第六章专题：竖直面的圆周运动 同步练习 word版含答案

专题：竖直面的圆周运动
一、单选题
1．如图所示，轻杆长为L一端固定在水平轴上的O点，另一端系一个小球（可视为质点）。小球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动，且能通过最高点，g为重力加速度，下列说法正确的是（　　）
A．小球通过最高点时速度不可能小于
B．小球通过最高点时速度为时，球对杆有向下的弹力
C．小球通过最高点时速度为时，球对杆有向下的弹力
D．要使小球能通过最高点，小球在最高点速度至少为
2．一长为L的轻杆下端固定一质量为m的小球，上端连在光滑水平轴上，轻杆可绕水平轴在竖直平面内运动（不计空气阻力），如图所示。当小球在最低点时给它一个水平初速度v0，小球刚好能做完整的圆周运动。随着在最低点给小球的水平初速度逐渐增大，小球在最高点的速度也逐渐增大，重力加速度为g，则下列判断正确的是（　　）
A．小球能做完整的圆周运动，经过最高点的最小速度为
B．随着速度逐渐增大，小球在最低点对轻杆的作用力一直增大
C．随着速度逐渐增大，小球在最高点对轻杆的作用力一直增大
D．小球在运动过程中所受合外力的方向始终指向圆心
3．如图所示，一长为L的轻质细杆一端与质量为m的小球（可视为质点）相连，另一端可绕O点转动，现使轻杆在同一竖直面内做匀速转动，测得小球的向心加速度大小为2g （g为当地的重力加速度），下列说法正确的是（　　）
A．小球的线速度大小为
B．小球运动到最高点时，轻杆对小球作用力向上
C．杆在匀速转动过程中，轻杆对小球作用力的最大值为2mg
D．当轻杆转到水平位置时，轻杆对小球作用力方向指向圆心O
4．如图所示，轻质且不可伸长的细绳一端系一质量为m的小球，另一端固定在天花板上的O点。则小球在竖直平面内摆动的过程中，以下说法正确的是（　　）
A．小球在摆动过程中受到的外力的合力提供向心力
B．在最高点A、B，因小球的速度为零，所以小球受到的合力为零
C．小球在最低点C所受绳子的拉力大于小球的重力
D．小球在摆动过程中绳子的拉力使其速率发生变化
5．如图所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，关于小球的运动过程，下列说法中错误的是（　　）
A．小球在最低点时一定处于超重状态
B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C．小球在最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
D．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为
二、多选题
6．如图所示，长为L的细绳的一端固定于O点，另一端系一个小球，在O点的正下方钉一个光滑的钉子A，小球开始时θ的位置摆下，当细线碰到钉子的瞬间（瞬时速度不变）设细线没有断裂，则细绳碰到钉子前后，下列说法正确的是（　　）
A．绳对小球的拉力之比为1：2
B．小球所受合外力之比为1：2
C．小球做圆周运动的线速度之比为2：3
D．小球做圆周运动的角速度之比为1：2
7．如图所示，长为L=0.5m的轻质细杆，一端固定有一个质量为m=3kg的小球，另一端由电动机带动，使杆绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动，小球的速率为v=2m/s，g取10m/s2。则（　　）
A．小球通过最高点时，向心力大小是24N
B．小球通过最低点时，向心力大小是54N
C．小球通过最高点时，对杆作用力的大小为6N
D．小球通过最低点时，对杆作用力的大小为24N
三、解答题
8．质量为的物体固定在长为的轻杆一端，杆可绕过另一端点的水平轴在竖直平面内转动。（）求：
(1)当物体在最高点的速度为多大时，杆对球的作用力为零？
(2)当物体在最高点的速度为时，杆对球的作用力大小和方向。
(3)当物体在最高点的速度为时，杆对球的作用力大小和方向。
9．如图所示；轻杄长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力。忽略空气阻力，重力加速度为g。则球B在最高点时，求：
（1）A、B两球的线速度大小vA、vB；
（2）水平转轴对杆的作用力F。
10．如图所示，一根长为的轻质杆，一端系一质量为的小球（球大小不计），另一端固定在垂直纸面向里的转轴点上，现驱动转轴匀速转动，从而使小球绕着点在竖直平面内做匀速圆周运动，若小球经过最低点时，杆对球的拉力大小为，求：
(1)小球在最低点时的线速度大小；
(2)小球通过最高点时，杆对小球的作用力大小。
11．如图所示，内壁光滑、两端封闭的试管长为5cm，内有质量为1g的小球，试管一端装在转轴O上。试管在竖直平面内做匀速圆周运动。已知转动过程中，试管底部受到小球压力的最大值是最小值的3倍，求转动的角速度。（g取10m/s2）
12．飞行员的质量为m，他驾驶飞机在竖直平面内做匀速圆周运动，如图所示。若飞机飞到最高点的速度为v 时，飞行员对座位的压力恰好等于飞行员的重力，重力加速度为g，试求：
（1）竖直面内做匀速圆周运动的半径R；
（2）当飞机飞到最低点的速度大小仍为v时，飞行员对座位的压力是多少？
13．如图所示，长度为l= 0.50m的轻质细杆 OA，A 端有一质量为m = 3.0kg的小球。小球以 O 点为圆心在竖直平面做圆周运动。通过最高点时小球的速率是2.0m/s，g 取10m/s2求小球经过最高点时，细杆 A 点受力的大小及方向。
14．一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与水一起以细绳的另一端点为圆心在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m=0.5kg，水的重心到转轴的距离l=50cm，g取10m/s2。
（1）若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；（结果保留根号）
（2）若在最低点水桶的速率v=8m/s，求水对桶底的压力大小。
15．用长为R的轻绳系质量为m的小球使其在竖直平面内作圆周运动。
（1）若小球过最高点时的速度为v1，写出绳对小球的拉力T1的表达式；
（2）求小球过圆周最高点的最小速度v0；
（3）若小球过最高点时的速度为v2=2v0，求此时绳对小球的拉力T2。
16．质量的小球在竖直平面内的圆管轨道内运动，小球的直径略小于圆管的直径，如图所示。重力加速度g取，试计算：
(1)若小球以的速度通过最高点，小球对圆管的外壁的作用力的大小，则圆管的半径R为多少？
(2)若小球以的速度通过最高点，则小球对圆管壁的作用力的大小是多少？
17．如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为2mg，B通过最高点C时，对管壁下部和管壁上部的压力都为零，求：
（1）小球A在最高点的速度大小；
（2）小球B在最高点的速度大小；
（3）A、B两球落地点间的距离。
参考答案
1．C
当小球以速度v=通过最高点时，恰好由重力作为向心力，当速度小于v时，杆对小球的作用力为支持力，满足
当速度大于v时，杆对小球的作用力为拉力，满足
A．小球通过最高点时速度可能小于，A错误；
B．小球通过最高点时速度为时，球对杆有向上的弹力，B错误；
C．小球通过最高点时速度为时，球对杆有向下的弹力，C正确；
D．要使小球能通过最高点，小球在最高点速度大于等于零即可，D错误。
2．B
A．设轻杆对小球的作用力大小为F，方向向上，小球做完整的圆周运动经过最高点时，对小球，由牛顿第二定律得
mg-F=m
当轻杆对小球的作用力大小F=mg时，小球的速度最小，最小值为0，选项A错误；
B．在最低点，由
F-mg=m
可得轻杆对小球的作用力（拉力）
F=mg+m
若小球在最低点的初速度从v0逐渐增大，则轻杆对小球的作用力（拉力）一直增大，故B正确．
C．在最高点时由
mg-F=m
可得在最高点轻杆对小球的作用力
F=mg-m
若小球在最低点的初速度从v0逐渐增大，小球经过最高点时的速度v也逐渐增大，所以轻杆对小球的作用力F先减小后反向增大（先为支持力后为拉力，正负表示力的方向）．由牛顿第三定律可得小球在最高点对轻杆的作用力先减小后增大，故C错误；
D．轻杆绕水平轴在竖直平面内运动，小球不是做匀速圆周运动，所以合外力的方向不是始终指向圆心，只有在最低点和最高点合外力的方向才指向圆心，故D错误。
3．A
A．根据向心加速度公式得
解得
选项A正确；
B．小球在最高点的加速度为a=2g，设轻杆对小球作用力F向上，根据牛顿第二定律有
mg-F=ma
解得
F=-mg
所以轻杆对小球作用力F向下，选项B错误；
C．在最低点轻杆对小球的作用力最大，即
F-mg=m×2g
解得
F=3mg
选项C错误；
D．当轻杆转到水平位置时，杆子和重力的合力指向圆心，重力方向竖直向下，若轻杆对小球的作用力方向指向圆心O，则合力不能指向圆心，选项D错误。
4．C
A．小球在摆动过程中，速度大小在不断改变，则其所受合力不全部提供向心力，只有沿绳子方向的分力提供向心力，所以A错误；
B．在最高点A、B，因小球的速度为零，所以小球向心力为零，但是小球不能停在AB处，所以合力不为0，则B错误；
C．小球在最低点C时，由牛顿第二定律可得
则小球所受绳子的拉力大于小球的重力，所以C正确；
D．小球在摆动过程中绳子的拉力方向总是与速度方向垂直，所以拉力不会使小球的速率发生变化，则D错误；
5．B
A．小球在最低点时，加速度向上，则一定处于超重状态，选项A正确，不符合题意；
C．小球在最低点时，根据牛顿第二定律可知
解得
则绳子的拉力一定大于小球重力，选项C正确，不符合题意；
BD．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点时
速率为
此时绳子的拉力为零，选项B错误，符合题意，D正确，不符合题意。
6．BD
C．细绳碰到钉子前后瞬间，线速度v不会发生突变，故小球做圆周运动的线速度之比为1：1，C错误；
D．由可知，角速度与半径成反比，半径为2：1，小球做圆周运动的角速度之比为1：2，D正确；
B．合外力作为向心力
故小球所受合外力之比为1：2，B正确；
A．向心力由拉力及重力的合力提供，可得
故绳对小球的拉力之比不会是1：2，A错误。
7．AC
AB．由于小球做匀速圆周运动，向心力大小保持不变，由向心力公式可知，小球通过最高点或最低点时，向心力大小为
A正确，B错误；
C．在最高点满足
解得小球受到的支持力为F1=6N，即小球通过最高点时，对杆作用力的大小为6N，C正确；
D．在最低点满足
解得小球受到的拉力为F2=54N，即小球通过最低点时，对杆作用力的大小为54N，D错误。
8．
(1)当物体在最高点对杆的作用力为零时，重力提供向心力，则
解得
(2)，由牛顿第二定律得
解得
方向竖直向下
(3)，由牛顿第二定律得
方向竖直向上。
9．
(1)由于球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力，则有
解得，由于A、B角速度相等，则它们的线速度大小与半径成正比，则A此时的线速度大小为
(2)分析最低点的A球，由牛顿第二定律有
解得杆对小球的力F=1.5mg，由牛顿第三定律可得水平轴对杆的作用力大小为1.5mg。
10．
(1)小球过最低点时受重力和杆的拉力作用，由牛顿第二定律知
解得
(2)小球以线速度通过最高点时所需的向心力
故在最高点小球受到杆的支持力作用，因此有
解得
11．
设角速度为ω，在最高点时
在最低点时
且
解得
ω=20rad/s
12．
（1）在最高点时，有
由牛顿第三定律可知座位对飞行员的支持力为
联立解得
（2）在最低点时，有
由牛顿第三定律可知飞行员对座位的压力为
联立解得
13．
设杆转到最高点球恰好对杆的作用力为零时，球的速率为，则有
其中
?
则
可见球受到支持力作用，由牛顿第三定律知，细杆OA受到弹力的方向竖直向下
设球受的支持力为
对小球
所以
?
由牛顿第三定律知，杆受到的力大小
方向竖直向下。
14．
(1)最高点处，水的重力恰好作为向心力
解得桶的最小速度为
(2)最低点处，桶中水受到水桶支持力与重力的作用
代入数据解得FN=69N，根据牛顿第三定律可知，水对桶底的压力大小为69N。
15．
(1)在最高点，根据绳子拉力和重力的合力提供向心力
解得
(2)根据
得，小球通过最高点的最小速度
(3)小球过最高点时的速度为v2=2v0
则
16．
(1)小球以的速度通过最高点，小球对圆管的外壁的作用力，则外壁对小球有向下的作用力。以小球为研究对象，小球通过最高点C时，根据牛顿第二定律得
解得
(2)当小球以速度通过圆管的最高点，根据牛顿第二定律得
解得
负号表示圆管对小球的作用力向上，即小球对圆管的内壁压力等于。
17．
(1)对A球，在最高点时对管壁上部的压力为2mg，即管壁对小球向下的压力为2mg，合力提供向心力有
解得
(2)对B球，在最高点时对管壁下部和管壁上部的压力都为零，故有
解得
(3)两球离开轨道后均做平抛运动，设落地时间为t，则有
得
A、B两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差，对A球
对B球
A、B两球落地点间的距离
联立解得