苏教版八年级下全册教学案 第九章《反比例函数》（共6课时）

课题 9.1反比例函数 自主空间
学习目标 1、理解反比例函数的概念，会求比例系数。2、感受反比例函数是刻画世界数量关系的一种有效模型，能够列出实际问题中的反比例函数关系.
学习重点 理解反比例函数的概念。
学习难点 感受反比例函数是刻画世界数量关系的一种有效模型.
教学流程
预习导航 思考：用函数关系式表示下列问题中的两个变量之间的关系：一个面积为6400m的长方形的长a(m)随宽b(m)的变化而变化；某银行为资助某社会福利厂，提供了20万元的无息贷款，该厂的平均还款额y（万元）随还款年限x（年）的变化而变化；游泳池的容积为5000 m，向池内注水，注满水所需时间t(h)随注水速度v(m/h)的变化而变化；实数m与n的积为－200，m随m的变化而变化。
合作探究 新知探究： 活动一：汽车从南京出发开往连云港（全程约为300km），全程所用的时间t(h)随速度v(km/h)的变化而变化.（1）你能用含有v的代数式表示t吗？ （2）利用（1）中的关系式完成下表：v/(km/h)608090100120t/h 随着速度的变化，全程所用的时间发生怎样的变化？速度变大，时间减小；速度变小，时间增大。（3）速度v是时间t的函数吗？为什么？活动二：（1）利函数关系式表示下列问题中的两个变量之间的关系：①一个面积为6400㎡的长方形的长a(m)随宽b(m)的变化而变化； 函数关系式②某银行为资助某社会福利厂，提供了20万元的无息贷款，该厂的平均年还款额y(万元)随还款年限x(年)的变化而变化；函数关系式③实数m与n的积为－200，m 随n的变化而变化； 函数关系式④一名工人加工80个零件的时间y（h）随该工人每小时能加工零件个数x(个/小时)的变化而变化. 函数关系式 （2）交流：函数关系式：、、、具有什么共同特征？ 定义： 一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数，k是比例系数.追问：指出上述4个反比例函数的比例系数。例题分析： 例1、下列关系中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5） （6）；（7）展示交流： 1、已知函数是反比例函数，求a的值 2、若y与x成反比例，且x=－3时，y=7,则y与x的函数关系式是 3、下列哪些关系中的y是x的反比例函数？如果是，比例系数是多少？ （1）y=x (2)y= (3)xy+2=0 (4)xy=0 4、已知y－3与x+2 成反比例，且x=2时，y=7,求（1）y与x的函数关系式。（2）求y=5时，x的值。提炼总结：由实际应用的反比例关系，认识了反比例函数，并理解其中K的意义及函数概念的本质，学会求简单的反比例函数关系式的方法。反比例函数与正比例函数类似，要研究其图像和性质，下一节课开始学习它的图像和性质。
当堂达标 1、在函数y＝－1，y＝，y＝x－1，y＝中，y是x的反比例函数的有　　个2、下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？如果是，比例系数是多少？（1）y＝x； （2）y＝； （3）xy－2＝0；.3、若y与x成反比例，且x=－3时，y=7,则y与x的函数关系式是 。4、已知y－3与x+2 成反比例，且x=2时，y=7,求（1）y与x的函数关系式。（2）求y=5时，x的值。5、写出下列问题中两个变量之间的函数关系式，并判断其是否为反比例函数. 如果是，指出比例系数k的值.（1）底边为5cm的三角形的面积y（cm2）随底边上的高x（cm）的变化而变化；（2）某村有耕地面积200ha，人均占有耕地面积y（ha）随人口数量x（人）的变化而变化；
学习反思：
课题 9.2反比例函数的图象与性质（1） 自主空间
学习目标 学生会作反比例函数的图象，并能理解反比例函数的性质。培养提高学生的计算能力和作图能力。
学习重点 反比例函数的图象
学习难点 理解反比例函数的性质
教学流程
预习导航 1、画函数图像的一般过程： ， ， 2、（1）一次函数y=kx+b的图像是 （2）当k>0时，y随x的增大而 当k<0时，y随x的增大而 3、作反比例函数y=的图象：列表：x…－6 －4 －3 －2 －1 12346…y=描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点。连线：用光滑的曲线顺次连结各点，即可得到函数y=的图象。
合作探究 新知探究：1、你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？列表时，自变量的值可以选取绝对值相等而符号相反的一对一对的数值，这样既可简化计算，又便于描点。2、作反比例函数y=的图象3、观察函数y=和y=的图象，它们有什么相同点和不同点？图象分别都是由两支曲线组成的（一般把这两个分支组成的曲线称为双曲线），它们都不与坐标轴相交，两个函数图象都是轴对称图形，它们各自都有两条对称轴。4、归纳得出反比例函数图象特征：反比例函数y=的图象是由两支曲线组成的，当k>0时，两支曲线分别位于一、三象限内，当k<0 时，两支曲线分别位于第二、四象限内。例题分析： 例、反比例函数的图象经过点（－2，4），求它的解析式，并画出函数图象，图象分布在哪几个象限？与坐标轴的交点是什么？展示交流：1．已知y与2x—1成反比例,且当x=1时,y=2,那么当x=0时,y=________.2. 若函数y=(m－1)是反比例函数,则m的值等于( )A.±1 B.1 C. D.－13、在平面直角坐标系中，分别画出下列函数的图像 （1）y= (2) y=－ （3）y=4、已知变量y与x成反比例,并且当x=2时,y=－3.(1)求y与x的函数关系式;(2)求当y=2时x的值;(3)在直角坐标系内画出(1)小题中函数图象的草图. 四、提炼总结：进一步熟悉画函数图像的步骤，不仅得到反比例函数的大致特征；类似一次函数的图像是一条直线，还知道反比例函数的图像为双曲线。对K的不同取值，能得到其所在的位置。
当堂达标 1、反比例函数的图象经过点（－2，4），则它的解析式为 2、已知变量y与x成反比例，并且当x＝2时，y＝－3。（1）求y与x的函数关系式；（2）当y＝2时x 的值；（3）在直角坐标系中画出（1）小题虽函数的图象的草图。3、如果点P（a，b）在y=的图象上，那么在此图象上的点还有（　　）A（－a，b）　B.（a，－b）　C.（－a，－b） D.（0,0）4、已知反比例函数y=,当x=1时，y=－8.（1）求k值，并写出函数关系式；(2)点P、Q、R在函数图象上，填空：P(1，　), Q(2，　), R(　,－8)；（3）点P’、Q’、R’分别是点P、Q、R关于原点的中心对称点，写出点P’、Q’、 R’的坐标；
学习反思：
课题 9.2反比例函数的图象和性质（2） 自主空间
学习目标 1、进一步理解函数常用的三种表示方法；2、能根据图象分析和掌握反比例函数的性质，感受数形结合的数学思想方法；3、会用待定系数法求反比例函数的关系式
学习重点 会用待定系数法求反比例函数的关系式
学习难点 掌握反比例函数的性质
教学流程
预习导航 在平面直角坐标系中画出下列函数图像y=，y=－，y=，y=－，y=，y=－ 6个反比例函数的图象。问题1：你能将展示的6个反比例函数图象进行分类吗？并说明这样分类的依据 问题2：每个函数的图象分别在哪几个象限？问题3：在每个象限内，随着x的增大，y是怎样变化的？问题4：反比例函数的图象与x轴有交点吗？与y轴有交点吗？为什么？
合作探究 新知探究： 活动（一）探索图象的特征；每个函数的图象分别在哪几个象限？在每一个象限内，随着x的增大，y是怎样变化的？反比例函数的图象与x轴有交点吗？与y有交点吗？为什么？归纳 反比例函数图象的性质：反比例函数y=(k为常数，k≠0)的图象是双曲线当k＞0时，双曲线的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k〈0时，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大；再用函数的观点分析反比例函数的特征。 活动（二）如果将反比例函数的图象绕原点旋转，你有什么发现？将反比例函数的图象绕原点旋转后，能与原来的图象重合。因此我们可以得出一个结论：反比例函数y=的图象是中心对称图形，它的对称中心是坐标系的原点。例题分析： 例1 已知反比例函数y=的图象经过A（2，—4）。（1）k的值（2）这个函数的图象在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？（3）画出函数的图象（4）点B（，—16）、C（—3，5）在这个函数的图象上吗？例2、若反比例函数y=的图象经过第二、四象限，求函数的解析式。展示交流：1、反比例函数①y=；②y=；③7y= —；④y=的图象中：（1）在第一、三象限的是 ，在第二、四象限的是 （2）在其所在的象限内，y随x的增大而增大的是 2、已知反比例函数的图象经过点A（—6，—3）。（1）写出函数关系式（2）这个函数的图象在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？3、已知反比例函数y= (k≠0)与一次函数y=x 的图象有交点, 则k 的范围是______ 四、 提炼总结：正比例函数y=kx反比例函数y=k>0k<0k>0k<0图象所在象限增减性
当堂达标 1．已知反比例函数，当时，其图象的两个分支在第二、四象限内；当时，其图象在每个象限内随的增大而减小。2．若反比例函数的图象位于一、三象限内，正比例函数过二、四象限，则k的整数值是________。3．已知P（1，m+1）在双曲线上，则双曲线在第_________象限，在每个象限y随x的增大而________.4.下列函数中,当x>0时,y随x的增大而增大的是 ( )A.y=2－3x B.y= C.y=－2x－1 D.y=－5．已知一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，则反比例函数 的图象在（　）A.第一、二象限; B．第三、四象限; C．第一、三象限; D．第二、四象限.6.下列函数中,图象大致为如图的是( )A.y= (x<0) B.y= (x>0)C.y=－ (x>0) D.y=－ (x<0)
学习反思
课题 9.2反比例函数的图象与性质（3） 自主空间
学习目标 （1）使学生对反比例函数和反比例函数的图象和性质加深理解。（2）让学生进一步感受数形结合的思想方法。
学习重点 反比例函数的图象和性质
学习难点 利用反比例函数的图象和性质解题
教学流程
预习导航 填表反比例函数解析式图象形状k>0位置（ ）象限增减性每一象限内，y随x的增大而减小k<0位置（ ）象限增减性每一象限内，y随x的增大而增大
合作探究 新知探究：学生展示预习作业例题分析： 例1、如图是反比例函数的图象的一支。函数图象的另一支在第几象限？试求常数m的取值范围；点都在这个反比例函数的图象上，比较、、的大小。例2、如图，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（，2）（1）分别写出这两个函数的表达式；（2）你能求出点B的坐标吗？你是怎样求的？与同伴进行交流展示交流：1、若反比例函数的图象位于一、三象限内，正比例函数过二、四象限，则k的整数值是________。2、在同一直角坐标系内，函数y=2x与的交点坐标为____________。3、反比例函数y= 的图象在每个象限内的函数值y随自变量x的增大而增大, 那么k的取值范围是( )A、k≤－3 B、k≥－3 C、k>－3 D、k<－34下列函数中,当x>0时,y随x的增大而增大的是 ( )A、y=2－3x B、y= C、y=－2x－1 D、y=－5、已知一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，则反比例函数 的图象在（　）A.第一、二象限; B．第三、四象限; C．第一、三象限; D．第二、四象限.提炼总结：这一节课充分利用反比例函数图形解决问题，将反比例函数性质应用于其中，同时，还综合了一次函数的性质，这些内容的综合运用有助于提高同学们对知识的综合理解能力。下一节将学习本章的实际应用，请同学们做好预习工作。
当堂达标 1．正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=的图象有一个交点的横坐标是3，（1）求k的值；（2）根据反比例函数的图象，当－3 ；当x>3时，0 时，y是小于1的正数.2.已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴交于A、B两点，且与反比例函数y=（m≠0）的图象在第一象限交于点C，CD⊥X轴于D，且OA=OB=OD=1．（1）求点A、B、D的坐标；(2) 求一次函数和反比例函数的解析式．3、若，则函数与在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
学习反思：
课题 9.3反比例函数的应用 自主空间
学习目标 1、能利用反比例函数的相关的知识，分析和解决一些简单的实际问题2、能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式。
学习重点 能利用反比例函数的相关的知识分析和解决一些简单的实际问题
学习难点 根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式
教学流程
预习导航 如图,一次函数的图象与x轴y轴分别交于A,B两点,与反比例的图象交于C, D两点.如果A点的坐标为(2,0),点C,D分别在第一,第三象限,且OA=OB=AC=BD. 试求一次函数和反比例函数的解析式.
合作探究 新知探究：为了预防“非典”,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒, 已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例.药物燃烧后,y与x成反比例(如图所示),现测得药物8min燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6mg,请根据题中所提供的信息,解答下列问题:(1)药物燃烧时,y关于x 的函数关系式为: ________, 自变量x 的取值范围是:_______,药物燃烧后y关于x的函数关系式为_______.(2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经过______分钟后,学生才能回到教室;(3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时,才能有效杀灭空气中的病菌, 那么此次消毒是否有效 为什么 例题分析：例1、小明将一篇24000字的社会调查报告录入电脑，打印成文。（1）如果小明以每分种120字的速度录入，他需要多少时间才能完成录入任务？（2）录入文字的速度v（字/min）与完成录入的时间t(min)有怎样的函数关系？（3）小明希望能在3h内完成录入任务，那么他每分钟至少应录入多少个字？例2某自来水公司计划新建一个容积为的长方形蓄水池。（1）蓄水池的底部S（平方米）与其深度有怎样的函数关系？（2）如果蓄水池的深度设计为5m，那么蓄水池的底面积应为多少平方米？（3）由于绿化以及辅助用地的需要，经过实地测量，蓄水池的长与宽最多只能设计为100m和60m，那么蓄水池的深度至少达到多少才能满足要求？（保留两位小数）展示交流：1、某地上年度电价为0.8元 / 度,年用电量为1亿度.本年度计划将电价调至0.55元至0.75元之间.经测算,若电价调至x元,则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0.4)(元)成反比例,当x=0.65时,y=－0.8.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若每度电的成本价为0.3元,则电价调至多少元时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20% [收益=(实际电价－成本价)×(用电量)]2、如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点P在BC边上移动(不与点B、C重合),设PA=x,点D到PA的距离DE=y.求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围.3、已知反比例函数的图像与一次函数y=kx+m的图像相交于点A（2，1）.（1）分别求出这两个函数的解析式；（2）当x取什么范围时，反比例函数值大于0；（3）若一次函数与反比例函数另一交点为B，且纵坐标为－4，当x取什么范围时，反比例函数值大于一次函数的值。提炼总结： 反比例函数的实际应用，要认真分析题意；注意函数与方程的联系；注重函数的数形结合思想；理解函数的实际意义。
当堂达标 1、下列关系描述与所给的函数图象(如图所示)中,对应正确的是( )①矩形的面积一定时,它的两邻边y(cm)与x(cm)之间的关系②拖拉机工作时,每小时耗油量相同,油箱中余油量y(L)与工作时间x(h)之间的关系③某城市一天气温y(℃)随时间x(h)变化的关系④立方体的表面积y(c)与它的边长x(cm)之间的关系. A.关系①对应乙,②对应丙 B.关系②对应甲,③对应丁C.关系④对应甲,①对应丁 D.关系③对应丁,④对应乙4、已知反比例函数y=与一次函数y=mx+b的图象交于P(－2,1)和Q（1，n）两点．(1) 求反比例函数的解析式；(2) 求n的值；(3) 求一次函数y=mx+b的解析式．
学习反思：
课题 反比例函数小结与思考 自主空间
学习目标 1、继续巩固反比例函数概念，能灵活运用反比例函数的图像与性质解决实际问题；2、进一步体会数形结合的数学思想
学习重点 灵活运用反比例函数的图像与性质解决实际问题
学习难点 能灵活运用反比例函数的图像与性质解决实际问题
教学流程
预习导航 如图,已知关于x的函数y=k(x－1)和y=－(k≠0), 它们在同一坐标系内的图象大致是( )
合作探究 新知探究：反比例函数解析式y=(k为常数，k≠0)图象形状双曲线（以原点为对称中心）k>0位置一、三象限增减性每一象限内，y随x的增大而减小k<0位置二、四象限增减性每一象限内，y随x的增大而增大例题分析：例1、如果函数是反比例函数，那么____________.例2、若和是反比例函数图象上的两点，则一次函数的图象经过_____________象限。例3、如图，反比例函数与一次函数的图象交于A、B两点.（1）求A、B两点的坐标；（2）求△AOB的面积.例4、如图所示，点A、B在反比例函数的图象上，且点A、B的横坐标分别为。轴，垂足为C，且的面积为2。 ⑴求该反比例函数的解析式。⑵若点、在该反比例函数的图象上，试比较与的大小。⑶求的面积。展示交流：1.已知正比例函数y=kx(k≠0),y随x的增大而减小,那么反比例函数y=,当x< 0时,y随x的增大而_______.2.若m＜－1，则下列函数：① ;② y =－mx+1; ③ y = mx; ④ y =(m + 1)x中，y随x增大而增大的是___________。3．当＞0,＜0时，反比例函数的图象在______象限。提炼总结：本节课帮助学生整合本章知识体系，使学生能运用数形结合思想，根据反比例函数的性质，解决实际问题。
当堂达标 1．已知反比例函数的图象经过点（2，－3），则k的值是_______,图象在__________象限，当x>0时，y随x的减小而__________.2.已知变量y与x成反比例，当x =1时，y =－6,则当y = 3时，x=________。3．若反比例函数y=(2m－1) 的图象在第一、三象限,则函数的解析式为___________.4.若函数的图象过点（3，－7），那么它一定还经过点 （A）（3，7） （B）（－3，－7） （C）（－3，7） （D）（2，－7）5.如图,直线y=x+2 分别交x,y轴于点A,C,P是该直线上第一象限内的一点,PB ⊥x轴,B为垂足,=9.求过P点的坐反比例函数的解析式. 6.如图,一次函数的图象与x轴y轴分别交于A,B两点,与反比例的图象交于C, D两点.如果A点的坐标为(2,0),点C,D分别在第一,第三象限,且OA=OB=AC=BD. 、试求一次函数和反比例函数的解析式.
学习反思：
o
h
r
O
y
x
A
O
y
x
C
O
x
B
y
O
x
D