贵州省贵州大学附中2020-2021学年高一下学期4月第一次月考数学试题 Word版含解析

贵州大学附属中学2020-2021学年度第二学期
第一次月考高一数学学科试卷
试卷满分：150分 考试时间：120分钟 考生姓名______
一．单选题（共12小题，共60分）
1．（5分）数列2，3，4，5，…的一个通项公式为（　　）
A．an＝n B．an＝n+1 C．an＝n+2 D．an＝2n
2．（5分）已知an＝3n﹣2，则数列{an}的图象是（　　）
A．一条直线 B．一条抛物线
C．一个圆 D．一群孤立的点
3．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝45°，C＝60°，＝1，则边长c等于（　　）
A． B． C．2 D．
4．（5分）在等差数列{an}中，若a3，a13是方程x2﹣20x+5＝0的两个根，则a8＝（　　）
A．﹣10 B．﹣8 C．8 D．10
5．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且a：b：c＝3：5：7试判断该三角形的形状（　　）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
6．（5分）在等差数列{an}中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）＝48，则等差数列{an}的前13项的和为（　　）
A．104 B．52 C．39 D．24
7．（5分）已知△ABC中cosBcosC＞sinBsinC，则△ABC是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
8．（5分）设等差数列{an}{bn}的前n项和为Sn，Tn，若，则＝（　　）
A． B． C． D．
9．（5分）在数列{an}中，已知a1＝2，an＝（n≥2），则an等于（　　）
A． B． C．C. D．
10．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝18，b＝24，A＝45°，则这样的三角形有（　　）
A．0个 B．两个 C．一个 D．至多一个
11．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝﹣11，a4+a6＝﹣6，则当Sn取最小值时，n等于（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
12．（5分）等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（　　）
A．130 B．170 C．210 D．260
二．填空题（4小题，共20分）
13．（5分）30与18的等差中项是　 　．
14．（5分）在△ABC中，A＝60°，AC＝3，AB＝2，那么BC的长度为　 　．
15．（5分）已知数列{an}的通项公式为an＝，那么是它的第　 　项．
16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A﹣C＝，a，b，c成等差，则cosB的值为　 　．
二．解答题（6小题，共70分）
17．（10分）已知4个数成等差数列，它们的和为20，中间两项之积为24，求这个4个数．
18．（12分）在△ABC中，已知a＝2，b＝2，B＝120°，解此三角形．
19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosA＝bcosC+ccosB．
（1）求A；
（2）若a＝7，b＝8，求△ABC的面积．
20．（12分）等差数列{an}的前n项和为Sn，a3+a5＝a4+7且．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求满足不等式Sn＜3an﹣2的n的值．
21．（12分）渔政船在东海某海域巡航，已知该船正以15海里/时的速度向正北方向航行，该船在A点处时发现在北偏东30°方向的海面上有一个小岛，继续航行20分钟到达B点，此时发现该小岛在北偏东60°方向上，若该船向正北方向继续航行，船与小岛的最小距离为多少海里？
22．已知数列{an}满足a1＝1，．
（1）求证数列为等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
贵州大学附属中学2020-2021学年度第二学期
第一次月考高一数学学科试卷（答案版）
试卷满分：150分 考试时间：120分钟 考生姓名______
一．单选题（共12小题，共60分）
1．（5分）数列2，3，4，5，…的一个通项公式为（　　）
A．an＝n B．an＝n+1 C．an＝n+2 D．an＝2n
【解答】解：数列2，3，4，5，…的一个通项公式为an＝n+1．
故选：B．
2．（5分）已知an＝3n﹣2，则数列{an}的图象是（　　）
A．一条直线 B．一条抛物线
C．一个圆 D．一群孤立的点
【解答】解：an＝3n﹣2，变量n∈N*，数列若用图象表示，从图象上看是一群孤立的点，
故选：D．
3．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝45°，C＝60°，＝1，则边长c等于（　　）
A． B． C．2 D．
【解答】解：△ABC中，∵B＝45°，C＝60°，
∴A＝75°，又，
∴由正弦定理得：＝得：，所以选B
4．（5分）在等差数列{an}中，若a3，a13是方程x2﹣20x+5＝0的两个根，则a8＝（　　）
A．﹣10 B．﹣8 C．8 D．10
【解答】解：∵等差数列{an}中，a3，a13是方程x2﹣20x+5＝0的两个根，
∴a3+a13＝20，
则a8＝＝10，
故选：D．
5．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且a：b：c＝3：5：7试判断该三角形的形状（　　）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
【解答】解：∵a：b：c＝3：5：7，
∴设a＝3t，b＝5t，c＝7t，（t＞0），
∴cosC＝＝﹣，
∴∠C＝120°，
∴三角形为钝角三角形．
故选：A．
6．（5分）在等差数列{an}中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）＝48，则等差数列{an}的前13项的和为（　　）
A．104 B．52 C．39 D．24
【解答】解：∵在等差数列{an}中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）＝48，
∴3（2a1+6d）+2（3a1+27d）＝48即a1+6d＝4
∴a7＝4
所以等差数列{an}的前13项的和为＝13a7＝13×4＝52
故选：B．
7．（5分）已知△ABC中cosBcosC＞sinBsinC，则△ABC是（ ）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
【解答】解：由和差角公式 选A
8．（5分）设等差数列{an}{bn}的前n项和为Sn，Tn，若，则＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由等差数列求和公式 选A
9．（5分）在数列{an}中，已知a1＝2，an＝（n≥2），则an等于（　　）
A． B． C．C. D．
【解答】解：∵a1＝2，an＝（n≥2），
∴＝；
∵＝，
故{}是以为首项，为公差的等差数列，
∴＝+（n﹣1）＝；
∴an＝；
故选：B．
10．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝18，b＝24，A＝45°，则这样的三角形有（　　）
A．0个 B．两个 C．一个 D．至多一个
【解答】解：∵在△ABC中，a＝18，b＝24，A＝45°，
∴由正弦定理＝得：sinB＝＝＝＞，
∵a＜b，∴A＜B，
∴B的度数有两解，
则这样的三角形有两个．
故选：B．
11．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝﹣11，a4+a6＝﹣6，则当Sn取最小值时，n等于（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
a1＝﹣11，a4+a6＝﹣6，
可得﹣11+3d﹣11+5d＝﹣6，
解得d＝2，
则Sn＝na1+n（n﹣1）d＝n2﹣12n＝（n﹣6）2﹣36，
当n＝6时，Sn取最小值﹣36．
故选：D．
12．（5分）等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（　　）
A．130 B．170 C．210 D．260
【解答】解：解法1：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由题意得方程组，
解得d＝，a1＝，
∴s3m＝3ma1+d＝3m+＝210．
故选C．
解法2：∵设{an}为等差数列，
∴sm，s2m﹣sm，s3m﹣s2m成等差数列，
即30，70，s3m﹣100成等差数列，
∴30+s3m﹣100＝70×2，
解得s3m＝210．
故选：C．
二．填空题（4小题，共20分）
13．（5分）30与18的等差中项是　 　．
【解答】解：30与18的等差中项为：＝24．
故答案为：24．
14．（5分）在△ABC中，A＝60°，AC＝3，AB＝2，那么BC的长度为　 　．
【解答】解：∵在△ABC中，A＝60°，AC＝3，AB＝2，
∴由余弦定理可得：BC2＝AC2+AB2﹣2AC?AB?cosA＝9+4﹣2×3×2×cos60°＝7．
∴BC＝．
故答案为：．
15．（5分）已知数列{an}的通项公式为an＝，那么是它的第　 　项．
【解答】解：在数列{an}中，
∵an＝＝，
∴n2+n＝20，
解得n＝4或n＝﹣5（舍去）；
∴是{an}的第4项．
故答案为：4．
16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A﹣C＝，a，b，c成等差，则cosB的值为　 　．
【解答】解：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A﹣C＝，
∴A＝π﹣B﹣C＝π﹣B﹣（A﹣），
∴A＝﹣
∵a，b，c成等差数列，
∴2b＝a+c，
即2sinB＝sinA+sinC＝sinA+sin（A﹣）＝sinA﹣cosA＝sin（A﹣）＝sin（﹣）＝cos，
∴4sincos＝cos，
∴sin＝
∴cosB＝1﹣2sin2＝1﹣2×（）2＝，
故答案为：．
二．解答题（6小题，共70分）
17．（10分）已知4个数成等差数列，它们的和为20，中间两项之积为24，求这个4个数．
【解答】解：设此四个数分别为：a﹣3d，a﹣d，a+d，a+3d．
由题意可得：a﹣3d+a﹣d+a+d+a+3d＝20，（a﹣d）（a+d）＝24．
解得a＝5，d＝±1．
∴这四数为2，4，6，8或8，6，4，2．
18．（12分）在△ABC中，已知a＝2，b＝2，B＝120°，解此三角形．
【解答】解：△ABC中，∵a＝2，b＝2，B＝120°，
∴由正弦定理得：sinA＝＝，
∵a＜b，∴A＝30°，
∴C＝30°，c＝a＝2．
19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosA＝bcosC+ccosB．
（1）求A；
（2）若a＝7，b＝8，求△ABC的面积．
【解答】1解：（1）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
且2acosA＝bcosC+ccosB．
则：2sinAcosA＝sinBcosC+sinCcosB＝sin（B+C）＝sinA，
由于：0＜A＜π，
所以：sinA≠0，
故：cosA＝，
解得：A＝，
（2）利用（1）A＝，a＝7，b＝8，
所以：a2＝b2+c2﹣2bccosA，
整理得：c2﹣8c+15＝0，
解得：c＝3或5．
①当c＝3时，＝，
②当c＝5时，＝10．
20．（12分）等差数列{an}的前n项和为Sn，a3+a5＝a4+7且．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求满足不等式Sn＜3an﹣2的n的值．
【解答】解：（1）设数列{an}的公差为d，
由a3+a5＝a4+7，得2a1+5d＝a1+3d+7①．
由a1+a10＝20，得10a1+45d＝100②，
解得a1＝1，d＝2，所以an＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣1；
（2）因为a1＝1，an＝2n﹣1，所以Sn＝n＝n2，
由不等式Sn＜3an﹣2，得n2＜3（2n﹣1）﹣2，
所以n2﹣6n+5＜0，解得1＜n＜5，因为n∈N*，所以n的值为2，3，4．
21．（12分）渔政船在东海某海域巡航，已知该船正以15海里/时的速度向正北方向航行，该船在A点处时发现在北偏东30°方向的海面上有一个小岛，继续航行20分钟到达B点，此时发现该小岛在北偏东60°方向上，若该船向正北方向继续航行，船与小岛的最小距离为多少海里？
【解答】解：如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为D．
由题意可得：AB＝15×＝5．
∵∠A＝30°，∠DBC＝60°．
∴∠ACB＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴BC＝AB＝5．
∴在Rt△BCD中，DC＝BC?sin60°＝×＝7.5海里．
该船向正北方向继续航行，船与小岛的最小距离为7.5海里．
22．已知数列{an}满足a1＝1，．
（1）求证数列为等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
【解答】解：（1）数列{an}满足，．整理得，（常数），
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列．
（2）由于数列是以为首项，1为公差的等差数列．
所以，