湖北省华师大一附中2021届高三下学期四月综合测试数学试题 Word版含简答案

华师一附中高三下学期四月综合测试数学试题
2021年4月6日
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
2. 欧拉恒等式：被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”.该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e?圆周率?虚数单位i?自然数1和0完美地结合在一起，它是由欧拉公式：令得到的根据欧拉公式，在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
3. “帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“幄帐”.如图是一种幄帐示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面.若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为，底面矩形的长与宽之比为，则正脊与斜脊长度的比值为（ ）
A. B. C. D. 1
4. 已知均单位向量，且，则（ ）
A. B. C. D.
5. 函数的图象的一条对称轴为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图为陕西博物馆收藏的国宝一唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇羡，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线围成的曲边四边形绕y旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，则下列曲线中与双曲线C共渐近线的是（ ）
A. B. C. D.
7. 某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草?植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”?“合格”2个等级，结果如下表：
等级 项目 优秀 合格 合计
除草 30 15 45
植树 20 25 45
若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（ ）
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
8. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知数列是等比数列，下列结论正确的为（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10. 已知函数，则的大致图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
11. “杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，则（ ）
A. 在第9条斜线上，各数之和为55
B. 在第条斜线上，各数自左往右先增大后减小
C. 在第n条斜线上，共有个数
D. 在第11条斜线上，最大的数是
12. 如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔的高度的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知随机变量，则___________.
14. 能使“函数在区间上不是单调函数，且在区间上的函数值的集合为.”是真命题的一个区间为___________.
15. 已知椭圆的右顶点为P，右焦点F与抛物线的焦点重合，的顶点与的中心O重合.若与相交于点A，B，且四边形为菱形，则的离心率为___________.
16. 在三棱锥中，，，点P到底面的距离为7.若点P，A，B，C均在一个半径为5的球面上，则的最小值为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，，.点D是的中点，，求c和.
18. 已知数列的前n项和为，且.
（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；
（2）在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答.
已知数列满足___________，求的前n项和.
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.
19. 如图，在三棱台中，，O是的中点，平面.
（1）求证：；
（2）若，求二面角的大小.
20. 甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．比赛排名釆用积分制，积分规则如下：比赛中，以或取胜的球队积3分，负队积0分；以取胜的球队积2分，负队积1分．已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为．
（1）甲?乙两队比赛1场后，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望；
（2）甲?乙两队比赛2场后，求两队积分相等概率.
21. 已知椭圆经过点，离心率为．
（1）求的方程；
（2）直线与椭圆交于两点．
①判断是否是定值并给出证明；
②求的最大值．
22. 已知函数，为导数.
（1）设函数，求的单调区间；
（2）若有两个极值点，
①求实数a的取值范围；
②证明：当时，.
华师一附中高三下学期四月综合测试数学试题 答案版
2021年4月6日
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
2. 欧拉恒等式：被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”.该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e?圆周率?虚数单位i?自然数1和0完美地结合在一起，它是由欧拉公式：令得到的根据欧拉公式，在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
3. “帷幄”是古代打仗必备的帐篷，又称“幄帐”.如图是一种幄帐示意图，帐顶采用“五脊四坡式”，四条斜脊的长度相等，一条正脊平行于底面.若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为，底面矩形的长与宽之比为，则正脊与斜脊长度的比值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
4. 已知均单位向量，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
5. 函数的图象的一条对称轴为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
6. 如图为陕西博物馆收藏的国宝一唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇羡，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线围成的曲边四边形绕y旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，则下列曲线中与双曲线C共渐近线的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
7. 某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草?植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”?“合格”2个等级，结果如下表：
等级 项目 优秀 合格 合计
除草 30 15 45
植树 20 25 45
若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（ ）
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
【答案】C
8. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知数列是等比数列，下列结论正确的为（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】AC
10. 已知函数，则的大致图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
11. “杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，则（ ）
A. 在第9条斜线上，各数之和为55
B. 在第条斜线上，各数自左往右先增大后减小
C. 在第n条斜线上，共有个数
D. 在第11条斜线上，最大的数是
【答案】BCD
12. 如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔的高度的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知随机变量，则___________.
【答案】0.4
14. 能使“函数在区间上不是单调函数，且在区间上的函数值的集合为.”是真命题的一个区间为___________.
【答案】答案不唯一，只要，或，的均正确.
15. 已知椭圆的右顶点为P，右焦点F与抛物线的焦点重合，的顶点与的中心O重合.若与相交于点A，B，且四边形为菱形，则的离心率为___________.
【答案】
16. 在三棱锥中，，，点P到底面的距离为7.若点P，A，B，C均在一个半径为5的球面上，则的最小值为___________.
【答案】198
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，，.点D是的中点，，求c和.
【答案】，
18. 已知数列的前n项和为，且.
（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；
（2）在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答.
已知数列满足___________，求的前n项和.
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.
【答案】（1）证明见解析，；（2）答案见解析
19. 如图，在三棱台中，，O是的中点，平面.
（1）求证：；
（2）若，求二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
20. 甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）．比赛排名釆用积分制，积分规则如下：比赛中，以或取胜的球队积3分，负队积0分；以取胜的球队积2分，负队积1分．已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为．
（1）甲?乙两队比赛1场后，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望；
（2）甲?乙两队比赛2场后，求两队积分相等概率.
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望为；（2）.
21. 已知椭圆经过点，离心率为．
（1）求的方程；
（2）直线与椭圆交于两点．
①判断是否是定值并给出证明；
②求的最大值．
【答案】（1）；（2）①是定值，证明见解析；②.
22. 已知函数，为导数.
（1）设函数，求的单调区间；
（2）若有两个极值点，
①求实数a的取值范围；
②证明：当时，.
【答案】（1）答案见解析；（2）①；②证明见解析.