2021年人教版八年级下册第18章《平行四边形》专题提升：以平行四边形为背景的计算与证明（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021年人教版八年级下册第18章《平行四边形》专题提升：以平行四边形为背景的计算与证明（word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 338.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-17 15:01:33 | ||
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文档简介
2021年人教版八年级下册第18章《平行四边形》专题提升
以平行四边形为背景的计算与证明
角度的计算与证明（一证一求）
1．如图，点E是?ABCD的边CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）证明：AD=CF．
（2）若∠BAF＝90°，试添加一个条件，并写出∠F的度数．
2．如图，平行四边形ABCD中，AD＝2AB，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F．
（1）求证：FB＝AD．
（2）若∠DAF＝70°，求∠EBC的度数．
3．如图，点E在BC上，△ABC≌△EAD．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AE平分∠DAB．∠EDC＝30°，求∠AED的度数．
4．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）如果∠A＝80°，∠C＝30°，求∠BDE的度数．
5．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AE．若AE平分∠DAB．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若∠EAC＝25°，求：∠AED的度数．
6．如图，矩形ABCD中，EF垂直平分对角线BD，垂足为O，点E和F分别在边AD，BC上，连接BE，DF．
（1）求证：四边形BFDE是菱形；
（2）若AE＝OF，求∠BDC的度数．
7．如图，在正方形ABCD中，BE平分∠DBC交CD于点E，延长BC到F，使CF＝CE，连接DF交BE的延长线于点G．
（1）求∠BGF的度数；
（2）求证：DE＝CE．
8．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝∠ADB＝90°，M为边AB的中点，连接MC，MD．
（1）求证：MC＝MD；
（2）若△MCD是等边三角形，求∠AOB的度数．
9．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH．
（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（2）若CB＝CE，∠EBC＝75°，∠DCE＝10°，求∠DAB的度数．
10．如图，在正方形ABCD中，点E为线段BC上一动点（点E不与点B、C重合），点B关于直线AE的对称点为F，作射线EF交CD于H，连接AF．
（1）求证：AF⊥EH；
（2）连接AH，小王通过观察、实验，提出猜想：点E在运动过程中，∠EAH的度数始终保持不变．你帮助小王求出∠EAH的度数．
长度的计算与证明（一证一求）
11．如图，在?ABCD中，E是AD的中点，延长CB到点F，使BF＝，连接BE、AF．
（1）完成画图并证明四边形AFBE是平行四边形；
（2）若AB＝6，AD＝8，∠C＝60°，求BE的长．
12．如图，四边形ABCD是平行四边形，延长CB至点E，使得BE＝BC，连接DE交AB于点F．
（1）求证：△ADF≌△BEF．
（2）连接DB，若AD＝DB＝5，CD＝6，求DE的长．
13．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE、DF、AE、EF，AF与DE交于点O．
（1）试说明AF与DE互相平分；
（2）若AB＝8，BC＝12，求DO的长．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F分别是边AC，AB的中点，延长BC到点D，使2CD＝BC，连接DE．
（1）如果AB＝10，求DE的长；
（2）延长DE交AF于点M，求证：点M是AF的中点．
15．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，点E是CD的中点，连接AE，作AF⊥AE，交BC于点F．
（1）若AC＝6，BC＝8，求AE的长；
（2）若G为BC延长线上一点，且AG+CG＝BC，求证：AF＝2EG．
16．如图，在?ABCD中，∠ACB＝45°，AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AB于点F，交AE于点M．点N在边BC上，且AM＝CN，连接DN．
（1）若AB＝，AC＝4，求BC的长；
（2）求证：AD+AM＝DN．
17．如图，在?ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AF，DE分别与线段BC交于点F，E，AF与DE交于点G．
（1）求证：AF⊥DE，BF＝CE．
（2）若AD＝10，AB＝6，AF＝8，求DE的长度．
18．如图，已知?ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠1＝∠2．
（1）求证：?ABCD是菱形．
（2）F为AD上一点，连接BF交AC于E，且AE＝AF，若AF＝3，AB＝5，求AO的长．
19．已知：如图，在?ABCD中，∠BCD的平分线CE交AD于E，∠ABC的平分线BG交CE于F，交AD于G．
（1）试找出图中的等腰三角形，并选择一个加以说明．
（2）试说明：AE＝DG．
（3）若BG将AD分成3：2的两部分，且AD＝10，求?ABCD的周长．
参考答案
角度的计算与证明（一证一求）
1．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CF，
∴∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴CF＝AD；
（2）∵∠BAF＝90°，
添加一个条件：当∠B＝60°时，∠F＝90°﹣60°＝30°（答案不唯一）．
2．【解答】（1）证明∵E为AD的中点，
∴DE＝AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝DC，
∴∠EDC＝∠EAF，
在△DEC和△AEF中，，
∴△DEC≌△AEF（AAS），
∴DC＝FA，
∵AD＝2AB，
∴AB＝DE＝EA＝FA，
∴FB＝AD；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DA∥CB，
∴∠CBF＝∠DAF＝70°，∠AEB＝∠EBC，
又∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴∠EBC＝∠ABE＝35°．
3．【解答】（1）证明：∵△ABC≌△EAD，
∴BC＝AD，∠B＝∠EAD，AB＝EA，
∴∠B＝∠AEB，
∴∠EAD＝∠AEB，
∴BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：由（1）得：∠B＝∠AEB＝∠EAD，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠B，
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠B＝∠AEB＝∠BAE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠ADC＝∠B＝∠BAE＝∠EAD＝60°，
∴∠ADE＝∠ADC﹣∠EDC＝60°﹣30°＝30°，
∴∠AED＝190°﹣60°﹣30°＝90°．
4．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB
∴四边形DEBF是平行四边形
∵DE∥BC
∴∠EDB＝∠DBF
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC
∴∠ABD＝∠EDB
∴DE＝BE且四边形BEDF为平行四边形
∴四边形BEDF为菱形；
（2）解：∵∠A＝80°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣80°﹣30°＝70°，
∵四边形BEDF为菱形，
∴∠EDF＝∠ABC＝70°，
∴∠BDE＝∠EDF＝35°．
5．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴∠DAE＝∠AEB．
∵AB＝AE，
∴∠AEB＝∠B．
∴∠B＝∠DAE．
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△EAD（SAS），
（2）∵△ABC≌△EAD，
∴∠AED＝∠BAC，
∵AE平分∠DAB（已知），
∴∠DAE＝∠BAE；
又∵∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠B．
∴△ABE为等边三角形．
∴∠BAE＝60°．
∵∠EAC＝25°，
∴∠BAC＝85°，
∴∠AED＝85°．
6．【解答】（1）证明：∵EF垂直平分对角线BD，
∴∠DOE＝∠BOF＝90°，OB＝OD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEO＝∠BFO，
在△DEO和△BFO中，
，
∴△DEO≌△BFO（AAS），
∴DE＝BF，
∵EF垂直平分对角线BD，
∴DE＝BE，BF＝DF，
∴DE＝BE＝BF＝DF，
∴四边形BFDE是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，
∵∠BOF＝90°，
∴∠A＝∠BOF＝90°，
在Rt△BAE和Rt△BOF中，
，
∴Rt△BAE≌Rt△BOF（HL），
∴AB＝OB，
∵AB＝CD，OB＝OD，
∴CD＝BD，
∵∠C＝90°，
∴∠CBD＝30°，
∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝60°．
7．【解答】解：（1）∵在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴∠BEC＝∠DFC，
∵∠BEC+∠CBE＝90°，
∴∠CBE+∠DFC＝90°，
∴∠BGF＝90°；
（2）连接EF，
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBG＝∠CBG，
∵BG＝BG，∠BGD＝∠BGF＝90°，
∴△BDG≌△BFG（ASA），
∴DG＝FG，
∴BG垂直平分DF，
∴DE＝FE，
∵CE2+CF2＝EF2，CE＝CF，
∴，
∴DE＝CE．
8．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，M为边AB的中点，
∴MC＝AB，MD＝AB，
∴MC＝MD；
（2）解：∵MC＝MD＝AB＝AM＝BM，
∴∠BAC＝∠ACM，∠ABD＝∠BDM，
∴∠BMC＝2∠BAC，∠AMD＝2∠ABD，
∵△MCD是等边三角形，
∴∠DMC＝60°，
∴∠BMC+∠AMD＝120°，
∴2∠BAC+2∠ABD＝120°，
∴∠BAO+∠ABO＝60°，
∴∠AOB＝180°﹣60°＝120°．
9．【解答】（1）证明：∵BF＝BE，CG＝CE，
∴BC为△FEG的中位线，
∴BC∥FG，BC＝FG，
又∵H是FG的中点，
∴FH＝FG，
∴BC＝FH．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD∥FH，AD＝FH，
∴四边形AFHD是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠DCB，
∵CE＝CB，
∴∠BEC＝∠EBC＝75°，
∴∠BCE＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠DCB＝∠DCE+∠BCE＝10°+30°＝40°，
∴∠DAB＝40°．
10．【解答】解：（1）证明：∵点B关于直线AE的对称点为F，
∴AB＝AF，BE＝EF，
又∵AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE（SSS），
∴∠AFE＝∠B＝90°，
∴AF⊥EH；
（2）连接AH，如图：
由（1）得AB＝AF，AF⊥EH，
∴AF＝AD，∠D＝∠AFH＝90°，AH＝AH，
∴△AFH≌△ADH（HL），
∴∠FAH＝∠DAH，
又∵∠BAE＝∠FAE，在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，
∴∠EAH＝45°．
长度的计算与证明（一证一求）
11．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
又E是AD的中点，，
∴AE∥BF，AE＝BF，
∴四边形AFBE是平行四边形；
（2）过点A作AG⊥BF于G，
由?ABCD可知∠ABF＝∠C＝60°，
又AB＝6，AD＝8，
∴BG＝3，FG＝1，AG＝，
∴BE＝AF＝．
12．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠A＝∠FBE，∠ADF＝∠E
又∵BC＝BE，
∴AD＝BE，
在△ADF和△BEF中，，
∴△ADF≌△BEF（ASA）；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC，
由（1）得：△ADF≌△BEF，
∴AD＝BE，EF＝DF，AF＝BF＝AB＝3，
∵AD＝DB＝5，
∴DB＝BE＝5，
∴BF⊥DE，
在Rt△BEF中，EF＝＝＝4，
∴DE＝2EF＝2×4＝8．
13．【解答】解：（1）∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB且EF＝AB．
又AB＝2AD，即AD＝AB，
∴AD∥EF，AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AF与DE互相平分；
（2）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝12，
∴由勾股定理得 AC＝＝＝4
又由（1）知，OA＝OF，且AF＝CF，
∴OA＝AC＝．
∴在△AOD中，∠DAO＝90°，AD＝AB＝4，OA＝，
∴由勾股定理得 DO＝＝＝．
14．【解答】解：（1）连接CF，
在Rt△ABC中，F是AB的中点，
∴CF＝AB＝5，
∵点E，F分别是边AC，AB的中点，
∴EF∥BC，EF＝BC，
∵2CD＝BC，
∴EF＝CD，EF∥CD，
∴四边形EDCF是平行四边形，
∴DE＝CF＝5；
（2）如图2，∵四边形EDCF是平行四边形，
∴CF∥DM，
∵点E是边AC的中点，
∴点M是AF的中点．
15．【解答】（1）解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝10，AD∥BC
∴CA⊥AD，
∴∠CAD＝90°，
∵CE＝ED，
∴AE＝CD＝5．
（2）证明：延长AE交BC的延长线于M，在CB上取一点N，使得CN＝CG，连接AN．
∵AD∥CM，
∴∠DAE＝∠M，
在△DAE和△MCE中，，
∴△DAE≌△MCE（AAS），
∴AE＝EM，
∵AE＝ED＝EC，
∴AM＝CD＝AB，
∵AC⊥BM，
∴BC＝CM，
∵AC⊥NG，CN＝CG，
∴AG＝AN，
∵AG+CG＝BC，
∴BN＝AG＝AN，
∵CB＝CM，CN＝CG，
∴BN＝GM，
∴GA＝GM，
∵AE＝EM，
∴EG⊥AM，
∵FA⊥AM，
∴EG∥AF，
∵AE＝EM，
∴FG＝GM，
∴EG＝AF，
即AF＝2EG．
16．【解答】（1）解：∵∠ACB＝45°，AE⊥BC，
∴∠AEC＝∠AEB＝90°，△ACE是等腰直角三角形，
∴∠EAC＝45°，AE＝CE＝＝＝2，
由勾股定理得：BE＝＝＝，
∴BC＝BE+CE＝3；
（2）证明：延长AD至G，使DG＝AM，连接CG，如图所示：
∵AM＝CN，
∴DG＝CN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠ADC，
∴DG∥CN，
∴四边形CGDN是平行四边形，
∴CG＝DN，
∵CF⊥AB，
∴∠CFB＝90°＝∠AEB＝∠CEA，
∴∠BAE＝∠MCE，
在△ABE和△CME中，，
∴△ABE≌△CME（AAS），
∴AB＝CM，∠B＝∠CME，
∴CM＝CD，∠CME＝∠ADC，
∴∠AMC＝∠GDC，
在△ACM和△GCD中，，
∴△ACM≌△GCD（SAS），
∴∠G＝∠MAC＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝45°，
∴△ACG是等腰直角三角形，
∴AG＝CG，
∵AG＝AD+DG＝AD+AM，CG＝DN，
∴AD+AM＝DN．
17．【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，
∴∠BAD+∠ADC＝180°．
∵AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE＝∠BAD，∠ADF＝∠CDF＝∠ADC．
∴∠DAE+∠ADF＝∠BAD+∠ADC＝90°．
∴∠AGD＝90°．
∴AE⊥DF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DAF＝∠AFB，
又∵∠DAF＝∠BAF，
∴∠BAF＝∠AFB，
∴AB＝BF，
同理可得CD＝CE，
∴BF＝CE；
（2）解：过点C作CK∥AF交AD于K，交DE于点I，
∵AK∥FC，AF∥CK，
∴四边形AFCK是平行四边形，∠AGD＝∠KID＝90°，
∴AF＝CK＝8，
∵∠KDI+∠DKI＝90°，∠DIC+∠DCI＝90°，∠IDK＝∠IDC，
∴∠DKI＝∠DCI，
∴DK＝DC＝6，
∴KI＝CI＝4，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝∠CDE，
∴CE＝CD，
∵CI⊥DE，
∴EI＝DI，
∵DI＝＝＝2，
∴DE＝2DI＝4．
18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠ACB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠ACB，
∴AB＝CB，
∴?ABCD是菱形．
（2）解：由（1）得：?ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝5，AO＝CO，
∵AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CBE，
∵AE＝AF＝3，
∴∠AFE＝∠AEF，
又∵∠AEF＝∠CEB，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴CE＝BC＝5，
∴AC＝AE+CE＝3+5＝8，
∴AO＝AC＝4．
19．【解答】解：（1）△ABG，△DCE是等腰三角形．
在平行四边形ABCD中，则AD∥BC，
∴∠AGB＝∠GBC，
又BG平分∠ABC，
∴∠ABG＝∠CBG，
∴∠ABG＝∠AGB，即AB＝AG，
∴△ABG是等腰三角形；
（2）由（1）可得AB＝AG＝CD＝DE，
∴AE＝DG；
（3）假设AG：GD＝3：2，
∵AD＝10，∴AB＝AG＝AD＝6，
∴平行四边形的周长为2（10+6）＝32；
当AG：GD＝2：3时，则AB＝AG＝AD＝4，
∴平行四边形的周长为2（10+4）＝28．
所以平行四边形ABCD的周长为32或28．
以平行四边形为背景的计算与证明
角度的计算与证明（一证一求）
1．如图，点E是?ABCD的边CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）证明：AD=CF．
（2）若∠BAF＝90°，试添加一个条件，并写出∠F的度数．
2．如图，平行四边形ABCD中，AD＝2AB，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F．
（1）求证：FB＝AD．
（2）若∠DAF＝70°，求∠EBC的度数．
3．如图，点E在BC上，△ABC≌△EAD．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AE平分∠DAB．∠EDC＝30°，求∠AED的度数．
4．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）如果∠A＝80°，∠C＝30°，求∠BDE的度数．
5．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AE．若AE平分∠DAB．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若∠EAC＝25°，求：∠AED的度数．
6．如图，矩形ABCD中，EF垂直平分对角线BD，垂足为O，点E和F分别在边AD，BC上，连接BE，DF．
（1）求证：四边形BFDE是菱形；
（2）若AE＝OF，求∠BDC的度数．
7．如图，在正方形ABCD中，BE平分∠DBC交CD于点E，延长BC到F，使CF＝CE，连接DF交BE的延长线于点G．
（1）求∠BGF的度数；
（2）求证：DE＝CE．
8．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝∠ADB＝90°，M为边AB的中点，连接MC，MD．
（1）求证：MC＝MD；
（2）若△MCD是等边三角形，求∠AOB的度数．
9．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH．
（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；
（2）若CB＝CE，∠EBC＝75°，∠DCE＝10°，求∠DAB的度数．
10．如图，在正方形ABCD中，点E为线段BC上一动点（点E不与点B、C重合），点B关于直线AE的对称点为F，作射线EF交CD于H，连接AF．
（1）求证：AF⊥EH；
（2）连接AH，小王通过观察、实验，提出猜想：点E在运动过程中，∠EAH的度数始终保持不变．你帮助小王求出∠EAH的度数．
长度的计算与证明（一证一求）
11．如图，在?ABCD中，E是AD的中点，延长CB到点F，使BF＝，连接BE、AF．
（1）完成画图并证明四边形AFBE是平行四边形；
（2）若AB＝6，AD＝8，∠C＝60°，求BE的长．
12．如图，四边形ABCD是平行四边形，延长CB至点E，使得BE＝BC，连接DE交AB于点F．
（1）求证：△ADF≌△BEF．
（2）连接DB，若AD＝DB＝5，CD＝6，求DE的长．
13．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连接DE、DF、AE、EF，AF与DE交于点O．
（1）试说明AF与DE互相平分；
（2）若AB＝8，BC＝12，求DO的长．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F分别是边AC，AB的中点，延长BC到点D，使2CD＝BC，连接DE．
（1）如果AB＝10，求DE的长；
（2）延长DE交AF于点M，求证：点M是AF的中点．
15．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，点E是CD的中点，连接AE，作AF⊥AE，交BC于点F．
（1）若AC＝6，BC＝8，求AE的长；
（2）若G为BC延长线上一点，且AG+CG＝BC，求证：AF＝2EG．
16．如图，在?ABCD中，∠ACB＝45°，AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AB于点F，交AE于点M．点N在边BC上，且AM＝CN，连接DN．
（1）若AB＝，AC＝4，求BC的长；
（2）求证：AD+AM＝DN．
17．如图，在?ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AF，DE分别与线段BC交于点F，E，AF与DE交于点G．
（1）求证：AF⊥DE，BF＝CE．
（2）若AD＝10，AB＝6，AF＝8，求DE的长度．
18．如图，已知?ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠1＝∠2．
（1）求证：?ABCD是菱形．
（2）F为AD上一点，连接BF交AC于E，且AE＝AF，若AF＝3，AB＝5，求AO的长．
19．已知：如图，在?ABCD中，∠BCD的平分线CE交AD于E，∠ABC的平分线BG交CE于F，交AD于G．
（1）试找出图中的等腰三角形，并选择一个加以说明．
（2）试说明：AE＝DG．
（3）若BG将AD分成3：2的两部分，且AD＝10，求?ABCD的周长．
参考答案
角度的计算与证明（一证一求）
1．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CF，
∴∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴CF＝AD；
（2）∵∠BAF＝90°，
添加一个条件：当∠B＝60°时，∠F＝90°﹣60°＝30°（答案不唯一）．
2．【解答】（1）证明∵E为AD的中点，
∴DE＝AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝DC，
∴∠EDC＝∠EAF，
在△DEC和△AEF中，，
∴△DEC≌△AEF（AAS），
∴DC＝FA，
∵AD＝2AB，
∴AB＝DE＝EA＝FA，
∴FB＝AD；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DA∥CB，
∴∠CBF＝∠DAF＝70°，∠AEB＝∠EBC，
又∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴∠EBC＝∠ABE＝35°．
3．【解答】（1）证明：∵△ABC≌△EAD，
∴BC＝AD，∠B＝∠EAD，AB＝EA，
∴∠B＝∠AEB，
∴∠EAD＝∠AEB，
∴BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：由（1）得：∠B＝∠AEB＝∠EAD，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠B，
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠B＝∠AEB＝∠BAE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠ADC＝∠B＝∠BAE＝∠EAD＝60°，
∴∠ADE＝∠ADC﹣∠EDC＝60°﹣30°＝30°，
∴∠AED＝190°﹣60°﹣30°＝90°．
4．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB
∴四边形DEBF是平行四边形
∵DE∥BC
∴∠EDB＝∠DBF
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC
∴∠ABD＝∠EDB
∴DE＝BE且四边形BEDF为平行四边形
∴四边形BEDF为菱形；
（2）解：∵∠A＝80°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣80°﹣30°＝70°，
∵四边形BEDF为菱形，
∴∠EDF＝∠ABC＝70°，
∴∠BDE＝∠EDF＝35°．
5．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∴∠DAE＝∠AEB．
∵AB＝AE，
∴∠AEB＝∠B．
∴∠B＝∠DAE．
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△EAD（SAS），
（2）∵△ABC≌△EAD，
∴∠AED＝∠BAC，
∵AE平分∠DAB（已知），
∴∠DAE＝∠BAE；
又∵∠DAE＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB＝∠B．
∴△ABE为等边三角形．
∴∠BAE＝60°．
∵∠EAC＝25°，
∴∠BAC＝85°，
∴∠AED＝85°．
6．【解答】（1）证明：∵EF垂直平分对角线BD，
∴∠DOE＝∠BOF＝90°，OB＝OD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEO＝∠BFO，
在△DEO和△BFO中，
，
∴△DEO≌△BFO（AAS），
∴DE＝BF，
∵EF垂直平分对角线BD，
∴DE＝BE，BF＝DF，
∴DE＝BE＝BF＝DF，
∴四边形BFDE是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，
∵∠BOF＝90°，
∴∠A＝∠BOF＝90°，
在Rt△BAE和Rt△BOF中，
，
∴Rt△BAE≌Rt△BOF（HL），
∴AB＝OB，
∵AB＝CD，OB＝OD，
∴CD＝BD，
∵∠C＝90°，
∴∠CBD＝30°，
∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝60°．
7．【解答】解：（1）∵在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴∠BEC＝∠DFC，
∵∠BEC+∠CBE＝90°，
∴∠CBE+∠DFC＝90°，
∴∠BGF＝90°；
（2）连接EF，
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBG＝∠CBG，
∵BG＝BG，∠BGD＝∠BGF＝90°，
∴△BDG≌△BFG（ASA），
∴DG＝FG，
∴BG垂直平分DF，
∴DE＝FE，
∵CE2+CF2＝EF2，CE＝CF，
∴，
∴DE＝CE．
8．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，M为边AB的中点，
∴MC＝AB，MD＝AB，
∴MC＝MD；
（2）解：∵MC＝MD＝AB＝AM＝BM，
∴∠BAC＝∠ACM，∠ABD＝∠BDM，
∴∠BMC＝2∠BAC，∠AMD＝2∠ABD，
∵△MCD是等边三角形，
∴∠DMC＝60°，
∴∠BMC+∠AMD＝120°，
∴2∠BAC+2∠ABD＝120°，
∴∠BAO+∠ABO＝60°，
∴∠AOB＝180°﹣60°＝120°．
9．【解答】（1）证明：∵BF＝BE，CG＝CE，
∴BC为△FEG的中位线，
∴BC∥FG，BC＝FG，
又∵H是FG的中点，
∴FH＝FG，
∴BC＝FH．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD∥FH，AD＝FH，
∴四边形AFHD是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠DCB，
∵CE＝CB，
∴∠BEC＝∠EBC＝75°，
∴∠BCE＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠DCB＝∠DCE+∠BCE＝10°+30°＝40°，
∴∠DAB＝40°．
10．【解答】解：（1）证明：∵点B关于直线AE的对称点为F，
∴AB＝AF，BE＝EF，
又∵AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE（SSS），
∴∠AFE＝∠B＝90°，
∴AF⊥EH；
（2）连接AH，如图：
由（1）得AB＝AF，AF⊥EH，
∴AF＝AD，∠D＝∠AFH＝90°，AH＝AH，
∴△AFH≌△ADH（HL），
∴∠FAH＝∠DAH，
又∵∠BAE＝∠FAE，在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，
∴∠EAH＝45°．
长度的计算与证明（一证一求）
11．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
又E是AD的中点，，
∴AE∥BF，AE＝BF，
∴四边形AFBE是平行四边形；
（2）过点A作AG⊥BF于G，
由?ABCD可知∠ABF＝∠C＝60°，
又AB＝6，AD＝8，
∴BG＝3，FG＝1，AG＝，
∴BE＝AF＝．
12．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠A＝∠FBE，∠ADF＝∠E
又∵BC＝BE，
∴AD＝BE，
在△ADF和△BEF中，，
∴△ADF≌△BEF（ASA）；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC，
由（1）得：△ADF≌△BEF，
∴AD＝BE，EF＝DF，AF＝BF＝AB＝3，
∵AD＝DB＝5，
∴DB＝BE＝5，
∴BF⊥DE，
在Rt△BEF中，EF＝＝＝4，
∴DE＝2EF＝2×4＝8．
13．【解答】解：（1）∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB且EF＝AB．
又AB＝2AD，即AD＝AB，
∴AD∥EF，AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AF与DE互相平分；
（2）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝12，
∴由勾股定理得 AC＝＝＝4
又由（1）知，OA＝OF，且AF＝CF，
∴OA＝AC＝．
∴在△AOD中，∠DAO＝90°，AD＝AB＝4，OA＝，
∴由勾股定理得 DO＝＝＝．
14．【解答】解：（1）连接CF，
在Rt△ABC中，F是AB的中点，
∴CF＝AB＝5，
∵点E，F分别是边AC，AB的中点，
∴EF∥BC，EF＝BC，
∵2CD＝BC，
∴EF＝CD，EF∥CD，
∴四边形EDCF是平行四边形，
∴DE＝CF＝5；
（2）如图2，∵四边形EDCF是平行四边形，
∴CF∥DM，
∵点E是边AC的中点，
∴点M是AF的中点．
15．【解答】（1）解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝10，AD∥BC
∴CA⊥AD，
∴∠CAD＝90°，
∵CE＝ED，
∴AE＝CD＝5．
（2）证明：延长AE交BC的延长线于M，在CB上取一点N，使得CN＝CG，连接AN．
∵AD∥CM，
∴∠DAE＝∠M，
在△DAE和△MCE中，，
∴△DAE≌△MCE（AAS），
∴AE＝EM，
∵AE＝ED＝EC，
∴AM＝CD＝AB，
∵AC⊥BM，
∴BC＝CM，
∵AC⊥NG，CN＝CG，
∴AG＝AN，
∵AG+CG＝BC，
∴BN＝AG＝AN，
∵CB＝CM，CN＝CG，
∴BN＝GM，
∴GA＝GM，
∵AE＝EM，
∴EG⊥AM，
∵FA⊥AM，
∴EG∥AF，
∵AE＝EM，
∴FG＝GM，
∴EG＝AF，
即AF＝2EG．
16．【解答】（1）解：∵∠ACB＝45°，AE⊥BC，
∴∠AEC＝∠AEB＝90°，△ACE是等腰直角三角形，
∴∠EAC＝45°，AE＝CE＝＝＝2，
由勾股定理得：BE＝＝＝，
∴BC＝BE+CE＝3；
（2）证明：延长AD至G，使DG＝AM，连接CG，如图所示：
∵AM＝CN，
∴DG＝CN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠ADC，
∴DG∥CN，
∴四边形CGDN是平行四边形，
∴CG＝DN，
∵CF⊥AB，
∴∠CFB＝90°＝∠AEB＝∠CEA，
∴∠BAE＝∠MCE，
在△ABE和△CME中，，
∴△ABE≌△CME（AAS），
∴AB＝CM，∠B＝∠CME，
∴CM＝CD，∠CME＝∠ADC，
∴∠AMC＝∠GDC，
在△ACM和△GCD中，，
∴△ACM≌△GCD（SAS），
∴∠G＝∠MAC＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝45°，
∴△ACG是等腰直角三角形，
∴AG＝CG，
∵AG＝AD+DG＝AD+AM，CG＝DN，
∴AD+AM＝DN．
17．【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，
∴∠BAD+∠ADC＝180°．
∵AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE＝∠BAD，∠ADF＝∠CDF＝∠ADC．
∴∠DAE+∠ADF＝∠BAD+∠ADC＝90°．
∴∠AGD＝90°．
∴AE⊥DF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DAF＝∠AFB，
又∵∠DAF＝∠BAF，
∴∠BAF＝∠AFB，
∴AB＝BF，
同理可得CD＝CE，
∴BF＝CE；
（2）解：过点C作CK∥AF交AD于K，交DE于点I，
∵AK∥FC，AF∥CK，
∴四边形AFCK是平行四边形，∠AGD＝∠KID＝90°，
∴AF＝CK＝8，
∵∠KDI+∠DKI＝90°，∠DIC+∠DCI＝90°，∠IDK＝∠IDC，
∴∠DKI＝∠DCI，
∴DK＝DC＝6，
∴KI＝CI＝4，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝∠CDE，
∴CE＝CD，
∵CI⊥DE，
∴EI＝DI，
∵DI＝＝＝2，
∴DE＝2DI＝4．
18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠ACB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠ACB，
∴AB＝CB，
∴?ABCD是菱形．
（2）解：由（1）得：?ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝5，AO＝CO，
∵AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CBE，
∵AE＝AF＝3，
∴∠AFE＝∠AEF，
又∵∠AEF＝∠CEB，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴CE＝BC＝5，
∴AC＝AE+CE＝3+5＝8，
∴AO＝AC＝4．
19．【解答】解：（1）△ABG，△DCE是等腰三角形．
在平行四边形ABCD中，则AD∥BC，
∴∠AGB＝∠GBC，
又BG平分∠ABC，
∴∠ABG＝∠CBG，
∴∠ABG＝∠AGB，即AB＝AG，
∴△ABG是等腰三角形；
（2）由（1）可得AB＝AG＝CD＝DE，
∴AE＝DG；
（3）假设AG：GD＝3：2，
∵AD＝10，∴AB＝AG＝AD＝6，
∴平行四边形的周长为2（10+6）＝32；
当AG：GD＝2：3时，则AB＝AG＝AD＝4，
∴平行四边形的周长为2（10+4）＝28．
所以平行四边形ABCD的周长为32或28．