苏教版八年级下全册教学案 第八章《分式》（共10课时）

课题 8.1分式 自主空间
学习目标 1、了解分式的概念，会判断一个代数式是否是分式。2、能用分式表示简单问题中数量之间的关系，能解释简单分式的实际背景或几何意义。3、能分析出一个简单分式有、无意义的条件。4、会根据已知条件求分式的值。
学习重点 分式的概念，掌握分式有意义的条件
学习难点 分式有、无意义的条件
教学流程
预习导航 一、创设情境：京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的交通大动脉,全长1462km，是我国最繁忙的铁路干线之一。如果货运列车的速度为akm/h,快速列车的速度为货运列车2倍，那么:(1)货运列车从北京到上海需要多长时间 (2)快速列车从北京到上海需要多长时间 (3)已知从北京到上海快速列车比货运列车少用多少时间 观察刚才你们所列的式子，它们有什么特点？这些式子与分数有什么相同和不同之处？
合作探究 一、概念探究：1、列出下列式子：（1）一块长方形玻璃板的面积为2㎡，如果宽为am，那么长是 （2）小丽用n元人民币买了m袋瓜子，那么每袋瓜子的价格是 元。（3）正n边形的每个内角为 度。（4）两块面积分别为a公顷、b公顷的棉田，产棉花分别为m㎏、n㎏。这两块棉田平均每公顷产棉花 ______㎏。2、两个数相除可以把它们的商表示成分数的形式。如果用字母分别表示分数的分子和分母，那么可以表示成什么形式呢？3、思考：上面所列各式有什么共同特点？（通过对以上几个实际问题的研讨，学会用的形式表示实际问题中数量之间的关系，感受把分数推广到分式的优越性和必要性）分式的概念： 4、小结分式的概念中应注意的问题．分式是两个整式相除的商式，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号的作用；分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据；如同分数一样，在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。分式分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。二、例题分析：例1 ： 试解释分式所表示的实际意义例2：求分式的值 ①a=3 ②a=—例3：当取什么值时，分式 （1）没有意义？（2）有意义？（3）值为零。 三、展示交流：1、在、、、、、、中，是整式的有___________________________，是分式的有_______________________；2、写成分式为____________，且当m≠_____时分式有意义；3、当x________时，分式无意义，当x_______时，分式的值为1。4、 若分式的值为正数，则x的取值应是 ( )A.， B. C. D.为任意实数四、提炼总结：1、什么叫分式？2、分式什么时候有意义？怎样求分式的值
当堂达标 1、用分式填空：①小明t小时走了5千米的路，则小明的速度是＿＿＿＿千米/时；②a千克盐溶于b千克水，所得盐水的含盐量是＿＿＿＿；③某食堂有煤吨，原计划每天烧煤吨，现每天节约用煤（）吨，则这批煤可比原计划多烧________天.④一箱苹果售价p元，总重m千克，箱重n千克，则每千克苹果的售价是______元；2、当取什么值时，分式的值是正数 ？3、已知与互为相反数，则式子的值为多少？4、已知：时，分式无意义，时，此分式值为0，求。
学习反思：
课题 8.2分式的基本性质(1) 自主空间
学习目标 1.理解分式的基本性质；2.会运用分式的基本性质解题；3.能运用分式的变号法则熟练地进行分式的符号变换．4.培养学生类比的推理能力
学习重点 分式的基本性质的理解和掌握
学习难点 分式基本性质的简单运用
教学流程
预习导航 分数的基本性质： 。2、分式也有类似的性质吗？
合作探究 一、新知探究：1、一列匀速行驶的火车，如果t h行驶s km，速度是多少？2t h行驶2s km速度是多少？3t h行驶3s km速度是多少？4t h行驶4s km速度是多少？…火车的速度可分别表示为 …这些速度相等吗？2、你能试着说说分式的基本性质？（跟分数的基本性质类似） 3、思考：如果分式的分子和分母分别乘以同一个任意的实数，所得到的分式和原分式仍相等吗？为什么？分别乘以同一个整式呢？ 4、猜想分式的基本性质，并用数学式子表示结论： 5、明晰分式的基本性质（板书课题与性质）分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。用式子表示就是 ：=，= （其中M是不等于0的整式）二、例题分析：例１填空：（3） （4）例２、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数：例3、不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数。（1）； （2）.三、展示交流：1.在括号内填上适当的整式，使下列等式成立：（1） （2） （3） （4） （5） （6） 2.不改变分式的值，把它的分子和分母中的各项的系数都化为整数，则所得的结果为（ ）A、 B、 C、 D、3、不改变下列分式的值，使分式的分子和分母的最高次项的系数为正数（1） （2）四、提炼总结 分式的基本性质是什么？
当堂达标 1、把分式中的x和y都扩大为原来的5倍，那么这个分式的值 A．扩大为原来的5倍；B．不变 C．缩小到原来的 D．扩大为原来的倍2、使等式=自左到右变形成立的条件是 （ ） A．x<0 B.x>0 C.x≠0 D.x≠0且x≠7 3、分式与下列分式相等是（　　）A. B. C. D.－4、不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项的系数化为整数。（1） (2) eq \f(m-0.5,1-0.25m) 5、不改变分式的值，使下列分式的分子和分母的最高次项的系数是正数.(1) (2)－
学习反思：
课题 8.2分式的基本性质(第2课时) 自主空间
学习目标 1．理解并掌握分式的基本性质，并能运用这些性质进行分式化简．2．理解最简分式的概念，会通过约分将分式化为最简分式．3．通过分式的化简提高学生的运算能力，渗透类比转化的数学思想方法.
学习重点 理解并掌握分式的基本性质．
学习难点 灵活运用分式的基本性质进行分式化简
教学流程
预习导航 1、下列等式的右边是怎样从左边得到的？（1） （2） 2、对分数怎样化简 3、什么叫分数的约分？4、类似地，分式也可约分吗？
合作探究 一、概念探究：1、填空： （1）= （2）= （3）= （4=2、分式的约分： 。 3、最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。4、组织讨论：约分要注意些什么？约分的一般步骤是怎样的？（1）.分式的分子与分母是单项式时， 。（2）.分式的分子与分母是多项式时， 。（3）尽量把分子、分母的最高次项的系数化为正数二、例题分析：例3 约分：例4 约分：三、展示交流：1、判断正误并改正:①=y3 （ ） ②=－a－b （ ）③=a－b （ ） ④ =－1 （ ）2、选择：（1）、下面化简正确的是 （ ） A．=0 B. =－1 C. =2 D.=x+y（2）、下列约分:①= ②= ③= ④=1 ⑤=a－1 ⑥ =－其中正确的有 ( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3、约分四、提炼总结1、约分的依据是什么？2、约分要注意些什么？约分的一般步骤是怎样的？3、要区别“约去”与“消去”不同意义．
当堂达标 1、①先化简，再求值； 其中x=②先化简，再求值；其中a=1，b=32、已知，求的值3、若分式的值为正整数，则整数
学习反思：
课题 8.2分式的基本性质(3) 自主空间
学习目标 1、了解分式通分的意义，能熟练地进行分式的通分。2、理解最简公分母的定义。
学习重点 通分的依据和作用
学习难点 找最简公分母
教学流程
预习导航 给下列分数通分 （1） （2）2、分式、、有什么共同点？试将它们分别化为最简分式。3、约分后得到的分式、、分母不相同，试将它们变形为分母相同的分式： 。问题3 你能为“异分母分式化为同分母分式”这样的变形起一个名称，并说明为什么这样起名吗？（引出课题）
合作探究 一、概念探究：1、类比分数的通分确定分式通分的定义：根据分式的基本性质， 分式的通分。2、回顾分数通分的基本步骤3、通过确定与的公分母，回顾如何确定分数的最小公分母；4、运用类比的方法，如何确定异分母的分式与的最简公分母？归纳：与异分母的分数通分类似，异分母的分式通分时，取 ， 这样的公分母叫做最简公分母。试一试：（1）分式的最简公分母是 。（2）分式的最简公分母是 。（3）分式的最简公分母是 。（4）分式的最简公分母是 。二、例题分析：例1、通分：（1），- （2）， 例2、通分（1），； （2），，三、展示交流：1、分式和的最简公分母是 （ ）A、 B、 C、 D、2、分式和的最简公分母是（ ） A、 B、 C、 D、四、提炼总结1、什么是分式的通分？2、如何确定最简公分母？
当堂达标 1．填空：（1）； （2）； （3）。2．求下列各组分式的最简公分母：（1）； （2）；（3）； （4）。3．通分：（1） （2）； （3） （4）
学习反思：
课题 8.3 分式的加减 自主空间
学习目标 1、知道分式加、减的一般步骤，能熟练进行分式的加减运算；2、进一步渗透类比思想、化归思想。
学习重点 根据分式加减法法则进行计算。
学习难点 异分母分式的加减运算
教学流程
预习导航 1、通分：（1）； （2）由分数的加减，如：，你认为应该如何计算分式的加减呢 ？
合作探究 一、概念探究：1、怎样计算？2、怎样计算？3、归纳：同分母分式加减运算的法则： 。异分母分式加减运算的法则： 。二、例题分析：例1、计算：（1） ； （2）； （3）例2、计算：（1）； （2）； （3）例3、计算：（1）； （2）。三、展示交流：1、 的运算结果是 （ ）A、 B、 C、 D、12、下列运算中，错误的是 （ ）A. B.C. D.3、 有理数、满足，设，，则M、N的关系是 （ ）A.M＞N B.M＝N C.M＜N D.不确定四、提炼总结1、两个法则： 。对分式加减结果形式的要求： 。
当堂达标 1如果；求 的值2、某人用电脑录入汉字文稿的速度是手抄的3倍，如果他手抄的速度是，那么他录入3000字文稿的时间比手抄少用多少？3、阅读下列题目的计算过程: ①=x-3-2(x-1) ②=x-3-2x+2 ③=-x-1 ④Ⅰ.上述计算过程,从哪一步开始出现错误 请写出该步的代号:______.Ⅱ.错误的原因是__________.Ⅲ.本题目的正确结论是__________.4、（1） (2)
学习反思：
课题 8．4 分式的乘除(第1课时) 自主空间
学习目标 1、理解并掌握分式的乘除法则，运用法则进行运算，能解决一些与分式有关的实际问题。2、经历探索分式的乘除运算法则的过程，并能结合具体情境说明其合理性。
学习重点 掌握分式的乘除运算
学习难点 分子、分母为多项式的分式乘除法运算
教学流程
预习导航 1、观察下列运算：猜一猜与同伴交流。2、你会计算 .= =
合作探究 新知探究：1、猜一猜与同伴交流。2、你能验证分式乘、除运算法则是合理、正确的吗？3、归纳：（1）分式的乘法法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。·=（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。=（3）分式乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方（）n= 。例题分析：例1、计算：（1）·； （2）例2、计算（1） （2）分析：依据分式除法的法则，把除法转化为乘法，可先约分，再运算，在运算过程中要留意符号。小结：分式的除法运算，需转化为乘法运算；根据乘法法则，应先把分子、分母分别相乘，化成一个分式后再进行约分，但在实际演算时，这样做显得较繁琐，因此，可根据情况先约分，再相乘，这样做有时简单易行，又不易出错。展示交流：⑴ 下列各式计算正确的是 ( )A． B．C． D．（2）下列各式的计算过程及结果都正确的是 （ ）A． B．C． D．（3）当，时，代数式的值为（ ）A．49 B．-49 C．3954 D．-3954（4）计算与的结果 （ ）A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．以上都不对提炼总结：1、分式的乘法、除法法则2、从法则中可以看出，分式的乘除运算可以统一成乘法。将除法转化为乘法时，不要忘记把除式的分子分母颠倒位置。3、在分式的乘除法中，当分子或分母是多项式时，能分解因式的要进行分解因式，能约分的一定要约分，同时要注意不要把符号弄错，运算时应按从左到右的顺序进行。
当堂达标 1、计算 ； ；2、若x等于它的倒数，则的值是 （ ）A．-3 B．-2 C．-1 D． -3或3、当，时，计算： 。4、 5、
学习反思：
课题 8．4 分式的乘除(第2课时) 自主空间
学习目标 1、熟练掌握分式的约分、通分、乘除法运算法则。2、掌握进行分式的加减乘除运算，养成良好的运算习惯。
学习重点 分式的加减乘除混合运算。
学习难点 分式的加减乘除混合运算。
教学流程
预习导航 1、分式的乘除运算法则？2、你认为的运算顺序为？先算什么？
合作探究 新知探究：1、在计算a÷b 　时，小明和小丽是这样计算的：小明：a÷b 　＝ a÷１＝ a小丽：a÷b 　＝ a =谁的算法正确？请说明理由。2、你会计算吗？3、怎样进行分式的乘、除混合运算？分式的加，减，乘，除混合运算呢？和同学交流一下。例题分析： 1、先化简，再求值：。其中分析：先约分化简，再代入计算小结：与分数混合运算类似，分式的加，减，乘，除混合运算的顺序是：先乘除，后加减。如有括号，则先进行括号内的运算。2、计算：1展示交流：1、2、化简，其结果为（ ）A. 1 B.xy C. D.3、。化简，其结果为（ ）A． B. C . D. 4、化简求值： 其中。提炼总结：通过本节课的学习，你有哪些收获？你觉得你在运算中要注意些什么？
当堂达标 1、计算 2、先化简代数式，然后选取一个使原式有意义的a值代入求值。3、有一道题“先化简，再求值：其中”。小玲做题时把“”错抄成“”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？
学习反思：
课题 8．5 分式方程 (第1课时) 自主空间
学习目标 1．经历分式方程的概念，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用。2．经历“实际问题－分式方程方程模型”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想人体，培养学生的应用意识。3．在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值。
学习重点 将实际问题中的等量关系用分式方程表示。
学习难点 找实际问题中的等量关系。
教学流程
预习导航 1、甲、乙两人加工同一种服装， 乙每天比甲多加工1件，已知乙加工24件服装所用时间与甲加工20件服装所用时间相同。 甲每天加工多少服装 如果设甲每天加工件服装，那么乙每天加工________件服装，根据题意，可列出方程：___________________2、一个两位数的各位数字是4，如果把各位数字与十位数字对调，那么所得的两位数与原两位数的比值是。原两位数的十位数字是几？如果设原两位数的十位数字是，那么可以列出方程： 3、某校学生到距离学校15km的山坡上植树，一部分学生骑自行车出发40min后，另一部分学生乘汽车出发，结果全体学生同时到达。已知汽车的速度是自行车的速度的3倍，求自行车速度。如果设自行车的速度是 km/h，那么可列出方程：
合作探究 新知探究：1、上面所得到的方程有什么共同特点？（学生可分组讨论交流）分母中含有未知数的方程叫做分式方程。2、分式方程与整式方程有什么区别？3、探寻分式方程的解法：如何解分式方程=？（让学生各抒己见）可以引导学生类比猜想，可以先猜想再验证。 指出：解分式方程的一般步骤是先去分母，把不熟悉的分式方程转化为熟悉的一元一次方程来解决。例题分析：例1 解方程：教师板书出解分式方程的一般过程及完整的书写格式。例2 从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600 km的普通公路，另一条是全长480 km的高速公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45 km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半。求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间。展示交流：1、轮船在顺水中航行20千米与逆水航行10千米所用时间相同，水流速度为2.5千米/小时，求轮船的静水速度。2、为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等。如果设第一次捐款人数为人，那么满足怎样的方程？3、根据分式方程编一道应用题，然后同组交流，看谁编得好。提炼总结：本节课你学到了哪些知识？ 你有什么感想？
当堂达标 1、若分式方程的一个解是，则 。2、解方程： 3、某农场开挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖米，那么求时所列方程正确的是（ ）A、 B、 C、 D、
学习反思：
课题 8．5 分式方程 (第2课时) 自主空间
学习目标 1、经历探索分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验根的合理性。2、经历“求解－解释解的合理性”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识。3、在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值。
学习重点 分式方程的解法。
学习难点 解分式方程要验根
教学流程
预习导航 解方程：（1）（2）
合作探究 新知探究：1、方程（1）和方程（2）的步骤求解有差异吗？2、你认为在解分式方程的过程中，那一步变形可能引起增根？（引导学生探索分式方程产生增根的现象，并讨论出现增根的原因让学生感受解分式方程检验根的必要性） 在这里，x=2不是原方程（2）的根，因为它使得原分式方程的分母为零，我们称它为原方程的增根。产生增根的原因是：我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为0的整式。因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验。3、你能用比较简洁的方法检验分式方程产生的增根吗？（引导学生探索检验增根的方法）看未知数的值能否使最简公分母为零的或使组成分式方程的某个分式的分母为零4、想一想解分式方程一般需要经过哪几个步骤？例题分析：例1 解下列方程： （1） （2）（教师示范出简洁规范的解题过程）注意：解分式方程时必须要验根。总结：解分式方程的一般步骤：去分母（注意防止漏乘）；去括号（注意先确定符号）有同类项及时的合并同类项；移项；未知数的系数化为1；验根（解分式方程必须要验根）。展示交流：1、解方程： 2、填空（1）若关于x的方程的解是x=1，则m= ； （2）若方程有增根，则；3、选择（1）下列关于分式方程增根的说法正确的是 ( )A．使所有的分母的值都为零的解是增根 B.分式方程的解为零就是增根C.使分子的值为零的解就是增根 D.使最简公分母的值为零的解是增根（2）方程可能产生的增根是 ( )A.1 B.2 C.-1或2 D.1或2 提炼总结：1、解分式方程的一般步骤是什么？解分式方程和我们前面学习的解一元一次方程有什么样的不同之处？又有什么样的联系？2、谈谈本节课你有什么样的收获？
当堂达标 1、如果解分式方程出现了增根，那么增根可能是（ ） A、-2 B、3 C、3或-4 D、-42、如果1分式方程无解，则m= ；3、解分式方程，分以下四步，其中，错误的一步是（ )A.方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1)B.方程两边都乘以(x-1)(x+1)，得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6C.解这个整式方程，得x=1 D.原方程的解为x=14、下列说法中正确的是 （ ）A．解分式方程一定会产生增根；B．方程的根为2C．方程与方程的根相同D．代数式与的值不可能相等
学习反思：
课题 8．5分式方程（第3课时） 自主空间
学习目标 1、能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，列出分式方程解决简单的实际问题，并根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理。2、发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想人体，培养学生的应用意识。
学习重点 如何结合实际分析问题，列出分式方程
学习难点 分析过程，得到等量关系
教学流程
预习导航 甲、乙两地相距19千米，某人从甲地出发出乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用2小时到达乙地。已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍。若设这个人步行的速度为千米/小时， ⑴这个人步行时间为 小时，骑车时间为 小时。⑵求步行速度和骑自行车的速度。
合作探究 例题分析：例4．为迎接市中学生田径运动会，计划由某校八年级（1）班的3个小组制作240面彩旗，后因一个小组另有任务，改由另外两个小组完成制作彩旗的任务。这样，这两个小组的每个同学就要比原计划多做 4面。如果这3个小组的人数相等，那么每个小组有多少名学生？分析：本题中的等量关系是什么？你会根据等量关系列出分式方程吗？例5、甲、乙两公司各为“见义勇为基金会”捐款30000元，已知乙公司比甲公司人均多捐款20元，且甲公司的人数比乙公司的人数多20%。问甲、乙两公司各有多少人？（先个人思考，再互相交流，尝试从不同角度寻求解决问题的方法，找出题中的等量关系，根据等量关系列出方程）总结：列分式方程解实际问题的一般步骤：展示交流：1、为改善生态环境，防止水土流失，某村拟在荒坡地上种植960棵树， 由于青年团员的支持，每日比原计划多种20棵，结果提前4天完成任务，原计划每天种植多少棵 2、某工地调来72人挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调配劳动力使挖出的土能及时运走且不窝土，解决此问题可设派x人挖土，其它人运土，列方程:①x+3x=72，②72-x=，③， ④。上述所列方程正确的 有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3、小明买软面笔记本共用去12元，小丽买硬面笔记本共用去21元，已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵1.2元，小明和小丽能买到相同本数的笔记本吗？（知道所列出的分式方程虽然有解，但解却不符合实际情况，这时原问题无解）提炼总结：列分式方程解实际问题的一般步骤
当堂达标 1、填空甲、乙两人加工某种机器零件，甲在m天内可以加工a个零件，乙在n天内可以加工b个零件，若两人同时加工p个零件，则需要的天数是________。2、选择某人生产一种零件，计划在30天内完成，若每天多生产6个，则25天完成且还多生产10个，问原计划每天生产多少个零件 设原计划每天生产x个，列方程式是 ( )A. B. C. D.3、某市从今年1月1日起调整居民的用水价格，每立方米水费上涨。小丽家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元，已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5m3，求该市今年居民用水的价格。4、为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等。如果设第一次捐款人数为人，那么满足怎样的方程？
学习反思：
参考答案：
8.1 1. 2.a>3 3.a=3 b=1 原式= 4.a=2 b=4 a+b=6
5 .
8.2 (1) BCB , ,
8.2(2) 1,0;0;2或3；
8.2（3）略。
8.3.；4. (1) (2)