首先根据垂径定理和勾股定理求得圆心到弦的距离，再进一步根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断．若dr，则直线与圆相离．
【详解】
如图，OA=OC=OB=6，OC⊥AB，交AB于点D.
∵AB=,由垂径定理知,点D是AB的中点,AD=，
∴，
∴以3为半径的同心圆与AB弦的关系为相切.
故选A.
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,
勾股定理,
垂径定理，解决此题的关键是综合运用垂径定理和勾股定理计算弦的弦心距.
3.如图，AB是⊙O的直径，
AB=10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ=CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连结CD交AB于点E，点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CEP与△DEQ的面积和的变化情况是（ ）
A.
一直减小
B.
一直不变
C.
先变大后变小
D.
先变小后变大
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OC，OD，PD，CQ.设PC=x，OP=y.延长CP与圆交于点F，证∠FOD为直角，得到∠PCE=45°，可得△CEP与△DEQ的面积和为S=（x2+y2）÷2=0D2÷2=12.5，即可判断，
【详解】解：连接OC，OD，PD，CQ.设PC=x，OP=y.
延长CP与圆交于点F，
∵PC⊥AB，QD⊥AB，
∴∠CPO=∠OQD=90°，
∵PC=OQ，OC=OD，
∴Rt△OPC≌Rt△DQO，
∴Rt△OPC≌Rt△DQ0，
∴∠FOD=90°，
∴∠PCE=45°，
∴OP=DQ=y，
∴△CEP与△DEQ的面积和为S=（x2+y2）÷2=0D2÷2=12.5.
故选B.
【点睛】本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题.
4.已如△ABC的面积18cm2，其周长为24cm，则△ABC内切圆半径为（ ）
A.
1cm
B.
cm
C.
2cm
D.
cm
【答案】B
【解析】
【分析】
利用圆的内切圆的性质,以及三角形的面积公式:三角形的面积三角形的周长内切圆的半径即可求解.
【详解】解：设内切圆的半径是r,
则,
解得:r=1.5.
故选B.
【点睛】本题考查了三角形的面积公式以及三角形的内切圆,理解三角形的面积三角形的周长内切圆的半径是关键.
5.如图∠BAC=60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为（ ）
A.
3
B.
6
C.
D.
【答案】D
【解析】
分析：连接AO并延长，与圆O交于P点，当AF垂直于ED时，线段DE长最大，设圆O与AB相切于点M，连接OM，PD，由对称性得到AF为角平分线，得到∠FAD为30度，根据切线的性质得到OM垂直于AD，在直角三角形AOM中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AO的长，由AO+OP求出AP的长，即为圆P的半径，由三角形AED为等边三角形，得到DP为角平分线，在直角三角形PFD中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出PF的长，再利用勾股定理求出FD的长，由DE=2FD求出DE的长，即为DE的最大值．
详解：连接AO并延长，与ED交于F点，与圆O交于P点，此时线段ED最大，连接OM，PD，可得F为ED的中点．
∵∠BAC=60°，AE=AD，∴△AED为等边三角形，∴AF为角平分线，即∠FAD=30°．在Rt△AOM中，OM=1，∠OAM=30°，∴OA=2，∴PD=PA=AO+OP=3．在Rt△PDF中，∠FDP=30°，PD=3，∴PF=，根据勾股定理得：FD==，则DE=2FD=3．
故选D．
点睛：本题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解答本题的关键．
6.如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC等于（ ）
A.
90°﹣2α
B.
90°﹣α
C.
2α
D.
45°+α
【答案】B
【解析】
【分析】
首先求出∠BOC＝2α，再根据等腰三角形的性质即可解决问题.
【详解】连接OC．
∵∠BOC＝2∠BAC，∠BAC＝α，
∴∠BOC＝2α，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝（180°?2α）＝90°?α．
故选B．
【点睛】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7.如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点．若MN=2，AB=1，则△PAB周长的最小值是（ ）
A.
2+1
B.
+1
C.
2
D.
3
【答案】D
【解析】
【分析】
作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′．所以点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，所以∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，OA=OA′=，因为点B是弧AN的中点，所以∠BON=30°，∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，再由勾股定理求出A′B=2，最后即可求解.
【详解】
作点A关于MN对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′．
∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，
∵点B是弧AN的中点，
∴∠BON=30°，
∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，
又∵OA=OA′=，
∴A′B=2．
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2．
∴△PAB周长的最小值=PA+PB+AB=2+1=3
故选D．
【点睛】本题主要考查对轴对称，勾股定理，圆心角，圆周角，弧和弦等知识点，熟悉掌握是关键.
8.如图，AB是⊙D的直径，AD切⊙D于点A，EC=CB．则下列结论：①BA⊥DA；②OC∥AE；③∠COE=2∠CAE；④OD⊥AC．一定正确的个数有（ ）
A.
4个
B.
3个
C.
2个
D.
1个
【答案】B
【解析】
【分析】
①根据切线的性质得出AD⊥AB；
②由弦相等可知所对的弧相等，则，所以∠COB=∠EAB，OC∥AE；
③在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍；
④因为E不是弧AC的中点，所以OD与AC不垂直．
【详解】解：①∵AB是D的直径，AD切D于点A，
∴AD⊥AB；
故①正确；
②∵EC=CB，
∴，
∴，
∴∠COB=∠EAB，
∴OC∥AE；
故②正确；
③∵O是圆心，
∴∠COE=2∠CAE；
故③正确；
④∵点E不一定是AC的中点，
∴OE与AC不一定垂直，
故④不正确；
正确的有①②③，
故选B.
【点睛】本题主要考查切线的性质,
垂径定理,
圆周角定理，灵活运用是关键.
9.已知正方形的边长是10厘米，则阴影部分的面积为（ ）
A.
25π﹣50
B.
50π﹣50
C.
25π﹣25
D.
50π﹣25
【答案】A
【解析】
【分析】
阴影面积=四分之一圆面积-两个等腰三角形，即可求解.
【详解】
.
故选A.
【点睛】本题主要考查阴影面积的计算,寻找出阴影与空白之间的关键是关键.
10.如图，AB是⊙O的直径，AB=6，点M在⊙O上，∠MBA=20°，N是的中点，P是直径AB上的一动点，若AN=1，则△PMN周长的最小值为（ ）
A.
3
B.
4
C.
5
D.
6
【答案】B
【解析】
【分析】
作N关于AB的对称点N′，由两点之间线段最短可知MN′与AB的交点P′即为△PMN周长的最小时的点，根据N是弧MB的中点可知∠A=∠NOB=∠MON=20°，故可得出∠MON′=60°，故△MON′为等边三角形，由此可得出结论．
【详解】
过N作NN′⊥AB,交AB于G,交O于N′,连接MN′交AB于P′,连接NN′,ON′,ON,MN,P′N，
∴NG=N′G,
∴N、N′关于AB对称，
∴MN′与AB的交点P′即为△PMN周长的最小时的点，
∵N是弧MB的中点，
∴∠A=∠NOB=∠MON=20°，
∴∠MON′=60°，
∴△MON′为等边三角形，
∴MN′=OM=AB=3，
∴△PMN周长的最小值为3+1=4.
故答案选：B.
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题与圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理，解题的关键是熟练的掌握轴对称-最短路线问题与圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理.
二．填空题（每小题3分，共6小题）
11.如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于E，若EB=1cm，CD=4cm，则弦心距OE的长是_____cm.
【答案】1.5.
【解析】
试题分析：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=×4=2（cm）.
如图,连接OC,设⊙O的半径为xcm，则OC=xcm，OE=OB-BE=x-1（cm），
在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=（x-1）2+22，解得：x=.
∴OE=(cm)．
考点：1.垂径定理；2.勾股定理．
12.点A、B在⊙O上，若∠AOB=40°，则∠OAB=_____．
【答案】70°．
【解析】
【分析】
如图，连接AB，根据圆的半径相等得△AOB为等腰三角形，又因为∠AOB=40°，根据三角形的内角和定理解题即可.
【详解】解：如图，连接AB，
∵AO=BO，∠AOB=40°，
∴∠OAB=∠OBA==70°.
故答案为70°.
【点睛】本题考查了三角形内角和定理与圆的性质，解题的关键是熟练的掌握三角形内角和定理与圆的性质.
13.如图所示，半圆O的直径AB=4，以点B为圆心，为半径作弧，交半圆O于点C，交直径AB于点D，则图中阴影部分的面积是_____________.
【答案】
【解析】
解：连接OC，CB，过O作OE⊥BC于E，∴BE=BC==．∵OB=AB=2，∴OE=1，∴∠B=30°，∴∠COA=60°，
=
=
=．故答案．
14.如图，在⊙O中，AB为直径，∠ACB的平分线交⊙O于D，AB=6，则BD=_____．
【答案】．
【解析】
【分析】
由角平分线的性质得到圆周角∠ACD=∠BCD，则=，所以AD=BD，故易证△ABD是等腰直角三角形，通过勾股定理来求BD的长度．
【详解】解：∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD=∠BCD，则=，
∴AD=BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°,∠ADB=90°.
∵AB=6，
∴BD=AB=3cm.
故答案为3.
【点睛】本题考查了圆周角定理与勾股定理的运算，解题的关键是熟练的掌握圆周角定理与勾股定理的运算法则.
15.如图，△ABC中，若AC=4，BC=3，AB=5，则△ABC的内切圆半径R=_____．
【答案】1．
【解析】
【分析】
先根据已知条件得出△ABC为直角三角形，再根据三角形的面积公式计算出△ABC的面积，再连接AO,BO,CO，S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC，设内切圆半径为r，再根据面积公式计算即可得出结论.
【详解】解：∵AB=5，AC=4，BC=3，32+42=52，
∴AB2=AC2+BC2，
∴△ABC为直角三角形,
∴S△ABC=×AC×BC=×4×3=6，
设△ABC的内切圆圆心为O，连接AO,BO,CO，
∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC，
设内切圆半径为r，则ABr+BCr+ACr=6，
5r+3r+4r=6，
解得r=1.
故答案为1.
【点睛】本题考查了三角形的内切圆半径，解题的关键是熟练的掌握圆的知识点.
16.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的____（把你认为正确结论的序号都填上）
【答案】①③④⑤
【解析】
【分析】
根据圆周角定理、平行线的性质、垂径定理等判断即可．
【详解】①∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，故①正确；
②∵∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角，∴∠AOC≠∠AEC，故②不正确；
③∵OC∥BD，∴∠OCB=∠DBC．
∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OBC=∠DBC，∴BC平分∠ABD，故③正确；
④∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD．
∵OC∥BD，∴∠AFO=90°．
∵点O为圆心，∴AF=DF，故④正确；
⑤由④有，AF=DF．
∵点O为AB中点，∴OF是△ABD的中位线，∴BD=2OF，故⑤正确；
⑥∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，故⑥不正确．
综上可知：其中一定成立的有①③④⑤．
故答案为①③④⑤．
【点睛】本题主要考查圆周角定理及圆的有关性质、平行线的性质，掌握圆中有关的线段、角相等的定理是解题的关键，特别注意垂径定理的应用．
三．解答题（共7小题）
17.如图所示，C，D是半圆O上的两点，AB是圆O的直径，且OD∥BC，OD与AC交于点E．AB=，BC=，求AD的长．
【答案】D=5．
【解析】
【分析】
根据题意可得△ACB为直角三角形，再根据勾股定理求出AC，再根据中位线的性质求出OE,DE，运用勾股定理即可得出结论.
【详解】解:∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，由勾股定理可得AC=，
∵OD∥BC，
∴OD⊥AC，
∴AE=EC=4，
∵O是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=CB=，
∴DE=OD﹣OE=﹣=3，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD=5．
【点睛】本题考查了中位线的性质与勾股定理，解题的关键是熟练的掌握中位线的性质与勾股定理.
18.如图，弦AB和弦CD相交于⊙O内一点E，AD=CB，求证：AB=CD．
【答案】详见解析.
【解析】
【分析】
根据同弧所对的弦相等证明即可.
【详解】证明：∵AD=BC，
∴，
∴，
∴CD=AB．
【点睛】本题考查了弧的知识点，解题的关键是熟练的掌握同弧所对的弦相等.
19.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上的一点，CF切半圆O于点C，BD⊥CF于为点D，BD与半圆O交于点E，
(1)求证：BC平分∠ABD
(2)若DC=8，BE=4，求圆的直径．
【答案】（1）证明见解析；（2）；
【解析】
【分析】
（1）连接OC，根据CD为切线可得OC⊥CD，再根据平行线的性质即可得出结论；
（2）连接AE交OC于G，根据圆与平行线的性质易得四边形CDEG为矩形，再根据勾股定理即可得出结论.
【详解】（1）证明：连结OC，如图，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∵BD⊥DF，
∴OC∥BD，
∴∠1=∠3，
∵OB=OC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴BC平分∠ABD；
（2）解：连结AE交OC于G，如图，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∵OC∥BD，
∴OC⊥CD，
∴AG=EG，
易得四边形CDEG为矩形，
∴GE=CD=8，
∴AE=2EG=16，
在Rt△ABE中，AB==4，
即圆的直径为4．
【点睛】本题考查了勾股定理、切线与平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握勾股定理、切线与平行线的性质.
20.如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）点M的坐标为
；
（3）判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．
【答案】（1）见解析；（2）（2，0）；（3）点D在⊙M内；
【解析】
试题分析：（1）由网格容易得出AB的垂直平分线和BC的垂直平分线，它们的交点即为点M；
（2）根据图形即可得出点M的坐标；
（3）用两点间距离公式求出圆的半径和线段DM的长，当DM小于圆的半径时点D在圆内．
试题解析：解：（1）如图1，点M就是要找的圆心；
（2）圆心M的坐标为（2，0）．故答案为（2，0）；
（3）圆的半径AM==．
线段MD==＜，所以点D在⊙M内．
点睛：本题考查是点与圆的位置关系，坐标与图形性质以及垂径定理，利用网格结构得到圆心M的坐标是解题的关键．
21.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结EP、CP、OP．
（1）BD=DC吗？说明理由；
（2）求∠BOP的度数；
（3）求证：CP是⊙O的切线．
【答案】（1）BD=DC；理由见解析；（2）90°；（3）证明见解析；
【解析】
【分析】
（1）连接AD，由圆周角定理可知∠ADB=90°，再由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，故BD=DC；
（2）由于AD是等腰三角形ABC底边上的中线，所以∠BAD=∠CAD，故=，进而可得出BD=DE，故BD=DE=DC，所以∠DEC=∠DCE，△ABC中由等腰三角形的性质可得出∠ABC=75°，故∠DEC=75°由三角形内角和定理得出∠EDC的度数，再根据BP∥DE可知∠PBC=∠EDC=30°，进而得出∠ABP的度数，再由OB=OP，可知∠OBP=∠OPB，由三角形内角和定理即可得出∠BOP=90°；
（3）设OP交AC于点G，由∠BOP=90°可知∠AOG=90°在Rt△AOG中，由∠OAG=30°，可知=，由于==，所以=，=，再根据∠AGO=∠CGP可得出△AOG∽△CPG，由相似三角形形的性质可知∠GPC=∠AOG=90°，故可得出CP是
⊙O的切线．
【详解】解：（1）BD=DC．理由如下：连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC；
（2）∵AD是等腰△ABC底边上的中线，
∴∠BAD=∠CAD，
∴=，
∴BD=DE．
∴BD=DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE，
△ABC中，AB=AC，∠A=30°，
∴∠DCE=∠ABC=（180°﹣30°）=75°，
∴∠DEC=75°，
∴∠EDC=180°﹣75°﹣75°=30°，
∵BP∥DE，
∴∠PBC=∠EDC=30°，
∴∠ABP=∠ABC﹣∠PBC=75°﹣30°=45°，
∵OB=OP，
∴∠OBP=∠OPB=45°，
∴∠BOP=90°；
（3）设OP交AC于点G，如图，则∠AOG=∠BOP=90°，
在Rt△AOG中，∠OAG=30°，
∴
，
又∵,
∴，
∴
，
又∵∠AGO=∠CGP，
∴△AOG∽△CPG，
∴∠GPC=∠AOG=90°，
∴OP⊥PC，
∴CP是⊙O的切线；
【点睛】本题考查了圆周角定理与切线的判定以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握圆周角定理与切线的判定以及等腰三角形的性质.
22.如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE，连接OC．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若⊙O半径为4，∠D=30°，求图中阴影部分面积（结果用含π和根号的式子表示）．
【答案】(1)答案见解析；（2）
【解析】
试题分析：由OA=OC，根据等腰三角形的性质可得∠OAC=∠OCA
.根据角平分线的定义可得∠OAC=∠CAE
，所以∠OCA=∠CAE
，即可判定OC∥AE
，再由AE⊥DE
，即可得∠E
=90°=∠OCD，结论得证；（2）在Rt△ODC中，求得OD、CD的长，再由S阴影=S△OCD-S扇形OBC即可求得图中阴影部分的面积．
试题解析：
（1）证明：
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA
.
∵AC平分∠BAE，
∴∠OAC=∠CAE
，
∴∠OCA=∠CAE
，
∴OC∥AE
，
∴∠OCD=∠E
.
∵AE⊥DE
，
∴∠E
=90°=∠OCD，
即OC⊥CD
，
∴CD是圆O的切线.
（2）在Rt△ODC中，
∵∠D=30°，OC=4，
∴∠COD=60°，OD=2OC=8
∴，
∴S阴影=S△OCD-S扇形OBC=
.
23.如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，OE⊥AB交⊙O于点E，连接CA、CE、CB，CE交AB于点G，过点A作AF⊥CE于点F，延长AF交BC于点P．
（Ⅰ）求∠CPA的度数；
（Ⅱ）连接OF，若AC=，∠D=30°，求线段OF的长．
【答案】（Ⅰ）45°；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）连接AE，由OA=OB且OE⊥AB知∠OEG+∠AEC=45°，再证∠OEG=∠BAP、∠AEC=∠ABP，在△ABP中利用三角形外角性质可得答案；
（Ⅱ）由切线性质及∠D=30°可得∠AOC=∠OAC=60°，在Rt△ABC中求得BC=3，由∠APC=45°、∠ACP=90°得CP=AC=，可知BP=3﹣，证OF为△ABP中位线可得答案．
【详解】解：（Ⅰ）如图，连接AE，
∵OE⊥AB，OA=OE，
∴∠AOE=90°，∠AEO=45°，
∴∠OEG+∠OGE=90°，
∵AF⊥CE，
∴∠AFG=90°，
∴∠FAG+∠AGF=90°，
∵∠AGF=∠OGE，
∴∠OEG=∠BAP，
∵∠AEC=∠ABC，
∴∠APC=∠ABC+∠BAP=∠AEC+∠OEG=∠AEO=45°；
（Ⅱ）连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠DCO=90°，
∵∠D=30°，
∴∠AOC=60°，
∵OA=OC，
∴∠BAC=60°，
在Rt△ABC中，AC=，
∴BC=ACtan∠BAC=×=3，
由（1）知，AC=CP=，
∴BP=BC﹣CP=3﹣，
∵AF⊥CE，
∴AF=PF，
∵OA=OB，
∴OF=BP=．
【点睛】本题主要考查切线的性质、圆周角定理及解直角三角形等知识点，熟练掌握圆的切线的性质及圆周角定理、三角形外角的性质等是解题的关键．2020-2021年北师大版九年级数学下册
第
3
章《圆》
经典题型单元测试题
一．选择题（每小题3分，共10小题）
1.下列结论中正确的是（ ）
A.
长度相等的两条弧相等
B.
相等的弦所对的弧相等
C.
半圆是弧
D.
平分弦的直径垂直于弦
2.⊙O的半径为6，一条弦长，以3为半径的同心圆与这条弦的关系是(
)
A.
相切
B.
相交
C.
相离
D.
相切或相交
3.如图，AB是⊙O的直径，
AB=10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ=CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连结CD交AB于点E，点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CEP与△DEQ的面积和的变化情况是（ ）
A
一直减小
B.
一直不变
C.
先变大后变小
D.
先变小后变大
4.已如△ABC的面积18cm2，其周长为24cm，则△ABC内切圆半径为（ ）
A.
1cm
B.
cm
C.
2cm
D.
cm
5.如图∠BAC=60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为（ ）
A.
3
B.
6
C.
D.
6.如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC等于（ ）
A.
90°﹣2α
B.
90°﹣α
C.
2α
D.
45°+α
7.如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点．若MN=2，AB=1，则△PAB周长的最小值是（ ）
A.
2+1
B.
+1
C.
2
D.
3
8.如图，AB是⊙D的直径，AD切⊙D于点A，EC=CB．则下列结论：①BA⊥DA；②OC∥AE；③∠COE=2∠CAE；④OD⊥AC．一定正确的个数有（ ）
A.
4个
B.
3个
C.
2个
D.
1个
9.已知正方形边长是10厘米，则阴影部分的面积为（ ）
A.
25π﹣50
B.
50π﹣50
C.
25π﹣25
D.
50π﹣25
10.如图，AB是⊙O的直径，AB=6，点M在⊙O上，∠MBA=20°，N是的中点，P是直径AB上的一动点，若AN=1，则△PMN周长的最小值为（ ）
A
3
B.
4
C.
5
D.
6
二．填空题（每小题3分，共6小题）
11.如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于E，若EB=1cm，CD=4cm，则弦心距OE的长是_____cm.
12.点A、B在⊙O上，若∠AOB=40°，则∠OAB=_____．
13.如图所示，半圆O的直径AB=4，以点B为圆心，为半径作弧，交半圆O于点C，交直径AB于点D，则图中阴影部分的面积是_____________.
14.如图，在⊙O中，AB为直径，∠ACB的平分线交⊙O于D，AB=6，则BD=_____．
15.如图，△ABC中，若AC=4，BC=3，AB=5，则△ABC的内切圆半径R=_____．
16.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的____（把你认为正确结论的序号都填上）
三．解答题（共7小题）
17.如图所示，C，D是半圆O上的两点，AB是圆O的直径，且OD∥BC，OD与AC交于点E．AB=，BC=，求AD的长．
18.如图，弦AB和弦CD相交于⊙O内一点E，AD=CB，求证：AB=CD．
19.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上的一点，CF切半圆O于点C，BD⊥CF于为点D，BD与半圆O交于点E，
(1)求证：BC平分∠ABD
(2)若DC=8，BE=4，求圆的直径．
20.如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）在图中画出经过A、B、C三点圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）点M的坐标为
；
（3）判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．
21.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连结DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连结EP、CP、OP．
（1）BD=DC吗？说明理由；
（2）求∠BOP的度数；
（3）求证：CP是⊙O的切线．
22.如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE，连接OC．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若⊙O半径为4，∠D=30°，求图中阴影部分的面积（结果用含π和根号的式子表示）．
23.如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，OE⊥AB交⊙O于点E，连接CA、CE、CB，CE交AB于点G，过点A作AF⊥CE于点F，延长AF交BC于点P．
（Ⅰ）求∠CPA的度数；
（Ⅱ）连接OF，若AC=，∠D=30°，求线段OF的长．
